장음표시 사용
251쪽
e' - 8 c -z e 3a e q. asHuius aequationis radix est io ioc ita aucta est numero binario radix illa 8; eodemque binario num ro diminuuntur radices illς falsae a, I , σὲ adeo ut a, evanescat, defiato, & euadat 3; dc o, et radat q. Dum igitur augetur binario radix vera : binario quoque diminuitur quilibet ex falsis; ac proinde radix vera huius aequationis erit io; falsae autem erunt 3, & q. Idque euidenter colligitur ex adiuncto paradigmate. Opeie enim multiplicationis co noscimus radiisces illas 3, , o, talsas esse; unam
de additione diximus; ne mi Edum Vera radix augetur, falsas diminui iillud etiam de diminutione intelligendum est: adeo ut dum vera diminuitur; falsae augeantur. Quamobrem aequatio it 'a e f 28 e' ti es t 391 e - 198o o, radicem h.ibet veram a; dumque suit radix illius aequationis a t 8 a - 3i a -398 a -8 o Iz o; diminuta numero quinario, habita est radix a , pro e t et 8 e ta 39 e' t 39a e -ι98o o : & interim eiusdem aequationis a' t 8 a - 3t a' 398 a -8 o ta o, radices falsae, quales sunt , 3, 6, augentur eodem quinarios deo ut sint 9, io, ii, huius arquationis e' F et 8 e F 239 e' t 3sa e - i 98o πο . radices falsae idque cernere licet in adiuncto paradigmate.
252쪽
e' t e t 7t e' - 4 e - η o ' O Et huius aequationis radix vera erit a . Dum autem ternario illa radix vera s diu minuta fuit; interim falsae et , 3 , & 4, sunt eodem ternario auctae; adeo ut huius aequationis falsae radices sint 3, 6, dc 7, ut patet ex adiuncto paradigmate.
253쪽
Modus iam explicatus mutandi valorem radicum ipsis non cognitis nobis suppe ditabit viam per quam incedere debeamus ad tollendum de medio secundum terminum squationis propositae. Si igitur sit aequatio σ t 28 e t a 39 e' i asa e 398o ' o. Oporicat huius aequationis secundum terminum de medio tollere. Istius squationis vera radix est a. Dividantur 28 per Α, propter quatuor dimensio nes. t critiini ς' , iit quotiens 7, fiat proinde u et e , & procedatur, ut insta; I pcrictur enim vera radix 9 , cum vera iam esset Σ . Debent igitur diminui verae radices, quantitate cognita secundi termini, diuisa per numerum dimensionum priami; si unus ex hisce duobus terininis affectus sit signo i alter autem signo - . Vel etiam augendo illam quantitate cadem, si nimirum uterque tui minus eodem signo affectus cxtiterit.
Huius autem aequationis radix est 9. Erat enim vera illius aequationis radix a .& aucta est uumero 7 , undE fit , Ut vera huius radix sit 9 , erant autem radices falsae 9, io, ii , salsae modo sunt 3 , 3 a Α, Π ex adiuncto paradigmate colligere licet.
254쪽
Ita quoque si foret aequatio e q. t 6 e 71 e' - e - qao π o. Diuisis 16 , per ε, propter quatuor dimensiones huius termini e , Prouenit quotien. q. Si ita- ζ ...his
Erat autem illius superioris aequationis. silicet e is e r e' - 4 e - 42o o, erat inquam vera radita a. Modo est , 6 quandoquidem illa quaternario est
Falsae autem erant radices 3, 6, 7; Modo erunt i, a , 3 , siquidem illae sunt singulae quaternario diminutae.
Hoc totum cernere licet in adiuncto paradigmate
255쪽
' 23 a C RENAI D. ALGEBRA NOVA .
