장음표시 사용
81쪽
ad xxii. Et quia dimidi est ad dimidia ut totu ad totum per
positionem xv. eiusdem libri quinti elementorii Partes eodem modo multiplicium eadem ratione habent sumptae adinvice. igitur etiam ratio ipsi quadrati a b c ad aream inscripti circuli de test ut xiiii. ad xi Omnis igitur quadratus ad inscriptu sibi circulum properatione habet quam xiiii. ad xi.quod oportuit demonstrare. Appendix octaua. Datum solidum parallele pipedum in cylindrum elusedem altitudinis trafformare. Esto tam datu solidum pasrallelepipedum a. cui oportet sub eode fastigio aeqtium cystindrum formare Ipsius ita a solidi basim potens reesta lanea per xiiii aepositione lol. eleme. siti. Et b. sit ad c ut xl. ad xiiiLatc per propositione xiii b.vi eleme.Eu. ipsarumbae media .pportionalis sit d. Dico , cylindrus cuius basis
aequalem ipsi d fastigiu vero squale altitudini dati solidi a. aequalis existit eidem dato a. solido Et quia ex hypothesi
tres reclas lineo b d c. sunt co tinue pportionales, re extae marum bla ratio est ut xi ad xiiii igitur per corolariu pro positionis vix in vi elemen. -----.
quadratus ipsius b. ad ipsius quadratum est vici ad C id est ut xii ad xvii. At per secund1 propositione lii xi oruode elemento ut quadratus ipsius h. ad iosius Guadratu,sic circulus circa diametru h. ad circilium
82쪽
iuxta dimetientem d. hoc est sicut di ad e seu vi, ad xiiii. At
per pmisi in theorema.Circulus circa dimetiente b. ad quadratum ipsius iurationem habet quam xi. ad xiiii Igitur quadrat' ipsius b. aequalis est circulo iuxta d. dimetiente per secundam partem propositionis nonae i.quinti elementoru, ad quas eadeeandem habet rationem ipsae sunt aequales. Ex hypothesi autequadratus ipsius b. aequalis est basi dati a. solidi,igitur circulus iuxta dimetiente d. aequalis est eidem basi dati a solidi Et quo
nia sub aequalibus fastigiis existetes solidum parallelepipeduati cylindrus adinvicem sese habet ut bases, Igitur cylindrus habens basim aequalem circulo circa diametrula fastigit idem altitudini solidita aequalis est eidem a solido parallelepipedo. Igitur cylindrus sub eo de fastigio datur aequalis dato a solido parallelepipedo quod oportebat efficere. Appendix nona. Dato cylindro sub eade altitudine sollidum quale parallelepipedu dare. Sit
datus cylindrus a b c d cui axis seu a stigium a iubasis aute circa cla. diametrucirculus. Et sit c d. ade rectam lineam vix iiii ad xi e inter c d.e. media proportionalis esto f. Aio, solidum parallelepipedum cuius. basi squalis quadrato ipsuis f. altitudo autem ipsi a b. existit aequalis, aequatur dato a b c d. cylindro Et quia ex hypothesi tres reris inesciae e. sunt o
tinue proportionales igit per corolariupropositioitis,ix. libri vi.elementorum
Euclidis quadratus ipsius cd. ad ipsius L quadratu est v c d ale seu ex hypothesi sicut xiiii ad xii At per theorema supra demonstratum sic quod existit quadratus ipsius c d ad circuiti sibi inscriptu seu ad basim cylindri a b c d. igitur eadem basis aequalis est quadrato ipsius L per secunda
partem nolite propositionis a quinti cleme. ad quas magnitus
diues eadem eandem habet ratione ipta sunt aequales. Et quia
83쪽
is si cylindrus solidum parallelepidedum sub eisdem basibus
fastigiis sunt aequales. Igitur solidum parallelepipedu habens basim aequalem quadrato ipsius Loc fastigium idem ipsi a b est aequale dato cylindro a b c d Dato igitur cylindro sub eodem fastigio datur aequale solidum parallelepipere quod oportuit
efficere. Appendix decima. Datum cylindrum incubum conuertere, idest dato cylindro aequalem cubum dare. Per pcedens igitur problema sub eo dem fastigiosaequale dato cylindro solidum parallelepipedum constituemus,cui deinde per secunda appendicem aequalis cushus dabitur.qui etiae dato cylindro aequalis erit ex conium senstentia. Quae uni aequantur inter se sunt aequalia.Dato igitur cys lindro aequalis cubus datur quod oportuit ostendere. Appendi undecima. Quod radii solares apud terram paralleli appareat ostende re. Sive a centro solis, siue ab aliquo alio puncto in superficie solis duo egrediantur radii a b. h c. ati ex illis aequa
les auferantur a b b c eorum 'ter per aequales secetur partes velut a b. in a d. de. f. fc. Sca c. in a i. h. h g. c. Et
connectant dri. h. fg.b c ipsae sunt ad inuicem paralleli. per secunda propolitionem libri sexti elenae Eu. Et iccirco triagula ad i. et af g. ab . sunt simi lia re proportionaliu later per propo. iiii eiusdem si vi igitur,to e. ad discet ad dri. Ex hypothesi aut ea ipsius
a d dupla est. igiturae, ipsius ini dupla.
