Institutiones analyticae a Vincentio Riccato Societatis Jesu et Hieronymo Saladino monacho caelestino collectae. Tomus primus secundus 1

61쪽

hoe est x ra aB - aa C, & κ α re a B a a C ; ergo valor ille primus η , licet facta C - , sub imaginarii forma apparrat, revera imaginarius non est, sed reali quantitati H aB--a a C aequalis, quod ostendit imaginaria' omnia se mutuo elisisse. Resqui duo valores x in eadem hypothesi 'C sunt'ima ginarii; eadem enim operatione facta invenitur κ α , δε- a a C in utroque casu. a . Adnota sormulas tertiae, & quartae eombinationis reales fieri, si dividantur, vel multiplicentur per g - i ; satis erit hoe dentonstrare de formula

autem tu civisa sit m κ' ergo quadrando erit

ii in hypothesi C idem acti disset, si non divisio, sed multiplleati. P a secta suisset. Hie 'tamen ita invenias valor disten. tertio illo, qnem

quatuor nostrae combinationes serunt; id tantum animadvertendum duximus, ut Paterer, qua ratione per imaginarium H - i expressiones quadraticae imagina xiae in reales mutari possint, quod stivisse aliquando juvabit. s. Si post inventum valorem ni α α ---a C' illum in a

62쪽

Mino Videtur diei esse locus ostendendi, qua method F sseri posse habitis duabus aequationibus, ut una incognita quamvis ad quadraturii elevata. sine extra-αione xadicum evanestat. Meth us ua generali μr demonstrabitur . Sint dulseeundi Edus aeqnationes 3 --y-- D o; quantitates AB, C, D sunt determinatae per eognitas, & incognitam a tam ἰ una aequatio ex alia subtrahatur ex. gr. prima ex secunda, ut si C--.9-- D Bmo .

Ε - ρ , acta. hanc ab H - βρο o subducas, fiet tandem E -Fαι. In qua A non habetur ' 'M . Proponantur modo ex. gr. duae aequationes 3 '--. a m y P a a N O, 3 -- in qui ha duae uot incognitae X, y, & earum una eliminari oporteat, qulti radix extrahitur. Subtrahe secundam e prima', habes imκ as & facta divisiones N aino, in qua aequitio y hibet dimentionem linearem; muruuplica eam per 3, ut fit 3 - x xy--ayMo, 3e hane subtrahe de secundia. tam* aequatiodum; erit by M o, 3c y--π-bmo, aequatio Mim b. bens 9 in prima dimensione o istam nune s subtrabas ab inventa priussi se N- o, fiet tandem in qua deests, quod erat Pru

v8. vis methodi nulla modo requirebat, ut primam potius de 'altera, quam secundisin de prima subtraheremus, neque ut secunda subtractio ea hac potius, qu/m ex illa fieret I iuvabit tamen plurimum, ut finalis aequatio simplicior o tineatur&expeditior, his potius uti subtractionibus, quam illis, at certa nequit Ruignari regula: quare prudentis erit Analystae eas in peculiaribus casibus elige- . , quae aptiores esse videbuntur: eadem de causa juvat potius hanc, quam illam incognitam eliminandam suscipere; fient minaequatione supra posita non I, sed Μ voluissemus eliminare, imp itatior suisset operatio; sed aliud hujus rei a

seramus exemplum .ay. Sint aequationes duae , &, veli, mus elimicares; e prima secunda detracta habemus κ' Ο - en -e -ο, Scdivisione sacta per 'mutati ire omnium terminorum signis,eritΗ - π

ubi ut in prima est dimentaste; aquatio ista dum ius erit 3' - π3 - cy

deoque ν '- - aequatio secunda, in qua s unam obtinet dissiς

63쪽

flonem; hane igitur si ab alia prius inventa detrahanius, y murestet omnino,

erit -- mo, quae est

quarti gradus aequatio . . .

