장음표시 사용
241쪽
yositae. Quamobrem si foret aequatio ut supra; illa quidem diuidi posset per a -
pzr a 3, per a - ; atque demum per a s . At vero nullo modo per a , plus, vel minus alia quantitate quacunque. Cum igitur res sic se habeat; inserendum erit huius aequationis non alias esse radices praeter illas quatuor recensitas 2, 3, 6, & , quai una tres priores 2, 3, & 4 , ut rae sunt, posterior autem 3, nimirum falla. Ita quoque aequatio altera superius allata diuidi quidem potest per a - b ' o , per a-c o, per a d ' o, sed non per a plus, vel minus aliqua alia quam litate, unde propterea constat huius aequationis radices esse tantummodo b, c, d. Item si sit, aequatio a' i a Hε 71 a' - ι 4 a 4 iro ta o) quatuor erunt radices verae, putar, 3, 4, 3, dc rursus si si aequatio a' - et o a'Φ i s a 38o a' t io a - 7ao ' O, crunt radices verae a, 3, 4, 3, & . Itaque si a s es F 26 a - 24 α o, multiplicetur per a - o, sit aequatio a' - i a' t eti
-I 4 a i ta o ' , cuius radices verae sunt a ,3, , I, si rursus productum istud multiplicetur per a o o, fici aequatio huiusmodi a ao x t is 1 38o a' t io 4 a - 71o ' o, cuius radiccs verae sunt a , 3, 4, s , & 6, ut dic bamus. Illud autem est obseruanduin quod si superior ; dicta aequatio a a is es t ios a rao zz o, multiplicata fuisset per a - 6 π o, prouenisset aequatio ista a io a q. s a aro a' - 7 6 a 72o ta O ; cuius aequationis r diis, non esset 6: Si is tur aequatio aliqua , qualis illa, nimirum a s a' t 26 a--' o, multiplicetur per quantitatem ignotam plus quantitate aliqua ; deinde productum quidem ducatur in quantitatem ignoram minus aliqua alia quantitate; haec alia quantitas non erit vera illius aequationis radix, quae per talem multiplic tionem producitur. Si vero eadem illa superior aequatio a -ba'.Flaca b c d V o, multiplicaretur -c Ucd
m. Virili Haec autem aequatio ex supradicta multiplicatione producta diuidi potest per a- b.o, per a - c o, pera di o, & per a s zz o. At non per a , ' plus, vel minus aliqua alia quantitate. Rebus autem sic se habentibus illud perspicuum est, per huiusmodi diuisiqnes ipsis dimensiones diminui , atque adeo postremum innotescere simplicem aequationem: ut inde cognoscatur incognita quantitas. Proinde si si aequatio huiusmodi ν - Αω - xy a tos a Izo ' o i eaque diuidatur per a , orietur aequatio a', 9 Γ q. 26 a - 24 π o, quae si rursus diuidatur per a - 4 , proueniet ς alio a'--sa tota o, quς si rursus diuidatur per a 3 zz ofita a . Quod enim superessieitio; illud idem resoluit diuisio . Huius autem aequationis postremae radi, multiplicatio; ces sunt 2, 3, , I, quatuor nimirum, quia quatuor dimensiones habet; illa vero a - 9 a laba - a zz o, tres dimensiones habet; propterea tres quoque radibces obtinet, nimirum a , 3, 4; sicut illius superioris, quatuor erant z, 3, 4, ι &quoniam a a t 6 ' o, duas dimensiones habet, duas quoque continet radices ira 3. Diminuuntur itaque dimensiones, ut supra dictum est, beneficio diuisonis.
242쪽
243쪽
a et o C RENAI D. ALGEBRA NOVA.
