장음표시 사용
91쪽
modum aliquem generalem assignare, quo scenographice possis delineare non solum circulos ex quolibet puncto supposito, sed etiam
ellipses seu ut vulgo 'dicunt figuras ouatas, si atque omnes figuras planas curuis lineis comprehensas, quae possunt e variis coni secti nibus educi, quae omnes per traditam methodum, Inueniendo se licet plura circumferentiae illarum puncta, eaque iungendo curuis lineis facile erit ad prospectum accommodate, cuius demonstratiosa
tis patet ex superioribus circa figuras planas rectilineas, siquidem in nullo alio differunt , nisi quod illarum puncta scenographice inuenta rectis, harum vero curuis lineis coniunguntur. Verum etsi ut plurimum figura circulum in tabula repraesentans
sit Ellipsis seu figura ouata, ut notum cst iis qui saepius versantur in praxi nihilo minus per quintam primi Conicorum Apolloni,
potest oc contrarium euenire, quando nimirum Conus scalenus secatur sectione sub contraria, tunc enim fit, ut figura circulum in tabula repraesentans sit quoque ipsa circulus perfectus; unde duo se, quentia eruunmr problemata non contemnenda Be curiosa satis, quantum attinet ad planorum scenographiam. Primum est: dato
cireulo in stibiecto plano, data similiter visus distantia, tabulaque seu sectione non solum perpendicularitre insistente ipsi plano, verum etiam lineae a puncto distantiae per centrum circuli ductae orthogonaliter erecta, altitudinem oculi supta planum inuenire, secundum quam delineata dati circuli proiectura sit ipsa quoque circulus perfectus. Alterum, dato circulo in subiecto plano, crata similiter oculi altitudine, pun ctum distantiae inuenire, ita ut apparens figura, siue ipsius circuli scenographia deseripta in sectione ipsi plano M lineat per centrum circuli ductae orthogonaliter erecta,
ipsa quoque sit circulus perfectus.
V triusque problematis tum solutionem aperiemus, tum demonstrationem . sed quia ad primum necessarium vi duabus datis rectis ibneis mediam proportionalem inuenire: ad secundum vero, lineam rectam inuenire quae cum alia recta data eamdem habeat prop-tionem ad aliquam tertiam rectam similiter datam, quam haec ad inuentam; i kirco de his duo lemmata proponemus. quamquam& aiablute possint omitti . siqudem in decima quinta α decima λ- ea propositi inibus includuntur, & semiliarius explicantur ; sed ne plurP supponantur in demonstrationibus quam quae ex Euclideis Elementis patent, iis praemittemus & alia quaedam , e quibus harum propositionum demonstiationes pendent, sit igitur.
92쪽
nea curua, circiai circumferentia erit.
SIt curua quaedam linea AF DB, cui subtendatur recta A B; mantur autem in ea duo quaevis puncta FD, a quibus ad ipsam A V perpendiculares ducantur F G,D E,quaequidem ita se habeant, ut quadratum F G aequale sit rectangulo A G 8, partibus nimirum basis ah ipsa sectae contento, quadratum vero D E aequale rectangulo A E B; dico lineam A FD B circuli circumferentiam esse; secetur enim AB recta bifariam in C, & iungantur rectis lineis FC, DC ι inia igitur AB recta secatur in partes aequales in C, & in partes inaequdea in G, per 3 secundi rectangulum A G B una cum quadrato G C aecinale erit quadrato A C ; ledrectangulum A GBpositum est aequale Praarato F G, quare F G quadratum una cum ip1. G Caequale est quadrato A Gaequalia autem sunt per primi quadrata F G, GC quadrato F C, cum angulus FG C sit re ctus, ex hypothesi, ergo quadratum FC aequale quadrato AC, per
primam communem notionem; ergo linea A C lineae F Q Similitet possumus demonstrare de linea CD de quacunque alia x puncto Cducta ad circumferentiam , ergo per is dennit. primi A F D circuli ci cumferentia erit, quod oportuit demonstrarL
Si comu secetur plano basiparaleb, tali sectione cireulam exhibebit. Conus ex Euclid. definit. I 8. undecimi Elem. est comprehensa
figura,' do orthogoni j trianguli manente uno latere eorum quae circa rectum angulum sunt, triangulum conuertitur quoad rursiis in eumdem restituatur locum, a quo moueri caepit, qualis est
93쪽
in subiecto diagrammate figura A B D C L, quae nimirum generatur ex circumuolutioire trianguli orthogoni j A EC, circa latus immotum
A E tanquam axem , donec reuertatur unde moueri caeperat: rectum autem vocat qui axem habet ad rectos angulos ipsi basi, ut AE perpendicularis est basi BD CL; scalenum vero qui non ad rectos angulos ipsi basi axem habet; huiusmodi est in diagrammate sequentis propositionis conus A B C L , in quo si a vertice B ad centrum basis I duceretur axis BI, oblique insisteret basi ALC, his positis.' Sit conus ABC qui secetur plano FG IK parallelo basi BD CL, di eo sectionem FG IK circulum esse; ducatur enim a vertice A ad E eentrum basis linea recta sue axis coni A H E,qui & occurret plano secanti v. g. in H, N per AE, planum duratur secans conum a vertice ad basim;