3o. Si incognita eliminanda in una ex datis aequationibu ad primam tantum

potestatem elevata esset, sicuti accidit in aequationibus ex. gr. N - εν - e o,

m 9 - a mo, patet secundam esse, per eam incognitam multiplicandam, quam ejicere volumus, nisi enim in utraque aequatione habeant. termini illius inc gnitae. potestatem eandem, numquam per subtramonem elidi poterunt, in quo tota methodi vis tonsistit. , . i. Hujus artificii naturam diligenter eqnsiderami facile patebit, illud non in aequationibus seeundi gradus tantum, sed in superioribus valere, dummodo incognita elimjnanda ast aequalem assurgat potestatem ; quod sem-r obtineri posse ex numero praecedenti potest inferri; sufficiet multiplicare aequationem. in qua minor est incognitae potestas per talem ipsius potestatem, quae sit diruserentia maximorum incognitae exponentium: ita in his m --s κ - a m ., 'x'--κy--s mo, habebis N ad eandem maximam potestatem in utraque elevatam, si secundam per m multiplices, cujus κ' exponens . est disserentia s, a maximorum N exponentium in propositis aeqpationibus ..32. Sint igitur cujuscunque gradus sed ejus hem aequationes duae I. 3

ro; 3c, ut expeditius agamus iacto efficiente secundi termini m P, de ultimo termino m erit IlI. 9--P9 .... amo, in qua aequatione 9 est in gradu unitate inferiori is spectu aequationum , qu* Hςrunt propositae. Haec multiplicetur per F, ut sit m o, quae si de prima subtrahatur, prodibit A-

1t sacto e Selante seeundi termini mi S, aultimi α T,Sc ultimo termino m L erit IV. 3' - Ss' .... Ty - o , aequatio alia, in qua pariter sest in gradu unitate inferiori, quam si subtrahamus de tertia , . habemus hanc aliam P - S.C '-T3--Q U m o, ubi gradus y duabus dimens Dbus est imminutus. Haec satis , luperque sunt, ut methodus appareat, qua perationem ita producere. possimus , ut 9 tandem mahescat. '33. Si plures essent aequationes v. gr. tres, pariter incognitae tres, harum unam prius eliminabimus applicantes hane methcisum duabus aequaxionibus. p ta primae, & secundae; eandem deinde incognitam eliminabimus combinatione alia adhibita ex. gr. primae aequationis cum tertia. H.c via duas obtinebimus. aequa

64쪽

aequalisaea, in quibus una ex tribra Nwsitu incomitu desiderabitur; quarum ope aliam incognitam ejiciemus, ct denique ad unius ineognitae aequationem

De re selutione Problematum Arithmeticorum, quae

determinata sunt.

x. DRoblema nihil est aliud, quam propositio, in qua ex quantitatibus alis. x quibus notis nonnullae ignotae quantitates invinigandae proponuntur. Ita problema esset, datis duobus numeris, eorum ex. ea. summam vel differentiam vel productum &e. postulare. Cum vero quantitates ignotae detectae sunt, δc deter Miaatae, tunc problema dicitur resblutum. i. ι - Triplex est problematum genus, alia sunt determinata, alia indetermionata, alia plusquam determin ta . Antequam horum problemat Hyaturam ex plicemus, illud in memoriam revocare oportet, nimirum ignotas viantitates tamquam eranitas speruri,& extremis alpitabelli litreris, exprimi, notas vero reli quis. His praemissis, ex problematis eonditionibus, 3t ex relationibus, quas incognitae habent ad cognitas, aequationes constituendae sunt, quarum numerus si aequalis fueιit numero incognitarum, tunc problema dicitur determinatum, & per regulas su pra traditas ad aequationem deveniemus, quae contineat unam incognitam. Si aequatio, qeae sese offert, primi aut alterius gradus fuerit, valorem ino ognitae inveniemus, & solutionem problematis exhibebimus. 3. Problema determinatum hoc esset: invenire duos numeros quorum sum ma sit 5, 3c distrentia a. Voeentur numeri quaesiti κ, ergo ex conditioniabus allatis habebimus αὐ& κ-ra Addamus primae aequationi s

