장음표시 사용
61쪽
laci remineulum sub segmentis inius OMR aequale sit rectangulo sub segmentis alterius SQ , quum utrumque sit aequG. quadrato, quod sit ex CK. Secundo, quod si per eadem byperbo Fio.a . pud u M, SI ducantur duae quaevis aliari muriae VAZ in utramque asymptotum
iter tumulati, restangulum M v sit etiam quale rectimauio SZ. Nam re lapsui xoMR ad rectaneuluin Mu rationem habet compositam ex Moad MT. e M ad MV;sive etiam ex SP ad SXm ex SQ ad SZ,
quum sequiangula sint, tam triangula MnPSX, quam triangula RMU NS . Sed duae istae rationes componunt pariter rati nem, quam habet redi. gurum PSQ ad re elanguium XSZ. Quare erit ex aequali uti
propterea , sicuti rectangulum M est mquale rectangulo PSQ, ita quoque re lapsu tum MV aequale etsi rectangulo S Z. picis orti , quod etsi rectae V IZ non 'rant In directum cum rectis MT,SX,-- tamen parallelae siue inter se. tam istae quam
62쪽
V , ita rectineulum PS ad rectangulum rari Unde, sicuti rectanguium OMRχ-nim est,quale restingulo Psa, ita quoque tectangulum M aequale erit rectangulo
Et quarto demum , quod , si rectae T Fio.a6.SX ad unam asymptotum ducta , sint parat telae alteri astmptoto rectangulum G suaequale rectangulo CXS. Nam completis P. rallelogrammis in CS erit rectanguluin
quale tectangulo CTM. Pariterque, ob aequa les ST, X, rectangulum XSZ est aequale rerimngulo CXS. Quare erit etiam rectangulum Tinaequale rectangulo CXS. VI. Asymptotis hyperbolae competit ae , . etiam haee alia proprietas , quod portistis eu- iνt-
Maneant enim omnia, ut supra, Fio.a . tu utcumque recta ox, quae tum curvam, cum asymptotos secet . Dico portiones duas Noe, SM, hyperbola in asymptotis intere pias aequales esse inter se. Jam enim,ex ostensis rectangulum M Rest aequale rectangulo OSR. Sed,sectara brusillam in punctos,aequalia sunt quoque quadrata, in sunt ex ipsis NO, NR. Quare erit, in No quadratum ad rectangulum OMR. uaNR quadratum ad rectangulum omine-vertendo erit etiam , ut No quadratum ad MN quadratum itam quadratum ad SN quadratum. Hinc,
63쪽
Hinc, quum sit, ut NO ad m, itam Rad SN erit rursus convertendo , ut O MMO, it γ' ad SR S re duae No UR intersi sunt aequales rivum ex constructi e tota OR bisem sit in puncto Q. Quare stum
aequales erunt duae Mo, sR . . vii VII. Ex hac autem proprietate prono al- , zzia, veo fluit, quod si recta, ad a mptotum term et V vita , bifariam secta sit in puncto, in quo ιν- ων-,' his perbola occurrit, ea sit - ui ι παρον - - Recti etenim PQ, terminata ad utraminque asymptotum, secetur sulani in punctor re, in quo eurrit hyperbolae Dico, 'dem resum PQ contingere hyperbolam in solqpuncto T. Si enim fieri potest, eadem recta PQ oeta currat etiam hyperbola in punctos. Itaque, per ostensam proprietatem, duae T QV- quales erunt inter se. Sed ex hypothesi PT,
est aequalis ipsi QT. Quare duae uri in io'
ter sis erunt aequales. Quod fieri non potest. viii. Viu. Husdem proprietatis ope. licebita - - etiam, emves m hujus ostendere . Nimirum, zzz quod si recta PQ , hyperbolam contingens in
in inari T, ad utramaue asymptotum terminetur; PO
' tiones eius PT, QT inter se sint aequales. Fio.a Ducatur enim recta alia x, ipsi PQ Parallela rimo secans hypqrbolam in punctis, cum utraque ah mptoto similiter conveniat damque, siex punctum iantactu diametur ducatur, erit eius ordinata rerus adeoque eadem Myasi metro illa bim: riam secabitur in N.
64쪽
etiam aequales erunt propterea tangens
PQ bifariam secta erit in pundio contactus T. IX. Atque hinc modo , determiamtis ιν- αιυ-Mae a mptotis, nulla negotio rimetursan. interm -- rem in at quod e us minum . Maneant enim c. ... inii, ut impres. Et oporteat, ranstentem du, g . tur 'g'cere ad punctum hyperbolae T. a 3να--- Ducatur expuncto Tredita TX, parali, la asymptoto CH , quae conveniat cum asym ' 'ptoto alter CE in punicto X. Capiatur postea super eadem asymptoto CE portioinaequa .
lis ipsi X. Et rebati ducta per punsium.
