장음표시 사용
151쪽
Post tum atque hae sit linearum aequi distantium notio. Iam inter ea, quae sibi concedi vult Euclides, illud tanqtiam naturali lumine notum, quodque nullo modo demonstrari possit, postulat nimirum si linea PD incurrens in rectas TO , SP, duos essiciat angulos ex eadem parte posi-
152쪽
i rusti nempe P , TO , minores duobus rectis , ore
ut ex illa parte producta lineae PS, O tandem concurrani . Quo enim sunt angustiores anguli P, m eo magis annuunt, quasi coire gestiunt recta P S. Di, atque adeo protractae aliquando tandem coibunt. Id sane mihi non aegre dabitis, quod ipse Euclides demonstrare non praesumit Nec vobis excidit, quod superius deis monstratum est, scilicet rectam OP, quae cadit in lineam SP A, duos angulos ad P, vel rectos, vel certe duobus rectis aequales efficere: at .aue eodem prorsus ure, duo anguli ad punctum O existentes duo. biis item rectis aequantur adeo ut quatuor anguli ad puncta O, P. ex utraque parte constituti, vel quatuor sint recti, vel quatuor rectis sint penitus aequales. His igitur positis, atque concessis, nunc quid
Primum hinc colligitur duos angulos Patio, ex eadem parte collocatos vel ut clarius loquar, angulos interiores SI O, D TU duobus rectis angulis aequari. Non enim minores fingi possunt, quia Theorema ex parte S, T, si rectae PS, UT producerentur, procul dubio primum. coirent, quod est contra hypothesim supponimus quippe linea PS, A O cesse parallelas, innunquam concurrere Sed neque praedicti angulis, in majores duobus rectas diei possunt. Siquidem anguli '' DOP, D OPA ex altera parte collocati, duobus rectis minores forent quod tantiim his decedat, quantum illis accrescit Hoc est, ctu quatuor anguli ad P, in positi simul sumpti sint quatuor rectis aequales csi contenderis duos SI O, OP duobus rectis esse majores, necesse est ut duo reliqui APO,&DOP duobus rectis esse minores existanc atque adeo lineae SP, productae tandem coibunt ex parte A, M, quod rursus pugnat cum hypothesi. Cum igitur duo anguli SPO, TOP, ut majores, sic minores dici nequeant, restat ut duobus rectis aequales sint. Quod nobis probatum
Secundb ex iis, quae eoncessa sunt, colligo duos angulos Io, Minoae, qui alterni dicuntur, inter se omnino esse aequales. Cum era nim ii duobus, quae sibi aequalia sunt, quiddam commune aufero, Superestant adhue sunt aequalia Atqui duo anguli interiores, ex eadem parte SPO, OP duobus rectis aequantur, ut quam mox demonstravimus. Sunt itidem duo anguli OT, kHOD duobus rectis aequales nam linea O cadit in lineam in ereo sublato communi Perri. theis angulo POT, remanebunt anguli SPO, M OP , alternatim dispo-or. cap. a. siti inter se prorsus aequales.
