장음표시 사용
261쪽
Liquido constat dum fit multiplicatio, ut supra dicebamus multiplicari terminos
aequationis per terminos proportionales I. o. 36. 316. sta etiam dum illa superior aequatio a o a' ἀ- 3 - - a O; reduce batur ad aliam hanc e - ao e' H. 8o e astoo , fit multiplicatio terminorum Per numeros continue proportionales. a - o a' 3 1. I . a
Praetereundum tamen non est , nimirum quemadmodum aequationes ope multi plicationis a fractionibus liberantur , & ad faciliores reducuntur, ita quoque Plς-rumque beneficio diuisionis in faciliores transmutari posse i si videlicet id lubet ob Prolixos terminos, i qui laboriosiorem aequationis explicationem reddunt. Vt si foret ςquatio a o a' so a - 86 oo V o. Dividantur eius termini per numeros propoitionales nimirum a , 6, 3 οἱ aio.
Illius autem aequationis radix erat 48; liuius vero erit 8, quandoquidem institu'ta est diuisio per 5: si igitur 3 , multiplicemus per o , quandoquidem instituta suiu diuisio per 6, fiet 48. radix prioris aequationis. Huc spectat Isomoeriae opus iam superius explicatum. Vnde dicebamus. Si a' taequetur et solido ex hypothesi quod da sit e planum; etiam ex iis , qu* pro Ponun ur aequabitur 1 solido; omnibusque ductis in d , & epi. cub.b sol. d e pl. aequabo a sol. d , & ita de alijs quae supra videri possunt, ubi etiai di methodum alteram aperuimus. Ita pariter si a aequaretur zis cx hypothesi quod d a sit e planum, ex ijs quae proponuntur; aequatur: id , & omnibus applicaris ad d fit e pl. cubus Φ b sol. d e pl. za apI pl. d'Vide, quae supra de Itomoeria laactantes, attulimus . . AAduzrtendum autem circa ea, quae ibi diximus, idem esse 'πυμ ac est e namque est frictio cuius numerator b sol. e pl. , & d nominator d' si per eandem quantitatem d multiplicetur, fit illi fractioni
aequalis. Haec autem operatio conducit seliciter ad faciendam quantitatem cognitam a Iicuius termini in aequatione alicui datae aequalem . Esto aequatio a ad 'o . Oeorteat aeqnationem instituere, ut eius tertius terminus non sit c , Ut hic, sed potius 3 b'. Supponamus e , aequari a modo autem scribendum este a b e Hε 3 π o. Hoc autem sic intelligendum est. Si supponamuse, aequari a - siue e , aequari f. 3, erit a ' et C, & consequenter a dc a aequatione substituenda , ut habeatur '--t d 'o, dc per communem multiplicationem ipsius 3 b D 3, fiet c e a a, e e t a b d , 3 o ; de per diuitionem ipsit iis c , fiet e 3 b' e 'Caeterum declaranda suus superius dicta . Oportet aduertere idem esse a ac est Q- fi 3. Nam, ut id clarius appareat. Supponamus a , valere 6 ; demia loco ipsius yi 3, accipiamus numerum rationalem, eumque tamquam irrationalem tractemus. Sit igitur ' in, & quid cni deprehendemus idem esse a cst .
