장음표시 사용
71쪽
angulorum parallelogrammorrum latera reciproce sunt propontionalia. Ergo ut ipsa M. ad 1k a. ad ci verum vis Ladd . et a b. ad avi. 8 lla ad c b. Et trigit a b. ad assi ocis . ad s. oc ipsa li. adib. Duabus igitur datis rectis lineis a di Dccoma pertae sunt binae mediae continue proportionales asta, quod
v TARCHIT AS iuxta Eudemi et Eutocii traditionem. Datis duc rectis luneis,hinas media cos tinue proportionales inuenire Sint daetae duae reeiae lineae ab.c. aruo porteat binas medias p portionales inuenire describat cir
Ius abdi. Et per prismam propositione lis
io ab Lipsic aequa; lis accomodetur a iud producia coincidat in p. cum o di. tangeste circulum ab d Lind. sed adpdo. paralleolus agatur Ne f. secas a d.in . Intelligatur hemicylindrium, quod ex campani traditione medietas rori mdae columnae dicitur,rectum qiridem in ipso a b d semicirculo.
Intelligatur deinde in parallelogramo ipsius hemicy lindri stave ad descriptus semicirculus qui velut parallelogramu ipsi' hemici vindrii ad rectos angulos est ipsius a b d Lorcilli plano
Is aut semicirculus circuous velut aptincto amb punctum, manete firmatoq; a termino dimetientis id secabit in circum
ductione cylindricam saperficiem describet in ipa quandam
72쪽
lsneam Presterea si ipsa a manenteti sanguid ape cireum
actum contrariu Cecerit semicirculo motum conicam estici et superficiem ipsius a p. rectae lineae sitici circumacta comittit Uriungiturue in aliquo puta fio linea per semicirculum in cylina draca superficie pauloante descriptata Simul alite etiam b. cir cumscribet semicirculi in coni superficie Ipse deniq; semicir cuius a d k habeat positione in loco coincidentiae linearu mos tu quide Triangulum vero cotra circvaetiim, ut ipsius I a. dicta alite coincidentiae punctiim sit h. Sit autem etiam per Ndescriptus semicirculus bis f. Comunis autem estis sectio cis si usi di a. circuli siti f. Et ex k. ad id quod est b d a. semicir culi planum perpendicularis agatur Cadet vero in circuli tam cui nicientiam,quoniam in eiusdem circtili planum erectus est cylindrus,cadate sic s. Et quae ab i. in ipsum a. cos Uncta cocmittatur is fili. in h. At quia ter a ipsoru semicirculoseth a. b i. crectus est ad subiectiim planum scilicet circuli a b d . Igitti comunis ipsortim sectio in h. ad rectos existit angulos plano a b d f. circuli. Ergo quod est stibi hi hoc se sub aliae quale est ei quod est ex his Igittir per collersionem corolarii propositionis vincti Ui. clemetoliangulus a nata rectus est. at triangulum a mi simile utricii duorum triangulorum h. k d. Et quia angulus di a rectiis per propositione XXX l. li. iii .etc. in semicirculo nag consistit ex hypothesi atq velut patuit an gulus a m i. rectiis igitur per propositione xxi . l .ciem c. lem i. paralleli sunt. per eandem quoq; propositione Ci in h. pa ralleli sunt. nam ex hypothesi per ea quae ostensa tieri t. s.
min. perpendiculares seu ad rectos angulos sunt plano circuli abdi. igitur propo,tionale est ut d a. adii. stat a. adii. xia, ad a m. quonia trianguli di . a a similes sunt perapo sitionem nil li. vi elementore: Ex consequenti igitur quattuor rectae lineae do. Ea i. m. cotinue sunt proportionales Est interam. aequalis ipsi, ex comuni sentctia quo uni aequalia c. quonia a m ipsi a b aequalis est Duabus igit datis rectis lineis a d c duo mediae proportionales sunt comparatae constitu is pol. ai. stio oportuit efficere.