manifestum est sectionem hanc triangulum esse ABC, sed de rectam csse lineam F HI, per 3. Vn decimi, quia nimirum puncta F H i sunt in plano secante FG IK, nec non in plano ABC, quorum communis se. Ehio est linea recta F HI, quae etiam parallela est ineae B E C, per is undecimi, quia
duo plana F G I, B D C parallela secantur plano, A B C l unde similia sent de aequi angula trianguli AHI, AEB, nec non AHI, AEC quam ergo ratiou - tabebit AH ad A E eamde habebit H Fad EB,&HI ad EC per sexti; sed aequales sint EB &EC, ex definitione rue primi Eucl. ergo aequales quoque H F & H Ir similiter de aliud planum ducatur per A E ad stipernetem conicam de sit AED G , iun-νnturque rectis lineis D E, G H; parallelae sint exis undecimi G H, D E in eriangulo A D E, & ideo per sexti quam proportionem habet A H ad A E eamdem habet G H ad D E sed ut se habet A H ad ΑΕ, sic est H I ad EG.vebis Pad EB ; ergo vi H I ad EC vel veH F ad EB, ita GH ad DE; sed est D E aequalis EB M E C, ut pote
omnes semidiametri circuli 3 DCL, ergo etiam erit G H aequalis HIM H F, quod etiam de qualibet alia linea in plano F GI K a centro H ad superficiem eoni ducta similiter demonstrari potest ; unde patet circulum esse sectionem EGI K, ex definitione is primi Elem. quod demonstrari oportebat.
94쪽
LIBER PRIMUS.pROPOSITIO DUODECIMA.
Si conus scalemus ceturpiam per axem ad rems angulos i basi, seceruν -- tem subcontrarie alieno piam ad triangulum per axem recto, Iacta in Aperficie conisectis, circuli circumferentia erit. Notandum primo est subcontrariam coni sectionem dici, seu conus secetur duobus planis ad idem per axem triangulum rectis , & ab ipso, ad verticem abscindentibus bina triangula similia, communem quidem habentia verticalem angulum, sed bases non parallelas, propter Pod dicuntur subcontrarie posita ; siue conus pernsem iam sectus plano ad basim recto,rursus secetur plano ad trian sulum per axem recto & ab ipso, ad verticem abscindente triangulum simile, sed subcontrarie positum, quibus praenotatis. Sit conus scalenus B AC, cuius vertex B punctum, basis autem circulus ALC, & secetur plano ad circulum ALC recto, & sit haec sectio triat lum ABC; secetur autem & altero plano ad rectos angulos ipsi A B C, quod abscindat a vertice, nimirum ex parte B, triangulum BDC, simile quidem triangulo BAC, sed sebcontrarie positum, habens scilicet angulum verticalem B communem cum eo,
sed basim DC, basi AC non parallelam; faciat vero planum hoc sectionem in sipetficie lineam D H Cidico ipsam D H C peripheriam esse eirculi; sumantur enim in lineis D H C, A L C puncta quaepiam H L , a quibus ducantur perpendi ulares ad planum, in quo est tria gulam Α BC, cadent illae in communes planorum semoncs ρο- G iij Disilired by Corale
95쪽
vu decimi ι cadant v. g. vi LI, H G , aequi distans erit L I ipsi H G, quod eidem plano ABC sint ad rectos per 6 undeclini: ducatur autem per G ipsi A C aequi distans E G F ; erit ergo planum quod per E G H transit coni basi parallelum per iue eiusdem; ergo sectio E H Feirculi circumferentia erit, ex lemmate sexto praecedente i huius autem circuli diameter erit EF, de quia per is sexti media proportionalis est A G inter E G G F, aequale est rectangulum E G F,quadrato H G, per i eiusdem Elem. at cum aequi distet E F ipsi AC, aequalis est angulus B E F angulo B Α C per is primi, & ponitur angulus BCD aequalis angulo B AC; ergo & erit BCD angulus aequalis angulo BEF; sunt autem & qui ad G anguli aequales, quod sint adverticem per is primi; ergo & reliquus angulus reliquo aequalis angulo per eiusam, nimirum angulus BD G angulo G F C ; quare totum triangulum ED G toti triangulo CFG simile erit,& proportionalia eorum latera quae circum aequales angulos sint,per sexti.&: vi F G ad G C, sic D G ad G E; aequale est igitur rectangulum FG E rectangulo D G C per is eiusdem; sed demonstratum est rectangulum F G E aequale quadrato H G ; ergo de D G C rectangulam eidem aequale erit per primam communem notionem. Idem
quoque & eodem modo demonstrare possumus de quacunque alia serpendiculari ducta a linea curua D H C, ad rectam D C, qua ratum scilicet cuiuslibet esse aequale rectangulo quod partibus subtensae basis continetur ; igitur per quintum lemma praecedens talis sectio circulus est.
