장음표시 사용
141쪽
Itaque demonstra vimus Wrncipia , quorum ope formari possunt simili in tangentium tabulae autem tabula comm*ssitatis erg' per togarithmos construuntur, cuiuSquiu
de constructionis disti ex togariclamosus' ruina iam explicata intelligitire .
142쪽
III. In omnlariangulo ABCi sinetao sinis a Na duorum laterum quorumcumque AB BC est ad illorum differentiam AB i , ut rangens semisumma duoriun angulorum A, Sem, qui his lateribus opponuntur ad la gentem semidifferentiae eorumdem angui rum. Etenim si P semisumma ansularum A, illorum semidisserentia rerit angulus maior P. F Q ,- mi
IV. His pri icipiis universa innititur Trigonometriae. Et quidem in triangulorum et klutione vel dantur tria latera, is duo in tum,in angulus , vel duo anguli, Matu unum. Porro datis in triangulo tribus, 'maam
143쪽
iam diximus, reliqua inveniuntur per hacte nus demonstrata. At monendum est, datis ilibus angulis dumtaxat, inveniri tantum rationem laterum, quae sunt, ut sinus angulorum oppositorum minime autem inν nitur eorum valor, cum infinita possint comtimi triangula similia inaequalia Neque et iam sine observarione praetermittendus est
casus, in quo dantur duo latera in angulus alterutri lateri oppositus Casus ille est ambiguus,in duas solutiones potest admittere; cum dem sinus anguli acuti sit quo que sinus complenumti ad duos rectos. Da re, ut tollatur ambiguitas, nota sit, opo te anguli species hoc est, notum esse debet , in angulus sit acutus, vel obtusus. In omnibus Trigonometriae libris repe-
periuntur sinuum, o tangentium tabulae.
Quamvis autem ex hactenus demonstratis manifestum sit, quo artificio construantur; id tamen breviter declarabimus. Dato sinu graduum 3 per antea demonstrata, inveniri
possunt linus grad. 13 , deinde postea
a - , cita sinuum emisses, progrediendo usque ad duodecimam operationem, nempe
.usque ad 3a a qui quidem sinus
sine errore sensibili cum arcu confunditur quia vero sinus illi minime sunt arcubus proportionales, dici potest ut arcus ille minimus est ad suum sinum ita arcus 1 est ad suum sinum. Dato autem sinu arcus I,
invenietur sinus arcuum a Mila d inceps usque ad o M. Tandem a 3 gr. usque ad O gr. Rr usque ad oy progredi licebit quo fasto tangentes ad ea culum revocare jam facile erit . .
144쪽
praecipuis planaram superficisrum .proprisuitibus P PROP. L TRIA PUNCTA QUAE IM
definitione ipsius plani Et quidem per tria puncta duci poteri planum , quoi 'clans illud vero Nan a micum esse, inaniufestum est; ponamus enim , planum aliud, quod cum primo in tribu punctis congruat, in aliis autem ab ipso MMEtatis in eadem linea recta , quae primo in plano iaceret , alteri plano aptari perpetuo non posset, ne- quo lacunda superlicies illa foret nisium intra osteni terimitos dii runi re fima , quod est contra definitionem phani .Ergo per tria puncti nrcum. Nairum duci potest ac proinde a flam est, ae determinata ponti plani per data tria puncta tra
COR. I. Duae rectae si invicem secante sunt in eodem plano. Nam punctum intemsectionis,&4piatum quodlibet aliud in binis lineis pro arbitrio lima tum tria Dum puniSta a directum non posita, quae proinde determinant positionem plani, in quo iacent duo utriusque lineae puncta , c. pr
indein totae binae lineae ex def. . R. II 4 duae rectat acerves in indem
145쪽
r36 E Adem plano tertia rect a secentur, recta secans in eodem quoque acebit plano . Nam duo ejusdem lineae puncta, duae scilicet interii: -ctiones , sunt in eodem philio . Si autem ponamus, duas rectas se mutuo secare , patet, in hin casu demonstrationem non V lere, nisi tertia linea secans extra punctum intersectionis transeat; sioquin unicum haberetur punctum, quod reMyositionem non
