장음표시 사용
131쪽
tione quidquam inmare. Ego quippe, cuius interest , Alius quiuis
Geometra veritatis studiosus exigere ab eo merito posse videbamur: Vt illius sententiae satis grauis causam aperiret: ne alioqui quam facile pronunciata est , tam facile reiiceretur. Vnicum satis erat Exemplum , in quo vitium aliquod obseruaretur in Solidi constitutionem ira repsisse , ut reliquorum omnium constitutio damnaretur ex eo inaequalitatem illam Proportionum K L, M N, proficisci credereturiatque adeo Quadratura ex eo capite omni periculo vacare cen
Secundo. An non debuit ut Quadraturae huius propugnatoris. munus egregie praestareta P. Aynicom, ubi in Solidi alicuius eorum
octo quantitate per numeros exprimenda errorem comperisset I methodum exhibere qua veri numeri obtineri possient, quibus illud exprimi deberet Iino. Nonne ipsarum proportionum ML QM Ni aut terminorum proportionalitatis P, Q aequalitatem, unde Quadraturae soliditas constaret euidenter, numeris iuxta methodum a me in iram, debuit explicare. Nihil certe ad hanc tuendam Quadraturam afferri poterat esticacius, ponderisque maioris aut quod Geometriae cultoribus satisfaceret cumulatius. ut ad cam conuellendam nihil efficacius reperiri queat, quam numerorum illa Inaequalitas, quibus exprimi declaraui proportiones Κα4 M , aut etiam proportionat uatem Tertio. Cum Libro 1 Examinis, dum Quadraturam primam expenderem, tot Solidorum, quae ex variorum planorum ductu generantur, quantitatem numeris exhibuerim quos non aliter, quam quos in huius Quadraturae secundae Examine protuli, a me definitos esse manitestum eae quid causae tandem fuit, cur Quadraturae viriucque Interpres' patronus R. P. Aynscom non eodem Argumento ex
numerorum Solida per ductum genita exprimentium falsitate deducto usus est ad primam illam Quadraturam stabiliendam quo ad hanc secundam uti libuit, praesertim clim ieiuna satis frigidaque foret, quam assert, responsio ad eas quae a me obiiciebamur contra primam Quadraturam illam Argumenta quod nimirum Authoris en- sum minime fuissem assecutus , assecutus tamen omnes fuisse , et
ipse referes ex quibus pendi potest illa prima Quadrandi methodus
obseruauerissirtasse me in primae Quadraturae Examine Solida singu-Ja, quae ex planorum ductibus sane multis cra cilibus oriuntur. Geometrice prunum, tum Arithmetice exhrbuisse, veramque eorum quantitatem numeris debitis determinasse. At haec eius obseruatio ad Solida aebuerat extendi, quae ad huius adtacia secundaLdiscusissionem
132쪽
Et Promotum Examen uadratur ob
sonem a me proposita sunt cum eadem plane methodo utraque scit numeris definita. Sed haec ad velitationem satis, quam pondere non carere aequus quilibet rerum aestimator iudicabit. Accedo nunc ad Propositionis meae hic illatae probationem, siue Propositionis is Lib. 3. Examinis mei Quadrat. de sensionem , quam hoc loco me suscepturum nuper fidem dedi. Hanc autem , sic habeto, non nisi inuitus aggredior. Qui enim eam luben aggrediar quae in eo sita sit uniuersari ut ostendam Geomctram eximium, cuius in mathematicis tota sua Quadraturarum Geometrica deductione tam rara facultas elucet, perperam asseruisse numeros, quibus solida cxductu planorum genita expressi, cum vera corum solidorum quantita. te non conuenires leuiusque, quam res ferret, tam Solidoruna, quam ea exprimentium numerorum generationem perpendiis 3 ac demum, quod asseruit, prolati, tabulis falsum esse compcrtum' crum in hoc Ego venia prae Ipso dignus videar cum mihi ea, quae protulis si ab iis siet veritas contra aggredientem quemlibet tu encli ius competa nec aliud exigam quod nemo non censebk aequissimum quam ut illa, Solida numeris exprimendi methodus denuo in medim adducta dein actum denuo reuocata . Paulo attentius perpendatur ut tandem emergat tandi quaesita hac in controuersia veritas. In primis ergo schema Prop. 3o delincatum totius causae statum complectens resumendum eae quod idem est schema iuxta quod huius secundae Quadraturae Examen Libro . Exam institutum est a meri unde fusior singulorum , quae hic afferam , declaratio , si forte cuipiam haec satisfaciam, haut iri potetit. Primo ergo notae supponi debent lineae aliquot quae vel ex con- suu tione definitae sunt, vel ex iis in constructione definitis facile deduci possunt. Has omnes in apposita synopsi intuere. R, Latus rectum
Semissis arcu A Q 7 6 8 6 o AI, IM
Obserua lineas V O , DT, ID rem determinatas esses eo quM
133쪽
V O per Prop. II. Lib.r Apoll. media sit proportionalis inter A Was. ωLatus rectum, i Similiter EF media sit inter x is, idem Laiatus is i. Idem de Applicata It censeto obserua praeterea rectas AH. IHinc. fractionibus exprimi decadicis, sicut & rectas CA, CK: Sicut
etiam semitae arcuum AMI AKRB, siue pars quarta torarum circuli perimetrorum , quae utraque quantilaadcrinitur Prop. io Lib.
