장음표시 사용
101쪽
pertis scilicet singulorum eorum Solidorum quantitatibus , quibus desinitis eorum corporum habitudo mutua definiatur. Sicut ergo, etsi notum suppon mars patium hyperbolicum primum tam eme multiplex spatij secundi quam multiplicata est ratio Solidi primi A ad Solidum secvindum B, rationis Solidi torti DC ad solidum quartum D oportuitianum ipsa Solida tertium C ad quartum D inuestigare ex Principiisqυ .vquc iii propriis nulla habita ratione cognitionis Solidi pii mi A defccundit, vel corum rationis, ita etiam eodem tur ut habearu cognitio solidi quinti taec solidi sexti F vel eoium rationis istis notum sit spatium hypcibolicum secundum tam esse multiplex terti j quam ratio secunda C ad D multiplicata cst rationis rertiae E ad F repe-i icndi: m crittani solidum quintum quam sextum ex propriis Principiis unde nota fiat ratio eorum , quae est ratio tertia E ad F. Dare quanto magis spatiorum hyperbolicorum facultates in reliquis suspi .cienda videntur cita in hoc casu , tanto magis suspectat debent habe
ri nectam facile ex eis deduci posse quam multiplex sit spatium hypei bolicum secundum spatij terti j v ipsam deductionem absoluere non debuerit Cyclometriae huius fautor, P. Aynicona, scalliam vellet Preceptoris siti hanc adraturam Demonstra D sitire
102쪽
Et Promotum Examen Q adraturae.
Demo ratio quarta. Retuli ruperius ratiocinationem , qua CXimius in clometra usus est ad probationem. Propositionis sidae ψ . Lib. io Oper cicona inritia astetit notam cste illam de qua Controucititur, tertiam rationern f ad F i obiterque qu.edam an dotaui quae dit ficultatem pati Lintur non me diocrem , dubiamque produnt prima huius Quadraturae me thodum. Sed ea rursus hic ex Instituto, ut locus Exigit, ponderanda lint accuratius , ut omnia, qta: huic Quadratula aduersari mihi visa sunt, unum in locum congeram i quo eorum momentum clarius clucescar, dum plura simul ad eandem probationem concurrunt Argumcnta. Prima quidem huius Propositionis meae r , cuius probationem prosequor , demonstratione declaraui quomodo in eo de Meret Authoris Q Hadratulae Argumentatio, qua citatam Propositionem 4 probat quod conclusio Propositioni minimc fati, faceret, nec notam exhibCret tertiam rationem , quam notam elle Propositio assereret, quam sententiam meam aperte comprobat Quadraturae Interpres, dum non
aliter notam fieri posse ait dictam rationem tertiam E ad P, quam opuspatiorum hyperbolicorum quorum nulla ad hanc latio na cognoscendam non tantum applicatio ; sed ne incntio quidem spiam ab Author e facta suisset, ut demonstratione secunda exposui. hinc vero omissa Argumentationis conclusiones, Argumentationis ipsius contextum clatu, ut Ego quidem opinori, ostendo constare sibi non posse, solusque totum , si admittatur Propositionum, quibus construitur, Interpretatio a duobus earum commentatoribus P. Alphonso a Sarasa & P. Francisco Aynsco adducta. Qtio non leti fuerit alicuius in hac Quadratura commissi desectus Argumentum. Sic igitur habent seruatis Indicibus Characheribus meis in tabella designatiso Authoris Propositioncs sic Interpretum e regione posita paraphrasis Icad calcem notae in utrumque meae. Itaque ob oculos posito diagraminiate, simulque tabella ex eo petita ima accipe. Authoris textus. Iuterpretum Paraphrasis. Ostensum est notam esse rationem Solidi A Eadem est, quoad hoc, ad Solidum B smiliterdemonstratum es notam Interpretum tum senten- esse rationem Solidi Cad Solidum D tia, tu miratio: Notae.
