Isaaci Newtoni Enumeratio linearum tertii ordinis; sequitur iIllustratio ejusdem tractatus auctore Jacobo Stirling

151쪽

I 18 Lineae tertii ordinis μιν TONIANAE. Datae F valores, ergo curva habet duo crura infinita, et in eandem plagam protenSa; quoniam existente x infinite magna , ordinata Fest ea infinite minor. Quod si mutetur signum ipsius x, aequatio evadet γ' - -δx-c postquam ergo eousque augetur x ut sith x - ei curva ad illas partes ulterius pergere nequit, quia erit quadratum ordinatae negativa quantitas, et inde ordinata ipsa impossibilis. Igitur curva habet duo tantum crura. Per methodum serierum est 3 - α xα - -- &c.

ptoti ad Abscissam x pertinens , quumque

haec non sit ordinata rectae, crura sunt Par

holica. Q. E. D. Coroll. Crura hujus curvae sunt sui generis simplicissima. Haec figura constituit Linearum secundi ordinis speciem tertiam; et patet eas

152쪽

Linea tertii ordinis NEWTONIANAE. Ias

Enumeratio Linearum tertii ordinis. PROP. XV. THEOR.

Omnes Lineae tertii ordinis, reducuntur ad hos

- ery -- f --gy-h per Coroll. I. Prop. s.)comprehendit omnes lineas secundi ordinis :unde , si probavero illam aequationem semper reduci posse ad unam quatuor dictarum fommarum , constabit propoSitio. Cas. I. Si aequationis terminus nullus desit, divide eam per r- - a coemeientem ipsius ν et erit ν - FcI--ον--e 3I-aatque extrahendo radicem ν - Πubi p. est latus quadratum partis valorum ipsius ν vinculo quadratico inclusae. Sit A B- , M. BUC ordinata secans Curvam in duobus punctis, adeoque rectarum BD, B C

153쪽

I3o Linere tertii ordinis NEWTONIANAE quamlibet ambiguo representat ordinata ν : id

tas : quaeque in casu praesenti est hyperbola conica. Sit ca ejusque Asymptoti G E, G H; quarum haec parallela est ordinatae D C. propterea quod ordinata E F secat hyperbolam in unico puncto F. Sume Abscissam novam G E x, ordinatam novam E C vel E DH; . emque EC-CF-FE,ED - CF-FE, Vel more algebraico, 3 -. E F ' E C. Unde in aequatione ad curvam, et E Fcrit coefficiens ipsius y, ut constat ex natura aequationis Quadraticae. Iam sit e data quantitaS , et ex natura hyperbolae crit E F - α; ergo E

crit coefficiens ipsius 3 in aequatione curvam definiente : atque exinde aequatio necessario induet hanc formam γη - Τ - a x' --δα -- c - vel x xxy' - e F a xy-δ χ'-c x-d. Q. E. D.

154쪽

et erit BF - rei es, quae est ordi

nata parabolae conicae bisecantis ordinatas. Si quando hoc accidat mutetur Abscissa et in ordinatam ν, ct aequatio crit ν' - ar-b ν' - cr-d ν - et insa --g; tolle terminum vin per Coroll. q. Prop. I. et aequatio erit

nata rectae hi Secantis ordinatas. In illo casu sume abscissam x in recta illa bisecante a debito initio computatam, et Ordinatam γ PriΟ-ri ν parallelam; et aequatio induet hanc sor-rnam xy' - ax) δ x' --c x--d, quae continetur in priori. Q. E. D. Cas. 4. Si desint termini r ν', a ν', restabit 8 cet red)ν - e f -- f g -- h , quo in casu ordinata occurrit curvae in unico

155쪽

I3α Lineae tertii ordinis NEWTONIAN . tantum puncto. Tolle terminum Per Coroll. q. Prop. F.) et aequatio erit c ἶ--d ν fC -- g h :hτc aequatio , mutando abscissam r in ordinatam ν, convertetur per Cas. I. in hanc

Q. E. D. Cas. s. Si desint termini r ν', a ν δὸν, m nebit c y ν --dν - e gr-- h, ubi si pro ν scribas F, et x - - pro I , Orietur

xa - a xy - δ x' - c x - d. Q. E. D. Cas. 6. Si desint termini rν', δῖ'ν, erit B F --, quae est ordinata Lineae hia

secantis ordinaras CD ; in illo casu sume abs cissam x in recta illa bisecante , et ordinatam νpriori parallelam, ct prodibit

3 --xy - δ x' c x -- d. Q. E. D. Cas. 7. Si desint termini r ν', a ν', δὸν, crν, restabit dν - e - ς r , quae est hujus formaeγ a xy--δ xy--c x- d. Q. E. D. Reducuntur ergo omnes Lineae tertii ordinis ad quatuor.Sequentes aequationum casus ,

156쪽

Linere tertii ordinis NEWTONIANAE. Is AEquatio xy' - ey ax)-bx - cx--d designat Muram habentem sex crura Dpe holica ad tres As ymptotos jacentia.