cundam, erit a e m 8. & N α - α ; e prima deinde alteram subtrahamus, erit 39 6-2 m 4;&yα - αχοῦ ergo duo quaesiti numeri sunt , & a. Et re. Ora m 6, 4 mx, ut conditiones problematis postulant. 4. Si vero conditionibus problematis omnibus rite observatis aequationum num minor est numero incognitarum tune problema dicitur indeterminatum, quia numqu/- fiet, ut. ad 1 stationem veniamus, quae unam tantum habeat incognitam . idcirco ut hujusmodi problemata solvantur, in ultima aequatione opus est ad arbia uium unam vel plures determinare incognitas, ut in aequatione illa una incognita superst. Hoc esset problema indeterminatum e Quaeruntur duo numeri quo. rum summa sit o. Vocatis his numeris κ, F, quacunque utamur industria, nullem lim obtinebimus aequationem praeter hanc π --.9 α ο; ut igitur solvatur pr blema, iupponamus M aequalem numero cuilibet ex. gr. s p tunc erit ses 3 si, adeoques m 6 s m a, solutumque erit problema; cuius manifestum est infinitas esse solutiones , tot nempe , quot valores N ad arbitrium sumi pollunt. At si problemati huic alia adderetur inditio, nempe ut numeri positivi esse debeant,& integri, patet multo minorem fore numeram solutionum , quinque enim e seat dumtaxat ; hoc ia casu problema dicitur semideterminatum.

a . . s. Si

65쪽

s.'βὶ denique numerus aeqirationum maDe sit quam numnixesa cognitatum oblema .vocatur plusquam determinatum, cujus dolatist plerumque est impossia ilis; hujusmodi esset quaerere duos numeros N, quorum summa sit o, se cundo e primo subtracto, differentia a,& invicem multiplicatis productumis.

Ex tribus his conditionibus tres oriuntur aequationes x--Ηmo, S m a, Actias, quae immisibilem reddunt solutionem, quia prinis duae pugnant cum tertia; ex primis enim, ut supra vidimus , est κήδ, yma, quorum productum aquale est 8. Si tertia conditio esset, ut productum suisset Sm 8, tunc .

solutio: se lematis possibili i quidem sui det, seu casu quiae reula Iconditio addita tulit et , quae jam necessario ex oratata alibus sequebatur, adeoque erat superflua. Superfluas conditiones hujusmodi in prueposio problemate eeito reperiri

cognoscimus, quotiescunque identicam aequationem habeamus, id est, cum termini unius membri ridemessunt a C lte iis i l alterius; uti accidit lim casii nostro'; iani positis tribus illis aequationibus , κνα η, habemus exprimis duabus Ναοῦ , να a, quν valom in tertia substituti dάnt 3αρου aequationem ideaticam. Ratio autem' patet; quia sicuti diversae explestiones non ponsunt liaberi nisi ex conditionibus diversis; ita explestiones identicae ex identicis condition: bus ael cenaant neceIs ὸ Iste propterea si conditiones, ex quibus hae riuntur, di/et 'se videntur, differen ria haec inriti apparens tantum, non vera. o. Ex inaequat onis identit te discimus etiam eognoscere theoremata, quae problematum specie saepe proponuntur: nam si inclusis conditionibus omnibus in identi am aequationem incurramus, indicium id erit manifessum, quantitates quascumque ejus generis, de quibus sermo est, praedit .s esse condition; bus requis t s. Clarius ia fici ex mplo. Iniferae numerorum naturalium 3, 2, 3, dce, quatuor quaeruntur numeri succelsi vi, qui tales sint ut extremorum summa aequet lummam mediorum. Sint hi numeri N, 9, 2, u. Exinatura series habe

mus AH- I 9, 9- - i m R, i m v ς ex alia vero conditione est x 4 ιν ν Φ exprimis duabus aequationi stibas habemus κ vidit, ex hac, Sc tertia --3 u: nunc substitutis in quarta valoribus Η, γ, υ, oritur 1κ--3 z4κ FIs quatio identica; ex qua palam fit, conditionem tuam in quatuor successivisn metas semel naturalis requis tam superfluam esse, quippe quae ex ipsa scrie de scendit, 3c est propria quatuor numerorum illius, quicunque sint duae modo successivi; unde non problema est, sed ibeorema. et . .