Vtrumquc illam rationem notam esse accuratissime probauit Auin thor Prop. 3. quam eandem numeris expressi Prop. 6. ex cladratura Examine repetitis. Textus. Paraphrasis. Memonstratum au Demonstratum est rationem primam A ad BIatio
103쪽
tem es rationem pri rationibus partialibus constitui iuxta Pro gis A ad B toties con Lib. i Oper. Geom. hanc se 2 p. iii liuere secundam C ad Prop. 80 toties multiplicatis, rationum palati
D quoties secundam lium rationem secundam ad Diuxta eandem ad D continet tertiam Propo constituentium . quoties hae rationes Ead F per Proposi pa ales rationem secundam constituentes. tionem 4 o. Lib. o. multiplicatae sunt rationum partialium ratio Ope Geom. nem tertiam Ead F iuxta Prop. 8 cor stituen
Longe quidem ab ipsa Authoris sententia Interpretum ex nostri aliena videtur. Verum, clim eam Authoris mentem fuisse teste cius ore edocti , aequumque sit Insignium Geometrarum verba riarquiorem semper partem Tim. Ita potant Auditorum verba cum Praeceptori solatione conciliari , ut ab hac non tam disparata , quam prima specie videtur illa sint. Volunt scilicet Interpretes , rationes omnes partiales, quibus ratio totalis A ad B constitui lux iuxta Pron 8. toties continere permultiplicationem rationes partiales , quas editi iret, siue quibus constitustu ratio totalis secunda C ad in quoties hae partiales rationem secundam C ad constituentes, multiplicata si 'rationum partialium rationem tertiam E ad F constituentium Author vero cum citat Prop. 8 asseruerit rati ne partiales omnes quibus constituuiatur ratione totales, AB, CD, ET, esse ipsasmet totales , tiones ideo nulla partialium rationum facta mentione pronunci autenon line obscuritate, rationem primam AB rotic continere secundam D quoties haec continci tertiam EF Atque haec quid cm verborum dissonantium conciliatio, ut verat absoluta, admitti debere videretur si quam apposuere Interpretes, Vocem illam permul ipse. eationem in enunciationi suae addidisset, dixissetque rationem primam toties continere per multiplicationem secundam CD quoties haee permultiplicationem continet tertiam EF Atque hac cautione adhibita, nulla videtur aptior sententiarum urbis tam ditanantium concomdui stabiliri Verum, non fugit Geometras eximios ex eo sensu reliqua, quae sequuntur pendi deberes perperam si quidem , nec sine Lectorum fraude, dispendio ue idem enunciationi iisdemque verbis expreta unus atque alter a priori diuersus sensus pro arbitrio tribueretura quod a tanta viris alienissimum est. Hae porro quaesierim nequc enim mihi ipsemet hoc in dubio satisfacere potui nunquid etiam ratio AB prima totalis in rationes partiales non potest distribui per varias eius terminorum sectiones licenim
104쪽
Et Promotum Examen uadraturae i
iuxta Propositionemra. Lib. Io. Oper. Geom. 8c Expositionem a me allatam Prop. 8. rationes partiales generantur ex totali , cui simul sumptae sint aequales in ut hae, vel omnes, ves saltem aliquae non sint ita multiplicata rationum partialium singulae singularum, quae rationem secun Lim CD constituunt, ut multiplicata erunt hae partiales rationem secundam constituentes rationum partialium rationem tertiam EF constituentium 3 Id enim si quo modo fieri potest, aut primae aut secundae Isiue tertiae rationis terminis aliter 8 aliter diuisis haudquaquam dici poterit prima ratio toties per multiplicationem continere secundam , quoties secunda tertiam per multiplicationem continet: imo tunc non minori iure dicetur prima ratio non continere secundam Vc secunda non continere tertiam. Quare ut omnis dubitatio
cuius ne minimum quidem Geometria patitur praecindatur hic ςximiis Geometris primum probandum incumberet ratione partia- e rationem totalem primam constituentes non poti non continere toties permultiplicationem rationes partiales , quibus ratio secunda totalis constituitu quoties hae rationem secundam constituentes, multiplicatae sunt rationum partialium tertiam rationem constituena L tium.
105쪽
etum. Sed pergendum deinceps iuxta allatam paulo ante continentiae expositioncm. Textias. Paraphrasis.1Ῥιν ωm prima Igitur cum prima& secunda ratio At Mesr secunda ratiora B, C D notae sint notum quoque est , quoties CD nota sint sper rationes partiales rationem primam
. Lib. id. Oper stituentes inhaereo saluta, vocis huius, conti-Geom. notum quoque nentiae, expositioni multiplicatae sint rati est quaties prima 4 num partialium rationem secundam CD con- continea secandam C stituentium t ac proinde notum quoque quo- D. Ac ideo notum quo ties rationes partiales rationem secundam CDque , quoties secunda constituentes, multiplicatae sint rationum pa contineat tertiam EF tialium rationem tertiam DF constituentium.