Supponamus b, valere Α, & c, valere et, item a , valere 6. Iam constat a- σι idem
262쪽
idem esse quod numerus 6 , nempe 4 b', diuidatur per c', nimirum per q , ut fiatro, cuius radix 4 , ducatur in a , nempe 6, fici enim a 4 . At idem nun crus prouenit si Α, nimirum b, ducatur in a, scilicet ο; numerusque productus et , diuida. tur per c, videlicet et, ut proueniat Ia, quo ducto in Rq, ncmpc a, prouenis et q. Item si sit a idem erit quod P 9. Supponamus enim a , valere 6, di b, valere 8 , cuius quadratum est 6 , & c, valere a , cuius quadratum est 4 , ducamus 64, in se , fit 37 9 est quidem numerus, si diuidatur per ψ, quadratum ipsiusa , fit quotiens 1 4, cuius radix est 1a, qua ducta in G, fit 7 a ; tantum habetur pro - - P 9, siquidem b, valet 8, & a, valet 6, quarc b a , valebit q8 , quo diuiso per c, uempe a , sit aq , quo ducto in 3 , nimirum radicem.quadratam nuuacri 9 , sit et, ut prius. Qeterum si sit c ' a erit idem quod e ta R 3 , & erit a ' o. , &a' ' si ci . Quae quidem si inaequatione substituantur, habcbitur aequatio huiusmodi et t d 'o , de per communem multiplicationem
diuisionem ipsius c', fiet e 3 b' P3 ' O. Dicebamus autem a , aequari ritet; cum enim c, aequaretur -R 3, seqii itura, aequari, quandoquidem si supponamus b, esse Α, dc a , esse s , b a , crit et O , quo diutio per c, quam sappono esse et, si 'uotiens io , qucm duco in o , numerum ad libitum , quidem suppositum loco ipsius hi 3 , fit co pro e ; modo si c, nempe a, ducatur in e , scilicet oci fit leto, quo diuiso per ψ, ducto in o , hoc est per 24, qui quidem numerus respondet b P 3 quemadmodum leto respondct c c , fit
, pro a. Modo tractandum superest de cubicarum aequationum reductione , cum Probi ma planum estiterit. Id autem assequemur primo liberata squatione a numerorum fractionibus, de a numeris surdis si qui intercesserint perpendendo ordinatim quam litates Omnes, Quae absque fractione terminum vitiaeum diuidere possunt . Is enim peractis videndum est , num aliqua ex ipsis iuncta cum quantitate incognita per notam i, vela , binomium componere possit a quo tota sumina diuidatur; id enim argumento erit problema planum esse . Aut enim cognita quantitas huiusce bino- mi, radix erit quςsita: vel aequatio diuisa per binomium praedictuin ad duas erit dimensiones reuocata , cuius radix citra dissicultatem comparari potest . Sit igitur aequatio e S e' I 24 c' - 6 o . Obseruandum cst per quos Ex mpta numeros ultimus terminus 64, diuidi possit: reperieinus ad huiuscemodi diuitionem istos idoneos esse I, a, , 8, 16, 32,5 . Quare examinando , ac Perpe dendo aequationem hanc, quam diximus num diuisionem patiatur per aliquod ex his ibinoniijs e i, vel c' t i, item c' a, dec. Comperiemus aequationem diis
uid posse per C a6; diuisio autem hunc in modum instituitur.
Fit autem quotiens s I e' i S e' t 4. Haee vero diuiso tali pacto perficitur. Sumatur initium ab ultimo termino 6 i diuidatur igitur 6 , per a 6, defit quotiensi , constituendus ex parte quotientis multiplicetur per - sitque - 6 , de per Φ c' , sitque Ο c coiistituendum sub diuidendo , ut 'vides assecium tamen nota scribendum cst cnim , semper signum Φ, ves - , plane contrarium illi quod multiplicatione
263쪽
producitur , si volumus operationem addendo perficere ; Sin autem syribatur , ut laribi debet se , vel - , &c. )ncia additione, ipsius - 4e' ad ir e , sit age', quod diuidatur per - 16, ut fiat quotiens H. 8 e , ducatur autem Φ8e', in te', fit 8e , constituatur sub - Se , additione salia, habcbitur 36e'. quo diutis pcr i 6, fit quotiens ti σ, quo ducto in Φ e', si t i sebtracto ex e nihil remanet, & ita adimpleta est diuisio. Huius porro aequationis e' 8 Ia e - 6 o, radix est 16. Aduerte e sumi procubo,&c. Sit aequatio Diuidatur
264쪽
fera autem exempla facta sum se eradinae Hac autem animaduertisse iuuat ad maiorem fur HADrum explicationem . Superioris operationis con nubatio sic se has u. Itaque huiusmodi operatior fitur , vel partim subtrahendo, se partim Mamis, via subtrahendo tantum, vel aduenis ramum ut supra explicatum sit.