Rursus uti a. ad. e. sici g. ad P. cos deo minor ratione ipsius. h. addi Praetereat, a. ada Lexistit
sesquitertia ex hypothesi ergo b c ipsius fes est sessuritia Qua de re ipsius Sc.adia.ratio minor est ratione ipsius fg. ad
84쪽
eh.quae minor existit, uti patuit ratione ipsius eli. addi. Igitur e sq.magnitudine minus differre iidentur ipsis f .e h. at g. h. rignitudine minus apparent differre ipsis e h. i. Sittac radii a b. a c. ad terram sc3 protendant quospinquius telluri accellerint eo magis ex iam ostensa ratione rearebunt Parallel L Nam circa terram duorum radioru ab uno solis pura cto procedentium aequales particulas recto lineae coiiangentes iniensibiliterac pene nihil differre magnitudine videbunt per xxxiiii Propo agitur O. ele quae parallelas xaequas nectunt iplae sunt aequales. Ergo radii solares iuxta tellurem paralleli penitus apparent.
IDEM ALITER experimento sic patebit. Sint duo obsseruatores solaris altitudinis i duo bu Iocis sub eode meridiano, at
inter eadem loca itineris pactum b. sit mediocre ut puta triceniolit aut quadi ingentorii passim.Et tempore meridie ad cade loca tio a.
di bini incidet radii solares a c.b d. quib'bidem obseruatores in locis e ah constituti eodem mei diei mo
meto astrolabis aut sciotheris ean dem prorsus inuenient solis initudinem, sic tangulus cae. aequalis erit do e. angulo Per diffinitione nam cli solaris altitu. dinis uteri eorum aequalis est altitudini solari eodem meridiei tempore in locis ab de praehcnta. Est autem Ne linea meridia na,quae in comparatione ad totum telluris ambitum a recta ui sensibilitei differt. Et quonia in binas rectas lineas a c. bd. re cta incidens linea ale angulum exteriorem di . facit, quale angulo, a e. oppositon ex eadem parte igitur per propositio, nem xxviii libri primi clemen. duo radi b d a sole eiusdemomento temporis egi edientes sunt paralleli. Radii igitur so Iares apud tellurem apparent paralleli quod oportebat dicto experimento demonstrare. Verum sumptis sub eodem meria
diano locis ah quae magno ali itio ac memorabili macio diste
85쪽
rerint vehit quinq; milibus poessu. c maiori Pein re di
cta e 1b e. anguli sensibili quadam magnitudine differre coma periuntur, Meridionalioris gloci angulus maior sema extitit horealioris angulo. Appendix duodecima. Soeculum concauum cocauitate parabolica, quam describit aerabole circumacta defixo eius axe,solum a tota cocauitatis L perfici solis radiis ad unum punctum axis resilientib gne incendit. Eandem aute concauitate oportebit fieri ab ea pethcile ouae in rectangulum et erectum incidit conuiualem quit
et putabolen undecimii elementu describere docet. Et quine si solis prope tellinem paralleli sunt per xi appen cem
Ideo iosi cadentcs in speculum concauum parabolica cocauis
rationem authoris libelli de eodem speculo distat avertice indirabole otia idem speculum fuit cauatum, quarta parte las
ecti erum par boles. At in speculis cocavis conm
m te . sis duintare, circuloru ircumferentiis in
clides de speculi' in 'endi speculo sphaeriso
86쪽
COMMENTATIO ET PARA PHRASIS IO
