장음표시 사용
231쪽
tione concepta secunduin Artem a' F b - d a aequabitur b d - d', itaque.
Si s Q se 1 C aequetur sergo C aequatur 8,&quia i R potest esse i,&I H. 8 R quatur 8, ob id radix primum quaesita erit ' a - q.
in rursus i R eritici. Chin vero aequationes fractionibus laborant, ex quo capite minus Analyn sunt idoneae oportet; Isomoeriam adhibere rit autem Isomoeria species transmutationis per multiplicationem ita instituta, ut aequalitates a fractionibus, quibus laborant, liberentur. Reducuntur autem stactiones ad eandem denominat nem ex praeceptis Logisti ees;duciturq:communi j homogeneorum denominat olivet m ab eo graduorum in datas coeffcientes, daturaque comparationis homogeneum Radices ducuntur in coe ficientes longitudines, quadrata in coessicientes magnitudine i planas homogeneadatae mensurae plano cubi in parabolas solidas . homogeneaue datae mensuri soli da, & ita deinceps eodem ordine seruato , quod autem fit ex denominatore communi, de radice aequalitatis propositae, est radix aequalitatis praeparatae, dce. Plerumque contingit, ut haec transmutatio , non multiplicatione , sed diuisioneis perficitur. Sed exempli omnia facilius intelligentur solum id notandum superest ,riem Isomoeriam periecisse nil aliud esse, quam propositae ςqualitatis potestatem .,& asiectionum, de comparatioaia homogenea per eunde terminum multiplicasse aut
aequari t solido. Vt igitur a fractionibus squalitas, qui, diuisisse.
hus laborat, liberetur , reducendae sunt fractiones ad eandem denomin4tionei :fitque hoc modo, da esto e planum; ergo erit a; exijs vero, quae Droponui tur e pl. cubus t aequabitur a solido. Cum enim sit a , fieri debet e bus ex ipso; siquidem a est potestas aequationis propositae. Deinde ψε .ducii debet inb sol. quoniam a ducebatur in i, sol. , dc productum diuidi debet per d , riquidem ' b sol. a, erat applicatum magnitudini di proinde H - ducatur in ,& ficu atque adeo fiet , quo addito ad V i , nempe cubum ex , de fiet
quod squabitur et solido. Ductis omnibus in d , dce pi cubus-b sa d e pl. aequabitur et soli b d . . Itaque Sit a Φ aequalis χ sol. supponatur e plannm squari a ostendendum est eph cubumib sol. d e pl aequari et sol. d . Quoniam e pl. aequatur da, utique R ςquabitur a ergo squabit tu a quare in squabitur et solido; omnibusque ductis in d', dc e pl. 3 t bsoLe pl. d aequabitur Σ sol. d . Proponatur i C t - - R aequari a a s . Haec aequatio per isomoeriam ad hane is . uocabitur a C q. R et i 8oo, dc quidem huius radix est ia, illius vero 6. ut melius intelligantur, speciebus numeros aptabunus. Per l, sol. inteligamus 3 pere vero z; per α sol. intelligamur ias, de iuxta speciosam analysin, i Cil .6 Rae tu bituri 3οο. Qu μ
232쪽
Quoniam igitur est a quatio i C t - - R G ars. Ortum propterea duxit a PD 'rabolisino, quare necesse est aliquando fuisse a C t 3 R zz so . Itaque erit i CR : et a P. Cum itaque radix distet a cubo per quadratum; propterea quadratice multiplicetur a denominator, dc set q, quo multiplicato per 3 numeratorem, fit ia, quo diuiso per asito, radicum numerus pr paratae aequationis, &quia num rus distat a cubo per cubumi ducatur et in se cubice,ut fiat 8,quo ducto in queo fit 36oo, quo diuiso per et, fit quotiens i8oo, dc comparationis homegeneum praeparatae, &nouς ςquationis; erpo i C t 6 R ςquabitur i8oo. De his autem multa scripsimus in Algebra veteri. Huius squationis radix estia; Quoniam vero radix prςParatς aequationis se habet in hoc exemplo ad primo qu sitam, ut 1 denominator, ad i. ob id radix primo qussita erit 6. Diximus at tem in Arte veteri de lion ocria loquentes, radicem praeparat s aequationis diuidendam esse per denominatorem. Hce vi melius intelligantur. Sit ςquatio a C ,Ρ --R Σrs, respondens illi ευμ es a za a solido. Supponamus d a eLe e pl. ergo erit a , itaque ei l. noua scilicet radix, diuisa per denominatorem fractionis exhibet radicem squa- , a. sviis. tionis propositς ; noua vero haec radix tractetur, ut dicebamus, de innotescet radix primo quςsita; prouenit enim e pl. 3-b sol. d e pl. ' a sol. d . Vnde si pere planum, intelligamus secundam radicem; manifestum est huius cubum, una cum homo 'eneo sub eadem radice, & producto abs denominatore in numeratorem γquari dato comparationis homogeneo ducto in cubum denominatoris, ut Analytice demonstratum