장음표시 사용
111쪽
COROLLARIUM SECUNDUM. SEquitur etiam ex hac propositionc , quo J sit quelibet altitudo
seu etiam plures statuatitur in cadem recta vitici- basi perpendi- iculari, atque ab earum cxtremis educantur lineae mortuae ad pun-chium aliquod in linea horigontali, ex iis desumi facile posse earum Wdem altitudinum,pro vario ipsarum in pariete situ, scenographiam, ut posthac manifestum fiet & clarius patebit in sequentibus propositionibus, ubi exempla aliquot non iniucunda de quinque solidis regularibus oculis subiiciemus; immo & de pluribus aliis solidis regularibus compositis & irregularibus, quae quidem omnia traditis
praeceptis lucem afferent non exiguam : supponimus aureari in pro- possitionibus enunciandis, etiamsi breuitatis causa , ut plurimum omittantur a nobis haec verba , data oculi altitudine aestantia, subin telligi nihilominus ipsa debere, cum agemus de pcrspe atria regulari, quae oculi altitudinem distantiamque determinatam requirit, quod non conuenit ei, quae ex indefinita oculi distantia, altitudine vero graduum ue, siue anguli semirecti supposita operatur , de qua etiam fortassis ad finem huius aliqua diccmus, cum utilitate &. -- modis non careat, propter quae alteri etiam aliquando in praxi anteponenda videatur. Advertat etiam hic lector, puriusquam ulterius procedat in scenographia solidorum, nos ut facilior & expetior succederet operatio, quantum pertinet ad eleuationem horum corporum, neue pro iis subiecta diagrammata nimia linearum se se muruo intersecantium confusione intricatiora reddcrentur, nos inquam radiales omnes S diametrales lineas, quibus scenographia planorum inuenitur, consulto omisisse, supponendo tamen priusquam ad horum solidorum eleuationem deueniatur, ipsorum imographiam, per primam huius, ad prospectum eta accommodatam, qua de re superius satis, ideoque solummodo praedictorum Alidor sienographiam sub vitrei- basi cum quibusdam perpendicularibus & circuli arcubus , scenographiamque in tabula in pariete delineauimus, ut videtur in diagrammate v III. in Tabula sexta, lanographia D E FG ad prospectum accommodata, & delineata in dest ; similiter in X. abedes scenographia imographiae A 8 C D E F correspondens;vbi de illud notadum venit, ultimae huius scenographiae delineationem intercisis qui busdam lineolis esse adumbratam, ut facilius ab iis lineis distinguantur, quae posteriores solidorum partes exprimunt, quas e solis punctis constare voluimus. lDemum non est omittendum lineas illas vitrei-basi perpendicularcsi in quibus statuuntur datae solidoru altitudines v .g. in octauo diagraminate linea A B, & in diagrammate X. linea HL Κ, quae desumitura triangulo H I K , notandum est inquam has lineas in hocce tra-
112쪽
ctatu orthographiae lineas nuncupari, & ab iis, siuel ab ipsarum di. uisionibus ad horizontalis lineae punctum aliquod eductas , ut in iisdem digrammatis AC, BC ; HG, LG, Κ G diuersanam altitudinum solam posse nominari, ut a nobis imposteruin appellabitur, quod censui monendum hic apposite, ne nos moretur in sequentibus terminorum huiusmodi repetita declaratio, & ubi eos usurpari contigerit, ab omnibus facilius intelligantur. sed priusquam ad singulorum solidorum scenographiam aec damus, non inutile fore amitratus sum sequens Theorema propone- . re, ex quo & praxis nostrae methodus confirmabitur, M ad sublimium obiectorum reperiendam scenographiam compendis nonnihil eruetur; si igitur.