u, per additionem imus b, innot Get valor
256쪽
Primo igitur scribere oportet hoc plurino uini deindE quia secundus illius at quationis terminus erat a b a , oportet ducere a b in ipsum ii f i bi,' u i ,- by, cubum ex u t - b. Quia vero tertius terminus erat a b a -e a i proinde a b c' oportet multiplicare per u t b u t b . Quartus a tem terminus erat Σ b a, proinde multiplicari debet a b per . t i de quia dem per primam multiplicationem fit a bu a b u b . ' h Per secundam vero producitur Φ a b u' Φ a b u Φ -- ι'. Per terti;m au-Lem -- - b' c'. Per quartam detivim habetur 2Ita quoque si foret aequatio a' - i a b a b a' - b a Φ b o Diuidatur numerus Ia per φ, numerum dimensionum huius termini a , defiet quotiens a. Modo fiat u t 3 ta a, & substituantur ea, quae substituenda sunt; re
257쪽
258쪽
cunctae pilis 6 , numero emergente ex diuisione ia, numeri radicum per a numerum dimentionum ilialius termini 1 q; & fiat substitutio, ut vides, adeo, ut qρ A Q
Tollitur etiam secundus aequationis terminus hunc in modum . S it aequatio ut supra u b u C π o . Diuidatur b, per a , di fit bi Quamobrem fiat -b a u, & eius quadratum p ta b b a ψε a . sutastituatur loco ipsius u , propterearro b ii subrogetur b' tb a, ac demum constituatur in ea dem aequatione idem terminus c', & fiet aequatio b
259쪽
Dicebamus supr1 bene fieri posse, ut falsae radices aequationis evadant vera inm α' que tamen verae falsς fiant. In cuius gratiam illud non cst silentio praetereundum, quod scilicet dum verarum radicum valor augetur quantitate maiori aliqua radice ex falsis; omnes radices verae semper fieri pollini; adeo ut non intersint duo signa Φ, aut duo signa quae nimirum se inuicem consequantur. Praetere1 . ut quantitas cognita tertij termini quadrato semissis secundi sit maior . Licet enim id fiat incognitis falsis radicibus; nihilo tamen secius de ipsarum magnitudine iudicium ferri potest; atque aliquam assumere quantitatem haud est dissicile, quae ipsas in tantum, vel plus superet, quantum ad id requisitum esse iudicatur, at
Radices alicuius aequationis quantumuis incognitς , multiplicari diuidique polu - - sunt per quamlibet cognitam quantitatem . Hoc autem. fit supponendo quantitatem incognitam, multiplicatam , vel diuisam per quantitatem illam , quae multiplicare, vel diuidere debet radices ipsas ; supponendo in tuam alicui alteri aequalem esse. Deinde vero multiplicando, vel diuidendo cognitam quantitatem secundi telam I i β ipsam , quς multiplicare , vel diuidere debet radices ; & per ipsius '' '- '-, quantitatem terti j , & per eiusdem cubum quantitatem quarti; atquς
ita deinceps ad vitinium usque terminum procedendo. Haec autem operatio utilissima quidem est; propterea quod maxime conducit ad reductionem quantitatum . fractarum ad intcgras, atque adco ad hoc ut tracti numeri ad integros reuocentur:& etiam, ut surdi ad rationales redigantur. m. tur in Supponamus aequationem esse huiusmodi a a' D 3 l H - a 'ῶτ Si altera desideretur aequatio, in qua quidem omnes termini per rationalcs num
ros exprimantur. Oportet supponere es a R 3; deinde multiplicanda est ' 3, quantitas --πιι cognita secundi termini; quae quidem est quoque R 3 ; modo per 3 quadratum idi re multiplicari debet quantitas tertij termini, quae cst i dimum per cubum
zzri . eiusdem, qualis est 3 R 3 , seu D 27; multiplicati debet quantitas postremi ternat-
termini sunt omnes rationales . Rem autem se se habere patet ; Si namque R 3 , secundus terminus, ducatur in P 3 ; cui quidem ducto in a , fecimus aequalem c ι fiet a pro secundo termino; quamobrem erit e 3 e'. At vero si per 3 quadratum illius, multiplicetur , tertius terminus; di producetur , atque citi e - α 3 e e. Idem est enim ducere , in 3, multiplicando a 6 per 3 , relicto eodem denominatore: ac eundem retinere numeratorem diuiso denominatore pera. Modo ducamus - in cubum ipsius ' 3 i cubus est 3 0 3 seu R et 7. qua ducta in 8 fit ' i 28. bi vero ducatur ' 3 in a7, fit se ai87. At si reuocemus fractionem hanc ad minores terminos, fractio illa reducetur ad hane hoe est H-; erit itaque -- , vltimus aequationis terminus; ac proinde fiet aequatio e - 3 t e Sed hoc artificium declarare praestabit uno, vel altero exemplo in numeris r artifici, tionalibus. Esto igitur aequatio i c ust io R I3a ta o, cuius est radix 6.
Dicamus itaque e , aequari in xi & fiat e , loco ipsius r c : deindE multiplicetur 4, quantitas cognita secundi termini per Α , & siet 16 ; scribaturque - 36 e', pro i
cundo termino; deinde sumatur is, quadratum ex q, atque ducatur in io, quam litatem cognitam terti j termini, & producetur t i 6o e; pro tertio termino: mox autem cubicε multiplicetur 4, ut fiat 5 , in quem ducatur r3a ; ut fiat 84 8 a critigitur aequatio e Is e t i5o e - 8 48 o. Cum autem diceremus e , aequari R, essetque radix 6 ; proinde e valebit an 'iac ita et , radix erit huius aequationis e i6e' t i 6o e -- 8 8 ' o; & ita est. namque cubus ex 24, est 138r , cui si addatur 384o , pretium numeri i6o e , fit 1766 , cui si dematur 92 Io, pretium numeri I 6 e , fit residuum 8 8; recte proinde instituitur operatio; & habetur aequatio c' - is e'Φ i6o e - 8 48 ta ιν. Sit alia aequatio puta et c 6 in i 4o R - 8 o i cuius radix est io . bii p. r' aequari 6 x, ducatur 6, quantitas cognita secundi termini ino, fit 36 a& erit e - 36e'; deinde multiplicetur 6, in se nempe quadratice, ut fiat 36. mox ducatur
260쪽
demum sumatur, cubus ipsius 6, nempe ai6, ducatur in 8oo , ut fiat - 17i8oo; quamobrem erit aequatio e - 36 e't i o e - i r 8oo zz o; huius autem radixerit 6o; cum enim e , posuerimus, aequari 6 R, radix vero valeret to ; consequenter 6 R, valebunt fio, atque adeo huius aequationis radixerit 6o; cubus erit 316ooo;3-o ei valebunt 864oo, additione tacta, habebitur 3oa oo, a quo si subtrabatura a96oo, pretium ipsius 36r, remanebit i7a8oo, a quo si auferatur i agoo ; r manebit o . Itaque recte instituta est operatio , quam etiam possumus exercere u rno, vel alio exemplo, in quo reperiantur numeri irrationales , eadem enim regula eodem modo recte semper colliget, quod intendimus.