Non aliam potest admittere vox haec continere significationem quam quae in proxime praecedentibus notis stabilita est , in hac paraphrasi ex Interpretum mente concinnata exprimitur ne i quod ineptum, nugatoriumque foret hin eadem seressententia, cadem voce in plures sensus ad arbitrium abuti liceret. Addes quod hie est mai ris momenti vitiosam bre Argumentationem totam ira eiusdem te mini significatio in Praemissis diuersa seret neque enirn tunc tres tantum terminos, ut forma syllogistica exigit, contineret nisi materialiter Argumentatio, sed plures. At, si hoc in hunc modum euitaueris periculum, aliud non leuius incurrendum est. Quid enita opus est primamri secundam rationem imus notam haberi, ut ex ea cognitio. ne colligatur, ut vult Authoclsinxturi quoties prima ratio contineat secundam, x ecunda tertiam : si ita intelligenda sit continentia illa, ut velit Cyclometra primam rationem continere secundam toties, quotiessecunda continet tertiam, eo tantum sensu, ut asserat ratione partiales rationem primam constituentes, toties continere per multiplicationem rationes partiales , quibus ratio secunda constituitur a quoties permultiplicationem partiales rationes constituentes securi
dam, continent rationes partiales rationem tertiam constituentes.
Vel, ut clarius in specie loquamur Quid opus est primaevi secundae rationis A B, ωα cognitione , ut colligatur rationes paleialas, quibus constat ratio prima totalis AB, duplicatas esse rationum singulas singularum quibus constat ratio secunda arpartiales rationem secundam constituentes, esse dupli partialium singulas singularum rationem tertiam EF constituentium Nunquid est id notum auite omnem rationiam duarum primae&ωcundae
106쪽
Et Promotum examen uadratura s
cundae cognitionem Probauit sane Quadraturae Autnor Prop. a. Lib. I O. Oper. Geom. rationem primam toties continere secundam quoties secunda continet tertiam ante quam Propositione 3 ostenderet duas rationes primam de secundam in sua specie notas esse , neque ex hac cognitione illam collegit Alitid ergo aliquid volat Authoc significare quam notum fieri, rationes partiales primas , esse duplicaras rationum partialium secundarum is secundas, duplicatas tertiarum vel in genere, rationes partiales primas, toties esse multiplicatas rationum secundarum , quoties secundae tertiarum mulit plicatae sunt. Aliud , inquam , voluit Author cum, ut habet adductus textus, ait,
Oprima osecunda ratis A mo CD uot in notum quoque est a iis prima contineas secundam; nepωμά vitum auoque . quoties secunda eo uinea tertιam. Quid vero tandem his verbis indicare voluit Eximius Geometra huic quaeitioni minime mihi incumbit ad rem mennui satisfaciam: cum inihi ad institutum fatis sit, ut ostenderim sensus diuersos unius citis iamque Propositionis in contextu Argumentati Lis niS,
107쪽
nis, qua Propositionem 4. probat Author, assumi tum ab Ipso, mum ab eius Interpretibus neque etiam eidem cum illis plane conuenire. Vnde Argumentum non leue deducitur, quo tota haec Quadratura in dubium reuocetur; meaque Propositio hac quarta demonstratione confirmetur. Quae ut euidentior adhuc fiat reliquam probationem Propositionis illius 4 prosequor.
Itaque , cum secunda ratio CD nota sit etiam tertia PF ta erit diuod erat demonstrandum.
Nulla hic opus est ad hanc conclusionem Authoris exponendam Interpretum paraphrasi neque enim aliam ab hac diuersam allaturi sunt confusionem, cum ipsa sit, ut par est, probanda Propositio M. Verumtamen, cum asserat P. ynico ad hoc, ut tertia illa ratio Ead F nota sit, necessaria esse spatia hyperbolica ; de quibus in hac tota Argumentatione , vel alio uspiam loco apud Authorem, ut supra monui, nulla habetur menti, vix cuipiam suadeatur hanc ratiocinati nem , qua Propositio citata probari debet, omni desectus suspicione carere. Quod sufficit ad Propositionis , quam stabilio, manifestam
demonstrationem, 'uidem iam quartam. Scholium. Adduci vix unquam potui, crederem summum Geometr is Quadraturae huius Authore sua atiocinatione, qua Propositionem 44. qua ratio tertia EF nota asseritur, demonstrat , non omnia complexum csse, quae necessaria arbitrabatur ad ipsam suam demonstrationem suis omnibus numeris absolutam exhibendum iraesertim cum ex ea una immediate ipsi colligenda foret tanto molimine quaesita Quadratura adebui non nisi aegre Interpreti acquiescam asserenti praeter ea, quae ab Authore hic statuta sunt, ad spatia hyperbolica recurrendum esse ut veritas citatae Propositionis 44 patescat. Vt autem cui fundamento nitatur hic sensus meus, appareat, planum que fiat quod toti huic dissertationi non parum lucis impertietur unde labendi occasio nata sit , breuiter eandem repeto ratiocinationem. Quoties prima ratio AB eontinet secundam CD esuries secunda continet tertiam DF. Sed notum est quoties prima A B eontinet secundam CDo Ergo notum est quoties secunda continet tertiam E F. Maiorem probat Au thor per Prop. o. Lib. io Oper. Geom, minorem vero per Prop. 3. qua constat rationes primamin secundam notas esses quibus notis'
tere non potest, quoties prima contineat secundami ex eo siis
108쪽
Et Promotum Examen uadratura s
do malo vera est notum euadit quoties secunda contineat tertiam. In ue, cum secunda notas .etiam tertia E Fnota erit Euia erat demonstrandum.