Vt est alii o indist νρ-- ad alii dinem realimrrpendicutirem n-m .dimus folims, ita linea vendicularis educta a punsis imaginis Ases, eius in Aviam visis ad lineam boni onradem, se baser ad altitudinemappaerentem eiusdem puncti mii in tabida, seu a puem n basis a
REpetendo enim ex Tabula s. diagramma IX. quia inuistis
GN & AB usque in T, parallelogrammum est AT GH, temtum est A T esse G H altitudini oculi aqualem: deinde quia in trian gulo A G T parallela est D V ipsi AT , ut se habet G Α ad G D; ita est AT ad D V: similitet & in triangulo A G B, ut se habet G A ad G D, ita se habet A B ad D E; ergo per ii sexti Elem. vr se habee AT ad A B, altitudo nimirum oculi super planum, siue ipsi aequalis ad altitudinem perpendicularem puncti sublimis super idem planum, ita D V, linea videlicet perpendicularis educta a puncto D imaginis hasiis ipsius usque ad horizontalem, se habet ad D E altitudinem apparentem eiusdem euncti sublimis, sepra D punctum basis, a quo educta est perpendicularis, quod erat deinonstrandum.
COROLLA RIVM. EX his ita stabilitis sequitur quod si, ut altitudo oculi super planum ad altitudinem realem puncti alleuius seblimis, ita linea perpendicularis educta a puncto imaginis basis eius usque ad horizontalem , fiat ad aliam lineam quae inuenienda est, haec inuenta de sipra imaginem basis eius constituta, erit altitudo apparens sceno raphica eiusdem puncti sublimis in ὸiaphano. vel ex propossitione ecima octava, u ut tota distantiarum linea ad partem eius inter
113쪽
diaphanum & pedam , ita altitudo realis puncti sublimis ad aliam lineam ; haec similiter erit altitudo apparens imaginis ipsius in communi sectione diaphani de radij ad illud destinati supra imaginem
basiis eius , quia nimirum eadem utrobique ratio est i unde &absque aliarum linearum adminiculo recte potuit inueniri quarta proportionalis ad tres datas, & siet eiusmodi quaesita altitudo apparens definiri, vel per propositionem decimam septimain, seu lemma decimum quod praemissimus, vel etiam per instrumentum partium hoc
In diagrammate X. ex Tabula s. datis tribus lineis AD, ΑΒ, FE, proposirum sit quartam proportionalem inuenire , nimirum F G, sic ut quemadmodum se habet AD altitudo oculi, ad AB altitudinem realem puncti sublimis, ita fiat F E ad F G r videatur primum in instrumento ad lineam diuisionum aequalium quot eiusmodi partes contineat prima linea AD, supponamusqae hanc a centro ad numerum 33 peruenire, seu 33 eiusnodi partes continere : adhuius igitur numeri aperturam hinc inde transuerse staruatur secunda linea AB : deinde rursus videatur quot partes seu diuisiones in eadem linea instrumenti contineat tertia linea F E, cognitoque ii iam 41 continere, transuerse sumatur spatium inter numerum 43 &
3 hinc inde , habebitur quarta proportionalis requisita, vel alio
sumatur prima linea AD, statuaturque ad extrema puncta lineae partium aequalium in instrumento, quo manente sic immoto, Videamr ad quem numerum confruat longitudo secundae lineae AB, V. g. in instrumento quod diuitum est in partes aequales Loo. si ad extrema harum diuisionum puncta statuatur linea AD, reperiaturque AB congruere ad partes lxs, quo notato statue tertiam F E, ad extrema illarum puncta Loo, de sume spatium inter 126 & Ix6, numerum prius notatum; haec erit quarta proportionalis ; ideoque ex demonstratis superius tam in propositione 18, quam in hac vigesima prima, erit etiam alti luco inparens puncti sublimis requisita, quam in suo loco statues, & sic operando in aliis tabulam tuam
magna linearum confusione liberabis: sed haec sunt clariora quam ut opus sit diutius in iis immorari, siquidem & ad Theoriam & ad praxim scenographiae, illiusque demonstrationem nihil mihi videtur amplius desiderari. Suppositis igitur demonstrationibus quas in
praecedentibus prosecuti siumus, pro iis etiam scenographicis delineationibus quas modo sumus exhibituri, properamus ad exempla solidorum non iniucunda.
