장음표시 사용
121쪽
parti uin, sculi ect statuendoibbtensamido subliniatn
punctum id est apparentis& a puncto cc, collocata in o. o plano perpen- angulorum ri,ndicularia a b crit ιl,nr, alti guli tu per pun- nullamque ideo nain V, altitudi titudo solidoruin, & eleuata per
pzrstasta expostilineis puncta in quo tria cubiae in eo solidi situis designauimus. mus, quo possint
is Lenograptatam, is libere pendereziupra primum cu-hiae linea videtur
vitrei basi eleuata, tioncm, S in cae
linea Oliquo suprati cubi exemplo ap
122쪽
linea est educta, ducendam esse ad punctuna in horizontali occul tam lineam, v. g. i puncto P, in Z ; haec erit linea P Z, qu e parallelarum & perpendicularium , quibus scenographicae altitudines inucniuntur, directioni inseruiet, ut in exemplo propositio, ad iuueniendam diagonalis secundi cubi altitudinem, ducta ab' O sceno graphiae puncto parallela, Occurret lineae P Z, in eo, a quo educta perpendicularis usque ad lineam Y Z, inuenietur in secunda altitudinum scala, pro altitudine scenographica diagonalis superioris cubi linea si li, & in proprio situ ou, ut satis indicant parallelae o, IID: similiter anguli solidi r, superioris cubi inuenienda sit altitudσscenographica, quia scenographiae puncto n, insistit, ab eo paralle. la ducatur naa; a puncto a a, perpendicularis educta & vsque ad lineam V Z, prolungata determinabit ad punctum ii, altitudinem requisitam , quae in proprio situ locata erit nr, eleuatio ansuli solidi
requisita. Eadem ratione poterunt omnes caeterorum angulorum solidorum altitudines inueniri; inuentarum termini rectis lineis coniungentur ut iam diximus in primo, dc satis exhibent amborum diagrammata iisdem signata caracteribus, quorum etiam porsectam adumbrationem figurae X VIII. & XI X. tibi repraesentant.
ERroneam circa hoc problema constructionem vidi a nonnullis qui perspectivae practicae operam dant usurpari, qui quidem, siue expeditius hac via operari se praesumant, siue alia id ratione consequi non queanr,expressam in tabula s. figura X X. methodum adhibent, quam hic proponere simul & reprobare non inutile prorsus arbitratus sum, quia effectum scenographiae legibus alioqui non dissonum, sed a G cometricis tantum huius solidi mensuris alienum
producendo, facilius rerum Geometricarum tyrones in errorem inducerct, ut pro cubo parallelepipedum oblongum dclinearent. Primo igitur cubum scenographice delineant in una basium suarum consistentem, cuius quad ratum duplum sit quadrati illius cubi, quem eo quo proposuimus modo adumbrare desiderant, ut scilicet subiecto plano diagonalis illius perpendiculariter insistat. Sit igitur cubus maior ABCDEHGF; minor vero IKLMNO PQ binas huius maioris cubi bases in nouem aequales partes diuidunt, scilicet quodlibet earum l4tus in tres partes , ut per has diuisiones ductae parallelae mutuis intersectionibus nouem quadrata minoraessiciant, ut videtur in quadratis G BCF; H ADE: duas autem alias, anteriorem scilicet A B C D, & posteriorem E F G H, in tria secuu dum altitudinem spatia aequalia dispescunt ductis etiam per latitudi nis medium perpendicularibus , quarum terminos in superiori A BGH, & inferiori CD EF coniungentes, cubum totum in duas partes aequales diuisum habent, &, ut media harum basium superioris scilicet
123쪽
& inferioris puncta IQ, obtineant, in his etiam HB, E C, diagonales exprimunt. Quibus omnibus ad scenographiae leges ita dispositis, alterum ipsi cubum inscribunt hoc modo, ut solidorum angulorum infimus, in quo debet solidum consistere in puncto Q, inferioris ina toris cubi Dasis medio constituatur, oppositus vero ipsi, punctum 1, superioris praedunt maioris cubi faciei medium contingat, & bina eius latera opposita Κ L, N G, ad oppositas cubi cui inscribitur facies applicentur ; caetera denique, Ut in praedicto diagrammate delineata exhibentum, vhi & naanifestius satis error cognoscitur, in eo
praecipue quod quadrati inscripti cubi diagonalcm N L, ipsius cubidiagonali aequalcm eficiunt, quod tamen est absolute erroneum ex dictis superius, 3c patet ex constructione figurae XVI. in Tabula praecedenti, ubi videtur cubi diagonalis B D, quadrati diagonalem BC, vel AD, excedere: Quod autem in praesenti constructione erronea quadrati diagonalem, cubi diagonali aequalem faciant patet, ex eo quod utramque ad duo plana parallela aequaliter ab inuicem dissita perpendicularim constituant ; cubi enim diagonalem I Q, perpendicularem utrique basi G B C F , Α D E H esse necesse est.
