장음표시 사용
431쪽
Ieseereat, aequatio instituerula esset inter terminos, in quibus tres obtunent dimensiones ita, ut sit F γε - G π s F ----m o. Si haec aequatio
uni eum habeat factorem realem, duos imaginarios, ostendet unum curvae r mum per punctum C transtre, ejusque tangentem determinabit,' tum patefaciet, ovalem evanescere in puncto C, ibique latere punctum conjugatum. Si radices omnes aequationis fuerint reales, cognoscemus, tres curvae ramos in puncto illo se intersecare vel tangere, prout radices fuerint inaequales, vel aequales. Quidquid horum acciderit, curva in C donata erit puncto triplo, & rectam per hoc punctum transeuntem in tribus punctis curvam secare, censendum erit. 13. Quod si praeter coefficientes omnes praecedentes, etiam quatuor F, G, H, I nulli fiant, tum ad naturam punctorum,& tangentium positionem cognoscendam, illi termini assumendi sunt, in quibus x, 9 quatuor obtinent di me siones. Obtinebitur proinde punctum quadruplum , in quo vel duae ovales evanescentes simul conjunguntur, & duplex existit punctum conjugatum I vel una tantum ovalis nullescit, 3c punctum inest conjugatum, atque simul duo curvae rami se secant, aut tangunt, prout duae reales radices inaequales fuerint, vel aequales,' vel tandem quatuor rami curvae se intersecant, aut tangunt, prout quatuor reales radices vel inaequales fuerint, vel aequales . Hoc progressu aperte.
cognosts, quid curvae accidat, si assumendi sint termini quinque, sex, aut plo
I . Quemadmodum ad cognoscendam naturam ramorum in infinitum e tensorum satis nobis non fuit, determinare. lineam rectam, seu asymptotum reis Quia eum, eum quo curva in infinitum producta confundatur , sed etiam simpliciorem curvam definivimus, eum qua nostra in infinitum extensa arctissime congruat; ita in praesentia ad curvaturam penitus eo noscendam post inventam directionem rectae tangentis, oportet determinare curvam simpliciorem , cum .. qua curva in dato puncto maxime cohaereat; qui arctissimus contactus a geometris vocari solet osculatio. Ut rectum ordinem sequamur, hane definitionem praemittimus. Duarum curvarum minimi arcus duo AM, AN Fie. ε) habentes communem tangentem sese osculari dicentur, quum ordinatarum LM, LN cuicumque ab sciliae r spori dentium differentia M N ad ipsas minorem habeat rationem quaeumque data. Fac advertas ad rationem osculi non sufficere, ut M Neisiarentia ordinatarum LM, L. N, quae extremae sunt, sit ad ipsas in ratione minore quacumque data, sed requiri, ut hoc veri ficetur in ordinatis omnibus, quae mediae sunt inter puncta A, L ita, ut sit ubique QR: P aut P R in minora ratione quacumque data . H s praemii is . 3s. Ajo, circulum cujus radius m a osculari phrabolam apollonianam in vertice , cujus parameter a. Sit circulus AMB, cujus radius C Am C B- is, & parabola AND , cujus parameter m 2 a . Accepta minima A L agatur L M N.
tracta radice L N L M H , sequentes termini negliguntur, utpote eva-
432쪽
minor est quacumque data. Quae demonstratio valet, quodcumque sumatur pu Elum P inter puncta A, L; igitur sese arcus AM, AN Osculantur. Q. E. D. Quoniam circulus eamdem ubique obtinet curvaturam , utile semper visum est geometris cognoscere circulum, qui curvam osculetur in dato puncto. Ex hae vero propositione si determinata sit parabola , cujus vertex in dato puncto cu
vam olculetur, cognoscetur etiam radius circuli osculatoris , & institui poterit comparatio inter curvaturam curvae in dato puncto, Sc curvaturam circuli. I venta per curvaturam circuli curvatura parabolae vulgaris in vertice , cum has comparo curvaturas aliarum parabolarum in vertice . Hanc ob rem sequentes propositiones enuncio, quae maxime attendendae sunt.