Sit rursus aequatio a a Ra tia a Ra ista o. Supponamus e , aequa
ri a P a , deinde multiplicari debet et , per se a , & fit a 4 , scribatur itaquee 2 e' ; deinde quadratice multiplicetur pi et , ut fiat productum a , quod duci debet in Ia, ut fiat a88, erit igitur e et 4 e' l 288 e , demum cubich multiplicetur se a , ut fiat productum' i 38r ; quo ducto in si ii 6 , fit productum 'a 98 984, nempe i7as , est enim hic numerus quadratus , cum eius radix sit
17a8. Nunc erit squalio ista e - a e' t 288 e i 28 o. Cum autem diceremuse, aequariast 24, dc illius aequationis radix esset hi 6, consequenter a P δ4,
valebit se i 4, nempe ra , huius cubus est 1 18 , cui addi debet ob sanumt,3 16, pretium ipsius et os e, & fit si 8 , a quo labtrahi debet i 18 , ob signum , & a residuo 3 36 , subduci debet 34so, pretium quadratorum , puta γε ς',
dc nihil remanet; quamobrem, recte dicebamus operationem ad eum modum institui. Posset etiam desiderari , ut loco illius suprapositae aeqitationis alia iubstituere tur, in qua omnes quantitates cogntis solis integris numeris exprimerentur; id a tem fit supponendo u ta 3 e , multiplicando vero 3 , per 3 , - per 9 , dc sper a7; fiet enim aequatio u - 9 u l. a 6 u - et o. Huius autem aequationis radices sunt et , 3, 4; illius vero erant -i i , α - . Superioris autem eruntri P 3. R3. X R3 . Haec autem nos longe melius intelligemus supponentes aliquam aequatione numeris exhibitam. Sit Nitur a - 6 3 - a V - α o . Si itaque loco istius alia substituenda est, in qua quantitates omnes cognitae solis integris numeris exprimantur. Oportet supponere e M s a. Et quidem a , radix illius aequationis valet 8 i quamobrem a , valebunt o: proindθ e. valebit pariter o . Multiplicemus autem 6,pers, fit 3o, inseper ῖ - , peras, fit 8o'; S: F per ias undd erit e - 3oe -8o e - Groo z: o. Huius autem aequationis radix est 4o, ut unusquisquet poterit experiri. Sit aequatio e - 6 e 3 - e - 113 - o . Supponamus u , aequari 6 e, de fiet aequatio u' - 36 ii' Φ ii u - 33tao zz o . Debet enim 6, secundus terminus duci in 6, ut fiat 36. pro secundo termino nouae aequationis; Deinde 3 - . duci debet in 36, quadratum ex 6 , ut fiat ii ; demum II 3- , duei debet in i io , cubum ex 6 , ut habeatur 33iro ; de fiat aequatio u - 35 u'Qε It 4 u ' 33lao zz o. Huius autem aequationis radix est 48 ; si itaque diuidamus As, per 6, innotescet radix illius prioris aequationis. Quod si aequatio illa superior sie se habeat e - 6 e' Φ 3 - e r 3 - π o; adeo ut fractio illa H- , ad minimos terminos sit redacta. Oportet 5, secundum terminum ducere in a , denominatorem fractionis, ut fiat r8, pro secundo termino nouae aequationis: deindε 3 , duci debet in s , quadratum ex 3 , ut fiat 18-, pro tertio termino; demum oportet ducere r 3 - - , in a7, cubum ex 3 , ut habeatur At o , erit igitur aequatio huiusmodi u - 18 u'-28 u qt o o . Istius autem aequationis radix est 2 , si itaque hic numerus diuidatur per 3, orietur quotiens 8, & radix prioris aequationis.
Illud insuper non ignorandum est; hoe nil aliud esse, quam multiplicare terminos aequationis per taminos continue proportionales. Si enim sit aequatio.