Euidentissima est haec collectio, ipsaque adeo Propositio M. probanda si admittatur maior illa quam ex Propos M. demonstrat Author Si enim secunda CD nota est , notumque praeterea quoties secunda haec contineat rertiam EF i siue contincntia illa intcllig. tiar simpliciter per multiplicitatem, siue per multiplicationem nota fieri potest ipsa tertia ratio EF si enim secunda ratio continere dicatur ter tiam, sicut & prima secundam per multiplicitatem Lerit tertia ratio EF , tertia proportionalis duabus primae dessecundar cuius inuestigandat methodus habetur in Examine Quadrat Lib. 1. Piop. 16. At si continentia Intelligatur per multiplicationem setiam tertia ratio ex notis prima & secunda iuxta continentiam illam nota fieri potest, iuxta methodum a me traditam Lib. 1. Prop. . citati Examinis etsi minus ea probata fuerit P. Francisco Aynscom ob usurpatam a nae rationis, loco Proportionis vocem : quod ipsi non adeo nouum , ncc insolitum videri debuerat clim si s apud omnes,apud non paucos etiananum, nec non interdum in opere Geometrico basee duas voces idemsgnificares, ac pro eodem aecipi ab Ipso poterat obseruari Quia veto , sitrouis sensu , siue per multiplicationem, siue per multiplicitatem
reperiatur tertia illa ratio Elo ex ea dedueta Quadratura vitiosa est,& a vero aberrat, ut in Examine ostendi necellario concludi debet veram non esse primam illam totius Argumentationis maiorem Propositionem reliquae enim veriores esse ncque uno nimirum , Quoties prima ratio Assi continc secundam C in toties secunda C Dcontinet tertiam EF Quare accurate perpendi debet Propositio illa 4o unde maiorem, de qua agitur, deducit Author. Assero itaque veram non videri Propositionem 4o. Quid ita quia, cum in ea concludatur rationem primam toties continere secundam Iquoties secunda continet tertiam, ex eo quod Propositione praecedente4 q. eiusque Coroll. ostendisset Author rationes omnes p rtiales rationem primam solidi A ad solidum B constituentes iuxta Propositionem Lib. o. Oper. Geom. quam exposui Prop. 8 toties continere per multiplicationem rationes omnes partiales,i quidem sngulas singulas quibus constituitur ratio secunda Solidi C ad Solidum D: quoties hae partiales rationem C ad D constituentes, cootinent per multiplicationem rationes partiales , quibus constituitur tertia raptio Solidi Ead Solidum Fi Verum autem esse nequeat, Ipsis etiam illud ipsum asserentibus Quadratura huius Propugnatoribus, ut ratio nes
109쪽
nes totales ita se habeant, ut se habent inter se rationes partiales, qui . bustotales singulae iuxta illam Propositione g. constituuntur , ut sura declaratum est i hinc tandem sequitur, ut omni fundamento,pro-ationeque destituatur maior illa Argumentationis Propositi O aeuoties prima ratio A B contiuerseeundam CD toties secunda CD con3inet
Verum. Et si falsa reuera sit haec Propositio veritatis tamen speciem praese fert tam splendidam , ut mentis aciem quamcunque firntissimam perstringendi capax sit. Clim enim ratione singulae primam ratio nem ΑΒ constituentes , ita se habeant ad rationes singulas quibus constituitur secunda ratio C ad in hae ver singulae partiales ration in secundam constituentes, ita rursus se habeant ad singulas ratio. nes, quibus constituitur tertia ratio E ad Pi uni cnim tam primae secundarum, quam secundae tertiarum singulae singularum aeque multiplicatae suis primo intuitu non facile sibi persuadeat si omnes rationes partiale tam primae , quam fecundae, M tertiae coalescant iuxta Propositionem 3. Oper. Geom. vel ut hic nuper exposui collectis cilicet earum terminis, rationem totalem ex primis partialibus rationibus conflatam , ad totalem rationem ex secundis partialibus genitam, eandem haberest abitudinc mi iram habet totalis haec ratio ad rationcm totalem tertiam quam pallialc tertiae constituunt iuxta citatani illam Prop. 8. Atque hac veli similitudine captum Geometram ximium malim diceres, dum rationem illam tertiam EF notam essedc proni iactauit, & probare conatus est , eundemque ratiocinatione sui