LEMMA VIII. Duabus datis rems lineis mediam preportionadem inuemre. Sint in diagrammate VI in Tab. duae datae rectae lineae O N, N P, quibus mediam proportionalem necesse sit inuenirer primum simul iungantur in puncto N, ita ut unicam faciant rectam lineam O P, quae deinde bifariam diuidatur in partes aequales in puncto a , ex quo ut centro, interuallo vero a o seu a P, describatur semicirculus O Q P, quo facto orthogonaliter excitetur recta ex puncto N, ubi coniunguntur duae datae iactae lineae haec semicirculi Iheriam secabit in puncto Q. , eritque media proportionalis re . taN Q. , per i 3 sexti Elem. Potest & iclem fieri per instriamentum paritum seu circinum proportionum , ut facile intelligent quicunque ipsius vitim nouerint
nae ratione. Aperiatur primo instrumentum ad gulos rectos; transferatur deinde quaelibet datarum linearum in inero eius crure Imperiis m, quae diuisa in partes aequales aiuisioni rectarum inseruit, Disiligod by Corali
96쪽
noteturque quot illius partes unaquaeque praedictarum linearum eorutineat, Ee simul additis omnibus illarum partibus, totius summae medietas circino communi sumatur in una recta linea instrumenti partium ; quo facto, sicque manente aperto circino communi, statuatur unus illius pes in altero crure initrumenti partium, ad punctum differentiae quae inter praedictam medietatem & minoris lineae quantitatem intercedit; ubi pes alter circini communis incidet super alterum crus circini proportionum, signabit quantitatem mediae proportionalis requisitae: Exemplo res net illustrior; inuenienda sit v. g. media proportionalis inter duas datas lineas O N, N P ; aperto primum ad rectos angulos instrumento partium,applicentur duaed rae rectae lineae in altero eius crure ad lineam diuisionum aequalium; inuentoque lineam O N ad numerum sue terminari, N P vero ad 181, additisque simul his numeris exurget summa 18ci, cuius medietas I o circino communi accipietur in linea aequalium diuisionum, positoque altero crure circini communis se aperti in instrumento partium, ad differentiam quae est inter praedictam medietatem I o,& minoris lineae O N sue partium quantitatem, huius autem differentiae numerus erit 41; posito igitur circini pede ad numerum s. alter incidet in alia parte instrumenti p*rtium ad numerum I 31 et,
quae erit quantitas lineae N mediae proportionalis requisitae. Idem praestabit forte commodius & maiori compendio linea planorum Geometrica hoc modo: datis iisdem duabus rectis lineis O N. N P, inter quas media proportionalis inuenienda est ι sciatur Wimum ex linea partium aequalium quot praedictarum partium quaelibet illarum contindit f. supponimus ex praecedentibus lineam N Pese i8s partium aequalium, quarum linea ON sue solummodo continet, quo cognito transuerse ponenda est longitudo lineae N P is spartium, ad aperturan plani Isue, in linea planorum Geometricati deinde capiendum ex eadem linea interuallum si & ys, scilicet plani nonagesimi quinti, id erit linea N Q media proportionalis requisita, quae scilicet erit partium I 31 : qualium N P ipue, O N vero νι
habere supponuntur : verum, quia ut plurimum in eiusnodi instr mentis haec linea Geometrica oeba solummodo plana continet, siue ultra numerum 64 non excurrit, qui quidem numerus minor est multitudine partium, quibus constant lineae propositae, cum in integris lineis non possit operatio perfici, per illarum partes ,eamdem tamen cum illis proportionem inter se habentes, commode perficietur; hic sumemus tertiam utriusque lineae partem, partes nimirum 6r
pro linea N P quae est partium 183, dc partes pro linea O N partium 93, statuemusilue longitudinem huius tertiae partis 6 I, in linea planorum Geometrita, ad interuallum si, ει. plani videlicet sexa- sesimi primi, immotoque instrumento, sumemus circino communi Histantiam , 31, plani scili et tricesimi secundi, haec erit tertia Pars mediae proponaonata requisitae, quamsi metiaris in eadem scala
97쪽
in qua alias mensus es, inuenies habere partes .