114쪽
In Lia tabida ' sectione uum, cinin inur Dium sit quod 'biectum Fanum tangar in pia linea, fenographice delineare.
SCiendum primo est solida omnia, quae ad prospectum in tabulis
accommodantur, quamuis subiectum planum in sola linea; immo in toto attingant puncto , ideoque nullam videantur habere icno graphiam seu planum Geometricum; necessarium tamen esse, si haec volumus adumbrare, & ad praescriptas artis regulas scenographice delineare, ienographiam illis suam tribuere, quam repetimus, si dato corporis siue solidi sit tu imaginamur ab omni s angulis eius solidis siue singulis miremis perpendiculares lineas ad subiectum planum demitti; connexa enim adinvicem plani puncta ad quae perpendic lares eiusmodi terminantur, polygonum aliquod siue rectilineum , siue curvilineum, siue mixtum pro corporis natura describent, quale videtur, exempli gratia, in diagrammate X. in Tabula sexta, ubi si cubus aliquis, cuius unum latus, ideoque etiam caetera, aequale sit Iineae B E, ita collocetur in plano, ut illud in hac sola contingat linea, atque ab omnibus illius extremis siue angulis solidis super planum eleuatis perpendiculares ad illud dc mittantur; hae cadent in AF CD ; si tamen cubum velimus ita orthogonaliter consistere, ut in neutram partem magis inclinet, statutoque in praedicta linea uno
ipsitus latere,plana siue superficies quae in illo coniunguntur ad planum horinontis inclinentur angulo recti dimidio seu graduum quadraginta- quinque : iungantur ergo rectis lineis AF CD, habebitur pro cubi huius icnographia rectangulum duabus rectis AF, CD lateri ipsius aequalibus, S: duabus aliis AC, FD diagonali unius faciei ipsius a qualibus comprehensum , supponimus, inquam, illum plano per- pcndiculariter insistere, ut hic expressimus, idemque de aliis solidis sequentibus imposterum intelligi volumus , sicut & sectionem scuhabulam horizontali plano erectam, ad faciliorem obiectorum de scriptionem, de ad vitandas dissicultates superfluas quae plus taedii 3uam utilitatis & commodi studiosiis possent afferre. Ad hunc mo-um caetera solid/ demissis in planum perpendicularibus ab omnibus
suis extremis icnographiam suam describunt: nos vero in sequentis bus propositionibus ipsorum omnium icnographiam, oriographiainque Geometrice inueniendi methodum a s lignabimus quam poterimus facillimam , ut nullo postea negotio omnium altitudinum scenographia reperiatur.
Sit igitur ad problematis huius solutionem imographiae praedicticubi, rectangulo videlicet ABCDEF; scenographia correspondcnsabed est, per primam huius inuenta : iam Ortographiae linea requiritur quae vatias an gulorum ipsius solidorum altitudines contineat; haec
115쪽
I Κ, dimidium at situm ipsius E singulis scimo
dum occurrant Ii, Ur propositio uia tauulae seu se utio , ideoque edu- les altitudini na-o tandunt vitrei us haec altitudo in- debent super pun-G,in ο,α ab ipsos ipsa erit altitudo iliter ω altitudines
perpendicularisqr, tui sierepertis alti-ibebunt, ausis vi- ipsum in sola con etiam adumbra irrus supp oneretur; andas esse duxi, uti lateta de facies ex iis, qualia suppo ii praxi delectantur, ite hosce scenogr ratim adumbrauitis IX.& XI. D-
j carta ahmia, vel tum' χΙubmit, is singuli ipsius at ab iis notis, ptouit, ducantur rectae abi delineatio, quam
116쪽
LIBER PRIMUS. 73 PROPOSITIO VIGESIMA TERTIA.