tre Huius aequationis e Io e' - 44 e' - 48 ' o. Radix est 4. Diuti
265쪽
Huius autem aequationis radix est b t C. Animaduertendum autem est, nos s perius non usurpasse e pro quantit te sex dimensionum , sed pro quantitatς trium tantummodo ι siquidem in illa aequatione non reperiunture', e , neqM e ; Ac proinde commodissimE pro illa substitui potest ista v q. ω u ,- a c u , 0' uici u - ω- a b c b' c o. Nempe supponendo u, aequari e , atque substituendo u , in locum ipsius e , & u , in locum ipsius e . Cognito autem pretio huiusu, extra tione radicis ex codem; peruenitur in cognitionem ipsus e. t eque dissimili modo: si sit aequatio a' πα- b a q. c ς Possum enim quatuor dimensiones ipsius a', ad duas reuocari, de ita aequatio institui poterit e . b ein c'. Supponendo nimirum e , ςquari Γ, atque adeo e , ae uari a s quamobrem sicuti illius aequationis fit radix e b Φ- - - D sec' inradix illius erit a ta R b Φ R b' Sit aequatio a Φ 3o o 6. C. . Potest ad hane reuocari e q. 3o e diso Is i idem enim recidit cum superiori; eadem enim radix extrahitur. Cum autem supponeremus e , aequaria', innotuit vero i4 , pro pretio ipsius e; ergo a' . valebi v. - , quare a , valebit Ia , ut enim a , est radix ipsius a', ita ia , ςu radix numeri 144. Quod si fuerit aequatio, in qua quidem incognita quantitas quatuor dimensiones habeat, sublatis surdis, fractitque nil meris; quando si intercessiermn perpeiadendum est, num binomi uua reperiri possit constans .ex incognita quantitate r . vel - , ali qua quantitate diuidente sine fractione terminum ultimunx aequationis, quod quidem binomium totam diuidat summam . Si enim hoc binomium.reperiaturi, aut cognita quantitas , huius binom ij erit quaesita radix , vel saltem diuitione consecta.
relinquemur tantummodo in squatione tres dimensiones , adeo ut illa iterum ex mini sit exponenda. Si vero non cqntingat huiusnodi binomium reperiri: oportet augenso, nai turn loque radicis valorem, tollere secundum terminum summae ; Minde ipsam ad aliaui reuocare, quae tres tantustunodo dimensiones contineat.
Id autem maiusculis characteribus intueri liccbit, ut hic inserius patet.
266쪽
Dicebamus enim aequationem sic ordinandavi esse; ut sit huiusnodi. Φe' ape' e' -q'T: o. Cum prius esset i a a' - 8 a 4. 3s ' o, hoc est a' p a' - q a r O. Cum igitur quantitas superius posita p, sit - 4; proinde erit - 8 r; siquidem hic est a p e'; illa vero quae ponebatur r, erit 31, quater ductus in e', cum prius esset 36; hic enim ponitur 4 r C; atque adeo e' i erit se is e' - x o e , hoc est erit totum id, quod diximus ii 4 e . Cum demum q, sit 8 , proinde erit 6 , loco ipsius q'. Caeterum illius aequationis e - 8 e' - ra c - et O , hoc est e 8 e Ia e 6 o , radix est i es. Verum possumus in his perficiendis operationibus adhibere pro quantitatibus cognitis qirascumque species, siue elementa tua propter si minus arridet, uti characteribus illis p, q, x, loco ipsorum substits possunt, b , d, g, Vietae familiares. Sit aequatio a as a' fio a - 36 oi cuius radix est 6 ; Iuxta praedicta Nos huiusmodi aequationem ad hane reuocabimus es so e Φ 769 e' - 36ooo. Huius aut eam aequationis radix est i 6. Gg 3 si