Vergentem, quo minor est xi atque proVenient ordinatae valores ς - - - &c. - - Λ c. x e e Valor hic ultimus indicat curvam Secare Ordinatam primam, puta in G M. 27. . Valor autem ille L - - &c. indicat per Corore.

Prop. 7.) Ordinatam primam csse AsymptΟ-ton, et habere duo crura ad diversas ejus Partes posita , et in plagas oppositas tendentia.. EVadat jam x utcunque magna et augebuntur

157쪽

i34 Linea tertii ordinis NEWTONI AN . simul ordinatae vat Orcs Sine limite , quare curva habet alia duo crura infinita. Mutetur signum ipsius ac, ct aequatio evadct- x γ' - e F - - - c x-d vclx γ' - e 3 - axΤ - δ xy-c x -d, ubi patet quod etiamnum augeri potest x in infinitum cisimul augebuntur ordinatae vatorcs, nunquamcnim c vadent impossibiles quum abscissa est satis magna. Unde figura habct alia duo crura et omnino SCX. Rcducatur jam F in seriem eo citius con- Vergentem quo major cSt x, atque in Venictur

a. V a d a x M a Uabet igitur per Prop. 6. figura duas ASymptotos rectas ab Abscissa hinc inde aequaliter jacentes : nam sit AD - , et Ad, A r,

hinc inde aequales L , junge Dii erunt a V a illae duae Asymptoti. Ergo figura habet sex

crura ad tres Asymptotos rectas jacentia. Q. E. D. Coroz-I. Si desit tcrminus Θ x', tres Asymptoti, evanescente triangu 'o Dd. , in uno eodemque puncto con 'emunt.

158쪽

Linere tertii ordinis NEWTONIANAE. I si Coroll. 2. Si figura Ovalem conjugatam habeat, ea Semper continetur intra triangulum, Ddy ; nam si consisteret extra, duci poterrat recta secanS curVam in quatuor punctis, quod fieri nequit. Idem intellige de Nodo, Cuspide et puncto conjugato. Ut enim Punctum est Ovalis infinite parva, sic Cuspis est Nodus infinite parVUS. Coroli. 3. Ergo si desit terminus bx', hoc est, si tres Asymptoti in uno eodemque Puncto conVeniunt, figura nunquam habet OValem, nodum, cuSpidem aut punctum conjugatum : quia per Coroin I , a. evanescit triangulum intra quod semper consistit ovalis, nodus , cuspis Vel punctum conjugatum.

Coroll. 4. Duc R M O bisecantem Dd, in . M, item o P Asymptoto D d parallelam

prodibit etiam . , '

dubitat utatur calculo.

159쪽

i36 Linea tertii ordinis NEWTONIANAE.Coroz s. Unde si aequationis

desit terminus B x , in aequationibus duabusrcliquis deerunt termini respectivi βs'. Et contra, ut conStat ex Coroll. I. Coroli. 6. Si desit terminus e I, Abscissa est diameter bisecans Ordinatas : ct contra, si AB sit Diameter, deest terminus e F. Si

mile intellige de abscissis M O, N Q earum

que ordinatis. Coroll. 7. Si desit terminus e F , curVa non decussat Asymptoton d y; nam existente x infinite parva erit 3 -' - , adeoque per

Coroll. 3. Prop. 7. crura jacent ad easdam Asymptoti dy partes et in plagas oppositas feruntur : et inde sper Coroll. 4. Prop. q.

tria interscctionis puncta abeunt in infinitum; adcoque nullum restabit punctum in quo curva decussare potest ejus Asymptoton. Et contra, si curva non decusset Asymptoton, deest terminus e F et abscissa A B est di meter, atque crura jacent ad easdem Asymptoti dy partes, in plagas oppositas lata. Simile intellige de Asymptotis duabus reliquis cum Abscissis R O, d Q. , Coroll. 8. Si sit ν - η a C qa E a , curva non decussat Asymptoton D d, adeo.

160쪽

Lineae tertii ordinis AEWTONIANAE I T

ubi L R , est Ordinata transiens per L punc

et erit A L infinite magna, adeoque pun tum intersectionis nullibi erit. Similiter si Fsit punctum in quo curva secat Asumptoton et FH ordinata ; erit

sat Asymptoton , et est V Q diameter.

Coroll. 9. Ergo si neque terminus e) desit, neque sit δ' - qac - 1 qae a, curUa millam habebit diametrum ; sin eorum alterutrum accidit, curva unicam habebit diametrum citres, Si utrumque. Sciendum enim est Ordi-