.mnis Ver. Nurem. in Dionysodori S dioclis problema super sectione sphaerae sub data ratione. Theorema primum. Mnis sphaerae curule su perficiei aequalis est circulus cuius qus ex censtro seqlis fuerit axi sphrae. Sit datae sphaerae ab C axis a c. centru d. Aio , circulus cuius quae ex centro aequalis extiterit axi a c. aequalis est curvae superficiei datae sphaerae Esto igitur eiusdem sphae rae maximus circulus a b c cuius diamer est axis a per diffinitione maximi in sphaera circuli. at ipsi a d. quae ex cetro orbis a b c aequacti reei linea sumatur e Laid sua eam construat triangulu rectangustum et g. cui angulus se g. reetiis sit,aequale quidem areae ipsius cir culi a b c. igitur per id quod Archi medes ostedit de quadratura circusile g. aequalis est circumferentiae ab c Praeterea ei e g. producanturust,adi k. sit* fh aequalis pii f. oc A. aequalis ipsi. g. Connexa hi erunt duo trianguli et g. et C aequianguli Nam per secunda aes
Politioncmli. vi. elem. Eu fg., c. paralleli inuicem existut Ide orasti arcae trianguli e 1 ad aream trianguli, fg est sicut ratio ipsius, dirae
87쪽
h e. ad ei duplicata per ae positione xix. i. i. elem. Eu dupla
Mitem ratio duplicata,quadruplam constituit ergo triangulu eli h. quadrupli ipsius et g trianguli existit. Rursus Archim de de sphaera ec cylindro demonstrauit,quod sub liue g.rectana gulti aequale sit sphaericae superficiei sphaerae abc. datae. ad qd sub hae g. rectangulu ipsius et g.trianguli quadruplu est,quo nia eius quod sub fee duplum per i pro ii vi E. o quod sub i. g. duplum est ipsius e M.trianguli per propo xli. li. i.ele, Eu dupla autem ratio duplicata quadrupla constituit ratione. Igitur quod subi ea quadrupla est et g trianguli, sed eiusdetrianguli edes quadruplus iam pridem ostensus fuit triangustus et k igitur triangulus ei; aequalis est curuo superficies spherae ab c. Et per ea quo Archimedes demostrauit de quasdratura circuli triangulu fh k.aequale est circulo,cuius quae ex centro fuerit aequalis ipsi. h.Est autem ei. aequalis ipsi a c. axi sphaerae data: abi. Date igitur sphaere curuae superficiei ab c.
aequalis est circulus cuius quae ex centro aequalis extiterita c. axi ipsius sphaere ab . datae,quod oportuit demonstrare.
rotarium. Inde liquet gibberosam sphaere: superlici quasdruplam esse aree: maximi in ea circuli. Theorema secundum. Conus habens basim cuius quae ex centro e qualis quide existit axi fastigiu aute semidiametro subiecto sphaers,sequat eiusdesphaere cotinetie . huius theorematis demonstratio,quia tum ab Archimede cum a quihusda aliis satis superq; fuerat enarrata. Ideo in praesentiarii iure optimo relinquitur. v T Dionysodorus. Datam sphaeram plano secare ut ipsius segmenta rationem adinvicem habeant datam Sit data sphaera cui diameter a b data aut ratio crum habeat, d ad te. Conuenit nepe secare sphera plano recto ad ab. ut segmentu cui' vertexa ad seometu cui vertex b.ratione habeat Uc d. a.d e. pducath a. in f ponaturq; ipsius a b dimidia a LEt c habeat rationem
c. ad ed. eandem habeat a Lalag. sitq;. g. ad rectos angulos ipsi a b.Et ipsarum a. ag. media proportionalis sumaturati.