Tereiadri f.biedis plano perpendiculariter in entis, ita ut se per uno Iboram pilorum solidorum constitutum ipsum planum fio tangat in puncto, in tabula seu Iechone etiam ipsi plano perpendiculariter eresia, secenographι-
TEtraedrum, ex vigesima serta definitione undecimi Elem. est figura solida quatur triangulis aequalibus & aequilateris comprehensa . i. quae omnes inter se angulos & latera habeant aequalia, ideoque & ipsum Tetraedrum sex latera habet inter se aequalia, diduodecim angulos planos inter se aequales, e quibus quatuor formantur anguli solidi inter se aequales: quid autem sit angulus solidus peti potest, ex praeludio nostro Geometrico, ubi hanc illius definitionem probamus, qua dicitur ex Procli doctrina, corpus in uno puncto collectum, quod a superficiebus ad se inuicem inclinatis, vel ab una superficie ad seipsam inclinata continetur. Iam si in aliquo plano, super aliquo suo vertice seu angulo solido perpendiculariter statuatur Tetraedrum, atque a tribus aliis qui in una sunt superficie eidem plano aequidistante, perpendiculares ad ipsum demittantur, hae trianguli aequilateri, uni tetraedri superficiei aequalis angulos designabunt, qui rectis lineis coniuncti perfectam .iplius icnographiam exhibebunt, ut si in diagrammate XII Tab. 7. angulorum solidorum Tetraedri aliquis perpendiculariter statueretur in puncto D, atque a caeteris tribus demittcrentur perpendiculares in subiectum planum ; cadercnt hae ad puncta ABC, quae si tangantur inuicem lineis rectis, habebitur pro solidi huius icnographia triangulum A BC D, quo quidem, per primam huius, contracto & ad prospectum delineato in abed, orto graphia seu altitudinis linea inuenietur hoc modo. Sumpta primum circino communi a centro dcscripti trianguli ad aliquem ipsius angulum longitudo lineae D A, D B vel D C, transferatur in 1 H, super vitrei-oastra, atque ab uno illius extremo H, er α. praelud. Geometrici, excitetur perpendicularis indefinita ΗΚ, impia deinde unius trianguli lateris magnitudine v. g. ΑΒ, circino manente sic immoto , statuatur alter illius pes ad punctum I; alter Nero extensus ad indefinitam H Κ, ipsam secabit in puncto Κ, determinabitque solidi sic constituti altitudinem siue ortographiae lili eam H Κ ; cuius demonstratio per se nota est, quamuis simplex conis structio, acilior ea qua tradit G. Vbaldus ad propos. is lib. 4 perspecti-uae, & ab innumeris lineis N circulis expedita quibus suam inuoluit D. Barbarus L .cap.partis tertiae praxis Persipectivae;huius inquam demonstratio satis est manifesta; supposito cnimqnod plano perpendiculatu ter insistat pyramis aequilatera seu Tetraedrum in puncto D, & ab uno
117쪽
lat in pun' adet in A,i. alum, cuius atherus d
m quod fit ais quae a late-:quitur datis nam quoque .c lΚ, dc re-n erit aequale
ctremis Hian, ut iam diducamus adti potest. V. PL, KL; cor
Gaurret in pu iteram occul- transferenda aphica angm d inuenienda ibeo, iam ipsius adpum iungantur re
m punctoriam abiecto plano hia, ut patetationem per-Tab. I dis regularibusione, quamuis: rtus Durems, ior anonymus
quam plurima& irregularium M, eximia', thodum aut gratia, ad T Ortographiam
118쪽
determinandam,nec minus aut liorcs supranominati, qui quidem Omnes communi consensu, pro altitudine huius solidi perpendiculariter in subiecto plano constituti lineam assignant aequalem C M, id est, longitudinem lineae ab uno icnographiae ABC, angulo ad oppositum latus perpendicularis, quorum satis euidens & manifestus est error, si quidem hoc modo solam laterum inclinationem ad sub tectum planum respiciunt, nihil aduertentes de ipsis planis seu superficiebus solidi, quarum etiam ad idem planum inclinatio negligenda non est.