fuit. sit i R , hoc est i C D R ' . Quoniam radix distat a cubo per Qi ob id ducatur denominator 2 in se quadratice, de productum , du- αν catur in a numeratorem, quod enim prouenit si diuidatur per a fit quotiens 6, denumerus radicum nouar squationis. Dcinde quia numerus distat a cubo per C; cubice ducatur denominator a in se , ut fiat ου , quo ducto in io, fit 8o , hoc a tem diuiso per a. fit quotiens qo, dc comparationis homogeneum nouς squationis, nempe i C 6 R o. Redeuntes ad aequationem illam, i CP -R ' ars. Iuxta pisscriptum Spsetosae Logistices reduci ad i i8oo. Manifesth patet, colligitur enim fieri e pl. a b sol. d e pl. et e sol. d'. In allata aequatione b sol. est 3, dc ε sol. est iis, at vero d est et, igitur, ut si ducatur i, sol iv d , de fit b sol. di quo ducto in e pl. fit b sol. d e pl. cubas ex e pl. est e pl. 3 unde σbpl. 3 q. b sol. a e 1 L focit unam squationis partem; ita ducatur 3 in a , de fit 6. quo ducto in I fit 6 R ,
faciet unam ς quationis partem . Alteram vero constituit in speciosa multiplicatio αsol. in il ita hic ducatur a a ina, cubum ex a , dc fit I8oo pro altera aequationis
In idem autem recidunt prςcepta tradita. Cum enim fuerit iCψε- R' ras, de per primum modum isomoeriam perficimus : reducimus numerum absolutum ad fractionem sie fit i C Φ - - R Deinde ducimus quadratice a , denomi natorem, de productum , multiplicamus per numeratorem, productum vero i et, diu uidimus per et, ut proueniat σῆ productum enim est hoc autem idem est, quod et denominatorem ducere in 3 numeratorem ; idem enim prouenit, de hoc prcci pit prςceptum Analyticum. Deinde denominatoris cubum 8 ducimus in so, numeratorem fractionis productum vero 36oo, diuidimus per et, ut fiat i8oo productum enim est . Idem
est autem ducere ais in f, cubum ex z; Quod pri eptum analyticum iubet. Primus igitur Isomoeriς modus hinc facile demonstratur, dc inde quoque secunda methbdus ostendi potest.
nominatore, prouenit i C. Deinde 9 R ducantur in i 6, quadratum ex denominatore, de fiunt i quibus diuisis per ; fit 36, unde 36 R. Demum 33o, compar trinis homoseneum ducatur in cubum ex denominatore, dc producetur 339ro.
233쪽
di io C RENAI D. ALGEBRA NOVA .
Et quidem per diuisionem perficitur lice operatio ; si inueniatur numerus , qui
diuidi possit ansque fractione per omnes denominatores aequationis propositae; m vero multiplicetur per illum, numerus illius gradus , qui proximus est ad potest tem ; per quadratum illius, numerus sequentis gradus, per cubum numerus tertii gradus, & ita deinceps , donec ad comparationis homogeneum deueniatur.; qu niam vero hisce multiplicationibus valor radicis aequationis propositae augetur: num rus, qui inuenitur pro valore radicis nouae aequationis diuisus per numerum illum inuentum, dabit valorem radicis aequationis propositae. Hoc idem assequemur, omnes aequationis partes di onendo secundlim graduum paro dicorum seriem, additis numeralibus circulis, ubi series interrupta fuerit, colloc ta autem unitate sit, potestate, communique denominatore sub proximo inseriori gradu, continuetur series continue proportionalium usque ad ultimam partem, quae homogeneum est comparationis, qui quidem numeri sunt quaesiti multiplicatores ad euitandas fractiones, vel sunt diuisores, quibus aequatio m minores numeros redigitur . Sed de hac methodo videnda sunt, quς scripsimus in prima huius Operis parte, dum de Isomoeria tractaremus, & aliqua exempla paulo infra nos asseremus in medium. Proponatur a aequari certe e plani cubus F b sol. d e pl. aequabitur et pl. pl. d' ; proptereaquod d a esto e pl. , ergo erit a , quar iata . 'r' aequabitur . Omnibus autem applicatis ad d', proueniet aequatio ut supra, e plani cubus b sol. d e pl. E pl. pl. d'; si namque duca tur per d', fiet productum et pi pl. d'. Proponatur a C m R aequari Gi , per Isomoeriam 1 C t 6 R aequabitur1o6o; fitque 1 R io, quare prioris aequationis radix erit 3 ; etenim si i , numerus cuborum ducatur in a denominatorem, fit a, cuius cubus est 8, quo diuiso per scubum denominatoris, prosilit in quotiente i. dc erit i C. Deinde de nominatoris quadratum ducatur in 3 numeratorem, & producetur 1 a, quo diuiso per a , fit 6; eritque numerus radicum. Demum si multiplicetur z63 per 8 cubum denominato ris, producetur arao , quo diuiso per a , fit tofo .