134쪽
Et Promotum Examen uadraturae iii
3 Exam .posita enim circuli diametro P, perimeter est xi iso maior Vera, vera autem minor 3 his'. Ergo post diametro A I9, perimeter erit 18 27 4o,M18a 743I huius autem perimetri tam maioris Vera, quam vera minoris quarta pars ea ipsa est quam tabella refert. Nec aliterdeterminata est quarta pars perimetii circuli totius AKRBι, cuius diameter est xx i. Atque hae sunt lineae fere omnes quarum aliquam mentionem in sequentibus fieri necesse erit kquas incitata Prop. io Lib. 3. Examinis paulo fusius determinatas reperies. Secundo Planorum aliquot definito hic non potest praeteriri ex Prop. V. Lib. 3. Exam desumpta prout haec tabella refert.
Paucis horum planorum generationem expono, ne graue sorte ducas citatum Examinis locum consulere.
Triangulum AI o 1' gignitur ducto latere A I in lateris IMsemissem 3'. Trapezium EZYWa8.1 fit ducto latere Eriis in latus E Vs,Mad genitum 4 addito triangulo A M . . Rechangulum E L 3 6 nascitur ex Esis in SP . Parabolica portio Dolabetur si ex tota Parabola P AD 16s dematur Parabola S AT hae areae inuestigantur in Examinervi reliquum fiat planum mixtum S TO P cuius semisi sis , erit planum EF O quod etiam hi erat inueniendum aquosi dematur Rectangulum L 36, reliqua fiet portio Parabolica
Semicirculus Am, Quadrilaterum E KRV cum prolixam magis, quam dissicilem exigant inuestigationem praestat ex examine
Tertio Ex definita proxime tum Linearum, tum Planorum in numeri, quantitate ad Solidorum quantitates in numeris item definiendas accedo i ex quibus notis nec rationes nec rationum proportiones, aut proportionum proportionalitates poterunt ignorari Atque hoc est
135쪽
caput, in quo inter R.Patrem Ayn scoma me non bene quoad omnia conuenit conueniet, ut spero, optime priusquam ad illud manum
extremam admouero En primam admoueo. Quatuor sunt, ut superius memini Solida , quae ex planorum directo siue ordinato ductu nerantur ν quatuor item ex ductu subalterno procreata Singulis
suos singulos Characteres quibus dignoscantur, addixi ut hic figurae
Itaque Solidum A ex Parabolica portione Ad D in se directe ducta genitum, cum aequale sit prismati, cuius basis est triangulum Ad M
o 1 ι altitudo vero latus rectum'. I. ut Prop. 3o declaraui: Si ducatur Latus rectum i in basim o ';habebitur prisma illud numero o sex pressum cui aequale est tantum Solidum primum A, sed etiam postremum D. Atque in hisce duobus solidis nihil occurrit difficultatis: tanto vero amplius in duobus, quae sequuntur, secundo tertio. Sec dum vero Solidum est x, quod in se ducta portio Parabolica FLO producit. Illud autem in numeris exhibui Prop. ia. Lib. 3. Examinis Quadraturae inhax verba, quae fideliter ad minimum apicem
hic refero; ut pateat cuidcnter quo fundamento illic a me tradita solidorum ex ductibus Geometricis ortorum ad numeros reductio a Quac raturae huius facito e improbata damnataque sit. Constat, at c-bam , nec ab ea sententia nunc absistes, ex Prop. 6. libri scilicet 3. Examinis corpus ortum ex doctu Quadrilateri EI O V in se; aequale esse Solido, cuius basis sit Trapezium E TY V, in hoc schemate, Maltitudo, Latus Rectum. Trapeziii autem ex Prop. antecedente
undecima scilicet Libri . Examinis, quam h num et retuli est 38.1' Latus vero Rectum cst i Ergiablidum ex huiusmodi basi altitudine constans, est 4 1'. Sed Solidum illud per Prop. 99 de ductibus in qua Author Propositionem . Libri 1 Euclidis ductibus applicat aequale est Solidis huiusmodi Nempe orto ex Rectangulo ELin seducto orto ex Rectangulo eodem E L ducto bis in segmentiam parabolicum Lori orto denique ex eodem segmento parabolico FLO dueto in se Solidum autem ex Rectangulo B in se ducto genitum est parallelepipedum cuius basis est rediangulum ipsum E L numero 3 expressiim altitudo vero est ET . Si ergo hi duo numeri 36 ec Si, inquam, hi duo numeri 36, 4 quos utinam . P. Ayn scom paulo accuratius annotasset bali m&altitudinem dicti Parallelepipedi exprimentes, in se multiplicentur, fiet numerus I 4 ex primens soliditatem corporis illius parallelepidi quod ex Plano rectangulo E in se ordinate ducto generatur facto motus initio a LaxemE V, cui insistere Rectangulum E L perpendiculariter ad alterum subiectum Diyitia in C