Quamobrem aequatio illa superius allata, & quam hic iterum repetimus diuidi potest per a qε s, per a - d, per a - c, & per a - b; Si diuidatur per a Q s, fiet aequatio trium dimensionum tantummodo:nimirum a ba ,sebca b c d zo
si vero haec diuidatur per a d orietur es ba ca Bbcta o, quae qui dem aequatio duarum est dimensionum. Haec porro si rursus diuidatur per a - ς, fiet aequatio a - b o, vel si diuidatur per a b, fiet a c V o . Hoc itaquς diuisionis praesidio aequationes habentes plures, ac plures dimensiones diminuuntur νessiciunturque potestatis depressoris, una cum ibis parodicis gradibus. Et quiden aequatio illa a s a' ,s a 6 a et o, si diuidatur per a 4, reducetur ad illam a Iae,so' o; quae si diuidatur per a 3, reducetur ad hanc a - α
Φ b c o, quς duarum est dimensionum; qua quidem diuisa postremum PQx a
His autem obseruatis facile deprehendemus in aequatione habente plures radices, secundi termimini quantitatem ςqualem esse summς omnium radicum ; atque etiam quantitatem c gnitam ter iij termini aequari aggregato productorum ex singulis binis, quemadmodum quantitatem cognitam quarti termini aequari aggregato product rum ex singulis terminis; atque demum quantitatem ultimi termini aequari producto ex omnibus illis. Ita quidem perspicuum est in adiuncta aequatione trium dimensionum, ac proinde habente tres radices, quς suum ortum habuit ex multiplicatione a b, pera c,& eius producti a' ca ba Fbem O, per a d; sunt enim istius aequationis, quς prouenit tres radices , nimirum b. c, d, ex quibus componitur secundus aequationis terminus, siue quantitas secundi termini ; est enim hςc,lcilicet bι
Ita etiam quantitas tertij termini ςqualis est aggregato productorum ex singulis binis; est enim tertij termini quantitasa - b z: o
244쪽
b ei constat autem hoc esse aggregatum productorum ex singulis binis radici- F e d
busi At vero quartus terminus, seu ipsa quantitas cognita quarti termini est bedd, ac proinde ςqualis aggregato productorum ex singulis ternis. Ita pariter in aequatione illa a 9 a' q. 26 a a o; cernere licet huius enim aequationis tres sunt radices a , 3 , & 4, liquet autem secundi termini quantitatem esse 9 ; numerum squalem aggregato trium radicum a , 3. & q; constat praepterea si ducatur et, in 3,, fieri 6, si vero 3, in q, fieri ra, si demum a , in q, fieri 8, at vero 6, ia,& 8, si simul addantur fit 26, quantitas tertii termini; quae proinde fit ex singulis binis radicibus. At vero si ducatur i, in a, fit 6 , quo duicto ii 4, sit et , quantitas quarti termini facta quidem ex singulis ternis radicibus. Propterea sit aequatio a' - 1 a' t 7 a rao ' o, cuius tres sunt radices 4, 3, quarum summa est , nimirum quantitas secundi termini , at vero si ducatur , in s. fit zo, & si ducatur in 6, sit 3o, si demum 4, in 6, fit a , horum autem summa est , nimirum quantitas tertij termini. Praeterea si ducatur 4, in f, fit io, si ro multiplicetur per o, fit Iro, quantitas nimirum quarti termini, quae faceta est ex singulis ternis, ut patet, radicibus. Insuper sit aequatio a - 48 a' sa a 384o π o; Huius arquationis tres sunt radices, i 2, 16, & ao. Manifestum est autem quantitatem, secundi termisi nimirum 48, esse aggregatum trium supradictarum radicum; dcinde numerum fa, quantitatem silicet tertis termini fieri ex singulis binis radicibus, ut constat i si enim ducatur 12, in Io, fit numerus isa, si vero is, ducatur in ao, fit numerus 3 ro, si ia, ducatur in zo, fit et oi ex his porro simul additis consurgit numerus 7sa: Demum numerus 384o, hoc est quantitas quarti termini fit ex singulis ternis si enim multiplicetur ao, per ra, sit a , hoc vero productum si multiplicetur perio, fit 38 o, ut perspicuum est. Supponamus iterum Γ - 6 a' - ry a' ros a rao o. Huius aequationis radices sunt a , 3, 4, & - F, quς quidem squatio sic ordinari debet, quemadmodum hie cernere licet a' - 19 a' - rao zz 4 a IO6 a. Quod si placet per species squationem exhibere, illud quidem facillimum est, erit autem hoc modo a H. bca' - b c d f lba .Fb c d a. Illius enim aequa- q. cd q. c. - bc s