Proponatur 1 C t R aequari etiam i C t i5 R aequabitur 8 io ; huius autem aequationis radiis est zo; ob id primum propositae erit s ; diuidi enim debet haec per denominatorem fractionis, nempe per ψ, de quidem radix distat acuboli erQ; quare in denominator in se quadratice ducatur, ut fiat is, quo ducto in s , numeratorem, fit i , hoc autem diuiso per eundem denominatorem , fit quotiens 36, de numerus radicum nouae squationis adc 7 3 , ducatur in D cubum , productum: 3 88o diuidatur per , prosilit 87ro pro comparationis homogeneo
Proponatur at aequari et solido. Si te pL aequale d a, de e pl. 3 t b pl. e
Huius aequationis radix est i a ; ergo illius est 6. Quadratum distat a cubo perr dicem, quare ducatur a , denominator in 3, numeratorem, de productum 6, diuisedatur per eundem et, de prouenmt 3, unde idem numerus quadratorum est retinendus, & quia numerus distat 1 cubo per cubum, ob id cubich multiplicetur z, dc fit 8, numerus autem a7o, ad fractionem reductus, ut denominator iit 2, eritd: 1 o ducto in 8, fit 3ro, quo diuiso per eundem et, fit quotiens aiso, d comparationis homogeneum nouae aequationis. Hinc autem obserua, idem euenturum , si alia sit denominatio fractionis ipsiui comparationis homogenei, unde si foret 1 C - - αα , consideremus e dem modo numerum distare a cubo per cubumi ob id fractio P reuocetur ad midc a cubice multiplicetur , fitque 8, quo ducto in s o, fit 3ro, quo diuiso per a fit aico, ergo i C t 3 Q aequabitur 1iso; huius radix est is, illius igitur es. Proponatur a aequari a, dc e pl. 3 t b pl. E pl. 2 aequamitur et ph
234쪽
mitationis radix est id, ergo illius est 3, quoniam enim indistat a C perti, prop
Et si 1 C q. Q quetur D etiam i 7 Q quabitur 9 o. Huius aequationis radix est i si Illius igitur erit s. Proponatur a aequarid h pl. pl. e pl. pl. squabitur Z
tur 32 3ia, huius radix est ra, ct illius erit a Ita Vieta. Sed hoc per normam speciosani deduxit. Verum, ut alibi notauimus , iuuat adprimquam ς uationem recurrere; est enim hςc oriunda ab illa ia C q. ii R π17. Vnde instituto parabolismo , sit i C q. -R seu quod idem est a CH. - R πPerpendamus autem radicem a cicto distare per quadratum , quare ia denominutor quadratice in se ducatur, proueniet autem io, quo inultiplicato per ii, prinducitur i38 , quo diuiso per i a denominaiorem eundem, prouenit 132, pro nu mero radicum nouae squationis. Deinde ducatur i728, cubus ex ia in II, ni meratorem comparationis homogenei, de fiet 98 6, quo diui uiso per ir, fit quintiens Sao8, comparationis homogeneum nouae ςquationis i Ci3 R π ῖχοῖ. Huius squationis radix est i 8, quo diuiso per ia, denominatorem, fit quoti - - pro radice aequationis propositς. Alia autem methodo, hunc in modum. Communis diuiduus numerus , sit aq, qui nempe sine fractionibus diuidi potest per denonii natores si actionum qquati nis propositς, fiat autem i, primus terminus, sintque continuE propo tionales I. a . 176. 138a . dispositi sub aequationis membris , ut a latere cernitur ; ducantur autem num
ri graduum parodicorum, in sibi iii
ditos, ac respondentes numeros, nempe p- per 176. fit 3a8, insiperper i 38a , fitque 63ο . itaque erit aequatio i Cis fas R zz 6166 ; pro ductum enim ex numero radicum, in sibi numerum respondentem E quatuor pr portionalibus, est numerus radicum nouae, praeparataeque aequationis, & ductum ex comparationis homogeneo in sibi respondentem, E quatuor proportionalbbus, est comparationis homogeneum nouae aequationis. Huius vero aequationis prς- paratae radix est 36, quae si diuidatur per a communem diuiduum fit quotiens, i - - , & radix aequationis propositς. Obserua, cum secundus aequationis terminus desit, hoc est terminus, inquiri xime cubo succedit, decideratur, suppleri per cis ram, &c. -'. 'Si vero contiosar, ut in aequatione sint magnitudines asymmetrae. Ita proce
proportionales , & ad euitandam Asymmetriam comparationis homogenei, puta ni 288, multiplicari, vel diuidi debet per aliquem numerum, qui reddat rationalem i huiusmodi esse
235쪽
quotlcns 7, si diuidatur et 88 Per yt 8, fit quotiens ' 36, ut dixi, hoc est 6. Vnde prouenici squalio - i R zz is, seu R i C ' 6 . Huius radix esti ; vel dii qui multiplicati per numerum assumptum P a, dabunt se et, & P 8, propositis igitur aequationis radices sunt hi et, & ' 8. Clim autem diuisione operatio perficitur, coefficientes longitudines applicantur ad radices coefficientis plans, de homogenes dat s mensurae, solidae ad cubos, d ita deinceps; quod vero ab huiusmodi oritur applicatione radicis ad ipsum communem diuisorem, est radix aequalitatis praeparatae, nousque aenuationis. Proponatur e pl. 3 t d g e pl. et ' b pl. d' e pl. aequari a sel. d . - esto a s ergo d a erit e pl. , quod facile ex supradictis deducitur . Cum igitur is a sit e planum: cene d a' t g d d' a' l b pl. d' d a, aequabitur et sol. d . Omnibus vero diuitis per d', hoc est viraque aequationis pane diuisis per d', & es t g es Q b pi aequabitur κ solido. Si i ClizQ'8R ςquetur a disci; huius aequationis radix est io ; Omnibus
tionis radix est 6, huius vero est 3 . Si vero potestates non sint affectae . Ut si i C aequetur i αῖ , radix cubica estir, & i C aequabitur G - , de radix est i , hoc est i C aequabitur 8; fitque ιR; 1 .Numeri enim i728,& radix cubica est i et, numeri a i 6 est 6. Si a C aequetur 3i et, fit i R, S, i C aequabitur P; sitque i R , hoc est, C aequabitur 8, fitque i R a.