. Quod si identitas haec habeas ur, licet non omnibus problematis conditi

nibus inclutis, hoc vel errorem indicat, vel assismpsisse nos conditionem aliquam superfluam, ea omitta, quae ali umi de bat; quare iterum attente conditiones perpendere opportebit. illud est etiam hie addendum has conditiones superfluas aliquando eisicere, ut deter natum videatur problema, quod revera est in determinatum. Quaerimus ex. gr. numeros quatuor κ, 9, in quibus summa--- extremorum sit aequalis summae mediorum,& praeterea summa mediorum fite 7. Igitur ex prima conditione est NH-um3--η, ex alia, & prima H u T; adeoque tot aequationes habemus, quot ineognitas, ut problemata determinata requirunt num. 3; at si in prima aequatione loco membrorum K 'u,

eorum valores substituimus datos per aequationes alias, fit 7 m γοῦ er' supernuam conditionem admisimus, & ad problema determinandum inutilem. Et re vera nonne est inutilis haec χή-ti m et quae manifestissime in aliis includiatur, in quibus volumus in Quia autem diligenter problemate iterum considerato, ejusque conditionibus, nulla reperitur via, qua ad tertiam aequationem veniamus, ideo problema erit indeterminatiun .

66쪽

8. Ex dictis hactenus Deile inferri potest, quanta opus sit diltontia, quam

attente omnia animadvertenda, quae problemata respiciunt, ut necessarias inde aequMiones ellaiamus,' quae cura.eo major esse debet, quo nullae certae tradimunt regulae, quarumrope ex conditionibus ad aequationes perveniamus, quas aliquando eruere maxime difficile, & arduum est. Ingenio i haec aperienda est via ,'& exercitatione , eujus gratia multλ luc problematum addimus exempluis initio ab arithmeticis facto. Sit itaque. 9. Problema primum. Quum quis Capum interrogaret, quota esset hora, mspondit ille, horas a media nocte ad horas, quae ante meridiem tunc supere rant, esse ut at 3. Quaeritur quaenam sit hora a Caio indicata 3 Sint horae. a media nocte transactae in x; erunt reliquae ante meridiem mi 2 - ; ergo ex Caji responsione a. 3 :: κ: ia - κd adeoque 3κα 24 - seu 3Ν 2ψ, δι

Est igitur indicata a Caici hora quarta eum strupulis primis 48 post mediam noctem. Quod si velis problema hoe terminis .generali expressunt ;& resolutum, sit π ut antea numerus horarum a media nocte , Emerus 'oratum a media nocte ad meridiem ' a , & proportio, qu m supra exprimeba G,', fit proportio quaelibet m: n' 'Aabhbimus igit di x is- eo

α Sc hora eadem, quae supra est inventa. Fac mus,

am Ia, erit m . io; erct igitur 'i. hae hypothefi hora deeima postm

ro. Problema secundum. is a. lepore, quem insequitur, initio motus pλ0 suum numero πιν distat, suntque velocitates canis, & leporis, seu spatia ac ne, & lepore eodem l pore percursa ut men- Quaeritur post quot passus leporem fit canis kssecuturus Vocetur spatium a lepore pereursum antequam in nis illum assequatur ακ; ergo spatium eodem tempore a tane peractum erita κ: igitur, quoniam Forum spatiorum data est proportio I 'erit , -- : κ:rmznstu dividendo, a: κm - : ni de .m-- Manisest v est problem

veniet ad Ie rem. Ita alias quaicunque hypoteses ad libitum fi,ge,. dummodo inquam facias mon, tant n mὐ in quibus eamus aut eanixa udi semper, aut semper magis a lepore distaret. I . Problema tertium. Ρmpronius volens quandam nummorum summam . determinato pauperem numero distribuere, animadvertit octo nummos deesse sibi, ne finguli pauperes ternos .ccipiant, fle tres superetis, si finsulis duos tantum det nummos. Quaeritur numerus pauperiis: Si nummorum 8 Sit numerus pauperum ignotus ακ; igitur, quoniam s singulis tres dentur, desunt octo numisso κ, frix eo in au aeria mas . Ut genualissim in stiviso utamur, .prubim se Disitigod by Coos