Merit tangens quaesita. Quum enim ex constructione parallelae
snt recta TX, C ierit, ut PX ad C X., it PT ad QT. sed X posita est aequalis ipsi Cn. Quale etiam re ipsi . mitialis erit:
propterea per ea, quae mox ostensa sunt, recta PT tangens erit hyperbolae. X. Ex ostensa tangentis proprietate ii addi Iud etiam consequitur , quod si duae BFperbolae γνεα-- tangenter, ad utramque a mptotum terminen-rum, eae δε eadem ratione feri sint impuncto, εα Mimnis quo i mutuo occurrunt. zzzz. . . Nanentibus namque omnibus , ut supra, rsnt PQ, in duae hyperbolae tangentea ad ita
utramque asymptotum terminatae . Conve Fia.as. niant autem tangentes issu, inter se in puncto V. Dico fore, ut RV ad V, ita HI ad EU. Dusantur enim ea tui Isui contae itis ,
65쪽
ε SECTIO NuM CONICA RuM rectae ax AZ asymptoto in inmiti iis, quae conveniant cum asyinptoto alier in lativinis X Et quouisti, ex superimos sis tectangulum CXT est aequale rectam. sulo CZA;erit ut CK ad CZ,ita AZ ad X. Quia autem, ob tangentes PQ in hiis l. ctas in punctis contactus T. rectae CΡ, CE sunt duplae ipsarum CX, CZ; erit,ut CX ad Cn. ita CP ad CR. Et similiter, quia , ob. easdem tangentes rectae CH, Cinunt duplae
ipsarum AZ TX4 erit , ut AZ ad v, MCQ. Unde erit ex aequalia ut CP ad m, ita ad , Hinc triangula duo PC. ECH aequalia
erunt inter se et proindeque , ablato communit rapetio CEV erit quoque triangulum PEU aequale triangulo Quumque duo l ista triangula habeant unum angulum uni an lgulo aequalem , habebunt quoque latera esse eum aequales istos aligulo reciproce propor itionalia, propterea erit , ut P V ad QV. ita HV ad Ev. xi I. Exinde vero consequitur ulterius, tangentem verbolae , ad ινι ramque a mpto i
o tam terminatam actualem esse coniugatae illius υναιω. diametra, quo transit per pusetam contactus
et, Iam enim ostensum est TV esse ad QU.ὰ .-- , . ut est, ad EV . Quare , addendo antece-zzz dentes consequentibus erit, ut Pu ad PQ, ita -- - . HV ad m, S, capiendo conseqqentium dimi. Fim 3-dia,erit quoque,ut PV ad PMita HV ad HA. Quoniam autem , dividendi, Tu est ad Pr, ut A V ad HUa capiendo rursus conseisquentium dupla, erit , ut TV ad PQ, ita A Uad
66쪽
DE MAE N DA . ει MEH; ' permittando erit etiam, ut TV ad ΑV, iis PQ ad EH. Iam Hr ei, quae similis ostein sunt, TV est vir Av ut est eoniugara metri, mae transit per punctum , ad coiijugatam
diametri, quae transitiet punctum A. Quare ex aequali in hae eadem ratione erit pariterrangens D ad tangentem ΕΗ Αtqua hoc quidem generaliter verutti
est ubleum- optantii puncti contactus T. A . Quare verum etiam erit, quum Pu A est vertexitis hyperbolae. Se in isto casu tangens in aequalis est axi majugato, Et igitur etiam tan in altera PQ equalis eritaeoniugatae diametri , qua transit per punctum
- XII. ab quibus modo prono alveo fluit, Ill
Quod uum ita sit , iique etiam Uni ρ,---, motos hyperbolae determinari posse adhibitis, non solum axibus , verum etiam duabus quihusvis aliis diametris conjiigatis ς quum diagonales parallelogrammi descripti circa diametros , sint etiam diagonales paralle gran mi, quod describitur circa axes.
Unde quitur quoque, quod si per aliquod hypei in punctum recta ducatur aliaeui diametio parallela , quae cum utraque asymptoto conveniat 3 rectangulum, quod sub et Iesm:iuis continetur , sit aeqviae qua-
67쪽
SECTIONUM CONICARUM quadrato ,.qiurii sit. ex dimidio diametrior HXlΠ. XIIl. Illud . quoque . nolim hic silentio
FH., sin quo tiam EG , FH binae ejus asymptotia Dico, angulum ECH , contentum sub asym, ptotis .esse rectum, obtusum , vel acutum , prout mis AB est aequalia , minoris His in eo queato suo Icta , , , Posiamus primo , axes AB, KL aequat esse inter se a quoniam rem Ere, quae hyperbolam contingit in A, est aequalis ipsi KL;
erunt AB EH pariter aequales S consequenter, tam AE , quam AH ipsi C aequalis erit. Unde angulus Cinaequalis erit duobus an sulis EH, CHE; atque adeo rectus erit. Ponamus secundo, axem Ad inuioreli,
esse coniugato suo KL . Et quonitu tangen, EH est, qualis ipsi KL , erit As minorinumque , quam EH in consequenter C minor
itidem erit unaquaque ipsarum AE, AH. Undo angulus C major erit duobus angulo
CEH, CHE in propterea erit obtusus. Ponamus denique , axem AB majorem esse suo conjugato KL . Et rursus , quia tangens H est aequalis ipsi XL erit AB major quoque,quam Ela: consequenter C maiqe itidem erit unaqu que ipserum AE, AH. V de angulus in minor Orit duobus ai gulisCEH, CHE atque adeo erit acutus. XIV. Cae
68쪽
tremis, sive infinit a centra Astantibus , Acile nil nequidem erit ostendere. γοῦ. ii Contingat itim hyperbolam i iti iacto h.