Plurimum vexat animum operantis numerorum asymmetria, quam is tamen Guitare studet i nescio symmetricae climactis mi β est autem haec operatio species quaedam ascensus climactici , est autem regularis, cum utraque pars aequationis di catur quadratice, vel cubice , hoc est climacticis attollitur; quadratica, cum qqadraricd, cubica cum cubicE, dcc. eoque ordine deinceps, secundum potestatum gradus. Quod in hac pragmatia contingit. Proponatur a - b pl. a aequari se et sol.solido . si hane aequationem ab asymmetria, qua laborat, liberare velimus; quandoquidem asymmetria est in planitie; propterea sunt omnia quadrat lac multiplicanda . Quadratum autem ab a b pl a , csta b pl.pl. a' - ab pl. a . Sed quadratum ex 2 sol. sol. , est a sola M., ergo erit aequatio huiusmodi a b pl. pl. a' - 2 b pl. V ta et sol solido . Haec vero numeris perspicua fient, i C 2 R aequetur iroo. Quadrenturo linia. & fiet aequatio huiusmodi 1 CH. Q Q. Q a ia oo; quae reducetur ad hanc iCCH. R - QQ a i zoo. Huius squationis radix est ia, quadratum, radicis, de qua quaeritur. Haec declarari polliant hoc pacto. Si i R valor est,ia, cubus valebit hi i728;& 1 R valebunt 48. Si a i i r 8 auferamus ' 48, remanebit aroo . Etenii communis diuisor est i et, qui diuidens i r8, facit quotientem i-; diuidens o, facit quotientem in , horum latera sunt 1Σ,& Σ , quorum differentia est io , cuius quadratum est ioo, quo ducto in ia, communem diuisorem, producitur arco, cuius radix est ' iroo, quae est disserentia inter hi 1728,&yr q8. Si a C a R aequetur hi 3. Quadrentur omnia, &fieti Ct R - QT 3. Huius aequationis radix est 3, nimirum quadratum quaesitae radicis i fit ob id quγsta radix hi 3 , α . siquidem si i R , valet hi 3 ; utique i C valebit Ra , dea R, valebunt ni ir, differentia interhia 7.&' ir, est hi 3,&hoc quantum ad primam aequationem. Ad aliam, quod attinet. Si i R valet 3, i C valebit et , & R. valebunt ia; quorum summa est 3ς, & Q valebunt 36: differentia vcro in
Proponatur a vi C l, sol sol. a , aequari et solido, & sit aequalitas expurganda ab asymmetria, qua ipsa laborat, est lise autem nempe asymmetria in soliditate; per ea, quς proponuntur, adhibita metat hesi, factoque parabolismo; aequabitur b soluolido. Omnia cubice ducantur ι tria aequabitur b
236쪽
lalidosolido : Omnibus ductis in a' , & secundiim Artem ordinatis E - 3 2 sol. est 3 Escivios. - , sol sol. a aequabitur a sol. sol .solido. Si i C C 18 R aequetur i8 Qq yoR aequabitur ris ;ctouei R ia, cubus radicis quaesitae. Etenim si i R valor es h ia i cmE I C valebit ν-- i 18, & is Q valebitor 2 92. Demum so R valebunt ro8o, at vero ad 1728, M . addito io8o, fiet summa a8o8, a qua si auferatur asVa; & remanebit 216. Si iC hi Ci8R aequetur 6, adhibita metat hesi aequabitur ' C is, utraque aequationis pars cubicE ducatur, & quidem illa cubicE ducta facit hoc productum cubicE ducatur R C i 8, fiet i8: utraque pars ducatur in i C, & fiet i C C C i8 C C t ios C ais ta i8 Ci quae si ordinetur, ad hanc reuocabitur i CCC - 18 CCtyo Cta ris, atque demum i C i8 Q-9o R aequabitur xi 6. Caeterum oportet cautum esse Artificem in hac pragmatia quando scilicet aequationes ad altissimos gradus ascendunt, non enim sine magno errandi periculo perfici potest: quod etiam in prima huius operis parte, nos adnotauimus. Quoniam vero plurimum obest resolutioni nimia elatio potestatis ; opportunum propterea videbatur dissicultati aliquo praesidio occurrere, huiusmodi quidem est climactica paraplerosis, nempe scalare supplementum, estque species quaedam irre-sularis descensus; hac autem industria quadrat uadraticas aequationes ad quadraticas per medium cubicarum a radice plana, im5 etiam cubocissit cas, de exinde per binos alternos gradus climacticos, deprimere licet. Quo vero pacto haec perficienda sint, paucis aperiemus. Proponatur a Φ b sol. a aequari et planos lano. Oporteat autem hanc per medium cubicae aequationis a radice plana ad quadraticam deprimere. Quoniam igitur x b sol. a aequatur E planoplano; per antithesin x aequabitur et planoplano - b sol. a, virique parti aret irationis addatur a' e' t - - e , &hoc est illud supplementum', quod climactica