67쪽

M proponatur. Ut singuli pauperes aecipiant mimmoenim numemm ni, aesuntati mi n, si autem singulis dentur nummi ρ, supersunt nummi et quaeritur ι ut antea, numerus & pauperum , & nummorum. Ex conditione prima inmm-n nummorum numerus, idem ex secunda est y ergo moc stam κ - p Σπε- - n, 3c x i m numero pauperum. - ρ

m-ρ m e .l i ra. Problema quartum. Quum a Titio quidam peteret, quot annos natus eL set, respondit ipse: si annorum meorum oumerum in ducas, & p ducto is addas, numerum habebis tanto majorem quam Iso, quanto numerus ico anno. Tum meorum numerum superat. Quaeritur annorum Titii num rus. Sit hic nummus αμ, ex proposita conditione ina in 'arithmeticam hanc proportionem

4κ- Is : ris : ergo sΝ Ism Iso miruso, & κ et, qui sunt anni quaesiti Generaliter: numerus m*ltiplicans κ sit m, a n merus producto addendus ,3c vi in a aeque superet b,ace stiperat x. Erit aritia metice e: N ; ergo mina . N-- a m bH-e,& κα . ' . t . Pr ia quintum. Interrogatus quota esset hora, dixi: si horis a m dia nocte elapsis divisis per a addatur s earum, quae ad mediam 'noctem proximam superiunt , quaesitus prodibit horarum numerus. Numerus horar , quae poli mediam noctem elapsae jam sunt, ponatur erit igitur numerus earum, quae ad proximam mediam noctem supersunt m 1 - quare ex conditione alulata erit aequatio - se l. a. - N, idest - - i8 --M, &-ακ

minutis a media nocte, seu a hora eum z .minutis posI mer em. - ω - Problema sextum. Dominus cuidam famulo daturum ' se julios septem . in dies singulos promittit hac isse, ut si quo die justum opus non expleverit, ipse sibi julios quinque debeat: post dies triginta inventum est neque Dominum s mulo, nequὰ famulum domitis hvidquam debere. Quaeritar quot diebus famulus opus persolverit, quot otiosus fuerit ρ Dies laboris vocentur iκ, adeoque reli. qui mao - π: ex problematis conditione erit 7πms. 3ο - κ; ergo II ISO,& κ m-- ia S; igitur eonstat famulum dies ii I in debito opere in sum.

psisse, reliquis nemρe i et I fuisse otiosum. , is. Problema septimum. αjus paterfamilias in suis alendis cruotannis nummos aureos impendit 38o, & quod reliquum est ex annuis reditibus faenori dat, estque ex eo perceptus fructus quarta ipsius residui pars annis singulis; anno si quenti pariter axo aureos nummos i meendit, & residuum dat faenori ut antea οῦ idem accidit anno tertio, post quem invenit , reditum annuum sexta primi ad ni reditus parte esse auctum. Quaeritur quinam si primi ann redit Τ Redirtus primi anni esto α N, nummi aurei 38o M a: erit igitur .primi .anni residumnN 's, & fructus perceptus ex faenore m ergo teditus secundi annim N

68쪽

rat in conditione propositum. Ut rem terminis generalibus convciamus, sit Ductus ex faenore pars sortis, Sc primi anni reditus ad suum augmentur 'r tionem habeat a: m: erit primi anni reetus κ, seeundi κ' , tertii n

ro. Problema octavum. Data duorum numerorum proportione , & summa , numeros ipsos invenire, Summa sit α a, proportio ut men, & duo quaesiti nise meri vocentur x,9. Iura conditiones erit Ν--s m a, & aut coinponendo --3 a: st, seu λ ἔκ--Η ma: Im: m--n . ergo sm , N α Nunc ex. gr. finge summam esse Ioo, & proportionem

u. 3: ας igitur Ioo m a , m m 3, n m a,&πα- 6O, 3 m -- Α . Eadem uti possumus methodo, si loco summae data esset numerorum differentia , ita ut sit π-y a : etenim ex proportione erit dividendo Ν-s maese: na