136쪽
Et Promotum Enrmen si uadratura
subiectum Rect E L concipi debet motuque secundum latera EF, Vipergente, donec ad latus P peruenerit. Atque hoc parallelepipedum , primum est Solidum quod ex ductu onerari contingit numeruque inter seductis a me expressiim est de quo, ante quam ad Toliqua pergo, LQhiadraturae Propugnatore pauca quaero. Quaero itaque primo a P. Aynscomnum censeat, admittat exillo ordinato ductu Rectanguli Et in se iuxta situm paulo ante declaratum, parallelepipedum produci: cuius basis sit Rectangulum EI, Maltitudo PH Admittet omnino, cum ipsa prima a Praeceptore suo R. P. Gregorio allata Propositio Libro deductibus id euidenter ostendat nec res sit alioqui tam abstrusa , quin eam concipiat trium dierum
Geometriae Tyro. Quaero rursus num censeat lc admittat Paralleleis pipedi illius Quantitatem recte numeris exprimi οῦ si eius basis E L numero 36 recte expressa, ducatur in altitudinem DF numero recte item expressam, ac proinde eam quantitatem numero i ex multis plicatione numerorum 36 procreato Muis, inquiet, rem eam Oaram, tamque tritam in dubium reuocet' ita censeo, ita admitto.
Censet igitur & admittit in hoc saltem casu a me recte elle dc finitam per numerorum multiplicationem quantitatem Parallelepipedi quod ex ductu Plani rectanguli E in seipsum ordinate ducitur atque adeo fatetur hunc ipsum casum minime complecti noluisse sua illa sententia, qua pronunciauit inductibusfre singulis, ex quibus octo ilia solida natasunt, a me petentum esse mee vllam a me habitam rationem stafus, velfigura planorum qu. in seducuntur. Sed praeterca Ipsum fatetine cesse est contra quam longa illa, multiplicique inductione suadere videtur in haudquaquam in hoc codcm casu a me multiplicatum esse.
numerorum quoquantitas alterius planortim, quae in se ducuntur, exprimitur , per numerorum altei ius plani aream designantem. Ne
que enim Rectanguli E L aream 3 6 per alterius Rectanguli DL aream eandem 36 multiplicaui; quo modo soliditas facti per ductum Parallelepipedi exprimerctur hos numero ii 96. Sed multiplicandam dixi
aream 36 Rectanguli EL, quod est basis Parallelepipedi per eiusdem
Parallelcpipedi altitudinem EF quae est . Vnde nascitur Parallelepipedi soliditas longe minor nitriae ro illo 296; cuius hic I 44 nona tantum pars est. Huius ergo solidi area, quod primum ex ductu plani in planum nasci contigit; rei te per multiplicationem numeri in numerum inuestigata est. Unde iam cuilibet fas sit augurari, quid in solidis
reliquis, quae perductus generantur, numero exprimendis a me praestitum sit neque enim tam citis mei immemor a methodo ieete semel inita desciuisse aestimari debeo. Eod ut reipsa comprobrem, ad reliqua pergamus P In
137쪽
In eo versamur, si mem i, isti, ut inquiratur oliditas corporis seiscundidi quod producitur ex portione Parabolica FIO in se ducta. Quam soliditatem consequi me posse spero ope selidi quod fit ex duis ectu Quadrilateri mixti EFG in seductu. Hoc enim clim sit aequa. Ie solido, cuius basis est trapezium EZY 48 Loc altitudo Latus Rectuma, adeoque ipsum notum sies; sit nimirum i 8 3; notum etiam est solidum ex in adrilatero mixto EFOV in se ducto genitum. Hoc verysolidum aequale est per Prop. 99 de ductibus ut superius ratiocinari coeperam, solido ex Rectangulo E L in se ductoi solido ex poristione F L O in se , tum solido ex Rectangulo S in portionem P obis ducto genitis. Solidum autem ex Rectangulo D in se ducto genitum recte, ut demonstraui, in Examine designatum erat numeroa Atque eo loci peruenerat inita ratiocinati, quam abrumpere