Lineam reaam inuenire, p- una cim recta pulpium linea data eamdem habeat proponionem ad alteram lineam rectam similiter daram, suum haec ad inuentam.
DAtis duabus rectis lineis, ut in diagrammate VII. Tab. 4. Iineis N MN R, inuenienda sit alia linea quae uni cum linea NR, eam habeat ad lineam N , proportionem, quam N Q, ad inuentam , silue alias lineae N R, adiungenda sit portio ea lege, ut tota N P, ad aliam puta N , ita se habeat, quemadmodum haec scilicet N Q , ad adiunctam R Ρ , vel N O ; ita procedendum est; datae duae rectae lineae Nin, N R, ad normam committantur in puta cto N, sectaque N R bifariam in a, centro a , interuallo vero a , semicirculus V QP decircinetur, qui productam utrinque N R s ectin Ο & P, dabitque N O vel R P pro linea quaesita seu pollulata portione quae iuncta lineae N R, ste se habebit tota N P ad N quemadmodum N ad N O, seu R P, quod erat faciendum. Potest huius demonstratio peti ex is sexti Elem. positis enim per Is d finitionem primi Elem. aequalibus inter se a o M a P, sectaque N Rbifariam in a, per constructionem si ab aequalibus a O & a P, aequales subducantur a N & a R, aequales relinquenmr NO dc RP. per
3 communem notionem ; at per is sexti Elem. ex premisso lemmate
vi P N .i. N R una cum R P ὶ ad N Q, ita se habet N Q ad N O,seu R P ; igitur factum est quod quaerebatur. PROPOSITIO DECIMA QUINTA.
Dato circulo in fidiecto plano, data Dibter vises distantia, ta bulaquestu'ctione non pilam it,si plano perpendici lariter insistente, verum etiam Meae a puncto dissantia per centrum circuli dum orthogonaliter erecta, oculi alii tudinem stra planum inuenire, 'undum quam tilineatu dati circuli 'nographica proiectura, ipsa quoque sit circidus persectus. It in diagrammate VI. Tab. circulus datus/B C D E F G H. c cuius diameter sit N R, dii tantia oculi a tabula seu pariete similiter data sit O N, vel R P : inueniatur per octauum lemma praecedens media proportionalis inter O N & N P .i. inter distantiam oculi O N, & diametrum circuli N R cum distantia R P ; haec erit N Q per is sexti, α ipsa erit altitudo oculi, serandum quam in tabula Dissilirco by Corale
98쪽
bula non solum ipsi plano in quo est circulus, verum etiam lineae a
puncto dillantiae per centrum circuli, at aeterpendiculariter erecta, ipsius circuli A BCD E 6 c. scenographica proIectura erit circulus perfectus, vel ad faciliorem liuius problematis declarationem &
Sit circuli dati ABCDEFGH diameter N R, ad quam ex utraque parte statuatur in directum De in eadem recta linea dillantiastini liter data, ut in diagrammatc propositioi NO, R P c diuidatur deinde bifariam in partes aequalcs tota linea U P in puncto a, ex quo tanquam centro, interuallo a O vel a P, describatur semicirculuso QP, de e puncto N excitetur perpendicularis N QIsque ad circumferentiam semicirculi; haec erit oculi altitudo requisita, ad quam si ducatur horizontalis linea Q M lineae- terrae O P parallela, di in ipsa punctum principale ita tuatur, ubi producta diameter L A vi irci basi perpendicularis secat horizontalem, nimirum in L, sumptaque distantia RP , transferatur ab L in M, iam praedicti circulli ABCDEFGH scenographia proiectura ad ciusmodi positionem
accommodata 6c delincata, ut nona huius docuimus, ipsa quoque erit circulus perfectus, ut sensibiliter demonstratur in praxi, ubi dictis de perpendicularibus dc arcubus a qualibet parte diuisi circllli, nec non radialibus, ad punctum primarium, diametralibusque ad
punctum distantiae, ducta circuli ab c delab sterio graphica peripheria per omnes harum intersectiones transire conspicitur : verum ut de idem pateat per intellectualem de Geometricam demonitiationem, placuit sic procedere in subiecto diagrammate.