73쪽
les. Datis duah rectis lineis hinas medias cotinue proporacionales inimire Sint ergo ditae datae recis lineae ab hii
recrrim comproeliendentes angulum a b c inter quas Opor te a binas medias proportiosnales inuenire. Compleat pasrallelogrammua b c d Et a b. axe vertice vero di perviadecimu elementu conicuparabo
la scribatur hi f. cui reetiim latus a di tequale sit ipsi a b. sicut per diffinitione sextam elemetoliconicorum.deduego ab ipsa b. f. parabola ad at axem possint areolas rectangulas quaru longitudo quidem ab.latitudines autem segmenta axis resumpta inter b. apicem dc structim deductas, per quintum elementis conicum,ad a Naxem. atq; per d. signum ad ipsas a b. h..non coincidentes per vigesimu primum elementu conicum hyperbole scribat de. secans parabolen be Line. at ipsis a b.
h paralleli agantur,e g. h. g.quide ipsib c. sede h. ipsi ab secans h. productam in h. Et quonia ab axis aequalis est ipsi a d Erecto lateri paraboles hae Ligitur e .structim acta ad ah potest id quod sub abies.sit rectangulum per quintu elemen tum conicum ergo per propositione XV ii ibri L elemen. Eu. tres rectae lineae ab e g. bgruunt conluvie pportionales. Prae terea quia duo parallelogram rectagula a b c bi. ad nocoincidentes ab 'c. exde. punctis ipsius hyperboles habet latera deducta, igitur per vigesimus ecundu elementu conicum, rectangula ah. d. bt et sunt sibi inuicem aequalia, ergo per propositione xilitat. vi elementot Euclidis ratio a b. ale g. vivi ad bcsed ut antea fuerat demonstratu ab.ad c g. est ut e g. ad se Igitur quattuor recto lineae a die g. ghi c. sunt cotin temportionales. Datis ergo duabus rectis lineis a b dic.binae me
74쪽
diae .pportionales copertae sunt e g. gb qil oportebat efficere. AL 1 TER ut Menechmus per comunes binarum parabolas
rum sectiones. Datis duab'reetis lineis binas medias cotinue proportionale, inuenire. Sint igit dato duae rectae lasnee h. b. quibus oporteat hinas medias proportionales inuenire. IgitUr verticet axeo recto latere a b.ad quod oro dinatim deducstae posistunt, per
parabole ree anguli coni scribbati de Rursus apicet axe seu latere recto beas idystru etim a stoe possunt rectanguli coni parabole scribaturbs d. seca b d e parabolen in d. quo ipsis ab. bc. paralleli agatur dg .d h. qtiarum d g. quidem seceta b. in g.d h. vero ipsam b c. productam in h.Et quia per quintuelementum conicum quod est subal g. reeianguluaequum est ei quod ex dg quadrato igitur per propositione xvii libri vi.
elemen. Eu. h.d g. l. sunt cotinue .pPOrcionales. Praeterea Per sextum elementu conicum quadratus ex di. aequalis est ei quod est exi iube parallelogramo rectangulo,igitur per pro positionem xvi ibri sexti e temetoiat Euclidis,tres regiae lineaebh.d h. bc sunt continue proportionales .Est aute di aequalis
ipsi ba ubi ipsi des aequalis igitur sub eadcm ratione des. Creb sunt cotinue pportionales. Et quia Ut pauloante fuc. rat ostensum a b ad fg. est ut d g. adfre igitur per propositio,
nem xl. li. ii inti elemetoi Eu. Quae eidena sunt eaedem rationes ad inuicem sunt eaedem. Quattuor recta lineae ab d glebi sunt cotinue .pportionales. Datis ergo duabus resis linei. lxi, binae mediae cotinue proportionales des. St. sunt coni, Periae,quod oportuit demonstrare.
75쪽
tieati ei irae Appendix prima.