153쪽
Jam propius ad institutum accedam quaeque ad triangulorum scientiam attinent, brevi expediam, non ut omnia, sed ut magis ne cessarii demonstrem. Ac primurn duo triangula Ss, ' O P mu tuo inter se sunt conserenda Supponamus quod latus unius aequale fit lateri alterius, vel utrique commune, ut Tae, atque duo anguli unius huic lateri vicini, aequentur duobus angulis alterius. Illo majoris lucis gratia designabo Sit angulus OT P angulo I PS; nec non g, angulus T in angulo Petri aequalis Quid futurum est Duo trian puta erunt inter se omnino aequalia. Quae enim sibi superposita con pruum adeo ut neutrum alterum excedat, sibi sunt aequalia Atqui si duo triangula, quae descripsimus, sibi mutuo superponantur; ita ut an pulus T unius cum angulo, sibi aequali alterius conveniat latus Poea det in latus Trio latus T O cadet in latus P S: ergo punctum opunctori conveniet se triangulum TOP toti triangulo PT congruet, e penitus aequabitur. Quod nobis erat demonstrandum. equitur ut unius trianguli an atomen aggrediamurn, nobis ante omnia demonstrandum est tres angulos unius trianguli duobus rectis
Sit triangulum OP. Intelligamus ductam parallelam S ipsi T O in E ipsis O. Ita ut fiat quadrilaterum , culus quatuor anguli
S, T, O, P, quatuor rectis aequantilr ut ex iis, quae demonstrata sunt, Per I the liquet. Duo quippe anguli interiores O, ae duobus rectis sunt aequa or. hujus Iesu, eodem iure duo anguli Tam duobus itidem rectis sequare aevii, tur. Atqui duo triangula TOP, SP suntanter se aequalia. Idque nobis demonstrandum est. Linea T P cadit in rectas parallelas ro, Per a. ih., PS igitur facit angulos alternatim dispositos T, s inter se ae quales Lita in angulus I T sit aequalis angulo O T PQ angulus item S I aequetur angulo OI T. Duo igitur triangula habent latus con mune P duo anguli unius sunt aequales duobus angulis asterius: Per s. th quare sunt inter se penitus aequalia. An necesse est eoncludere tres angulos trigoni P duobus rectis aequari reum jam ostenderimus quatuor angulos quadrilater T, S, P, O, quatuor rectis sequi valere . Illud vero quadrilaterum in duos aequales trigonos divisum est. Quidigit ut testat nisi ut tres anguli T, P, O trigoni TPO, duobus rectis aequentur quemadmodum tres anguli alterius trianguli T SP, duobus Rideli re Ars aequales sunt Nam omnes utriusque trigoni angulos
.quat ortae et is aeqtiari ostensum est. Hinc etiam licet colligere, quod si trianguli P unum ex Ia-tetibus O proditi casta in D, fiet annulus POD exterior duobus inisi ei nis tii anguli e T simul sum pus omnino aequalis Nec ar-1. et dua
154쪽
dua demonstratio futura est. Nam Linea 'o ea dena in rectam T D duos essicit angulos ad punctum O duobus rectis aequales. Sed mox ostensum fuit tres angulos ejusdem trianguli pro simul sumptos a duo.
155쪽
duobus rectis aequari Tolle igitur communem an seu lilan iluore stabunt anguli T, D simul iuncti aequales uni angu . POD: quod
nobis erat probandum. Postremo nihil necesse est ut vos admoneam in omni iiii gulo
majorem angulum majori quoque lates opponi Sic in triangulor T, angulus , cum sit major angulo Tu latus P , quo majorem subtendit angulum, longius est latere PD, quod minori angulo ip-
ponitur. Quid enim est angulus, nisi duarum linearum in eundem velut apicem conspirantium inclinatio, seu apertio, quae quo major erit, necesse est ut majore itidem latere subtendam r. Nam quo ansulus inest apertior, eo quoque duae lineae, quae illum efficiunt, majori linea e connectuntur. Hinc sequitur aequales esse angulos, clim aequa sint latera et ut in triangulo Pri, aequa sint latera P, WTri, aequales esse angulos P, in manifestum est. Nam si alter major sciret, majori quoque lateri opponeretur. Sed aequalia supponimus latera. aequales igitur anguli futuri sunt. Men. Numquid ex iis liceat concludere, quod in omni triangulo eadem est unius anguli ad alterum , quae lateris ad latus proportio.
Hoe est, trigoni o Tangulus P sit duplus anguli , latus O, quod subtendit angulum Pu duplum quoque lateris inoppositi angulos
futurum est. Nam si aequa sint latera, aequales erunt anguli & majus latus majori angulo substernitur, minus minori. Ergo eadem inter
angulos, quae inter latera invenitur proportio.