Io. Parabolam ARM F. s), cujus aequatiosita' ' M ' αν existenter x .
nequit in vertice osculari parabola apolloniana, tametsi parametro praedita stinfinita. Sumpta minima A L agatur ordinatx LM. Ex natura para .ae erit
ejus parameter m . quae est infinita. Parabola itaque vulgaris hac A L parametro descripta transibit per punctum M. Sit ea A M. Ne tamen iudices arcus A RM, A QM sese invicem osculari. Nam sumpto quolibet puncto P ,
& ex proprietate parabolae conicae A Q. Igitarordinataque PQR, erit ex proprietate parabolae ARM , a . A P m P R,
In qualibet data ratione majoris inaequalitatis ς ergo etiam PR r PQ potenesse in qualibet data ratione majoris inaequalitatis; erici QR non est min λptae PQ, PR; non essese osculantur arcus ARM, A M. Q. E. 17. Iis : AL Ap ; sed AL: AP est Disilired by Cooste
433쪽
in vertica parabola apolloniana, tametsi s dita sit parametro minori qu euinque data. Eodem instituto calculo perveniemus ad aequalitatem
putes parabolam apollonianam A R M hae parametro deseriptam osculari aliam In vertice. Nam sumpta alia abscissa AP, actaque PQR, habebimus has at
Pa: PR: . A P ': AL . A P. AP ' : AL , ergo Par PRpotest esse in qualibet ratione minoris inaequalitatis . Ergo arcus A QM, A R Nsese invicem osculari non possunt. Ex his colMg s velim, nullam parabolam, fiexcipias apollonianam, in verti ea habere circulum osculatorem, tametsi diam tro praeditus sit aut minima, aut infinita; quare curvatura omnium parabol rum in vertice, excepta conica, est generis toto coeli diversi a curvatura circulari . Hoc autem geometrice demonstrandum euravi, quia analyssae ad unum omnes docent, curvam, cujus radius osculator fit aut minimus, aut infinitus, habere pro curva osculante parabolam aliquam in vertice ab apolloniana diversam. Quae doctrina, quum vel maxime abhorreat a veritate , a geometria in perpetuum ejcienda est . Quinimo curvaturae in vertice parabolarum diis
versi ordinis sunt generis omnino diversi : quod ita demonstrandum aggredior. 18. Potito quod - α - , ajo parabolas, quibus conveniunt aequationes m 'κ in Α , P non posse sese in vertice osculari, licet AE pa rameter primae sit infinite exigua, aut o parameter secundae infinita. Prima parabola sit ARM , seeunda Ad M, & ordinata communis sit L M. Ex aequa
tionibus erit a' A L M', AVi L . Ergo
434쪽
quae esse potest in qualibet data ratione majoris inaequalitatis; ergo R minima nonost respectu rectarum P O . P R . neque osculantes sibi invicem sunt arcus ARM, A M. Quandoquidem quilibet vertex diversarum parabolarum, diversi generis
sumatura praeditus est, commodum erit referre curvaturas curvarum ad diversas curvaturas, quae habentur in parabolarum verticibus . in .imobrem ducta Hnormali tangenti CG, Fig. I) in eamque demisia ordinata EΚ, oportet a quationem revocare inter CF, FE, quae est hujusmodi nempe AN BF--c κ' DNν Es --Fκ'--Gκ'3ce. α o Setransferre ad novas coordinatas CK, E, vocatis icilicet CK. - ν , Κ E m u. Prnamus rationem ordinatae BC ad subtangentem BG, seu minimae FE ad minimam CF, seu subnormalis BH: BC esse ut a: -b; igitur trianguli HB Clatera B H, BC, CH erunt ut a, - b, - da a b b. Praeposui fignum luantitati radicati quia quantitates a b supposui diversis fgnis an ectas, primam scilicet secundam - . Cceterum in accipiendo signo quan titatis radicalis haec regula tenenda est; si duae quantitates a, b idem signum praefixum habeant, radi eali praefige signum -; praefige autem signum se , si ipsae signis affectae sint diversis. in ealeuto instituendo, quia posui b assectam signo se, etiam daa--bb eodem signo afficiam. Ex puncto F dueantur FL, Fl novis coordinatis parallelae. Similitudo triangulorum has praebet analogias CH. CB.: CF: FL