persecte e ablolute absque omni ad spatia illa hyperbolica perfugio,
illam notam csic arbitratum fuissetquam fuisse ratum caspatia ad sua in adhuc necessaria esse demonstrationem. Sic enim dum senti, erga virum doctissimum aequior vidcri dc am, cui unius tantum apb iis excusatione non omnino indigni, ut paulo ante obseruaui, labem tribuori quam si assererem, ab eo in illa Prop. 44.d plus propositum quam probatum vellet δε Lectorem eo amandatum, quo aditus nec
paterct, nec patcre posset, neque in mentem illum tentandi cogitatio
aliquando veniret ut sunt illa saepius memorata hyperbolica spatia.
Quam hic allaturus stura Propositionis meae probationem , haudquaquam alias demonstrationi S nomine appellandam censuissem. Sed, cu non Examine in adraturae eadem sit a me proposita quaestio Lib. 2. Prop. o. eiusque Olutionem ab eo darid c bcres qui tertiam illam
rationem E ad F ad Quadraturam omnino necessariam assereret notam esse , conceptis verbis declarauerim, eamque a me cxposci, expectari
110쪽
pectarique professus sim : Quis iam quando strenuus huius Quadratirae fautor. Authoris Interpres R. P. Ayns com pro suscepto munere eam exhibere debuerat, eius nequidem meminerit, meminerit
reliquorum a me obiectorum. Qui , inquam, iam silentium illud, vel quaestionem soluendi impossibilitati vel summae, necdum si baac' aedificultati merito non adscribatu concludatque traditam dictae illius rationis tertiae inuestigandae methodum, sue ea ineatur cipi sina. tiorum hyperbolicorum , siue alio quouis modo , multo minus id id
cum longe sit proposita quaestione dissicilius aptam estes acrondem
huius meae Propositionis veritatem satis euidenter Ex eo demonstratam non agnoscat Versi , ut apertilis constet quodnam sit huius probationis momentum obscruandum est , cum in omnem partem animum citato Examine conuertissem , ut qua tandem arte notam vellet Author Quadraturae, tertiam illam rationem , a sic lucrer nec
quidquam occurrisset, cui tuto sentirem acquiescendum i id tandem est a me initum consilium. Qiiaestione proposui ; in qua omnes conditiones, quas in tertiae illius rationis inuestigatione supponit Cyclometra, accurate obseruarentur ι iisque ei uatis ab eodem popoici, ut in casu proposito sua illa arte, quae hactenus me latuisset, tertiam ratio nem ignotam aperiret riunto, inquiebam ad calcem Propositionisso Libri 1 Exam. duae rationes A ad B, dcc ad D. utriusque tomini ex duobus partialibus terminis i E ....
simul additis nati sunt quorum singuli terminum A conriantes, ad singulos quibus constat terminus B, rationem habent toties multiplicatam rationum duarum singulae singularum: quas habent duo termini terminum constituentes ad duos terminos quibus constat consequens terminuso: quoties multiplicatae sunt rationes partiales, rationem C ad D constituentes, rationum partialium , quibus crita ignota ratio E ad F constituitur iuxta sensum Propositionis 8. Lib. M. Oper. Geom qnam Prop. 8 pluribus exposui. Addebam etiam quod laborem non medioerite leuare videturn rationes duas partiales, quibus constat Fima ratio totalis A ad K, ita esse multiplicata rati num duarum partialium rationem secundam C adi iuxta Prop. 8.constituentium , ut illae sint harum duplicatae Dac proinde hae etiam secundae , duplicatae sint rationum duarum rationem tertiam E ad F constituentium. Quaerebam igitur, ut mihi exhiberetur tertia ratio Erotalis quae illa ipsa artes me dicam faciliores qua tertia ratio ad Quadraturam necessaria reperiri posse, notaque esse diuebaturi posset deliniri,