paraplerosis importat; ergo x q. a' e' t - es aequabitur Z pl.pl. b sol. a s e e . Dividantur omnia sub tu dratice; de illic orietur a Φ-e', si enim a' t -- e', ducatur in se quadratice, producetur a t a V i e . At veria ad M, suerunt addita in supplementum, duo illa planoplana a' e , & - - e , quae alioquin deficiebat a canonica quadrati gene si instituta a duabus radicibus planis. Quod si altera aequalitatis pars , nempe Zi l. pl. - b soL a t a' e' ' - - e' subquadratich diuidi posset, quotiens emergens aequaretur a t -- c' Propterea opus est eringere quadratum a radice plana.., cui altera illa aequalitatis pars comm E possit comparari, ut ei denique radici plans aequetur a' t -e'. Quod ergo quadratum eringimus esto abs - ea, cuius quadratum est': e' a' b soL a squandum Z phyl. b sol. a t e' a' t m e . Deleris porro affectionibus utrinque. e' a' o sol a , omnibusque in e' ductis, & e ' et pl. pl. e' aequabitur b sol sol. Innotescat autem e' ella d , de d a aequabitur a - - d', & ordinata inualitate secundum Artem; a Q. d a aequabitur d' . Hucusque de s auatione cataphatica ; si vero extiterit apophatica ; ut si a bsol. a s luctur et planoplano. Radix plana eringendi quadrati statuetur e a comparanda ipsi se . Quod in aequalitate negata inuersὰ conuertendo, dc sub contraria affectionis nota arguendo, contingit.
237쪽
tur x - e a, & es Φ et pl. pl. e' aequaetur b soL a innotescat autem e ege d , dea' i d a aequabitur d'. iSi b sol. a - a aequetur zyl.pl. ex hypothesi, quod H- C inaequetur e a a tae et pl.pLe aequetur b lol a. Innotescate ei sed,&da a aequabitur H d Ita etiam hoc artificio aequalitatem quadrat uadrati assecti sit, cubo per medium cubicae radicem habentis planam, ad quadraticam deprimere licet. Vt si a Φ 2 b a' aequetur a planoplano. Insuper aequalitas quadrat uadrati assecti tam sub latere quam quadrato per medium cubicς radicem habentis planam , ad quadraticam deprimitur . Vt si a lx g pl. a' Φ b sol a ςquetur χ pl. plano , de quibus consulendus Victa; multa Onim dicenda hac in re, ut di in caetcris supercisci u ; sed opus nimium excresceret quare breuitati studentes ea cogimur silentio praetcrcrie. Superest differendum de methodo, qua aequationes cubicae deprimuntur ad quadrati eas a radice solida, ut initio monuimus; diciturque duplicata hypostasis. Si itaque hac transmutatione cubum affccium sub latere atrii math ad quadratum, radicem solidam habens, idemque affcctum reducere sit iniunctum, sic proc dendum. Proponatur a' ε 3 pl. a aequari et 1 sol. stque propositum sacere, quod iniungitur, e' Φ a e aequetur i, pL, igitur l, pl. cx huiusmodi constitutione intelliget eum est rectangulum subduobus latoribus, quorum minus est e, maius autem a. Quoniam vero e' l a e supponitur aequari b pl. propterea a e aequabitur i, plano e , atque adeo a 'equabitura; proptereaquabitur a 2 sol. Omnibus vero ductis per e , & secundum Artem dispositis, e cubi quadratum P et E sol. c quabitur i, planicubo. Sic autem lice demonstrabimus, supponamus a' se a b pl. a squἡri a Z io , & e' Φ a e squari b pl. Si autem ibniunctum ostendere e t i a sol. e aequari b plano 3. Quoniam igitur e Φ a e aequatur b plano, propterea a e aequabitur b pi e'; atque adeo a squabitur L -; ergo, de eorum cubi aequales erunt, quare a aequabitur 'a' ; ae
proinde a' ε a b pl. a aequabitur se . Nam aequi ualet 3 i, pl. a, aequalia vero si aequalibus addantur, orta sunt aequila. Atque adco a et sol. aequabitur . Nama Φ a b p . a aequabatur a et solido. Omnibus ductis in e , & a Z sol. e aequabitur b pl. 3 - 3 b' e' ' 3 b pl. e' - e Φ 3 b pl. 2 e' - a b pu e i ac proin de e Φ a et sol. e' aequabitur b pL 3; eadem euim homogenea affecta signis t, ec se mutuo interimunt. Quod si a Φ a b pl. a aequetur a et sol ex hypothesi, qu5d e a e aequetur bpl. , & e a Z sol. e' aequabitur b pl. 3. Praeterea sia' a b ph a aequetur a a sol. ex hypothesi, quod a e e aequetur b pl. , cedat autem b PL 3, cedat inquam Z sol. 1, & a et sol. e es aequabibtur i, pl. 3-Licet etiam hac eadem transmutationis specie illud absoluere , nimirum cubum affectum sub latere negath ad quadratum sub radice solida negatum de plano redincere ; si tamen cubus e triente coessicientis affectionis cedat solidi comparationis subquadruploquadrato; quamobrem. Si a - 3 b pl. a squetur a et sol. , sitque posciendum , quod iniungitur , & a e -- c' aequetur b pl. , tunc enim b ph iuxta huiusmodi squationis constitutionem ii telligitur rectangulum sub duobus lateribus, quorum sue maius, siue minus est e; summa vero est a ; itaque aequabitur a . Nec dissimili ratiocinatione ab ea. qua superius usi sumus, concludemus era ae quabitur a a sol. Omnibus vero ductis in e , & a a sol. e e cubiquadrato squa bitur i, planicubo. De his consulendus Vieta, multa quidem superessent dicenda, sed studio breui, talis praestabit ommittere. Non raro expedit sic aequationes praeparare, vi subgraduales coessicientes, vel comparationum homogenea sint, quae praescribuatur; propterea iuvabit nonnulla subi jcere svnde haec pragmatia innotescat. Pror L
238쪽
Proponatur a Φ b a' aequari Z sol. Oporteat vero aequationem ita transmutare, ut affectio sit sub eodem gradu parodico, nempe quadrato , eademque retineatur affirmationis nota, coericiens tamen subquadratica varietur ad libitum , eaque sit d, sit autem vi b add; ita a ad e ; ergo aequabitur a , de secundum ea, quae proponuntur aequabitur a sol. Omnibus vero ductis in d , & applic tis ad b , necessiario e d e' aequabitur unde demonstrandum est Si fluerit a q. b M ta E sol. , & ad arbitrium accepta sit d pro coeficiente; sitque ut bad d, ita a ad e; Ostendendum est inquam e d e aequari 'Quoniam igitur est ut i, ad d, ita a ad e propterea b e aequabitur is a ergo P aequabitur a;
quamobrem dc eorum quadrata aequalia erunt propterea τ aequabitiira & eorum cubi aequales erunt; ob id ςquabitur a . Quoniam vero a' aequabatur VM; asficiens homogeneuin erat b a , ducatur b in ut fiat erat autem I a. ba' et sol. , propterea aequabitur et sol. Omnibus vero ductis in il .& b e Q b . de' aequabitur Z sol. d . Omnibus autem applicatis ad b , & e de' aequabitur Numeris autem haec facith aptari possunt. Supponamus i C Q. 6 Q aequari Sos cuius radix est 8 . Vt autem est 6, numerus quadratorum, ad ia, arbitrarium, ita 8, radicis pretium ad ris, erit propterea i C q. ia Q ta cuius radix est 16, numerus quartus proportionalis, in supraposito analogismo. Proponatur a b' a squari et solido. Sitque transilitanda aequatio , ut eodem gradu parodico retento, eademque assectionis nota seruata, varietur coes sciens planum sublaterale, it aut illud sitis'; sit igitur ut i, ad d', ita a ad e'; atque adeo ut b ad d, ita a, ad e, ergo Q- aequabitur a. Quamobrem secundum ea, quae proponuntur ta aequabitur et solido . Omnibus autem ductis in d , & per b diuisis e ; d' e aequabitur .i C R aequetur 48o, cuius radix est 8 , ut i, numeri radicum radix , ad 3, arbitrarium; ita 8, radix propositae aequationis ad ia; propterea a C - 9 R aequabitur 16ro, cuius radix est ia, numerus quartus proportionalis in supraposito an Iogismo ; est autem y, quadratum ex 3; &c. Cauth procedendum tamen , quia saepe accidit subductionem fieri non possia ivnde Problema determinatione eget. Proponatur a -b pl. a aequari et', & oporteat retento eodem gradu parodico& eadem affectionis nota, comparationis homogeneum variare , it aut illud sit d
Fiat igitur, ut E ad d; ita a ad e . Nam aequabitur a , quamobrem l aequabitur et , omnibus autem in d' ductis, de per κ' diuisis , & e aequo bitur d . VSi i C q. 38 R uetur rio, cuius radix est 4; fiat autem ut 6, latus cubicum numeri ais, ad ι a. arbitrarium, ita , radix aequationis propositae, ad 8, erit a Cin R seu is a It aequalis irr8, cuius aequationis radix est 8 , quartus proportionalis in supraposito analogi sinos. De hac autem transmutationis specie paulo imsta sermo redibit. Numeros decimarum plerumque nos in aequationibus desideramus, ut scilicet