435쪽
- a a--b , terminabuntur hoc modo π - --, 3 mi - . Si valores Ia arim ob - da a- - b bhujusmodi substituas in superiore aequatione, habebis aequationem inter ν, Sc ' quam requiris. χα bi coemeientes A, B ambo non desint in aequatione, quam hypothesim primum tractandam suscipio, constat fore A m a , B b. Quum ex aequati ne constet Ax--B3 aequalem esse superioribus dimensionibus κ, 9, quum Raminima venimus, patet A --Bs fore minimum prae alterutω rectingulo Ax, By, adeoque etiam prae - ΒΝ -- ay; Ergo i erit minima respectu u. Ergo in aequatione, si eXcipias Aκ-HB3, quae aequat-t AEA--BB , licebit pro κ substituere----- , pro 9 scribere ---- Igitur m- dAA--BB IAA--BBquatio in hanc mutabitur
vertex osculatur curvam in puncta dato. Si vero CB - D ABH-E AE mo, tum in paralogismum caderet, qui post secundum terminum etntinentem v reliquos omitteret; nam tertius respectu secundi non evanescit , sed potius secundus respectu tertii. Quare aequatio proveniet
436쪽
ius vertex curvam osculatur; Atque ita progrediendum est deinceps aut testen. tibus eoessicientibus superiorum potestatum. Quaeres utrum parabolarum oleulanistium parametri infinitae esse possint. Infinitae sine dubio erunt, qgoties existente infinita aut A, aut B denominator fractionis respectu numeratoris nullescat; erunt autem minimae , quoties utraque minima existente numerator respoctu denominatoris nullescat. 2aa. Si ambae A, B α o, tum spectandus est secundus terminus CΝ , qui est secundi ordinis. Omittamus casum, in quo nullus sit faHor realis, qui quum exhibeat punctum conjugatum, nullum locum relinquit neque contactui, neque osculo. Si in praedicto membro duo insint factor s reales inaequales, qui fiat,st,m κ-- ns facta divisoae per proveniet
ubique, excepto in pro quo scribendum
is qua si coeffici eas termini My non mo, habes parabolam apollonianam otieulantem curvam propositam. Si coefliciens u sit mro, computato sequenti te mino eadem methodo invenies parabolam cubicam ; quod si etiam coefficiens M' sit mo, ad parabolas superiores quemadmodum antea devenies. Methodus haesaeque valet, quoties eumque in primo termino qui non deest in aequatione, exi instit factor simplex realis, qui non habeat aequalem. Etenim iacta divisione per alterum iactorem, qui ductus in aπ-bs dat primum terminum aequationis , peractisque ut antea iisdem substitutionibus, semper inveniemus pro curva ostulanta aequationem ad parabolam hujus formae m existente m num m integro. Quod si sectores primi membri duo, aut plures suerint aequaJes, res est altioris, ac dissicilioris indaginis . Nam licet ν debeat esse minima respectu ritamen non possunt, quaemadmodum antea fecimus, omitti termini omnes , in quos ingreditur i, sed duntaxat illi, in quibus exponens t est aequalis, aut maior numero factorum aequalium . Ut gradatim procedamus , proponamus aequa tionem a set y --Fκ'ή-Gκ'ν--HκFκκ' &e. mo. Pro κ sub- si tuto --, pro γ autem ----- proveniet redactis ad breviorem
sormam coemeientiIus &e. m Gnam manifestum est terminos ubi esset ς', Τλα respectu ad eos, qui scriptisust, ev nestere. Sic m o, non autem d, aequatio eoasstet in terminis it --du'mo, quae est ad parabolam secvadam cubicam, & haec est eurva osculatrix . Si praeterea tam d quam e m o, aequatio erit xx fu'mo, quae in duas potest r solis
437쪽
solvi nempe u f sit positiva, eurva est imaginaria, & punctum est conjugatum. Si f sit negativa, duplex habetur parabola apolloniana curvam
osculans una ad partem x positivae, altera negativae, caeterum utraque parabola eadem,' atque ita progrediens nullescentibus terminas, in quibus adest x, parabolas osculantes determinabis.