& f. Vbi quantitas ignota a, pares habens dimensiones, unam constituit aequationis partem reliquae autem aliam. Concludendum est igitur, ut supra dicebamus in inuatione plures radices habente; quantitatem cognitam secundi termini, aequalem esse summae omnium radicum,& quantitatem cognitam tertij termini, aequalem esse summae productorum ex si gulis binis, & quantitatem cognitam quarti termini esse aequalem summae producitorum ex singulis ternis, at vero quantitatem cognitam ultimi termini, siue ultimum terminum i pium, aequalem esse producto ex omnibus. De numero radicum reliquum est, vi verba faciamus. & inquiramus quot verae,& quot falsae radices in aequatione ipsa reperiantur. Illud igitur prae oculis diligenter habendum est, tot nimirum radices veras in aequatione haberi posse quot signorum i , dc - , variationes contingunt. Tot vero falsas existere qnot vicibus ibidem deprehenduntur duo signa Q. , vel duo signa se mutuo consequentia. Haec tamen intelligi debent de aequationibus illis, quae ex suis radicibus inter se multiplicatis deducuntur; alioquin optime fieri poterit , ut in aequatione non sint tot radices, quot incognita quantitas dimensiones habet, neque tot verae , quot in aequatione ipsa variationes signorum i , & - , contingunt, aut tot falsae , quot vicibus deprehendere
245쪽
laendere licet duo illa signa i vel duo signa se inuicem sequentia. Ita plane si
Ilaec impossibilis aequatio a' - , at .ci, multiplicetur per a - a ' O, proau'cetur aequatio a - 6a t 33a - ro zo. Hςc certe producta non erit ex multiplicatione trium radicum; quantumuis igitur in ea tres radices verae concipiantur; una tantum ex illis realis ea , nimirum et , reliquae autem imaginaris, ,- --. . seu tales quarum valor mente comprehendi non potest,
ire, Redeamus undE discessimus. Erat aequatio superius allata i a a i9 a't ros a iro zz o. Quoniam igitur post i a , sequitur - 4 a , quae est una variatio signi in signum ,&insuper post -i9 a', sequitur t io6 a quemadmodum post i lo6 a, subsequitur aro, ac proinde duae aliae variationes contingunt signorum i , & -; proinde tres esse radices admittendas veras in supradicta ae litatione colligimus ;vnam autem esse fessam, eo quod duo signa terminorum 4 a', dc is a', se inuicem sequuntur. Sunt porro supradictae aequationis radices verae a, 3, & q. Si supponamus enim
vero radix erit falsa puta, Quae autem hactenus diximus intelligenda sunt tam de aequationibus in quibus nullus terminus deest , sed completae sunt; quam de illis,quae incomplet ς diei possunt, eo quod in ipsis aliquis terminus desideretur. bupponamus itaq; ct s V o, intelligi dedet in hac aequatione esse vel asse tum signo i, vel signo , si fuerit assectum signo i, erunt duae falsae radices , &vna vera; si autem affectum fuerit signo erunt tres radices verae.
prima aequatione quoniam o, & L, supponuntur assci signo i, proinde eritia, radix una falsa. Quia vero x, supponuntur eodem assici signo , erit alia radix falsa; Hoc aulcm constat ex prcceptis hae de re supra traditis. Quia demum R, & N, supponuntur assici diuersimode, nemph x, signo i, &N signo - , proinde erit radix una vera. Si vero et asciatur signo , quoniam ri affectus suinponitur signo i at et signo proinde erit radix una vera. Quia vero et, & κ, assiciuntur; illud quidem signo . haec autem signo 1, erit altera radix vera. Quia demum x, assici supponitur signo i , & Μ, signo proindE
erit tertia radix vera; quamobrem in hac supposita aequatione tres radices verς erunt. Supponamus e aequari e b e, seu ut alij iaciunt e α - betc. Oportet au. tem aequationem hunc in modum conciperee o e b e -- c π o. At vero supponamus primo o e , assici signo i, de erit et q. o e Φ b e - e V o, & ita' propter terminos i e', de o C, eodem signo affectos, erit una radix falsa; de ita obterminos o e , & t bHeodem assectos signo una erit salsa radix . Demum prop. ter terminos i b e, & e, diuersis notis affectos, una erit radix vera. Si vero nos supponam o e , secundum terminum affectum esse signo - , erit propter terminos ' ς', & o e', varijs signis affectos, erit inquam radix una vera a de propter terminos o e , & q. b e, qui varijs signis assiciuntur , erit citam alia radix v ra. Postremo, propter 1 b e, & - c, erit alia vera. Quoniam autem supponendo secundum terminum assectum fgno alterutro .F, aut , certi sumus nihil in proposita aequatione mutari posse. Vt cognoscamus multiplicationem, qua proposita aequatio producta fuit oportet earum radices imter se conferre.
