장음표시 사용
161쪽
perimetri basis, ructionis in dira i
perpendicularem basium. COR. III. Si conus rectus plano basii parallelo truncatus ponatuit, uni hujus trunca'ti versus basim superficiis,qualis est 'in mdio producto ex peripheriarum summa inc
at longituditiem, sive t tus . Res -- - obtinetur , u inveniatur vi euliis DE. Fig. o. cuius peripheria sequalis sit semisummae peripheriarum BC, Μ. Sumatur nerripe punctum D medium inter Bin G, ducaturque rectam parallela si ctioni BC, hae erit diameter circuli quaesi- ti. Etenim ductisperpendicularibus BL DK;
erit ob triangulorum DBf DG similitudinem M DL mih G, ac proinde ob B Dii, erit etiam D α chri quare eadem est differentia inter diametros BC , RL, quae est inter diametro DE GM; illa nempe differentia est dupla rectae Di, vel Glici ideoque restat est media pro
portionalis arithmetica inter BC, Μ, seu duod idem est, diameter D reuualis est semilummae diametrorum BC, GΜ. Sedeirculi, utpote fisurae similes suas habent pe-
eap.34. ergo circumferentia circuli diametro DE descripti est media proportionalis aritia metica inter circumferentias diametris κόωGM descriptas Habebitur emo conitrim eati BCGΜ superficies, si multiplicetur ei
162쪽
COR IU. Si concipiatis cylindrus restus KQLΜ Fig. r. circumscriptus haerae
habens pro axe diametrum AB, pro basici culum sphaerae maximum superficies si me t sphaera H AF aequalis erit superficiei Dlindri QNRΚ, Marea totius sphaerae aequalis area totius cylindri, demptis basibus. Nenim concipiatur pinisula uaevisas circu- li genitoris ita parva, ut innitiis accedat ad
lineam rectam, productaque F usoue ad BAin G, recta Ff generabit superniae 'irecti. Fi superficiem coni truncati , cu1 mentura erit ipsa Ff ducta in semisummam peripheriarum , quartu radii sunt EF es; descripta aequalis sit semiiummae peripheri rum praedictarum erit coni truncati super--s es, ut tessta H lactari irem cuius radius est ΟΡ. Iam vero ob triangu-
sint , ut radii ; erit produinuno Mn m peripheriam radio EN descriptam aequale,r sed iussito ex F in peripheriam Uio POdescri- manti. Primum autem pro limum priniit aream genitam ab . alterum vero arearu genitam ab L. Quare tota area genita atino Min Are aequatur uni ista, Suae a
amem, sive dimisinum ac proinde
163쪽
C9R. VI. Superficiei tota Cylindri ci eumlcripti , inclusis basibus , est ad totam sphaerae superficiem, ut 3 ad a. Nam superfi- cies sphaerae in hoc eas basi cylindi quadru-Dlo major est, superficies autem tota cylindri in basi sexies major est. PROP. III. PaasMATIS OLIDITATEM METIRI Polygonum quod prismatis basis est , in ipsam prismatis altitudinem ducatur habebitur soliditas tota prismatis, ut patet ex
genesi ipsius solidi , quod producitin motu parallelo basis, ac proinde basis, sive polygoni superficies, per altitudinem multiplicari
COR. I. Soliditas ubi habetur multiplicando faciem quadratam basis per ipsum qu dini latus . . Parallepipedi soliditas invenitur , si parallelogrammi superficies per altitudinem multiplicetur habetur autem soliditas cylio-dri , si basis circuli nempe superliciis altitudinem cylindri ducatur COR. II. Eadem in solidorum mensura ratiocinatione instituta, quam in metiendis supeisciebus adhibuimus, evidens est cubum
.est communem solidorum mensuram , non
secus ac quadratum est mensura superficierum. Itaque pes selidus continet pollices cuinos 1728, nempe tres habet dimensiones, qu rum inpniae et pedi, si vera pollicibus aequarsetur; cita dicendum de aliaqualibet mmuta PROP. IV. PYRAMIDIS SOLIDITATEM INvENIRη - Si ad centrum I u m fiat
quadrata pyramis CFig. 33. emiis basis sit
cubi facies quadrata evidens Ab totam cu
164쪽
GEOMETRIAE. ΙΠnirdes quadrilateras seque alta aequalium basium, ac proinde aequales. Situr pyramis ouaelibet erit sexta pars ubi Qed cubi mensura aequalis est producto ex basi in altitudinem, ergo illarum pyramidum quaelibet erit aequalis producto ex basi in extam partem
altitudinis P, vel quod idem est, tertiam partem altitudinis in Ergo huiusnodi pyramidis soliditas aequalis est producto ex basi in tertiam partem altitudinis, seu duod idem est, aequatur tertia parti ubi eiusdem basis, ei uidem altitudinis Generatim pyramis quaelibet a qualis est pri ducto ex basi in tertiam partem altitudinis, sue pyramis quaelibet est tertia pars prismatis eamdem cum ipsa pyramide basim habentis, eamdemque altitudinem Etenim sit pyramis quaelibet, fingaturque cubus , cuius altitudo sit altitudinis pyramidis dupla Iam si ex centro cubi alia exeat pyramis , cuius basissis lacies quadrata cubi evidens est, hanc pyramidem habere eamdem cum proposita pyramide altitudinem ac proinde pyramides illae fiunt hiter se, ut bases Cor.8. 'Prop. I. cap. praec. Sed seliditas pyramidis ubi basi innixae aequalis est producto ex tertia parte altituestiis in basim . ergo es, altitudinem eamdem in utraque pyramide erit soliditas propositae pyramidis aequalis producto ex tertia parte ininidinis in basim ideoque gen ratim pyramis quaelibet est tertia pars pris malis ejusdem basis, Mahitudinis