Inter diametrum circuli A C de C M, hoc est M N, de ipsam MN
dillantiam oculi in eadem linea A N expositam, inueniatur media proportionalis M B per i 3. sexti; deinde intelligatur conus scalenus ABC, cuius basis sit circulus ALC, huius vcro diameter AC, vertex coni punctum B ; a puncto C eleuetur recta perpendicularis CDqup sit sectio communis tabulae seu plani scenographiae de trianguli per axem recti ad basim coni ; dico illam perpendicularem C D conum scalenum ABC subcontrarie secare, seu abscindere ad partes verticis coni, triangulum simile ei quod est pet axem in plano ad b sim recto, ideoque sectionem D H C circulum esse : vi enim se ha
que triangulo est communis; ergo pG 6 sexta triangulum triangulo simile erit; ergo angulus M CB angulo ΑΒ M . squalis erit; crgo
CB M, angulus aequalis angulo B A M per sexti; at per x xa primi angulus DC B aequalis est angulo CBM ; ergo de angulus DC Baequalis est angulo B A C ; communis aut est angulus ABC; ergo angulus CD B aequalis restat angulo A C B ; totum igitur, triangulum D C B, toti triangulo A C B simile est, de est lubcontrarie
100쪽
id essicias, peculiare tibi de illa silc inuenienda lemma praemittemus, poli sequentem propositionem.
Dum circulo in subiecto plano, data similuer oculi altitudine, punctum distantiae inu re, ιta ut apparem figura me Esius circuli sienographia indaras mone siubietio ptinodi linea a puncto distantia per centrum circali δε- fu erecta, sit ipsa quoque circulus perfectus. SIt iii diagrammate V II. in Tabula 4 circuli dati diameter N R, oculi altitudo similita data N per nonum lemma praecedens inueniatur linea quae iuncia lineae N R eamdem habeat proportionem ad N a, quam habebit N Q. ad inuentam , scilicet R P : haec erit dillantia oculi requisita, ex qua circuli ABC D E, dec. scenographica proiectitra abcdes, &c. in data sectione iubiecto plano, &lineae ab ipso dii tantiae puncto per centrum circuli ductae erecta ipsa
quoque erit circulus perfectus , vel etiam facilius & magis accommodate ad praXIIN. Sit in VI I. diagrammate circulus datus A BCDE, &c. altitudo
oculi similiter data NQ, distantiam inucnire oportet, ad quam delineata ipsius circuli icenographia sit ipsa quo que circulus perfectus, quod ut fiat committantur primo sibi inuicem ad rectos circuli dati diameter N R, nec non oculi altitudo N in puncto N ; diuidatur deinde ipsa diameter N R in duas partes aequales in a, ex quo ut centro, interuallo a d describatur circulus O QP, qui quidem lineam N R utrinque prolongatam indefinite secans in puncto O &P, dabit No seu RP pro distantia requisita, quae si statuatur in linea hori Eontali ab L in M, & ex praescriptis regulis procedat operatio, rosa circuli A B C D, &c. scenographica proiectura erit circu- Ius perfectus: potest autem id paucis demonstrari hoc modo. Sit enim datus circulusin B C D E F, &c. cuius diameter N R, hoc est A E, dataque sit oculi altitudo N Q, sectio vero erecta ut supponitur : inuenta est linea R P, quae iuncta cum N R eamdem habet
proportionem ad N , quam habet N , ad inuentam RP ; ergo N media proportionalis est inter N P & N O, siue R P ; ergo
ex prius demonitratis faciet conum subcontrarie secari, ergo dc ex tali sectione habebis circulum, per praecedens lemma septimum, quoa
, X dictis euidens est tam in hoc , quam in praecedenti proble- .mate, inuenta oculi altitudine seu distantia oculi requisita, ad