Sunt & alii in hac constructione errores multi ex notato conse
HIc ego monendos censercm ά-suam: m M siue Geometricis et mentis leuiter imbutos, qui tamen perspectivae leges non omnino nesciunt, ne delineare & scenographice adumbrare presumant ea quorum veras proportioncs & reales mcnsuras ignorant. Quemadmodum enim ad delineandam in prospectu ordinis Corinthij aut alterius cuiuscunque columnam, necessarium est stylobatarum & basium latitud1nes , coronicum , tororum , cingulorum, cauliculorum, foliorum, spirarum seu volutarum ecphoras sue proiecturas, nec minus harum omnium partium altitudines
huic esse notas , qui illius imographiam & Orto graphiam primo disponere constituet; sic ad exhibendam omnis generis solidorum regularium & irregularium scenographiam, determinato eorum si-ru & positione ad planum, explorandae sunt partium omnium altitudines , & ad praedictuin planum inclinationes ; quibus cognitis ipsorum icnographia & oriographia possint apte dclineari; alioquin si haec ignota remaneant Opcranti, qui cubum adumbrasse se putabit, parallelepipedum oblongum delicasse inum ietur, aut 1blidum aliquod is agis irregulare, quod non minus essct
in Geometria monstrum, quam in ciuili architectura columna aliqua , nulla proportionum aut Symmetitae habita ratione sine ullis artis praeceptis constructa & delineata.
124쪽
Quam in expositis quinque corporum regularium diagrammatis , sequii nur n. ethodum , poterit quilibet eam ad arbitrium in aliis quibuscunque delineandis, praesertim regularibus compositis adhibere: verum si propossiti alicuius solidi Icnographiam Geometrice describere non valeat, ipsitus superficies omnes explicatas primum in plano delinea bit dc ad inuicem duplici carta agglutinata committet, quemadmodum Albertus Durems Geometriae suae lib. , & Daniel Barbarus 3. parte suae Perspe stivae docent & praescribunt, ut iis ita fabricatis tum vestigi, seu icnographiae , tum ortogra8hiae verae mensurae de altitudines eliciantur , cum quibus postea Acile poterit de ad datae regulae praescriptum & citra errorem operari, si modo vel leui praeditus industria fuerit: Qui vero Geometricis constructionibus assuevere, solida haec regularia com-Iosita poterunt in tabula ad prospectum accommodare mediantius reis aribus simplicibus, difficiliora videlicet facilioribus inscribendo ; exempli gratia, cubum in eo situ, quem haec propositio requirit, poterit in pyramide resulata aequilatera inscribere, per i 8 decimi quinti Elem. Candaliae t ted haec monuisse suffitiat, plura enim de hisce inscriptionibus ad figuram X X V. in vigesima octaua propositione dicturi fiamus.