Dato solido sub ratione data si/nule construere solidum. Sit datum solidaea. datam ratio ipsi' h. alc.iam oportet ipsi a. solido dato simile construere solidum ad quod a solidu datu se habeat quemadmodu*.ad capsius igi tur a solidi dati lateri cuipiam qualis assumatur recta linea d. et ut di ad c sic fiat d.ad e. alga
aliquod praecedentium theore malum inter d..reetas lineas bimediae cotinue proportionastes inueniant fig.ita, d. f. g. e. sint continue .pportionales desinde ex quada recta linea quasi lapsis per propositione xxvii. libri.xLel emetorti Eu construas tu solidum lissimile similiterpositum solido a.dato.Et qui pa positione trigesimatertia eius dem libri, seu per eiusde propcasitionis corolarium,Si quattuor rectae linea proportionales fue rint, sicut prima ad quartam,sic
quod ex prima solidum ad id ste sectuid simile similiter ii de scriptum solidu, Igitur rati, si id a. ad simile solidum h. est vid. ase Ex hypothesi ut d ad e. ratione habet quam Nad dato initur talido a subdata ratione ipsius b. ad c constructum est si mile solidum h. quod oportebat
76쪽
Appendix se ada. Dato solido parallelepia
Pedo aequalem cubuio struere. Sit ergo datum solidum parallelepipes dum a b c d. cuuis latililado a dialtitudo b c logia ludo. d. iam oportet pia b c d solido aequalem
cubum constituere. ipsi'igit a b c plani per ulli
mam propositione libri secundi elementorti Euccli latus tetragonicu in taeniat hoc est linea re cta cuius quadrat aequa
lis sit ab G plano quae quidem linea recta site. atm per aliquod p missorum theorematu interae. et Q rectas lineas binae proportionales inuenianturiae. Aio quod cubus ipsius rectae lineae s. aequalis est dato parallelopipedo a b c d. Quonia per corolariti propositionis ix li vi elemen Eucli quadrariis ipsius f. ad ipsi iis quadratu est vi d. a quia npropositione xxxiiiiIibri undecim elementoria. Solida parat telepida quoru bases altitudinibus sunt reciproce sunt aequaslia. Igitur,cubus ipsius f.rectae lineae solido parallelepido dato ab c d. aequalis est. Ergo solido parallelepipedo ab c . dato,cubus ipsius f. rectae uineae aequalis constituitu itaquod oportuit efficere e Corolarium. Hinc etiam liquetis, lateratis columnis, qUartim quae ex Opposito plana parallela, oc plana alia paralles mi ama per hanc appendicem secundam haud dissiculte couertuntur in cubos Nam parallelepipedu habens pro basi quadratu qualem basi columnae lateratae eidem columna aequalem altitudine est aequale eidem columnaeta
77쪽
E Appendix tertia. Sub data altitudine soli dum parallelepipedum
dato cubo aequale consstruere. Sit data altitu
do recta linea a datus cubus iuriam oportebit sub altitudine a soliduexcitare parallelepipes dum dato b.cubo aeqUasic. Esto et recta linea te qualis uni laterum cubib.et per propositionem
xis LMi .elemen. Eia. fiat ut a. ad.c. sic c. ad d. atq;inter c. d. rectas lineas stpropositione xiii eius demti. vi.ele.EU. media
proportionalis sitae Di coitam parallelepipedu cuius basis aequalis sit i
quadrato ipsi' e. ati altitudo aequalis p a.rects lineae, aequale esse dato cubo b. Et quia per constructione tres re Sta linea c. d. sunt cotinues portionale . igitur preorolaria pro . xi sic vi .E. sdrat' ipsius ad ipsius C sdratu est ut Cadd: hoc e sic ut .aac. Ex v pothesi ad est ut a. ad . sic c. add.Atqquadratus ipsius c. basis est cubidine, suadratus basis paratile lepipedi construedi Igitur per propositione xxxiiii libri xii elenae Euclidis parallelepipedu solidum habens basim aequalem quadrato e re fastigiu aequale datae a.rectae lineae, aequale est dato cubo di quod oportuit demonstrare.
Appendix quarta , Dat solido parallelepipedo non cubo existenti sub data altitudine de ictale dare parellelepipedu Sit datum solidum pab
78쪽
rallelepipedari datam altitudo ora qualis rectae inest Et c.recta linea sit aequalis altitudini dati parallele. pipedia. rectaq; linea potens stipsis
ciem hasis parallelepipedi a sit d.