COR. I. Cum cylindrus tanquam prisma
infinitilaterum , itidemque comas tanquam piramis infinitilatera considerari pollini erit conus tertia pars' cylindri eamdem habentis basim in eamdem altitudinem
165쪽
is i. - R. II. Cum sphaera haberi possit tan-ς γ composita ex infinitis pyramidulis, rum vertex communis est in centro spha bases autem omnes simul sumptae totam occupant sphyrrae superficiem ; singulae illae pyramides rivales iunt producto ex tertia parte radii in suas bases , ac proinde tota pyramidum summa aequalis est producto es omnibus basibus simul simpus, hoc est, exsuperficie sphaerae in tertiam partem radii Ergo tota sphaerae soliditas habebitur multiplicando enim a usartemper circulinum sit increm quater sumptam. COR. III. Cum soliditas cylindri sit productum ex diametro in circulum maximum inliditas sphaerae aequalis est duabus tenus partibus cylindri circumscripti PROP. V. SoLm Duo ΙΦMA UNUIN RATIONE TRIPLICATA LATER- --
. MOLOGORUM. Ex solidorum definitione . ex praecedentibus propositionibus evide i. corporis cuiuslibet Miditatem esse semper, ut productum ex aliqua superficie in aliquemaixem , vel aliquam altitudine. superficies autem ex duabus dimensionibus componitur, ergo Blidum quodlibet est in ratione compo sita trium dimensionum homologarum , seu eiusdem nomhuc Iesa solida similia ea diu cuntur, quae singulas dimensiones homologas id bent Nwrtionales se ergo solida similiae sunt in ratio bo sit x ex tribus dinae sionibus pr-tionalibus, ac proinde in ra- tione triplicata suauibet dimensionis homologae COR L Sphaerae sim in ratione tritilla in diametrorum. Etenim sphaerarum lolidit in sint inter se, ut inrub manumisii μ
166쪽
Gis o M 'AE I39 ficies in radium ducta cor a Prop. praec. circularua, id ratione d ptisata semidiametrorum Cor. I. Prop. Sin praec. ergo sphaerae sunt in ratione triplicata semidiametrorum , vel unetitorum irim facile patet ex sph grarum simne cum enim sphaerarum soliditates perci
COR, II missi sunt se sinitia, ita que similes sunt cylindri sphaeris circumscri- Cor. 3. P p. praeco. Ergo cubi sunt in
in ratione triplicata diametrorum COR. III. Prismata omnia, si inter se eo harmitur, ac pyramides omnes inter se erunt ut producta ex basibus, & altitudinibus; quare si bases fuerunt equales , erunt solida, ut solis altitudines ii autem altit dines fuerint aequales, erunt ut solae bases Si ea solida fuerint aequalia, altitudineserunt basibus reciproce profiortionales, lae se sis, si biles fuerint altitudinibus recisi ae-rrtionales, solida erunt aequalia. Tandem bases sierint similes in altitudines laterubus bas in immolosis proportionalis, selida
erunt in ratione triplieata latenim homes gorum , Vel altitudinum.
ciebus in Capite praecedenti sermonem ha-χuimus, verum si selida fuerint obliqua, superficierunt mensara sitantiorem Geonistriam aliquando postulat . Quod sp ta solida si perficiebus planis amisat , res est
maius difficultatis. Cum enim ablidonimat,-
167쪽
16 ELEMEN' ΥΑlorum facies sint polygona rectilinea, ad trjangulorum superficiem reduci semper poterit illorum mensura Prismatis cujusvis exemplorem illustrabimus . Per punctum quodlibet in aliquo prismatis latere traductum intelli gatur planum ad latus illud perpendiculare idem planum alia omnia prismatis latera utpote parallela perpendiculariter quoque secabit, atque sectio erit polygonum, cujus unumquodque latus ad duo parallela prismatis latera erit perpondiculare. Quare superficies uniuscu)usque faciei aequabitur productoe unoquoque sectionis latere in prismatis latus quodlibet ob laterum omnium aequalitatem ; ac proinde prismatis superficies aequatur producto ex omnibus lateribus sessionis, hoc est, ex tota sectionis perimetro in orismatis latus quodlibet. Jam si prisma rectum Ponatur, planum lateri perpendiculare coincidit cum bas, ideoque superficies prismatis aequalis est producto ex perimetro basis in altitudinem , ut ante ς quod idem valet insuperficie cylindri, qu potest considerari tanquam prisma infiniti laterum . At si rectus non fuerit cylindrus , planum per cylindri axem , vel latus quodlibet perpendiculariter tradustum sectione sua cum cylindro obliquo
generabit curvam, quae EllFUis vocatur a Geometris, de qua in appendice mox addenda pauca dicemus. Erit autem cylindri obliqui superficies aequalis producto ex Ellypsis ci cumferentia in latus cylindri . Quod spectat
coni obliqui superficiem, patet, eam ad se- toris circularis superficiem , ut fit in cono xeSto, reduci non poste, cum in cono obliquo aequales non sint lineae omnes ductae ex
vertice cum in basim . Sed ita: pauca monuis.