I' Problema nonum . Nonnulli homines conveniunt, ut simul canent, & in caena scutata ii impenduntur: quum duo ex convivis solvendo non sint, reliqui scutatum unum solvere debent praeter id, quod singulis solvendum suisset, si sumptus per eonvivatum omnium numerum fuisset divisus. aeritur quinam sit convivarum numerus ΦQuaestus numerus fit m N. Erit igitur numerus eorum, qui symbolam contulerunt x - a, 3c symbola ipsa -; at s omnes solvissent pro

Hoc in casu radix negativa illam habere non potest; ergo o fuere convivae. C G tarum Dissilirco by Corale

69쪽

εerum etiam negativa radix - 4 requisitis ab analysi conditionibus est praedit ,

I 8. Si quis ita problema proposuisset, ut radices ambae positivae essent, nonnihil in ipso indeterminatum remaneret. ΕΣ. gr. lac sumptum caenae fuisse m7s , unum a sociis dedisse iρ, residuum per capita qua divisum, & ita horum symbo Iam suisse unitate minorem, quam revera esse debuisset, si sumptus integer per sociorum numerum divisus esset. Sit x ut antea numerus sociorum. Nisi sui Mi qui

daret rρ, symbola uniuscujusque esset at in casu proposito est .m haec debet esse unitate minor quam prima; ergo H. i m U , id est

1 1 i κs 6 -κ -κ m 73κ - 7s , κ - ΣΟ κ . - TI . ergo π wκ- Io mas, seu κ Io m Iis, xm is, si radicem positivam accipias, π m s, si negativam. bet igitur x valores duos positivos, adeoque post problematis solutionem aliquid indeterminati remanet; & nihil aliis respoadere istes, nisi aut sociorum numerumla.sse is, Rut ς ἀω i a deeimum. Duos numeros invenire quorum summa ma, 3c summa qδα tum Fingamus numeros eis e X, θῶ ergo κ 9 m a , &--Prima aequatio quadrando in κ --ax t in s ma ; hine si mquationem secundam subtrahamus, residuum erit et x9 a b . quod e secunda.

ao. Problema undeeimum. Tres invenire numeros continue proportionales. quorum data sit summa. & summa quadr torum. Esto summa numerorum x ν& summa quadratorum x - 2 R mb . Eleva primam aequati

to erit jam κ--Σ m a 3,&Ν .m b-s ; ergo problema ad antecedem reda 'um est.2I. Problema duodecimum. Tres numeros invenire, quorum summa ma, summa quadratorum m b', & summa rectangulorum, quot fieri possunt diversa,

70쪽

-m e P ima ad quadratum perducta, est x - - 1 a xx-- z α a', & ex hae subtracta secunda superest a κν --ay a - 2 a - , , unis de si deducatur tertia multiplieata per a erit residuum o - a b - a , seu

vi fostenditur hoe pacto problema non esse possibile, nisi in hypotru' , a -b s, in qua si e m-; imo hine theorema insertur, quo docemur, sum.

mam rectangulorum, quotquot ex tribus numeris fieri possunt, esse semper si summa numerorum sit a. & summa quadratorum bb; adeoque problema nostrum est plusquam determinatum; cujus problematum speciei natura est xlibi indieata. 22. Problema decimumtertium. Invenire duos numeros, quorum productum sit m a', & quorum summae quadratum ad quadratum differentiae sit in ratione bre. Sit numerorum summa max, & differentia massy; Ηgoa r numerus m κ--Η, minor mπ-9. Ex eonditione prima debet esse Ν -- ma a, ex altera 4x :43 , seu κ et: bee; ergo dividendo κ -y'maa: ::3-e: si seu Ir

. . - e . bin ea3. Problema decimumquartum. Quaeruntur duo numeri, in quibus haee tria nempe summa, productum, & differentia quadratorum aequalia Nnt. Sit num rus major mx, minor habemus aequationes d-F in cy,&κ--sακη, di divisa prima per secundam fit Ν-ym I; ergo N I F; quo π valore in

. Et revera duo numeri

, & duo etiam - .. L, in problema persecte solvunt; primi enim duo exhibent summa productum, di quadratorum disterentiam m a se iis , duo alii ia -ύ s . , a . Si ad κ inveniendam substituissemus valorem 3 inventum in prima in quatione, suisset κ α 3. 'ci. . M ita; unde quatuor exu sunt Dissilirso by GO le