quovis E tedia ET , quae conveniat cum a Xe eontradi
AB in puncto T. Sitque etiam A X recta, quae ' eandem hyperbolam contingit in A. Olfendendum est, tangentem Erasymptotum fieri, ubi pulictum contactus Dabit in infinitum. Ut tangens Erasymptotus sat , duo quidem requiruntur. Primum est, ut punctum accedat ad centum ipsius hyperbolae Q. Alterum,ut A X aequalis fiat dimidio axis conjugati K . Unde eo res redit, ut ostendamus duo ista obtineri , quotiuicumque abit in infinitum punctum contactus E. Ducatur itaque ad axem AB ordinata EG . Et propter tangentem ET, erit, ut CT
ad A, ita C ad G sed. abeunte in infinitum puncto D in fit insilite minor respectu ipsius CG . Quare etiam C infinite minor erit relate ad CA dc propterea punctum T ad
Deinde, quum punictuma abit in infinitum, rectangulum AGB non differt sensibilitera quadrato, quod fit ex CG sve G; quum differentia sit q*adratum ex CA , sive H, quod evanescit relate ad quadratum ex CG, sive G. Unde erit, miti quadratum ad rectangulum AGB , ita idem EG quadratum ad T quadratum Jam. Propter hyperbolam,LG quadratum
est ad rei tangulum AGB , ut C quadratum Tom. H. E d
69쪽
gul, TUS, TAX, EG quadratum est ad Gquadratum , ut AX quadratum ad T , sive CA quadratum Quare erit ex aequali ut CK
quadratum ad C quadratum , ita AX quadratum ad idem CA quadratum in propterea duae Ax, C aequales erunt inter se. V. molim autem hoc loco reticere,
ι DaεαM , quos describatur parallelogrammum EFGH. P Ducuntur in parallelogrammo isto diagonales EG, FH. Et quoniam hujusmodi diagonales dividunt bifariam latera opposita alterius
parallelogrammi AKBL; per superius osten-D, eae erunt diametri ellipsis aequales. Verum quidem eri quod diametris hisce non competit illa eadem proprietas, quae iii hyperbois asymptotis obtinet . Ibi enim
ostensum est , quod si uni ex axibus , veluti Κ , parallela agatur O , quae tum hyperis boliam , cum asymptotos secet , rectangulum
OMR sit aequale quadrato ex CK . Quod tamen in ellipsi minime locum habet. interim,si consideremus, quod rectangi him M sit aequale differentiae quadrato rum MN, No; simile quidpiam etiam in ellipsi comperiemus . Nam ducta hic quoque Geta OR, ipsi L parallela, quae secet tam elli plim , quam diametros aequalem; erit summaquil dratorum MN m aequalis quadrato, quod sit et . In
70쪽
E L Em A. In eadem etenim ratione , quam habet sive A quadratum ad GA quadratu iri, est . iam MN ii ad ratum ad rectangulum AN B quam No quadratum ad CN quadra, tum . Quare in eadem illa ratione erit quoque
summa quadratorum MN, No ad C quadratum: propterea duo quadrata MN, Noaequalia erunt' drato, quod si ex K.
Proprietates, quae parabo tangentibus, ecantibus competunt, ostenduntur.
Omplectemur eodem capite prOD Prietates, quae competunt an . . I gentibus, secantibus parabolae;quia numero Pauciore iunt, nec adeo longilis nos ducent A primo itidem circa tangentes parabolae
jam illud superius ostensum est, quod si ιη-tice alicum iam tri rem ducatur,d natis ejus paratula, ea tangat parabbiam iosis impertice. Nusac autem subjungemus, quod in locum , angente , ct parabola οπιον- tam nulla alta cadat recta lisua. Sit enim parabola AM, cujus AB fit dia . meter aliqua. AD parameter ejus, DAH re dia,Ordinatis ejusdem diametri parallela. Dico,
quod sicuti recta AH contingit parabol min solo vertice A , ita in cum contentum Mosente, meadem paraboli, mi alia recta is li-