necesse fuit ad solidum ex Rectanguli Et in se ductu genitum discutiendum. Nunc eandem resumo ex eodem citato loco Examinis, ubi ita habetur. Solidum ex Rectangulo EL bis ducto in Parabolam Lo habetur si altitudo EF duc itur in duplum Parabolae FIO , quod duplum estis Q vel quod idem est in ducatur altitudo DF in Parabolam FLO productusque numerus i duplicetur utrovis enim modo habcbitur numerus 3 exprimens solidum ex ductu Rectanguli E in Parabolam FLO bis sumptum. Quod si numerus hie 37 addatur ad priorem i44, quo Solidum ex Reet angulo Ea in leductio genitum exprimitur fiet numerus si qui si dematur ex numero i8.1', sine i 84' aequales enim sunt huic numero i8 4dhaerentes fractiones , de diis 1 ,4 communis λὶ quo exprimitur quantitas Solidi ex Quadrilatero EF V in se ducto eniti reliquus fier numerus 3 , quo designatur Solidum secundum B ex Parab lica portione F LO in se ducta genitum. Cernis hic rursus induet Rectanguli DL in Parabolam FT O a
Curate a me habitam rationem tam situs, quam figurae amborum, quae in se mutuo ducuntur, planorum Cernis etiam , ut quantita
rem definirem Solidi, quod exsectangulo Ea in Parabolam Floducto generator haud quaquam aream 36 rectanguli Ea,in aream Parabolae FLO-- mutuo me multiplicasse s quod sua Inductione madebat P. Aynseo a me in tota ratiocinatione mea commissum, quod vel per somnium a me commissum puderet)sed multiplicasi me aream et Parabolae I UO tanquam basim Solidi ruturi per Latus E F. Rect inguli Et quod in Parabolam ducitur Natatur enim tis rei te ductuum methodum concipio rex rectangulo DLin Parabolam FLo
138쪽
Et Promotum Examen uadratura ris
139쪽
ram areas i asa me multiplicatas, ut Solidi ex eorum mutuo ductu geniti quantitas numero expressa obtineatan haud dubie casum etiam hunc ab huiusmodi censura aut excepit, aut excipere debuit. Sed nec sequentem, qui in determinando solidum tertium C occurrit, eadem sententia potuit condemnare. Sic enim in Examine Prop. I a. Lib. 3. Pag. 1 F. Solidi illius C quantitatem ad numeros reuocare conatus
Corpus denique C, inquio, ex ductu plani PS P L in se ducti e
nitum , eadem fere methodo notum euadet. Cum enim planum hoc in duas partes diuidatur a linea SV erit per Prop. 99 ductuum, Solidum C quaesitum aequale Solido ex ductu Rectanguli L in se, genito quod iam inuentum est se quidem, ut paviis ante sendi debita methodoxnumerori designatum Solido ex ductu in se segmenti ES RV, quod est 3.1' & denique Solido , quod fit bis ex Recta gulo Et in segmentum E SI V ducto, hoc est, quod nascetur ex linea DP bis sumpta, siue ex numero xin segmentum E SI V sue EF Os o et multiplicatori qua multiplicatiene producitur num rus 32 τ. reser o hi numeri r 4, 18 1' siue i8 'ociis mul addantur .colligetur numerus uex. exprimens solidum C , ex segmento Quadrilatero mixto SI LP in se ducto genitum. Haec habeo citato loco Examinis. In huius Solidi tertii procreatione per numeros ab soliuenda oz- currit Solidum numeris exprimendum i quod fit ex ductu Rectanguli BL in Quadrilaterum E SIN. Attendatur igitur quo numero; quoue modo genito, illius Solidi quantitatem expresserim. Numero 321 - expressi eius duplum: ergo semissiis 161 c ipsum foret Solidum ex Rectangulo E in Quadrilaterum E SP V ducto natum At, ut hic numerus is linuantitatem dicti Solidi exprimens haberetur nunquid praecepi, ut Rec tangulia area 36 in aream ori Quadrilateri E SP V duceretur , ut supposuit Quadraturae autor neque per somnium asserui ita definiriSolidi ex eo ductu geniti quantitatem Asserui duci debere illius Solidi altitudinem EF in basim quadrilateram ES P; o . Ex qua multiplicatione nemo non nouit numerum nasci , qui seliditatem corporis ex tali duc 1 procreati reptae
Ex his ergo habemus hactenus quatuor illa priora solida A,B,C,D, quae ex ordinato , siue simplici ductu plani in planum generantur, debitis numeris veramque eorum quantitatem exhibentibus a me scdesignat, nec Ilo modo posse in numerosa me definitos cade
140쪽
Et Promotum Examen Quadratura ira
scilitet ductam iam inpianum quo sua Solida Euadratara uasa ormas, ultiplicatime numeriper erum, qui locopia rum supponuntur Dasquidem dactus, inquit pende Ugur ost ptinorum , qua ducuntam,