Dodecaedri se per uno titerum forum quiescemis, ita ut sebiectum planum in
sola tangat linea, figuram apparentem in taluti exprimere , fgponaturam tem planum quodpraedictum latus nenit cum oppofito perpendicularuer insistere sidiecto plano. Odeeaedri quod inter solida regularia quarto Alitum est lo-
sco recenseri, dicitur ab Euclide lib. 11. Elem. definitione 18, figura solida quae duodecim pentagonis aequalibus, aequilateris Scaeviansulis continetur, ideoque & triginta habet latera, angulos planos texaginta, solidos viginti, propterea quod ad solidum unum constituendum tres plani concurrunt; Quod sit in uno suorum laterum ita statuatur solidum hoc, ut subiectum planum in sola tangat linea, pentagonaque huic lateri ex utraque parte adhaerentia aequalem cum eodem plano inclinationem retineant, seu, quod idem est, illanum quod praedictum latus connectit cum opposito perpendicu are sit plano supposito, atque ab eius ita constituti omnibus angulis demittantur perpendiculares, uti fecimus in praecedentibus, nae pro ipsius icnographia hexagonum irregulare describent in plano, quale iam consiliuimus Geometrice hoc modo. Intelligatur in diagrammate XXI. Dode calidrum ad eum quem diximus modum constituti, ita ut unum ipsius latus applice
126쪽
LIBER PRIMUS. 818Z, CZ, &c. altitudinum scalam delineauimus, ex qua nullo negotio omnes omnItam solidorum angulorum diminutae altitudines eruantur : sit enim Α D, in oriographiae linea naturalis altitudo an-
ulorum solidorum punctis ndi, , insistentium; beneficio paralleamn dnaa, biee, & perpendicularium ιυ ἷb , ee da, inuenientur eorumdem altitudines diminutae do, v, bee, i r sic data solidi int gra altitudine in linea oriographiae Α G, quam diminutam statuere oportet super puncta ab ; haec inuenietur mediantibus parallelis agibbb, de perpendicaearibus u ii, bb st, quae ad proprium situm con .stitutae erunt lineae vinm, bm, terminantes planum transiens per soliditatem corporis, de subiecto plano perpendiculare : similiter operandum erit in caeteris, ita ut sinciat ad inueniendas reliquorum angulorum apparentias eorum omnium naturales supra singula plani puncta exaltationes notas habere: sciendum igitur est super quae- Iibet punctam si, angulos duplici altitudine eleuatos constitui; minor altitudo malis est ΑΒ, diminuta vera hoo,statuenda in punctis me, dc v stii tuenda in purictis g maior vero super eadem puncta aliorum angulorum realis eleuatio cli A F, quae diminuta in hiscn H, poterit facile ad proprium situm transferri, ita ut re, super puncta me; dens, super puncta g, constituatur: similiter de super
puncta si, duae disserentes solidorum angulorum exaltationes sunt, quarum prima est A C diminuta in re in . secunda vero A E diminu- in v xx, quae quidem omnes inuentae altitudines in situ suo collocentur ut ore, in ingx, 6c e , dcc. iunganturque termini earum superiorcs rectis lineis, quae mutuo concursu solidi huius plana &angulos essiciant, siue partis utriusque, anterioris videlicet Be post rioris, ut habetur in diagrammate XXI. siue anterioris solummodo & visui expositae, ut conitur repraesentatum di perfectius adum-
Ovi huius solidi figuram in sectione apparentem describunt
perspectivi, illud ut plurimum super uno planorum suorum conititutum adumbrant ; quare ego illum ad maiorem dissicultatem . in exhibito situ tollocandum cens hir quod si qui Be illud aliomodo sibi delineandum proponerent,nec possent ipsius icnosraphiam&oriographiam inuenire, ianc e propositione trigesima secunda sequenti,ubi proponimus solidum illud stellatum, quod ex dodecaedro inscripto icosaedro nascitur , poterunt accipere , huius etiam exemis plum habet Samuel Marolesius sed praeterquam quod non eis absque errore, solum huius diagramma sine ulla declaratione exponit. Poterat autem huius solidi ad eum , quo illum delinem imus, modum constituti Geometrica constructionis icnographiae de ortographiae demonstratio institui ; sed quia multiplex planorum de an-
127쪽
cam, qitaeque cum ei l huic cuper nexist i marem: Minsulendus eriti suae perspe'
olidorum nus Elem. figuram ris continetur,tos aequales se
linea praedictontingat puncto puncto A, & adiaeittantur in pla-