Non ra hv. Ut falsus animi es. Ponamus enim angulum inaequari du- iam est in obus angulis P, simul sumptisci numquid forte latus P duo later tera tera O, DP adaequabit Hoc certe esse impossibile nemo non vi qua inter de tu nam duae lineae TO, OP in unam rectam productae majores angulos linea Ti evadenta Id vero te fallit , quod angulii latera, quibus proportio constat triangulum, non sunt ejusdem generis, nec adeo apte inter se comparari possunt Anguli quippe magnitudinem metitur circuli ci cum serentia, ut supra monuimus quo maior est angulus, eo majorem arcum intercipit Sed illa circumcurrens linea, quae circulum efficit, specie non convenit cum rectis lineis, quibus triangulum clauditur. 'di eadem ratio esset angulorum, quae laterum, nihil foret facilius quam triangulum resolvere, ac tribus datis reliqua invenire. Sit triangulum O ,eujus anguli dentur cum uno latere PO, reliqua investigare oportet. Si tibi credimus, quoties angulus Hangulum continet(quod ignorare non possum, cum supponamus notos esse angulos toties latus Iro, alterum latus P O non igitur ignota erit recta TU.
156쪽
Men. Qua igitur arte, quave ratione cognitis trianguli omnibus angulis cum uno latere vel duobus lateribus cum uno angulo , bell- qua invenientur la ivsp. Haec sunt majoris operis, spiritus. Cogniti quidem anguli invenienda est chorda vel sinus. Men Quae sunt haec verborum monstra Sim. Faciam ut intelligas Sit angulus P TT, quem metitur ar sui sit eus My cujus chorda vel subtensa erit recta Pori, hujus dimidi-sinmanum P Arabes sinum vocant. Est igitur P sinus lini dii anguli guli. PTO, vel dimidii arcus M ac perpendiculariter cauit in eis mi diametrum M. AEadem prorsus ratione recta P S est sinus arcus P L, vel anguli bT P. Quare optime definitur sinus, dimidium cho
ae duplum angulum, vel arcum subtendentis. Quocirca in triangulo PTO , si dentur omnes anguli cum uno latere o reliqua facile invenientur: nam eadem est inter latera , quae inter sinus angulorum proportio. Hoc est, quoties latus Pet con Trigono-tinet latus O toties sinus angulo complectitur sinum anguli T. meima Dantur ex hypothesi angulis, quorum sinus in tabula facile problema inveniuntur. Ergo minime nos latebit, quoties recta linea PT con I. tineat rectam O atque eadem tacilitate obtinetas latus O. Igitur suo modo datis trianguli omnibus angulis, coetera facit inveniuntur. Quod hac tabula quidem in trigono rectangulo, seu qui rectum angulum habet, qualis sit conficia est OT, planum est. Siquidem latera sunt sinus ipsi angulorum, qui enda, oebus substernuntur. AEI PO est sinus anguli T,&TO est sinus angu- adeunda,li PO. Denique radius Pessinus anguli recti O nam diameter insta YLN est chorda semicirculum sive So. gr. subtendens et radius L cem .eui aequaIis est Tae, erit sinus quadrantis circuli,qui angulum rectum
Men. Jam si angulum O rectum non statuamus, an eadem proportio recurret Sire Eadem prors re nam aequales anguli aequales obtinent sinus; maioris anguli major est sinus minoris minore nec licuit nobis angulos cum lateribus componere, ut quanto annulus est altero ma-Ior, tanto unum latus alterum excedat quod anguli, inlatera sint res penitus disparatae, non eiusdem generis. Nunc si loco angulorum sumantur eorum sinus, vel chordae palam est aequalibus angulis, aequalia latera, inaequales chordas, vel sinus baioribus quoque angulis, majores sinus, inmajora latera minoribus minora respondere. Ergo eadem est inter chordas, vel sinus angulorum proportio, quae inter latera invenitur Clarius dicam, ut se habet unum latus ad
157쪽
Principi ad aliud, v. gr. O ad O P, sic se habet sinus unius angulis ad sinumum totius alterius anguli T. Illud quippe axioma a Philosophis usurpatum, ut se trieouo. habet simpliciter ad simpliciter, ita magis ad magis in rebus ejusdem metris. generis, vel speciei longe est verissimum , atque ipso naturali lumine
notum. Haec igitur totius trigonometriae quasi duo fundamenta sub sternamus. Primum, dati anguli sinus in tabula huic rei destinata: Mulcissim cognito sinu facillime angulus obtinetur ut si trigoni Toangulum , go. r. noveris in iis quoque D in tabula tinuum s a. tim occurret: ac si notus tibi fuerit sinus P O, seu illius proportio ad radium PT sitque ex gr. Eo partium quarum radius, vel semidiameter P estgo angulis quantitatem in tabula statim offendes. Alterum fuit a nobis identidem inculcatum et nempe eandem esse inter angulorum sinus, ac inter latera trianguli proportionem. Quare cognitis unius trigoni omnibus angulis, latera quidem non idcirco innotescent, sed certi proportio, quae inter ea intercedit, non ignorabitur. Addam ne quod permectis duobus angulis P, O, tertius Trir I. th. facile elicietur cum enim re imul sumpti duobus remis, sive igo.