illi, quos in his adhibemus, in decimarum numeros transmutentur. Et quia de numeris agitur ; liberum est speciem adhibere, cui aliae comparatae homogeneae non sint, propterea quod numeri vel actu, vel potentia homogenei sunt; cum unitas naturae similitudinem largiatur. Proponatur a' a b aequari Z. Supponamus d squari io , vel too , dcc. supponamus deinde e squari ad: ostendendum est e F e b d aequari et d'. Quoniam enim ad aequatur e, ergo H- squabitur a ; quare eorum quadrata ςqualia erunt; ob Id - aequabitur a ; ergo aequabitur ab; propterea a't ab aequabitur Ψ m; ergo cum a' t a b aequaretur z, sequitur H - aequari et , ac ob id omnibus ductis in d', & e t e b d aequabitur Z d'. Proponatur et Q t in R ' D, cuius radix est . Supponamus i A aequari io R,& 1 AQt iro A qquabitur Moo . Et ita res se habet, nam clim i ii valeat , propterea io R valebunt qo, cumque a A, aequetur . , utique a Amaequabitur
239쪽
bitur i6oo, at si i A aequatur 4o, Orte tro A , valebunt 8- , quo addito ad ioco, fit 6 oo, nempe numerus alter cum quo instituitur comparatio. Nec dissimiliter. Si a a' b-a f, aequctur E . Supponamus e squari ad , de concludemus e e bd te fd' aequari Ed . . Et quia Plurimae sunt squationes, quarum reductio minus benξ praeceptis continetur, quoniam earum obest anom ita , quae eousque porrigitur quo selertis Amucis industria; prccipuas tamen perpendere haud mediocriter prodest, quas apud Vietam videndas relinquimus. Vt Si a - a N a mitetur b , & a' b a aequabitur b'. Insuper si a b' a - a inquetur b , & a' t b a aequabitur b', & ita de reliquis , quas cuique apud pricit 'tum Auctorem cernere licet. . . C
ἐπι--m Cum autem hic de aequationum reductione disseratur, magnique momenti ut, presertim in Geometricis ςquationes altioris ordinis ad cubicas, in quibus secundus 'v' terminus deest, reuocare; non pigeb it propterea hic nonnihil immorari, modum que tradere, quo huiusmodi aequationum reductio perficiatur, praecipvh ad eum, quem explicuit modum ingeniosissimus Carteilusi adiectis iis, quae nox uberiori . di clarioris quoque doctrinae ratio poscere videbatur. Primum autem differendum occurrit de multiplici aequationum radice. a. Illud est igitur animaduersione summopere dignum in squatione quacunque tot
Mi I t .im autem multiplicemus per a - 3 o, productum
Illud est igitur animaduertione summopere dignum in squatione quacunquζ diuersas radices dari poti, quot ipsa dimensiones habet, quamobrem si nos suppo- δ' namus a, ςquari duabus unitatibus, atque adeo quod idem est a a ' o, hocis autem multiplicemus per a - 3 π o, productum vero ducamus in a - 4 α ο, cum productum ex illa priori multiplicatione sit a a r 6ho, fit, si multiplicetur per a - , producatur a s a' ,9 α 5 a ain ta o, quod si multiplicetur per a ' O producetur quidem Γ - a 4 a' t 7i a' - 1 34 a ' '' o. Et quidem si a' - sa,F6ta O, ducatur in a producetur, ut dixi mus M -9a' Fa6a - 2ψα o, huius porro aequationis radices sunt 2,
Si verb a s a' ,εε 26 a et π o, ducatur in a s , aequatio fit ut ducismus a - 14 a' t 7i a i sin at Izo Te o. Huius vero aequationis radices erunta, 3, 4, s. Prior autem illa aequatio producta a a t 6 o, propterea quod duas dimensiones habet, ob id duplicem radicem sortitur ; quoniam autem ista a 9 a' t et O a - 24 zz o , tres habet dimensiones, tres quodue radices obtinet, ita quia a - ιψ a' i 7i es o a leto ta o , quatuor obtinet dimensiones, quatuor etiam radices habet. Itaque aequationis istius a a 4 6 o, duae erunt radices, nimirun a, & 3 ι deinde istius a' - 9 a' t 26 a - a o, dices erunt videlicet 2, 3, 4; huius autem ae i AE a t 71 a' - 16 at rao zz o, quatuor hς radices erunt 2, 3, q. s. a Misistiis. Quod si deinde a a H. 7i a is a Q iro ' o nos multiplicemus per tis . a - 6, producetur a ao a' t issa 18 o a' t io-o a - 7ro o , cuivis quationis quinque sunt radices a , 3, 4, 1, 6, pro numero filicet dimensionum eiusdem; Vt autem qus hactenus a nobis dicta sunt luculentius appareant, non e rit abs re unum, vel alterum exemplum numeris explicare. Dicebamus aequati
nis illius a' - 1 a q- 6 o, esse quidem radices a , & 3 . Quoniam igitur radix est a , quadratum ipsius erit 4, cui si addatur 6, fit io; at vero si radix eii a , I a, valebunt Io ; quamobrem si io , subtrahatur a io , remanebit o . Item si radix est 3 eius quadratum erit 9, cui si addideris 6, fiet is i at vero si radix est 3 , Isibunt is, quo dempto ex is, remenet O. Deinde alterius aequationis a' - 2 ta6 a. - a o, dicebamus esse tres radices, puta a, 3, 3.