Q - δε- 'Supponamus o e , terminum esse affectum signo Q. , & erunt duae radices falsae una autem vera. Supponamus deinde terminum illum esse affectum signo radiaces tres verae crunt. Quare in illa falsa, sumpta vers istius respondet: quemadmo. dum iterum accepta falsa vers respondet; vera demum verae consentit. Inde fit ut liqc ςquatio unicam radicem habeat veram , atque realem , quaequidem possit explicari. Alias autem radices immaginarias esse : ac proinde aequationem produciain Originem non ducere a multiplicatione trium radicum , ut supra de alijs dictum suit
246쪽
suit ; sed potius per multiplicationem alicuius aequationis impossibilis. Prima aequatio dicatur illa , in qua o e' assicitur nota ti deinde altera intelligatur esse, in qua o e' assicitur nota --. Haec autem, quae dicta sunt locum etiam sobent in radicibus falsis. Ita eariter supponamus e π b e -- c, vel e ; oe' tbetera o Priori faeta suppositione tres erunt radices fusti facta autem secunda, erit una sabsa,& dus verae. Quamobrem concludendum erit, aequationem hanc unam tantam radicem admittere, nempe falsam, duas reliquas esse imaginarias, ac ob id aequationem procreari non posse multiplicatione trium radicum. Eodem pacto si fuerit squalio e α -b e e; seu quod idem est et o
Constat aequationem propositam oriri ex multiplicatione trium radicum; quarum duς sint falsae, una aut cui vera; propteica quod e priori illa hypothesi duae inueniuntur radices falsς, & vna vera: e secunda itidem duae falsae, di una vera. Si sit e zz t b e c, seu e t i oe' be icta o. In priori suppositionedus sunt verς radices, cum una falsa. & in posteriori similiter duae verae . & una falsa, itaut huiusmodi aequatio procreari possit e multiplicatione trium radicum νquarum duc sint vers, & una falsa. Fit autem istarum radicum metamorphosis; ades ut in una, de eadem aequati ne radices omnes, quae falsae sunt evadant vers . Nec artificio dissimili quae verae mrant, evadant falsae. Id autem sit mutando signa omnia a. , & - , quς nimirum in secundo, quarto, & sexto loco; & aliis quoque locis delignatis per numeros parea periuntur: Non mutatis r liquis primi, & terti j, & quinti loci, aliorumque per impares numeros designatorum. Quamobrem si nos supponamus ςquationem esse, Ut supra i x 4 a is a' ioci iro ta o , quς quidem aequatio tres radices habet veras, nimirum 2, 3 , & in , atque unam salsam , nempe ut superias dictum fuit. Mutatis signis ut hic, fit aequatio huiusmodi t a'-4 a - 19 Io6 a lao α o, unicam radicem veram habens; putas, quae in luperiori aequa tione falsa erat; reliquς autem, nimirum a ,3, ε, quς verς erant, fusae evadunt. At vero illius aequationis, nimirum t a' a I9 Eros a rao ta o tres esse radices veras, scilicet a , 3, & , liquido constat, ut hic cernere licet q. a' '4
Constat autem aequationem hanc produci ex illis tribus radi cibus veris. & altera salsa, ut manifestE constat ex adiuncto paradigmate. Quemadmodum etiam perspicuum est, aequationem hanc t P
ra , nimirum s , de tribus falsisa, 3 , α 4 , multiplicatis ad ii uicem , hoc est quemadmodum superior aequatio producebatur ex quatuor radicibus inter sti, multiplicatis, quarum tres sunt Vers; puta a, 3, & 4, altera a tem falsa, nimirum s. Ita etiam& haec producitur ex quatuor radicibus, multiplicatis ad inubcem
247쪽
cem, quarum una est vera , via
delicet S. Aliae autem tres sunt falsx; puta a. 3,& q, quae iii iupcri
Haec porro necivin locum habe ni in aequationibus conii letis; sed etiam in incompletis, in quibus nimirum alic uis icrminus, deest , atque delideratur ex ijs, qui in imparibus locis exiliunt. Quamobiem ii fuerit aequatio a ' η 8 a et q. Seu quod iu
a 1 24. Illius autem squationis radix est a - a, istius vero est a zz a . Et quidem res ita
se habet; propterea quod si nos