gr. aequentur, si statuamus angulum O rectum, vel so grati angulum P co. gr. necesse est, ut residuus Trio. r. complectatur; quo tres simul junci anguli summam go. gr. efficiant. .iti vero angulis, dantur eorum sinus et atque adeo quantum unum latus trianguli alterunt excedat exploratum habebimus cum eadem sit inter latera, quae inter sinus, proportio., Quin etiam si unius trianguli Po ne ab eodem exemplo re
cedamus laetur nobis angulus O, D proportio angulis ad angulum P, Deillime inveniemus angulorum P, T mensuram. Sit enim angulus o rectus, io gr. duo reliqui 'o itidem gradus complectentur. Sit porro angulus T subduplus angulis Vergo angulus P co gnatque angulus Trio gradus continebit, ut ex utroque summato. gr. prodeat. Pergamus, ac totam trigonometriam, in qua Astronomiae studiosi adeo satigantur, paucis decurramus. . Saepe usu venit, ut unius trianguli Ordentur duo latera cum uno angulo ab iis comprehenso ut si detur angulus , cum lateribus PO, VO Tri ac reliqua sint nobis indaganda . Cognitis lateribus O . T, non quidem habentur anguli ui , sed quae sit inter eos proportio obtinebimus. Supponimus enim angulum O re-hum, ac proinde duo anguli P, T, simul juneri , uni recto aequantiir D utriusque seorsim sumpti sinus habebuntur, cum Oo OP sint explorata. Ergo anguli facile innotescent.
158쪽
PDRim redigere, aut ioci rem, ut latus et iuxta Euaci iis demonstrata quaereretur. Sed nolui quicquam ab Euclidei
159쪽
monstratum supponere haec enim mihi a vobis lex praescripta sui sis diam quam transilire mihi religio est. Neque etiam ignoro longe adhuc ex g.in eunt peditiorem fore calculum , si tangentium , D secantium tabulis uta secavit mur ut si radio To, centro delinea tum circulum iritelligas, hii nenea. tanget rectas P in puncto O. Secabit vero linea I cognita igitur, ut supponimus, tangente, O statim in tabula angulus T innotescet: atque eadem opera secantem Tae, quam barbara voce hypothenusam vocant, per eliam habebis.