Si radix est et, eius cubus est 8, & 16 a, valebunt sa, quo addito ad 8, fit G, at vero se a', valebunt 36, quo subtracto ex fio, remanebit a , a quo si subduxe ris et , remanebit o; ac ita de duabus alijs radicibus a. & ; neque dissimili modo in rcliquis aequationibus periculum fieri poterit ad maiorem veritatis illustrationem.
Et ita haec aequatio amphibola o a a et , seu quod idem est a' - Ο a
240쪽
a o, omnisque consimilis, duplicem habens radicem, per multiplicationem similem prςccdeii: ibus generatur Huius porro aequationis radices sunt , α 3Α- Si itaque supponamus a - 3ψ , aequari o, α a o, itidem aequari O, dc inter tiar cinstituatur multiplicatio, producetura o a Q. ro π O. Item si sit aequatio so a - a 336 , seu quod idein est a' - o a Θ 336α o, genita erit in multiplicatione a qa .pera 8, sunt enim huius aequatio nis radices 8, dc qa. bi Uitur supponatinus a a, aequari O , quemadmQuum δ- 8, squari itidem O, in iiii ' a multiplica sone, producetur a o a 336 Et ita de alijs consimilibus huius generis aequationibus intelligendum est. Non esi Parui iacieno a talsae radicis indagatio; proptet ea quod eius cognitio plu- rus rimunt in ruit ad radiccs veras inueniendas; siquidem falsis radicibus cognitis x quationes, diuitios: s ope, cura dissicultatem ad pauciores dimensiones reuocari posiunt; ex quibus deinde radices verae iuxta Artis praecepta eruuntur . Hae porro fatis radices sunt nihilo minores; quod eueniet, cum nos verbi gratia supponimus a, de signare defectum quantitatis alicuius a nihilo; adeo ut inter a , dc nihilum aequatio non contingat, nilia libraliquam quantitatem adsciscat. Supponamus igitur a , t lem esse defectum, & ut aequetur o, requirat in . Si itaque multiplicemus δ' -
' 6 ' O, per a qρ - , p. Oducetur a i a - 14 a 2 o. Huius Porro ςquationis, iuxta numerum dimentionii iplius, erunt quidem tres radices, ex quibus nimirum a , &3, hoc est duae ex tribus, verae erunt , una autem filsa , videlicet 4 a &ita est, ut quisque poterit experiri. Si vero nos supponamus a sa H 6 o, hanc vero aequationem ducamus in a 4 s, producetur a - 19 a 3I 'So ' O, &quidem huius aequationis tres erunt radices, nimirum a. 3 , di s , duae scilicet v rae, una autem falsa. Verae autem sunt Σ, & 3, falsa autem s..Quod si sit aequatio a' - 9 a'-26 a - a o, & hanc multiplicemus per a 4 s , fiet aequatio a - qa - 19 a tro 6a-lao o i huius autem aequationis, ut quatuor est diamentionum, ita quatuor radices existunt, nimirum 2, 3, 4, 3, quarum tres, scilicet 2, 3 , & , verae sunt, alia vero, puta 3, salsa cst; quoniam autem idem de reliquis intelligi pCtcst; non erit, cur alia excinpla nos afferamus in medium. At vero quoniam aequatio plures radices admittens, per ipsarum multiplicationem constituitur I qu
madmodum ex hactenus explicatis cuique facise est intelligere; inde fit, ut aequa tiones huiusmodi per illas radices diuitionem subeant. Si quidpiam enim est per aliqua duo inuicem multiplicata constitutum: illud idem per alterutrum diuidi poterit; factaque diuisione necessario aberum emerget ; quod enim multiplicatione componitur, diuisione resoluitur. Quoniam autem huiusmodi diu sis ad aequationis diuaciationes miti uendas conducit; praestabit hac de re sermonem inlii tuere.
Paraboli sinus , siue diuisio squationis plures radices continentis per binomium instituitur, quod nimirum compositum est ex incognita quantitate, minus valore, seu pretio alicuius ex veris radicibus, quaecunque sit illa: vel plus valore alicuius ex falsis. Huiusmodi autem diuitione dimensiones eius diminuuntur; atque adeo innotescit aequatio simplex: ut ad extremum incognita quantitas, cognita euadat. Ad huius autem doctrinae explicationem, supponamus aequationem illam superius allatam, nimiruma' - qa i9 a' ,s ioci a iro ' o; haec aequatio diuidi potest per a - a, per a - 3, per a - , & per a 4 3. Ita etiam si ut aequatio. a ba Αἱ bc a b c d ao.
Hoc est acubus minus b, mi ause, minus d , in aquadratum plus bine, plus e in a, plus b in dyin a, minus b in e in d , aequalis o . Diuisio poterit institui per a - b o, per a - cta o, per a - d za o . Vides igitur, quo pacto diuisionem subeat
At vero si ex aduerso aequatio diuisionem non patiatur per binomium, constans ex quantitate incognita plus, vel minus cella alia quadam quantitate; id plan E ar- Sumento est, quantitatem hanc non esse realem alicuius e radicibus aequatronis pro-