267쪽
o aci , Constat etiamdiuius aequationis radicem esse io. Ita quoque si sit aequatio huiusmodi; nimirum .il
Est enim N- b' - C, idem quod p.& - - b' - b' e f e', idem quod p'. &praeterea - - b Q ω c , idem est quod r, atque demum b a , c b' c , idem est quod q'. Cognita aequationis radice, ut supra dicebamus, diuidetur aequatio ope ipsius quiadem radicis in duas, ex quibus prioris aequationis radices deducetitur ι exempligri Superi
268쪽
Superioris ςquationis r e so e -769 e' - 36oo za o , ad quam altera illa H. x ' - as a' - 6o a - 36 o, reducebatur; illius inquam aequationis per diuitionem radiis innotuit is, ut vidimus. Nunc ita procedendum, scilicet pro aequM uoue t a , p a', q a, r o. Oportet has duas aequationes scribere. q. a' ea Φ-r H Pq. a Qe aq. - - PObseruandum est autem eirca signa 1, & -; hic data opera praetermissa suisset. Si enim in prccedenti aequatione habeatur f p, in utraque istarum duarum poni debet Q -- p, & si in priori habebatur p, hic poni debet - p. At vero ponendum est i m, , ipsarum ςquationum, ubi habebatur e a, de , in altera, ubi habetur t e a , prout habetur 1 q, in prima , & contrario quudem modo; si ibi adsit q, poni debet se in illa, ubi nimirum est ea i & -- in altera , ubi reperitur Q ea: Sit exemplum superius positum ' a' asa 6o a 36hoi reuocatur ad hanc; tuta f e' - Io e 769 e' - 36oo za o. Huius aequationis radix est io, diuisionis praesidio comparata . Loco igitur illius aequationis beneficio radicis inuentae, duae sunt aequationcs hunc in modum comscribendae. q. a' - a 4 ra π o Vel Φω- ata ra. Iam igitur aequationes habemus non minscendentes gradum quadraticum. Esto igitur illa prior ad hanc formam per antithesin reuocata. x 4 ata raa q
6Dimidium numeri radicum est et, euius quadratum additum ret eomparationis homogeneo facit 16, cuius latus quadratum est 4 , cui addito a , dimidio numeliradicum fit 6, radix illius ςquationis, nimirum a' a a - a 36 π o. Caeterum haec aequatio diuisa fuit in illas duas methodo superius insinuata . Si enim e , est 36, utique e. erit 4, quare e , erit 8 at vero et , idem erit quod p; insuper 6o, indem quod q, quamobrem - e' - - p , idem erit quod Ia ; quapropter
erit aequatio , ut supra Fc-4a - Iazet O.
Verum enim vero aequatio illa ae Φ la ' o, impossibilis est, nullam habens radicem neque veram, neque fallam; proinde solum habebit radices, quas dicunt imaginarias
269쪽
a Matur ; contra ver, g a cercntur. Se i haec supra ram decurata frui. Si ilfuerit aquam.
Huius aequationis instituitur diuisio modo supra explicato.