34. Nunc ponamus e non mo, si neque dra o, pateas est ru' minimam esse respectu M. Quare aequatio subsistit in termials νι- d ut antea. Verum si d m o, evanescente rvi respectu i aequatio consistet in terminis
si v ejusdem gradus ponantur, omnes te mini inveniuntur ejusdem gradus. Si aequatio nullum habet factorem realem , Indicat nullam esse curvam osculatrieem sed tantum ibi adesse punctam conj Mium . Si vero habeat duos iactorex re lex . relblvetur ia duas huja formaer Μu , quae indicant duos ramos eurvae, a duabus vulgaribus parabolis osculari; quae duae parabolae in unam coeunt, quoties duo factores aequales sint is Si etiam fmo, evanescente tu respectu aequatici statuatur in terminis δι - cxu in humo .. Si r , u ejusdem gradux ponant ut esse, o respecta horum evanescet; quare aequatio duos tantum terminos complactetur ιν-Heru' quae divisa per x exhibet cu mo, quae est ad parabolam apollonianam. Si vero te ponatur ejusdem gradus aeu seue ae u , t est infinite magna respectu reliquorum terminorum; ergo aequatio non potest subsistere. Ponamus ejusdem gradus , t respectu reliquorum terminorum evanescet ,& aequa. tio versabitur inter ultimos duos nempe et u --ώu)io, seu et bis mo, quae dat parabolam primam cubi eam pro eurva osculante alterum ramum. Idem dicas velim, si existente bra a consideraadux foret terminus M , atque itR d
inceps ἀas. Si e , & d m o non autem eς si non sit mo evanescet tis respectau ς Ergo aequatio ν α -fu' quam paullo ante invenimus. Si fmo, ev n scente i u respectu uΤ tres termiat erunt considerandi nempe tiri, ru)--θ u'm s. Ia hae alia non potest valere aequatio praeter ιι-uu ino, quae exhibet Parabo. Iam osculantem. Si bmo tres termini erant considerandi, hoe est ι -- r u -- u qui omnes sunt homogenei, si e sit ejusdem gradus ae . . . Equatio vel nullum habet factorem realem, & indieat punctum eonjugatum: vel duos factseres reales habet, & ad duas parabolas erit is ae ναμω , quae duae parabolae duos osculantur curvae ramos. Hae autem ici unam. coeunt, si factores aequales sui. Si εmo, aequatio oriretur is et u sensis mo, ex qua duae eliciuntur aequa tio es nempe νι - - et 'mo sive ν--eu'mo, quae est parabola osculans a
438쪽
num ramum; tum e r M' mi mo, seu, in quae est parabola osculans ramum alterum; atque ita deinceps. ν16.Qaare in his casibus generalis aequatio prodibit u - - B u m o, in qua p debet esse κεἰ si enim eget aequalis, aut major secundus terminus praetertio evanesceret; ρ autem debet esse I, quia si esset aequalis, ν non tu nesceret respectu u. In aequatione si ρ α χρ , omnes termini sunt homogenei. AEquatio autem vel nullum habet factorem realem , & tunc indicat punctum conjugatum; vel duos habet factores inaequales, & tune resolvitur in duas hujus sorinae Vm. Mu , quae dant duas parabolas ostulantes I duae autem parab lae in unam conveniunt, si factores aequales sint. Si ap εἰ aequatio sbia r sultat ν δ -- B u mo; quae aut resolvitur in duas si q sit par, aut dat parabolam unam osculantem si ρ sit impar. Demum si xpse; duae valebunt R- quationes hujus formae Au mo, At -- Ba Go, quae praebent duas par
bolas osculantes duos ramos curvae in eodem puncto. 27. Si factor duplex aκ- - ν multipliearetur per quamlibet aliam sancti' nem integram π,y, e aem valeret methodus. Nam facta divisoae . si substrutuantur pro κ ,9 va ores dati per l, u; manifestum est in divisore omnes ter minos continentes s evanescere respectu ejus, qui complectitur solam u. am divisione peracta redibit aequatio habens eamdem formam quam superior. 23. Simili modo, si in primo aequationis membro factores aequales fuerint tres, perveniemus ad formulam ν Axu--Bru- Cu m o, in qua ρ non