COR. III. Duorum planorum interi ctio est linea, cujus singula puncta jacent in utroque plana. Patet autem , tula tincta diratas planis communia esse nobios e misi iaceant in directum. Cum enim tria umquae non sunt in eadem recta, politionem plani rite inent mi tria puncta in directum non posita duobus planis communia esse possent, jam tria puncta positionem plani non determinarent . Quare planorum duorum intersectio est linea recta, R. IV. Recta ad planum I pendic Ditis insistit quoque perpendictitariter iaci ctas singula in eodem plano iacentes per extremitatem perpendiciu ris transeuntes Etenim simamus, rectam illam ad planum 41erpendicularem non insistere perpendicul , iter ad aliquam ex praedictis lineis ciam line illa infra limum desii imitur , vel ab
tolliti ut supra idem planum ac proin lem alaceret in eodem plano quod est contra xypoth. COR V. Duae rectae ad idem planu impendiculares, vel aequaliter inclinatae , sunt cinter se antrallelae in contra . Etenim res, rum illarum extremitates communi iecta a Pud jung atyr, duae illae. lineae ad planurn
146쪽
porpendiculares, vel aequaliter i linatae erunt quoque perpendiculares, vel aequaliter inclinatae ad eamdem lineam iungentem est enim in eodem plano. Quare ex parallelarum des reStae illae erunt parallelat, vice versa PROP. II. Duo LANA SIBI MUTUO
INCLINATA EASDEM HABENT PROPRIET AHTES , QUAS DE RECTIS AD SE INVICEM INCLINATIS DEMONSTRAVIMUS . Ponamus,
planum aliquo A immobile, in quo iaceat planum aliud B lineis recti terminatum, qualia sunt polygona rectilineari haec duo plana, utpote omni crastitie destituta, in num coalescunt planum . At si planum revolvi intelligatur cisca latus aliquod plani , fixum perpetuo manensis totum Plani motum sibi facile quisque repraesentabit. Et quidemse ab ipso motus initio nihil duo-hus planis manebit commune praeter Teriam , circa quam planum B revolvitur, quae proinde. est utriusque plani interfecti . . . . O . planum illud singulos percurret inclinationis gradus, si tandi convertatur, donec adoppositam plani A attem 2rVeniat ... 3'Planum revolvens plano immoto fiet per pendiculare ubi ad eum pervenerit tum , in quo non magis pendeat e una parte, quam ex alia V . Singulos inclin tionis gradus metietur arcus circuli , cuius centrum perpetuo manebit in communi planorum intersectione. Quia vero centrum in
ipso circuli plano acet , necessum est, huius arcus centrum esse in linea recta, cujus revolutione generatur ipsum arcus planum ... 3'. Si concipiatur linea quaedam iublimis, cui perpendiculariter affixa sit recta alia; haec recta planum describet, interea dum linea
147쪽
eodem perpetu manens loco. Si autem duae clineae sibi vicem non forent perpendiculares, iam figura revolvendo descripta plana non foret; sed ex una parte convexa , ex altera concava, ut patet .aare ex ipsa plani formatione evidens est , revolutione rectae planum describi non posse, nisi recta revolvens sit ad lineam, in qua revolvitur, perpendicularis . . . . Centrum arcus, in quo sumuntur gradus inclinationis plani unius ad aliud , positum est in perpendiculari expuncto quolibet arcus ad planorum intersectionem ducta. Quare si describatur semicirculus, cujus centrum it in linea duobus planis commmio cujus planum sit ad planum immotum perpendiculares per hu-3u semicirculi gradu metiri licebit omnes plani mobilis inclinatione . Quare generatim plana duo ad se invicem inclinata eas dem habent proprietates, quae in mutua linearum inclinatione demonstrantur.
COR L Planum plano occurrens vel duos angulos rectos facit, vel duobus rectis aequa les. Prop. I. cap. I.)COR. II. In planorum intersectione aequales sunt anguli ad verticem oppositi. Cor
2. Prop. I. cap. I.)COR. III Si plana quotlibet eamdem habeant communem intorsectionem , summae angulorum omnium elt 36O. gr. Cor. 1. Prop.
COR IU. Ex puncto dato extra pla-xum,vel intra planum unica perpendicularis ad planum duci potest Cor. q. prop.