atm ut re ad c sciat d. ad C et perappo.xii m. vi. ele.Eu ipsam d..mes dia .pportionalis sit f. Aio , solida parallelepipedu habens altitudine aequale ipsit datae re sto lineae hac sim vero aequale ipsi f. rcelae lineae
est aequale dato solido parallelepi pedo a. Et quia ex hypothesi ut di ad c. sed ad e. Igitur per coro as
Eu quadratus ipsius d. ad ipsius L quadratum est sicut d ad e seu sicuti ad per propositione xis i. v.el . Eu At quadratus ipsius d. per consstructione est aequalis basi solidi pa rallelepipedi a igitur per proposia i tione xxxiiii libri undecimi eleme. Euiolidum parallelepipedis habes altitudine se itialem re te lineae b.
basim autem ipsius L quadrato ae stialem,aNtrale existi dato a. solido parallelepipedo quia altitudines basiluis sunt mutuar. Ergo dato solido parallelepipedo datum est, itiale solidia pacrallelepiped ina, qtiod oportebat constituere.
Appendix tiinta Dato talido parallelepipedo ad datum planum rectilineum,
aequale di id tim excitare Parallelepipiatum Sit dattim solidua dati im redii lineum re es Og intentio super directilineu seri
gere talidum pareitclepipedu mitiale dato a solido Ergo per propolitione ultima libri se uidi elementota potens, aream
recta linea sit epotesila basim soliditas ectae mea dacti ex proa
79쪽
Et altitudini solidi a. qualis sit f.Et ut Cale.sic riat Lades. Aio , solidum pasrallelepipedum habes Phase.ree ilineub altitudinem aut e .aequale est dato solido a.Et quia tres resistat lineae edi sunt ex hypothesi continue proporationales. igitur per corolarium propositionis xlxsihri vii elementoru Eucli dis .est sicut quadrat ipsi' C ad ipsius d. quadratum, ita c. ale. seu Ladg.Est autem p construetione quasdratus ipsi c. aequalis resctilineo et quadratus ipsius d aequalis basi solis .
lis altitudini solidi a Igit ira solidum parallelepipedu
habens basim dita altitus dine aequale ipsi g. aequa le est dato solido a per aes positionem xxxiiii ii xii elementot fu Ergo dato solido a. ad datum planum rectilineut excitatum est aequale solidum pasrallelepipedum,quod oportuit efficere. Appendi sexta. Hinc etiam perspicuum est,is, per primam appendicem etiam poterimus dato cylindrio sub data ratione similem constituere cylindrum. Et per secundam appedicem sciemus quom dato
cylindro aequalem excitare cylindrum cuius fastigium aequale
80쪽
sit basis dimetienti Praeterea per tertia appendicem dato crilindro cuius axis dimetiet ipsius basis aequatur sub dato fasti
gio aequum constituemus cylindrum. Denig per quarta apa pendicem dato cylindro cui altitudo basis diametro no aequa tur sub dato fastigio aequalis excitabit cylindrus Per quintam demum appedicem ad datum circulum excitabimus cylindrudato aequalem cylindro. Hoc tantu refert. q, ubi inscedentibus appendicibus utebamur recta linea potente bas dati solidi parallelepipedi,hic usurpanda est diameter basis propositi distiue cylindri.
Omnis quadratus ad circulu., d sibi inscriptu pxime ratione ha het quam xiiii ad. xi. Sit ergo datus quadratus ab c. est uis muptus circulus d. s.cuius dimeti ens di. centrum,. Et quia iuxta demonstratione Archimedis demensura seu quadratura circuli totius circulareti circuli ad suudimetietem paulo minoris quaxxii ad vii. Et tiod fit sub se mi diametro circuli eiusti dimidia circu feretia aequum est arcae cir
cui gitur area circuli se Liripla est quadrati ipsi' fg. semidias metri supparties septima nam quadrat fg semidiametri per propositione prima sexti libri elemetorti Eu. Nam ratio ipimirum Axii. ad vix tripla est superpartiens unam septima. Et quia per propositione iiiimbri secundi elementorti Eu quadratus ab c. uadeatius sititiae quadruplus est. Et totum ad septimum sui quadrantis rationem habet quam xxviii ad unum Scire a circeuli inscriptio ei ad idem septimu rationem habet quam xxii. ad unum per prima propositione ii vi eleme. Ex aequali igit seu per propositione x xii. libri quinti elementoteratio quadrasti ab c. ad area circuli inscripti d. f. ratione habet quβ xxviii.