supponamusa' ' -- 8 a a 4, certe huius ςquationis radix ei it - a. Si vero supponamus esse a zz 8 aa , huius aequalionis radix crit a. Praeterea sit aequatio a ' ' - ioa a 75. Seu quod idem est a' H ῆoa t ioa i a 75 o , mutando signa i , & - , secundi, di quarti loci in sua contraria . Fiet aequatio a z ; o a' t io a et 5 ' o: seu a .io a i 276. Istius autem radix cit a zz 6; illius vero a ' 6. Et ita est: namque cubus ex 6 est xi 6, at velo si a , valct 6, utique io a , valebunt co , quare cuin assiciantur signo , est enim squalio a' ta io a i a 6 ; proinde erit et is i co ta et 75. Idem est enim dicere a et ' - I o a t 2 76, ac dicere a t i o a zz a 76. Huic porro respondet illa aio t 6o zz 276. At vero si praesupponamus cubum ex - ε, is erit a16; modo s io, numerum radicum nos multiplicemus per 6 , radicis valorem, fiet productum - 6o, quo addito ipsi numelo aio, fiet aggrcgatum 276, a quo si demantur co. fit residuum - 216. Si enim est aenuatio, ut supra a Io a - 276, & consideremus valorem, siue pretium terminorum, supposita radice - 6, comperiemus rem se habere ,quemadmodum dicebamus. Radices incognitas aequationis propositae possumus cognita quantitate aliqua augere, vel minuere, idque citam superius explicare tentavimus . Perficitur vero; si in locum incogniti termini alter substituatur, qui quidem hac eadem quantitate . maior sit, vel minor , & is loco primi ubique subrogetur . Quamobrem si foret aequatio lita Γ - 8 a' - 3i a' t 298 a - 2 o o , quae tres radices habet ucras , videlicet 4, 3, dc O, salsam vero vitam, nempe 7. Si fiat fignoruin tiansmutatio; tres illae radices euadent salsae , una autem vera erit, nimirum 7 ; reuocabitur igitur ad hane t M t 3 a' - 3i a - 398 a - 8 o o. Huitis aequationis radix vera cit 7. O iteat autem radicem praedictam incognitam tamen, denota iam per a , oporteat inquam augere numero quinario. Substituatur e , loco ipsus a , inrelligere autem oportet quantitatem lianc designatam pere, quinario excedere quantitat cin denotata tam per a , proinde e - , aequabitur a , erit itaque illa quantitas haec, nimirum catque tractanda est quemadmodum tractabatur a.
249쪽
Huius autem aequationis radix est ret, cum prius oscit 7, euasit vero ia, ob additionem numeri quinar ij. Caeterum radicem esse 1 a perspicuum est , quandoqui-dςm quadrat uadratum ex ia, est et o736, huic si addas 1 q, valorem duodecim radicum fiet summa et c88o , a qua si dempseris zo736 , pretium duodecim cubo- . . rum, fiet residuum 1 4, a quo ii subtraxeris ιqq, pretium unius quadrari, nihil l
Ces' de augenda radice diximus, de diminuenda quoque possunt intelligi. Qua
mobrem si radicem eiusdem aequationis diminuere vellemus eodem numero quin tio hunc in modum proced nil esset . Fi t e t Τ - . . Cum autem superior qua tio esset huiusmodi a s a
ri 18 e ta39e't 39re- I98otaqHuius autem aequationis radix est x, ut quilibet poterit experiri. Caeterum aequatio ista collecta est ope multiplicationis, & quatuor habet radices veras; nempe a , 4, 6, & ro, loquor de aequatione hac; nimirum a a a a t i5 α' - 488 a Φ 48o zz o, hcc enim colligitur si multiplicetur a a per a - 4, deinde productum a' - 6 a H. 8 , multi piscetur per a 6 , postea productiam a -ia a q. - a - η8, multiplicetur per a - io, ex his enim multiplicationi Misoritur aequatio illa a - aa a q. t 6 a' - 488 a H. 8o zz o. Rursus si multiplicetur a lata D, pera H. 3, uta' l. sa Φ6, quod si multiplicetur per a - 4, ist productum a' q. t a' - 14 a - a zz o, quod si multiplicetur per a 4. 6 , pso-
ducetur hoc nimirum D q. 7 a S a' - Io8 a - I O. Haec autem a quatio tres habet radices salsas puta a, 3 , & 6 , unam autem v ram nimirum quam possumus arte superius explicata numero quocumque augere.
250쪽
ε a F 6 a 8 a - I x x a rq a' - 14 ax q. 7 a 8 a' - ror a - ι- OIllud autem silentio praetereundum non est scilicet salsas radices alicuius ςquationis quantitate diminui, ea nimirum, qua radices verae eiusdem aequationis augenture a vi & contra tallis augeri ea quantitate , qua verae diminuuntur. Insuper tam veras , quam falsas prorsus euanescere si quantitate ipsis aequili diminuantur. Quod si prς- dicta quantitas illas superauerit exueris falsae , ut ex falsis verae euadent . eraveris Supponamus aequationem esse a a sa a' t 336 a - 8o ' o, quae quidem aequatio tres habet radices veras, nempe a , s , & 6 , unam autem falsam nimirium 8. Facta vero permutatione signorum erit aequatio a q. a a a' 3 6 a - so o. Huius autem squationis radix vera est 3, cum alis 2, 3, de , sint falsae. Ee 2 Hanc