potest esse V 1, 3c est ρ αρ, r. Si tam A, quam B m o, aequatio fiet
ν --Cu mo, quae dat speciem parabolae ostulantis. Si ν seret divisibilis per 3,
extracta radi ea eubi ea fiet ν α - n C. Quum iri habeat unum valerem
realem, & duos imaginarios, habebimus unam tantum parabolam osculantem curvam in puncto dato, in quo spectandum punctum conjugaium propter duos va lores imaginarios Iri. Si ap m ρ, δι 3p α r, ex quibus nascitur tertia existentibus t , i. ejusdem gradus omnes termini sunt homogenei , neque ullus omitti potest . Formula vel habet unum factorem realem, ac duos imaginarios δέ tune limul cum puncto conjugato habebitur una parabola osculans sormaer m M t'; vel tres sunt factores reales, & tune tres sunt parabolae osculantes omnes formae ejusdem; dua autem, aut tres in unam coeunt, si duo, aut tres factores aequales sint. Si praedicta proportio inter exponentes locum non habet, unus, aut duo termini negligi poterunt, inter alios aequatione intercedente. Ut autem cognoscas inter quos terminos aequatio statuenda sit, hane sequire meth dum. Pone successive singula terminorum paria in eodem gradu; observa quid fiat reliquis terminis. Si in eodem gradu reperiantur esse, omitti non possunt, 1 ed in aequationem ingredientur; si inveniantur minimi, hi omittantur & inter reliquos aequatio consillet; si unus ex istis respectu ashmptorum infinitus pr Veniὸt, ea aequatio valere non potest, & reicienda est. Ita determinatis aequationibus parabolas omnes invenies, quae curvam propositam osculantur in puncto dato. Eadem methodo procedendum, si factores aequales fuerint quatuor , quin
439쪽
, 2ς. Ex his, quae hactenus tradita, atque explicata sunt, eonstat, nul Iuni
esse tu curva punctum, in quo alicujus parabolae vertex curvam non osculetur. Igitur diversae curvaturae genera jure optimo per diversa parabolarum gener possumus discriminare. in plura autem genera, prout res, ac methodu1 Polcit, parabolas omnes tribuamus. In primo genere eas constituo , quae continentur aquatione hujus sermae t m AC existentem numero integro. Punctum, in quo haec parabola curvam osculatur, est simplex. Si m m a, curvatura comparabilis ell cum curvatura circulari, neque quidquam habet singulare. Si m m 3, cu va in eo punisho praedita est flexu contrario, & ex eoncava transit in convexam. Si m 4, flexus contrarius apparet nullus; verum in hoc puncto solet spectari
fi xus contrarius duplex ita, ut curva transeat a convexa in concavam, tum a
concava in convexam, quae puncta flexus, ut ita di eam, invisibilis purcta amgurnea, seu serpentina lolent nuncupari . Si m m s , iterum flexus contrarius visibilis, sed triplex spectatur, quia curva a concava fit cCnvexa, tum iterum concava, iterumque convexa. lta successive in casibus superioribus, ita ut mi merus si Tuum sit m - 1; si m sit par, pui ctum est serpentinum ,& flcxus in vili bilis; si m si impar, iii xus contrarius apparet. χgo. Secundi generis parabolae praeditae sunt sormas , quae ostendunt puncta dupla aequivalentia icilicet duobus punctis simplic bus . Si m m 3 , Fig. M prodibit culpis primae speciei, quae a 'g. o repraenetenrarur, in qua duo rami ad eamdem partem positi sibi mutuo convexitates obvertunt. Si m Fig. Jorietur. forma figurae 7. , sed haec nihil aliud est, nisi duplex parabola primi gradus. Generatim autem si m sit impar, rami parabolae osculantis lunt ut in
fg. o, si m par ut in fig. 7; verum in hoc secvado casu duplex est par. ta
Au φ . Itaque punctum duplex in curva habetur, vel quum adest
punctum conjugatum, vel quum eurvam osculantur in eo duae parabolae generis