Elaearumω-ndi tiriter insistens sebiecto plano fur mo fνω- aum Istrum Iolaorum, ita ut illud in solo contingat punso, ad prospectum accommodare, seu ipsius scenographum reperire. O Ctaedrum, ex Euclide ir definitione. lib. I i. est figura solida
octo triangulis aequalibus & aequilateris comprehensa , undere duodecim habet latera aequalia, angulos planos viginti quatuor, qui sex solidos constituunt , si autem statuatur hoc solidum in alia quo plano, ita ut linea oppositos angulos solidos connectens eidem plano sit perpendicularis, atque ab lilius quatuor angulis solidis, quorum apices in eodem sunt plano hori Σonti parallelo, quod extremos siue oppositos angulos conne stens linea utrique sit ad rectos; si inquam ab iis angulis perpendiculares demittantur ad sebiectum planum ; hae quadratum essicient pro icnographia solidi requisitit. Sit, exempli causa, in diagrammate XIlII. Tab. 7. dadum punctum Ε, in quo perpendiculariter intelligatur consistere octae drum, cuius latera sunt aequalia lineae D A ; perpendiculares ab eleuatis amgulis demissae quadratum AB C D ,em cient in subiecto plano, cuius apparens figura inuenietur, per I. huius, in abeάe, ita ut sola nobis oriographiae linea maneat assignanda et hanc autem conuenienter dNuisam pro diuersa angulorum solidorum altitudine habebimus, si ad vitrei-basim orthogonaliter statuatur linea F I H , aequalis AEC, Iod demonstrat satis, exsuperius dictis, triangulum i sceles FGH, imidium quadrati icnographiae A B C D, extremos enim, siuet oppositos huius solidi regularis angulos connectetates lineae silua omnes inter se aequales ; ergo F H superiorem cum inferiori connectens aequalis est AC coniungenti anteriorem cum posteriore ; ergo FH
altitudo est solidi exponenda in orto graphia: smiliter quiae similes sunt & aequales omnes ipsius angulis idi , cessem est, ve ab simi .libus & aequalibus similiterque inclinatis planis an Phaesormentur unde & linearum quibus dicti anguli plani continentur, S: quae e solidi definitione aequatis intex se sunt, eademi quoque inclinati esse debet ; sed Α D tangi citata est lateris unius, eum ilia ad linea
119쪽
per oppositos angulos inclinatione ; ergo E F, & GH, aequales, &similiter positae altitudinem solidoruni angulorum dabunt, quorum apices sunt in eodem plano horizonti parallelo, nimirumst tu, quae etiam signabitur linea F H, si per G , parallela ducatur G I. Constituta ergo ipsa oriographiae linea ad inueniendas angulorum huius solidi altitudines, harum scala describenda est, ad eum quem superius praescripsimus modum, duistis videlicet a punctis FI H, aci punctum in horizontali Κ, rectis lincis occultis, ad quam praedictae altitudines inuenientur, ut in praecedentibus. Primum per puncta bd, parallela ducatur, usque ad lineam ΗΚ, cui occurret in puncto l, a quo educta perpendicularis usque ad aliam occultam FK, erit in , altitudo quaesita, quae ad punctum e , perpendiculariter constituta erit e si, altitudo solidi integra ; sed & in eadem perpendiculari sumi poterit altitudo Ini, pro altitudine diminuta angulorum solidorum .e, & i; statuetur ergo haec altitudo Im, ad puncta ι & d, perpendicularis I haud secus reperietur altitudo anguli Lmediante nimirum paralicia co, & perpendiculari op, cuius altitudo perpendiculariter constituta in e , erit ch, anguli huius altitudo scenographica. Quantum ad altitudinem anguli anterioris Is statuenda est af, aequalis altitudini naturali H I, nullo modo enim diminuitur, cum in ipsa vitrei- basi consistat, quemadmodum patet ex parallelis a H, I f. His completis iungantur inuenta altitudinum puncta,
per rectas lineas .i, te,&ab iisdem punctis et i, rectae ducantur ad f 1, hae omnes apparentem in sectione Octaiidri figuram efformabunt, ut solitarie adumbratum exhibet diagramma X U. Quod si supponatur diaphanum , eiusque pars etiam posterior Velit oculis subiici, a praedictis Punctis N i, rectae deducantur ad punctum b, quales nos expressimus solis punctis descriptas, ut ab anterioribus & apparentibus distinguerentur : Octaedrum igitur per pendiculariter subiecto insistens plano, super uno suorum angulorum solidorum , ita ut illud in ibio contingat puncto, adum a- tum est & scenographice delineatum, quod erat faciendum.