solidi icnogra-arita, ut anguli expoosito dia, em icnographia erit, hoc modo. partium, in lia quo sic ma semidiametrum lagona inscribi. si, habita ration Cat circini propor-bere duo pentag lita, & videtur in gulorum referet yetur, nempe BC L, intercisis litantummodo 'llides propos. I 6. ographia, OrtO
128쪽
graphicas altitudines inuenire ; demonstrat enim lineam quae in Icos aedro oppositos connectit angulos solidos, & quam nos subiecto plano ponimus perpendicularcm, cx uno hexagoni & duobus deca. goni lateribus esse compositam, quae cidem circulo, cui de praedictai cnographiae pentagona, inscriberentur: fiat igitur in vitrei- basi ad punctum M , perpendicularis indefinita, 5 in cam transferatur primum longitudo sineae F L, aut alterius similis, nimirum lateris de
cagoni circulo BHCI D, dcc. inscripti ; haec erit linea MN ; deinde eiusdem circuli semidiameter A B, ponatur in N O, & supra N Orcpetatur longitudo M N, scilicet O P , & a punctis M N O P, occultae ducantur concurrentes ad punctum in horizontali ut Hisita dispositis .facile erit apparentem Icosaedri figuram , suppositio puncto principali Q , delineare. Quia enim integra solidi altitudo est M P, mediante parallela ax, & perpendiculariae , diminuta inuenietur a et i sic polita altitudine reali solidorum angulorum , quorum apices sunt in plano primi pentagoni, seu partis inferioris, posita inquam tali altitudine reali, M N, haec supra punctum quod est in ipsa vitrei basi, integra statuetur, quod nullam hic lω-cus lobiectorum diminutionem seu contractionem admittat; haec
igitur altitudo etiam in apparenti figura erit et super puncta veroe, S statuentur altitudines diminuta: γ, g, mediantibus parallelasn, & perpendiculari no, inuentae & determinatae; sicut super puncta de, Ocneficio parallelae der, inuenitur &determinatur altitudorf, quae in proprio utu collocata erit df, eu , ut apparet in figura: Eodem penitus modo procedendum supra reliquos angulos partis superioris; cum enim earum naturalem cxaltationem posuerimus lincam M O, huius altitudinis varias pro vario situ diminutiones inueniemus inter lineas MQ, OQ, comprehcndi, V. g. a a b b, qu Rest in suo situ hoc, gdi ; sic perpendicularis re st in suo situ collocata eritis iii ; altitudo denique si, ad siluin suum translata, scilicet ad punctum k, erit knn ; quibus omnibus altitudinibus ita signatis ducantur a punctis ii Dcchb , rectae lineae ad punctum concurrentes; similiter ab aliis pro parte inferiori inuentis nimirum ad punctuma,& iungantur inuicem puncta cuiuslibet pentagoni, nec non inseriora cum superioribus beneficio triangulorum,3uemadmodum vidciatur in sibi ecto diagrammate puracta iiq, qd dm, m cc, &c. inuicem connecti de delineata habebitur dicti Icos a edri apparens figura ad eum quem propositio requirit situm constituti, non autem illius solum partis quae sub aspectum caderet si opa cum supponatur, sed di illius quae lateret posterius, nec polici ai pici, nisi diaphaneitate seu transparentia praeditum esset ; potcrun tamen ad elegantiorem solidi prospectuin posterioris partis lincae quae solis sunt punctis designatae Ommitat, u praesertim perfecta Rd
hibitis etiam lumine & umbris velit illius repraesentatio exprimi, qualem nos in diagraimmate XXIV. exposuimus.
129쪽
THAUMAT URGI OPTICI COROLLARIUM.
EX hac constructione sequitur Ioannem Cousinum, S: Samuelem Marolestum errasse ambos in descriptione huius corporis, dum ei pro orthographia tribuunt, unus quiseem duo hexagoni latera seu diametrum Integram eius circuli, in quo icnographiae pentagona inscriberentur , alter vero, scilicet Marolestus tria octogoni latera eidem circulo inscripti, quod quidem aperte non declarat, sed in exposito diagrammate satis exprimit ; in hoc inquam certum est errasse utrumque, si quidem ex allatis superius concluditur ex I6. libri decimi tertii Elem. Euclid. lineam oppositos Icosaiidri ansulos connectentem uni hexagoni lateri, & duobus decagoni lateribus esse aequalem, inscriptorum scilicet in codem circulo, in quo inscripta esset ipsius icnographia duobus conclusa pentagonis aequitateris & aequiangulis & inter se dispositis, ut diximus supcrius.
Modum facilem assignare, quo solida qu edam regularia composita irregularia, quae a regularibus originem trabunt, possint ad praescriptum optices in tabula delineari.