mamr igitur. h.existit quam . g.Et si cuca axem si descripta
88쪽
fuerit parabole cuius structim deductae possint ad a g. ipsa pasrobole ibit per h.per constructione at* per couersionem trinoti aut sexti elementi conici quonia per propositione x vii librivi. ele. Eu. quod est sub fag aequale est ei quod est ex ali. De scribatur tam parabole hqc per elementu conicii xi. silc sti Ita perbiraducatur ipsi a b. ad rectos angulos bl. secans para holen fili I. in k signo. Et per g circa non coincidentes hi a xxi. elementu conicu describatur hyperbolegi quae nimirum secabit parabolen inter lik. secet igitur in t ex in h. per
pendicularis ducatur Vm. 5 per xl ipsi a b paralleli agantur g ns x. Quonia igitur hyperbole est Cl. non coincidentes autea bi. Et paralleli ipsis agri. sunt ipsae in I x. igit aequale est stta a Cn. ei quod sub in ,. per octauu theorema dest praeceps tum secundi lib. Apollonii conicoirum elemento seup xxii ele. Iibelli de elementis conicis. Atqui Cn.ipsi a b est aequalis LX.aute ipsi in b. ergo quod sub Vm b. aequale est ei quod subes ad Et quonia per propositione x visib. vi. ele. Eu . Quod sub extremis est aequale ei quod sub mediis quattuor rectae linea sunt portionales. est igitur via m. adca.ita a b. ad ium. Et ut igitur
89쪽
quod ex I m. ad id quod est ex Ca ita quod est ex b. ad id quod
exb .Et quonia per quintu aut sextu elementu contra superi
oris libelli quod est ex Vm. aequale est ei quod est subiis a g. Est igitur uti m. ad ml.itam l. ad ag Et ut igitur prima ad ter tiam,ita quod a prima ad id quod a secunda, o quod a secunda ad id quod est a tertia. Quemadmodu igituri m. ad. g. ita quod ex is ad id quod est ex g a. Atqui ut id quod est e. m. ad id quod est ex a g.ita demonstratu fuerat quod ex a b ad id quod est ex bis. Et ut igit quod ex at ad id quod est exi .itai m.
ad. g. t ut quod ex a b. ad id quod est ex his ita circulus cui' quae excentro aequalis est ipsi a b. ad circulu cuius quae ex censtro aequalis est ipsi h m. per propositione secunda lib. xii .ele. Eu. at ita quoq; esti m. ad. .Ergo conus basim habens circu tum cuius quae excentro aequalis est ipsi assisltitudinem auteaeuualem ipsi a g. aequalis est cono basim quidem habent cir culum cuius ex centro aequalis est ipsi b m. altitudinem autem ioni m. aequalem.Nam quo conoirum bases reciprocaeituit ipssis fastigiis illi sunt quales. per propositione xv. h. xu ele.Eu At conus basim habens circulu cuius ex cetro quatis ei ipsi a fastidiu autems a. ad conubasim quid habente eande, ia.
stigium vero a g. est uti a. ad aes hoc est ex hypothesi sicuti ea, die propositione xiiii.eiusdem lib. n. ele.Euriam elusidem has coni ad seinuice sunt ut fastigia Et conus igitur ba tan habens circuli1 cuius ex centro aequalis est ipsi a b. falli in autem f. ad con basim habente circulu cuius ex cetro aequa
lis est ipsi h m. fastigiu autem fis .est vis e. ad ed. Atqui conus basim habens circulu cuius ex centro aequalis est ipsi a b fastiscium autet .aequalis est sphaerae per praecedens theorema. Et conus basim habes circulu cuius ex centro equalis est ipsi brum. imi autem fis aequale est segmento sphaerae cum vertex
ou g .fastigi vero b m. vii deinceps demonstrabit .Et sphae. ue ad iam dictum segmentu ratione habet quas e. ad em
Di menti igitur per propositione xvii.lib. v. ele.Eu. segmenturi et uerte a. stigi aute a m ad segmetum tutis vertex b
s autem bet tam habet rationem quas d. ad 3 Ergo ad
90쪽
ipsam l m. planiproductum ae rectum adii secat sphaera in
datam ratione quod facere oportebat. Quod autem conus bassim habens circulu cuius quae ex centro. qualis est ipsit . fa Rigium autems m. qqualis est segmento sphaerae cuius vertex h. quidem fastigi autem Nin. demostrahitur ita fiat nainq; ut ipsa i m. ad in a ita. m. ad in b. ergo conus basim habcns eam, qua segmentu fastigi autem o m,aequalis est segmento. per id quod Archimedes de spherae cylindro demonstrauit.Et quia ut ij ad in a. ita o m. ad in b, Sc vicissim per propositionem xvi. ti. v. ele uti m. ad in o. ita a m. ad in b. at via m. ad mi ita quod ex min. ad id quod est ex in b. At per Propo. ii. li xii. He. Eri. sta quod est circulus cuius ex cetro aequalis est ipsi in ad circulii cui ex cetro aequalis est ipsi b m. hoc est ut in Lad i. Ergo conus basim habens circulum cuius ex centro equalis est ipsi bin fastigiti aute m. qualis est cono basim quide habenti circulu cuius ex centro equatis est ipsis m. fastigii autem in o. Per Propo. xv. lib. xii.ele. Eu. reciprocaenam sunt bases ipsis
fastigiis ac perinde dicto sphaerae segmento cuius'. vertex ecfastigium bis aequalis est,quod oportuit demonstrare.