primi, vel quum parabola oliculans est generis alterius. 3I. Parabolae tertii generis exprimuntur ab aequatione punctum auo tem, ubi curvam hae parabolae osculantur est triplum. Si 4 figura est similis apollonianae , si m m s adest flexus contrarius, si mrao, provenit una pDrabola ordinis primi formae t Au , & propter duas alias aequationes imagianarias provenit punctum conjugatum duplum . Generatim si m sit impar, figura habet flexum contrarium, si par est similis apollonianae. Verum si divitibiis lis sit m per 3. habebitur parabola generis primi simul cum puncto conjugato. Quare punctum triplum in curva habetur, vel cum parabola est generis primi simul cum puncto conjugato; vel quum tres adsunt parabolae generis primi; vel quum una generis primi, alia generis secundi, vel quum una tantum generis tertii. 31. Ne tamen putes, methodum adhibitam demonstrare eurvam reapse haberi, ejusque ramos ostendere. Hoc solum probat, eam parabolam Olculari curvam, si curva adsit. Verum fieri potest, ut curva ejusque ramus imaginarius sit; quo in casu habebitur punctum conjugatum. Ostendamus hoc exemplo facili. Suppona-2 6 Inus nos pervenisse ad aequationem ι - o. Utentes me
440쪽
t mo. Si quis autem ex hoe laserret , haberi curvam In eo puncto, quod duplum est, ibiqui ostulari a duabus parabolis apollonianis, quae in unam coeunt, in errorem apertissimum laberetur, quia ibi nihil existit aliud praeter punctum conjugatum duplum. Quod tibi constabit si aequationem propositam 2 resolvas modo vulgari ' nam invenies t m - α - , .
quae semper imaginaria est. Igitur ex nostra methodo hoe unice colligere potes, parab tam inventam esse osculantem, si curva adsit. Verum haee potest esse imagin ria ratione eorum terminorum , qui propter exiguitatem omissi sunt. Qua propter nisi tibi constet curvam realem, ibi esse, oportet, ut per aliam methodum hoc investiges, antequam quidquam pronuncies.
33. Si aequatio proposita esset hujusmodi p
ut antea omita ultimo termiso inveniremus duas parabolas apollonianas osculantes, quae in unam coeuntis Parabola apolloniana habet duos ramos, qui abscissam ν complectuntur. Num propterea curva habet aut unum aut duplex par ramorum complectentium abscissam σὶ Qui hoc putaret , uberetur in paralogismum, quia duo rami ad partes u positivae evadunt imaginarii , realibus existentibus duobus, qui ad partem n negativae positi sunt. Nam si resolvas a 2 v j quationem, invenies ν - - α -- - . Haec si v fit positiva est imagua asa a. o 'naria, si v sit negativa est realis, & duplex valor ν duos ramos ostendit . Ram itaque AB, AC sese habebunt, ut in figura octava. Utrumque aut mosculatur eadem parabola apolloniana. Ex hoc exemplo apparet, cur ombilis sit cuspis secundi generis, in qua sellieet convexitas unius rami obversa est alterius cavitati, de quo diu multumque certatum est. Hoc non ideo accidit, quia parabolae osculantes hane figuram habere possint , certum enim est, hoc evenire non posse, quia una parabola non potest habere ramos ita constitutos; duae habent semper duos ramos alios, qui conjunguntur eum hisce . Caussa cur haec cuspis haberi possit in curva est, quia ratione terminorum sequentium duor mi ad partes ordinatarum positivarum fiunt imaginarii, dum reales suat illi, qui jacent ad partes ordinatarum negativarum, aut viceversa. 34. Quandoquidem omnium parabolarum curvaturam in vertice esse proprii generis constat, videamus quaenam sat curvaturae earumdem parabolarum in aliis punctis. Ut brevitati consulam aequationem parabolarum aecumenicam itae pono P me suppositan majore quam unitate. Quare sumptis ordina