168쪽
num stili sit haec enim ad Geometriae
IIneae cum te notionem ita simplicem in se iam observavimus, ut explicatione ulla vix clarior emci possit mirare , praete missa desinitione, de lineis curvis generatim , deinde de Parabola, Ellypsi pauca exponemus alia deinde, ubi necessitas oecu ret, demonstraturi In curva qualibet Fig. 34. recta AD lineas parallelas , ut se a qualiter dividens, iameter curva appelIatur axis temvocatur, si easdem parallelas ad angulosis Hos secet. Punctum Acin axe vertex curvae dicitur rectae autem parallel Mindicu tu remnat γε pars diametri, vel axis inter punctum Sc ordinatam comprehensa, dicitur auci . . AEquatio curvae appellatur formula algebraica, quae rellationem inter ωmiordinatas, cibicissas exprimit. Ita d monstratum est in circulo Fig. 6. quadratiun rectae E aequale esse producto ex Coin L. Iam dia iraeter CL dicatur a sitque
169쪽
si ex ungulis punctis erigantur perpendiculares hoc modo determinals per siligulas
perpendicularum extremitates diacatur curva, nae ad quaesitam curvam eo accuratius ac-- cedet, quo plures erunt hujusmodi perpendiculares . ruinatae non 'lum ad axem, sed ad quamlibet diametrum resin possunt, a oue etiam initium abscissarum non a solo diametri, aut axis eruce mmputari potest, sed etiam ab aliis piructis. Ita incirculo a sciss con putari possunt vel ab ipso diametri Vertice, ntro atque ita prindeunt diveris Gusdem curvi quationes.
Verum quocunque modo curva consideretur, probe distingui dehent est ad Oxteram, vel ab simili iam A ideo ducuntur positisae, vel negarisae . Has uidem ver illo appestare licet positivas, vel neaativas cit ubi pellatio et prauit in eit, lis semper retineri debet quar lamiordia nat , wabscisi possunt esse vel negativae, ves post thvς. in i ut ' facile patet ex ' hi quae quinti -- negativis in Algebra observavimus IL Curva quaelibet considerar potest vel tanquam curya pol nona , vel tanquam curva accurata Primus considerandi modus nihil aliud significat, nisi curvam esse polygonyi siripti in circumscripti limitem Unum a iam probe observandum est in curvarum con- sideratione si nempe curvam aliquam verut polygonam quis tram verit, cavere deinde
debet, ne eamdem curvam velut accuratam habeat,in viceversa atque etiam eadem re- gula tenenda est in duarum curvarum cons- deratione ambae scilicet vel tanquam polyma , a tanquam accuratae conliderari de--
170쪽
bent; inde enim in rebus phq sicis orti lunt. -- aliqvi Rem exemplo demonstrabimus. In circulo quocunque QD Fig.33. ducantur chordae aequales is infinitennaae PD, E, producimiique mini es,nec D m PD . Praeterea agantur per puncta recta a Se per punctum D tan gens N rectae currens in N; erit O m: NE . Etenim triangulum DOE est i scele praeterea anguli OD mensura est dimidius arcus Di anguli autem DEmensura est diutidius arcu DE ergo resta DN aequaliter dividit angulum ODE de que ob DO A DE, erit O NE. . Jam binamst, ceu pis alimio, scrui ere an auri circuli infinitesimum FDE, vi aliqua urgen- te secundum directionem vitam mi in keo meon iis a linea recta ivrahat. Si consideratur circulus tanquam pol 'onum, chorda infinitesima D erit spatioIum tempor: praecedenti infinitesimo pere hsum , erit-Do lineola mitialis in iis dire m muta spatiolum alterum tempore subsequenti aequali descriptum sine si ducatur ir sioni vis in D agentis vii allela , in haec lineolam vis huius enectus vi enim illa Narpus ex intravi in arciun cimili. At si
consideretur circulas tali tuam accuratus, tam
gens DN erit lineola vi urgente descripta ademve Ebis hujus essectis. Itaque in
eis essectus epraesentatui per , o in curva accurata per NE . Quare in virium mensura retinenda est eadem cur
Varum considerati, alioqui flectus Milo
maior aestimaretur Uerum quia in virituri doctrina ipsarum virium effectus dumta-XAt comparamus, res perinde se habet, quae