ΙPse est de quo nonnihil attigimus ad propositioncm vigesimam-
quintam huius libri, cum de cubo stipet uno suorum angulorumlserpendiculariter constituto ageremus, ut nimirum dissiciliora faci-ioribus inscribantur vel per horum in illa metamorphosim seu trans
Superioribus quinque propositionibus immediate praecedentibus deseriptiones instituimus quinque solidorum regularium, ipsorumque apparentes in sectione figuras inueniendi modum tradidit nus; in hac vero & methodum assignamus qua solida regularia composita nec non irregularia omnia, quae ab iis quinque regularibus simplicibus quomodolibet nascuntur scu originem ducunt, facillime ad prospectum accommodentur: nec erit necessarium ullam aliam ic-nographiam, neque ortographiam praeter iam pro simplicibus delineatas construere; sed priusquam ulterius progrediamur, non inuti te mihi visum est, quaedam de terminis huic subiecto propriis praenotare, quae quamuis communia & intelligentibus fortasse taedio, magno tamen tyronibus adiumento sunt futura, quibus prodelle nostri maxime consili j est. Solida regularia simplicia sunt ea quinque, de quibus egimus in praecedentibus, Tetraedrum silue pyramis aequilatera, Hexatarum seu cubus, Odhaedrum, Dode caedrum,S Icosaedrum, quaequidcin regularia nominantur ex eo quod omnia eorum latera inter se sinta aequalia,
130쪽
aequalia, bases siue superficies eorum omnes inter se similes o aequales, anguli denique omnes splidi aequales : unde Λ: ipsa corpora sit phaera aliqua suae proportionati magnitudini concluderentur, omnibus angulis solidis superficiem eius internam seu concauam unde.
Regularia coinpossita vocamus ea, quae e duobus regularibus sim plicibus simul concurrentibus ita coalescant, ut compositum ex iis
tot habeat latera, tot bases siue superficies aequales & similes, similiterque possitas , quot habent illa duo ex quibus componitur ; ita ut etiam in aliqua sphaera sibi proportionata conclusum omnibus angulis suis solidis concauam eius superficiem attingat: Eiusmodi est illud quod figura XXU. expressimus , vocaturque Hexqctoedium quod ab Hexaedro seu cubo & Octoedro componitur; unde& sex cubi quadrata Se octo Tetraedri triangula retinet: anguli autem solidi, seu numerus eorum potest reperiri simul addendo utriusque solidi componentis angulos omnes solidos, si tamen prius a quolibet unum exemeris .i. si ab unoquoque solido sit inplici angulum unum abstuleris. v. g. ab octo cubi angulis solidis unus si auferatur, septem res habunt, & Octoedro unum si abstuleris, quinque supersunt, quos sit Prioribus septem iunxeris duodecim Hexochaedri solidos an qui os simul constituent. Similiter & Icosido decaedrum a Dodecaedro pentagona duodecim, ab Iccisaedro viginti triangula mutuatur, & ab unius viginti angulis solidis, duodecimque alterius, ablatis duobus, decem &ocho sibi retinet. Est de aliud solidorum regularium compositorum genus, quae etsi praecise duorum regularium silmplicium latera & bases non obtineant, sua tamen latera omnia inter se aequalia & aequales solidos angulos omnes habent; unde & ipsa si aliqua sphaera suae quantitati proportionata concluderentur seu inlcriberentur, praedictis omnibus suis angulis solidis interiorem ipsius seu concauam superficiem attin serent; Possunt autem solida haec omnia utriusque generis re
gularia composita , recto nomine truncata seu transformata appellari , si quidem a regularibus si melicibus quinque, quorum diagrammata sunt a nobis superius exhibita, originem ducunt ; horum scilicet abscissis angulis solidis, illorum aliis substitutis, ut aperte cognosci potest ex diagrammate X U. ubi Hexoctaedrum lineis descriptum apparentibus manifestam trahit originem a cubo punctuatis tantum lineis adumbrato ABCDEFGH, dum scilicet bitariam diuisis lateribus huius sngulis, ductis ab unoquoque diuisionum puncto ad conterminum sibi rectis lineis, ut mn, ni, im, abscinditur solidus cubi angulus A , & linearum, quae solidos angulos F G B rescindunt, concursu, alij solidi anguli essiciuntur. ad punctamni, circ. ut satis patet ex diagrammate.