270쪽
CAPUT VIGESIMUM PIUM V M. et 4
me prserinittam, hami mediocriter conferre ad squationes explicandas, earumque latera exhibenda, cum numeris pr sertim tractantur. limites praefinire, inter quos suum aequationum radices coercemur. Haerenim Arte cognoscimus saltem radicem minorem este aliquo numero, altero autem maiorem. Itaque Si proponatur a b a 4 χ' aequari o , per metathesin χ' aequabitur b a - a'. Prima autem parie existet ire reali, alteram quoque realem esse oportet. Vnde necesse est b a , maius esse, quam a i & utroque termino per a diuiso; erit b maior, quama,&perantithesina' aequabitur ba χ', quare pars altera realis erit,&ba maius erit,quam et . Diuiso utroq; termino per dierit a maior, quam - , quamobrem utraq;radix aequationis propositae maior est , quam ,- , minor tamen, quam b. Hic autem perpende , nimirum in huiusmodi aequatione, si homogeneum datae mensurae applicetur ad coefiicientem longitudinem sublateralem, magnitudinem omtiuam esse minorem utraque aequationis radice; ipsamque coesicientem longitudinem iam dictam maiorem esse utraque aequationis radice. Proponatur a' - b a - χ' aequari o, de per antithesin a aequabitur ba t κ' qua re δ' maius eris, quam Σ', & a maior erit, quam 2, propterea Ea maius erit, quam
Σ Vnde a minus erit, quam b a t Σ'a; ac ob id si utraque pars diuidatur pera; erit quidem a minor, quam b-E . Deinde quoniam es aequatur b a t
ae maius, quam b a; propterea uterque terminus si diuidatur per a i erit a maior, quam b; & b a maius, quamb': cuinq; a aequeturbat Ex erit a maius,quam b' t Σ's nempe a, maior erit, quam si b' Η Σ', &quia deinde a maior est, quam et, erit b amatus . quam b Z; & a maius. quim q. a b Z, nimirum a maior erit, quam Bib ΣΦ es; ob id radix propositae aequationis maior erit, quam maxima harum duarum Rb H. 1 , dc ' b Σ .FE, minor tamen , quamb q. r. iNota radice esse maiorem maxima duarum quarum una potest aggregatu planorum, quorum unum est quadratum messicientis longitudinis sublateralis, aliud est homoge ncumdatae mensurae , altera potest aggregatum planorum, quorum unum fit ex abscoessiciente, in iectam quae potest homogeneum datae mensurae; alterum est ipsum homogeneum est tamen minor aggregato in coeffciente,&recem, quae potest illum homogeneum datae mensurae.
Proponatur a' i b a - χ' aequari o. Per antithesin a f b a aequabitur et qu
p te maius erit, quam a. Deinde eadem existente aequatione, χ' erit maius, qui in a', ac ob id Z maior erit, quam a; propterea Z a maius erit , quam a , . sed a -b a aequabatur Z'; ergo Z a 'I b a maius erit, quam 2', duusa proinde utraque aequationis parte per b t Z , fiet a maior, quam . Itaque radiis a , maior erit, quam I minor tamen, quam . Notam hacς quatione radicem esse maiorem, luam ortiva magnitudo, prouenies ex ap
plicatione homogenei datς me ad coessiciet logit. plus ea,qus potest ipsu homogeneus sed minore,qua ortiva magnitudo ex applicatione homogenei ad coeffciete logitudine. Quod si fuerint aequationes cubicae,in quibus secundus terminus desito hac Arte
eadem inquiruntur. Proponatur a b' a Τ χ T O. Per metathesin quidem a aequabituriti bi a -- Σ', atque adeo b' a maius erit, quam Z , quamobrem utroque termino diuiso per b', d a maior erit, quam ; deinde per metathesin. b'a a aequabitur κ'; ac ob id bl maius erit, quam a ', de.b maior, quam a. Itaque utraque radix a propositae aequationis maior crit , quam Q- , dc minor, quam b. Hic obserua, radicem utramque maiorem esse Ortiua magnitudine ex applicatione homogenei datae mense s ad c iliciens planum sublaterale . at vero minorem esse magnitudine, cuius quadratum est cocilicietis planum praedictum. Proponatur a b' a - χ aequari o. Per antithesin quidema' b'a aequabitur χ', dc a' maius erit, quam b', de a maior erit,quam b, dc a' - χ' inuabitur b' a, atque adeo a maior erit, quam Z , di a maior, quam Z, unde Σ' a maius, quam et . At veroper
met athesin fit b a t χ' squalca'; quare b' a t a' a maius erit, quina a , dc utraque parte applicata ad a , di b' t κ' erit maius ., quam a , ob.id a minor erit, qua v l. -a . Reperta igitur est a radix aequationis propositae maior, quam b , dc η,