COR. U. Distantia puncti alicujus a pla-
148쪽
COR UL Planum si vis duo, vel plura plana parallela efficit angulos altem e terno uvis, item aequalis a galos est. nos internos, Praeterea angulus internus eterius interni supplementum est atque etiam angulus externus est apsentienture alteritis:
COR UIL Si duo, aut plura plana parallela alta plano secentur, commui e&inte secti ies erunt parallela: Si enim non sint paralleve, sibi occurrere postum, ac proinde plana ipsa, in quibus iis lineae Iacent; ideoque plana, , somni parallau
GRAMMI RECTANGULI AE UALIS EST FUDU O EX BAS IN ALTITUDINEM. Sit
parallelogrammum remmium ABCB Fig. a s.', cu)us altitudo A certum contineat Oedum numerum: E. basis autem AB contineat L ivisum intelligi poterit parallelogrammum in 7 superficies, ut DΜ, quae singulae continent octo minores luperficies Madratas, sive octo pedes quadratos, mim cant . Quare habebitur parallelogrammi 'o tius superficies, si octo pedes quadrati, quisii iura stiperficie continentur, toties sumantur, quot savit m es super e , ut DM; ac proinde superficies tota parallelogrammi erit 'ra ne i 36 pedum quadratorum. Eviu
149쪽
atque ocis valet demonstrati, etiamnaltitudo, basis parallelogrammi ponantur sncommensurabiles , ut patet ex rivs M
COR. I. Si parallelagrammum BD per diagonalem divi latur, habebuntur trian duo effingula aequalia quorum proinde superficies, utpote dimidia parallelogrammi,
dinem. Eadem est demonstratio m triangulo quolibet etiam non rectangulo . Sit enim triangulo CAB Fig. 27. sion recta lum. Ex puncto A demittat. Di ndicularis AD , comoleaturque rectangulum CBE, erit triangulum. CA dimidrum restanguli FAC D, Qtriangullam AB dimidium rectanguli DABE. Quare, ut ante superficies trianguli est dimidium productum ex basi in Utitudinem. Idem patet, etiamsi perpendicularis EB trianguli CE cadat extra basim . Nam
triangulum EB est dimidium rectanguli DAEB,in triangulum CES. est dimidium rectanguli CFEB; ergo triangulum ED.
proinde trianguli cunaslibet perficies aequalis est dimidio producto ex basi in altitudinem. COR. I Cum parallel rammum quoὐribet diuidi possit in duo triangula aequalia,
quae ipsam habeant parallelogram mi basim, eamdemque altitudinem Patet generatiar,
150쪽
ω o, I4Isuperficiem parallelogrammi cuiuscumque esse productum ex basi in altitudinem. COR. III. Quotlibet triangula, ideoque etiam quotlibet parallelogramma inter easdem parallelas is super eadem vel aequali basi constituta sunt aequalia . Ergo etiam triangula inter easdem parallelas cum parallelogrammis constituta super eadem basi
sunt parallelogrammorum dimidia, ac proinde etiam inter se aequalia. Ex hac propositione pendet Vulgaris demonstratiocineorematis, quod alio modo iam demonstravianu nempe quadratum Nothenus mrriangulo redi angulo aequale e se quadratis agerMm. Hanc vero Geometria foecunditatem,
totiusque doctrinae geometrica conjunctionem variis exemplis Tyronibus saepe ollendere debet peritus magister. COR. IV. Cum triangula sunt , ut di-anidium productum ex basi in altitudinem, erunt etiam , ut productum totum hoc est, triangulorum superficies sunt in ratione composita basium,in altitudinum ac proinde I bases fuerint aequales, triangula erunt inter se, ut altitudine ; si autem altitudines duerint aequales , erunt inter se , ut bases.
COR. . Si altitudo trianguli unius sit ad trianguli alterius altitudinem, ut basisse cundi trianguli ad basim primi, hoc est,
bases sint in ratione infers altitudinum triangula sunt aequalia . In hoc enim casu habetur proportio, in qua productum extremorum aquale es producto mediorum, hoc
est , productum ex altitudine primi trianguli in basim aequale est producto ex altitudine secundi trianguli in suam basim idemque triangula sunt aequalia; viceversa si