r. hiod si duo latera habeantur Tra kPO, cum angulos(rectus sit vel obliquus , mihi perinde esto facillime reliqua obtinebo.Nam ut eandem cantilenam saepius occinam,quantum latus TZmajus est latere O, quod mihi ex hypothesi notum estu tantumdem sinus anguli O major erit sinu anguli PQ atqui non me fugit sinus anguli oper tabula minuum. An igitur ignorare potero sinum anguli F, vel ipsummet angulum et iam cognitis angulis cum duobus lateribus, statim reliquum latus O innotescet, ut jam ostensum a nobis est. Sed alia forsitan obscuriora. Offeratur nobis triangulum omnes habens obliquos angulo TRT, klicet hic aequa sint latera TF, TY, finge tamen esse inaequalia , ut ipsa trianguli resolutio plus habeat operis; dentur vero latera P, &PT, cum angulo P ab illis comprehensori coetera reperire nobis incumbit. Datum igitur triangulum in duo minora bipartitum concipiam, ducta perpendiculari et O , ac priori freti idem triangulis Porectanguli resolutionem aggrediar Iam illius duo anguli O, P, cum latere 'innotescunt: ergo per primum problema reliqua facile habebuntur. Notum igitur mihi est latus incum latere OP subducto Pa toto latere PT noto, non ignorabo reliquum latus O T. Quare in triangulo Torrectangulo, jam obtinui duo latera TO, o T ac angulus rectus clim sit, mihi est cognitus duo circa ex iis
quae mox demonstravimus, reliquum latus TY, eum angulo T consequar atque adeo tum latera, tum anguli trigoni In habebuntur . Non morabor in hac parte amplius , quidem volui in hanc rerum tenuitatem descendere, ne quid ad Astronomiae intelligentiam nece larium viderer omittere. Nee dissimulandum est, quod illis minutiis instructa Geometria ad rationem usque mundi se tollit, innon solum stellarum errantium certos, constitutosque cursus numeris docet, sed
etiam siderum molas, eorumque a terra distantias industri a mirabili
D. Multa tu quidem, quae non nisi per longas ambages, ho- rosas demonstrationes ab aliis traduntur, quia brevissime exposuisti;
160쪽
id unus tamen tecum quasi expostulo, rumo sin inimi ab tilas Movoce veris; nec dum nos qua methodo digerantur, edocueris.
are. Non temer id, quod a plerisque tractatuni est uberrime.
omittendum putavis nam si Geometrica subtilitate exquirere volumus , quam cujusque arcus chorda , vel sinus cum diametro habeat proportionem, in immensim protrahetur oratio, atque longa demonstrationum series ex Euclide erit retexenda . Hoc quidem argumentum ante annos sexdecim,cum animum serio ad Mathematicas scientias adjungerem, quantuin potui(nihil enim magnopere meoiuin j-ror breviter' dilucide exposui. Hipparchus olim de subtensis in
circulo lineis Ia libros conscripserat idem postea Ptolemaeus faciliori via aliquot demonstrationibus, licti paululum obscurioribus, egis redivit. Nunc satis fuerit, si praxim quasi mechanicam paucis aperi am. Cu culo itaque in sco. gr. distributo diametrum Iri in iro partes veteres diviserunt. Unde posito circini pede immobili in puncto M, facile erit dignoscere quot diametri partes unaquaeque chorda, vel sinus contineat. Sed ut calculus laret accuratior, placuit recentioribus semidiametrum, seu radium M in Ioooo partes divisum supponeres singulos quoque gradus in tres partes secuerunt, quarum sinis gulae viginti minuta complectuntur. Imo licebit c radium minuti a concidere, atque in imo . partes divisum fingere te gradus sinopuli commodius in sex partes secabuntur. Quocirca si radium Min centum partes distribueris unaquaeque centum, vel mille continebit, quarum radius mi Oo vel 1 oo ooo complectitur; nec dissicile erit cujusque arcus chordam, aut sinum invenire Chordia vero cognitis, sinus non ignorantur. Metur chorda PD T subtendens, vel conne lans extrema arcus PMT, illius dimidia P O erit sinus dimis dii arcus PN, ut iam subinde monuimus Circulo autem in suos grais duc, indiametro in partes suas divisis , beneficio circini cognoscetur chorda POT, liquot sit pars totius diametri I M. Atque adeo cuiusque arcus sinum non aegre obtinebimusti ac tabula minuum hoc fere modo digeremus Partes circumferentiae, seu gradus primo loco constituemus, quibus sinus e regione collocabuntur. Quaeres ex gr. quantus sinus respondeat arcui unius gradus viginti minutorum, Fregione invenies sinum aget . quarum radius circuli erit 1 ocooo partium. Iam si velis scire quis sinus respondeat