Cubi, cuius diagonais, seu extremos er oppositos angulis solidos connectens linea, subiecto sirptim perpendicularis, 'parentem in tabula
TAm est notus in Geometria cubus, immo apud omnes, quam sphaera ipsa seu globus ; unde mihi videtur particularis illius descriptio non desiderari; sciunt enim omnes figuram esse solidam, .
quadratis sex aequalibus contentam, cui latera sunt duodecim, anguli plani recti omnes viginti quatuor, a quibus octo solidi constituuntur : id solum est aauertendum lineam illam vocari cubi diago
120쪽
LIBER PRIMUS. 7snalem, quae per corporis acta soliditatem ab angulo uno iblido transit ad oppositum, qualis est, in cubis diagrammate XVII. adumbratis , linea vitaque punctitata ou, ou. Iam si hoc solidum ita conitituatur in plano, ut ipsiui diagonali eidcira plano orthogonaliter insistente, illud in solo cubus contina sat puncto, atque ab illius extremis apicibus siue angulis solidis, ad subiectum planum perpendiculares d itrantur ; describent hae per designata punista v. g. H I K LMN, hexagonum resulare, siuε triangula duo aequilatera & aequiangula simul commisia, quorum latcra diametralibus quadratorum cubi erunt aequalia, ut facile pOteit agnosci in propolito diagrammate, ubi in o , praedicta cubi dia sonalis perpendiculatitet insistit; verum quia rum in hoc corpore sic posito, tum in sequentibus, quae delineaturi sumus ad hunc modum &adsilium huic similem, no leuis est diffluitas sola imaginatione attingere, multo minus horum icnographiam qualis esse debet, qukles etiam Jc quantae solidorum stlagulorum super planum altitudines certo determinare; unde de ii qui Geometricis adhue in elementis versantur facile possent dubitare, in qua ad datum lidi latus prθ- portione icnographiae ipsorum nec non de ortographiae lineae velitant describendae : Quia etiam raro contingit praesentia haberi ,& in osse reali eiusmodi solida , idcirco ipsorum icnographiae, oriographiae, nec non scenographiae describendae modum Geometit cum damus, ut dato cuiuscunque solidi regularis latere, caetera describantur. Sit igitur ad problematis propositi solutionem latus cubi dati, in diagrammate XVI. linea ΑΒ , huic ad normam tunstatut eidein aequalis AC ; quia vero AB dc AC, aequales sunt lateribus quadra torum, quae cubum constituunt, sibique inuicem ad tectos commitatuntur in A , erit ipsorum quadratorum dimetiens ducta linea C B, quae si statuatur Be ipsa ad rectos in A D, atque a puncin D ducaeut linea D B ; quia omnia cubi plana sibi inuicem ad rectos si inta haee erit eubi propositi diagonalis, ut considetanti patebit, Ad ideo in tegra eius altitudo super planum, quae diuisa in panes aequales tres, diuersas quoque omni uin solidorum angulorum, altitudines, aequaliter ab inuleem in hoc stu distentes exhibebit r statuatur ergo ad vitrei- basim oriographiae linea PQ RS, in diagrammate XUII rqualis lineae 1, 3 figulae X V L quam ad usum applicabimus, cum ex ei icnographiam construxerimus hoc modo. Sumatur in diagramiamate XV l. magnitudo lineae BC, communi circino, itansferaturque ad lenographiae planum sub vitrei basi in MΚ, ad quam, pet . praeludij nos ri Geometrici, constituatur itiangulum aquilate rum H Κ M, quod de alteri simili triangulo sic aptetui, ut apicibus, unius per alterius latera productis aequaliter in tet se distent Orsines
praedicti apiere HILL MN, ut in figura potest in sphi, quae petitam exhib4t ienographiam tubi ad cum quem diximus modum in plano constituti.