장음표시 사용
71쪽
B, G per Prop. 13. Lib. 6. Elem. componitur ex ratione A ad B, dcratione F ad G ratio amem rectanguli B G ad rectangulum C Hcomponitur ex ratione B ad C,N G adH;quae aequales sunt rationi bus A ad B, i ad G. Ergo ratio rectanguli B, G ad rectangulum C, H, aequalis est rationi rectanguli A, F, ad rectangulum B, G, rationes
siquidem ex isdem rationibus compositae , sunt aequales. Eodem modo ostendetur ratio rectanguli C, H, ad rectangulum D, I, componi ex iisdem rationibus, ex quibus componitur ratio rectanguli B, Gad rectangulum H; atque aequalis efferationi ipsius rectanis guli FG ad rectangulum GH dc ita deinceps quotquot extiterint termini, ostendetur ratio rectangulorum terminis homologis contentorum , esse semper aequalis, hoc est , rectangula huiusmodi erunt continue proportionalia. Quod erat probandum.
Cum ergo in schemate superiori tam quinque lineae G M, Gi, GK, Gi, G H quam quinque GN GP, GD, Δ, G i sint continue proportionales, ut dictum est terunt etiam quinque rectangula lineis homologis comprehensa continue proportionalia per hanc Propositioncm;reetangula scilicet M GN, L GP,Κ O, G Δ, HGI. Quod climita sit, quaecunque ducatur lineam GN,, quouis in puncto G, Axem secet hinc ulterius stabilitur sequens Propositio
re diuersa ad axem perpendiculariter ducta quae ut prior, diuidatur tam adlagam axis versus M quam ad dextram. versiis N, in quinque lineas proportionales continue ab eis-dcm tam curuis quam rectis lineis scnt etiam in ea, ut in pilore, rectangula quinque proportionalia continue M GN. GP,&c. Id stabilium est. Verum hoc posito. Dico rectangulum, O ad alterum rectangulum, GO, rationem habere duplicatam rationis quam habet rectangulum L G P ad alterum rectangulum LGI: eiusdem veryrationis L G P ad LGl, triplicata erit ratio rectangulis G A ad alterum rectangulum, G Δ. Ac denique, eiusdem
72쪽
Et Promotum Examen Quadratura. 49 rationis LGI ad UGI, Quadruplicata erit ratio rectanguli H G I ad alterum reviangulum H GI.
Demon ratio. Cum quinque sint cominue proportionalia rectangula tam priora ob L G P. GD, P G Δ, H GI; quam posteriora quinque
eiusdem nominis ordinis tanti ver,etiam duo prima rectangula MGN, unde sumit initium utraque series rectangulorum , aequalia: hinc sequitur per Prop. I. Libri de Progress veram sic hanc Pr positionem. Duo scilicet rectangula Κ GO, tertia a duobus primis M GN; habent rationem duplicatam rationis duorum rectangulorum LGP secundorum ab iisdem primis M N tum proxime sequentia duo triplicatam. Ac denique duo H I, eiusdem GP ad LGI, quadruplicatam.Constat ergo veritas Propositionis.
Ex eodem fundamento, cui Theorema proximum nititur, quod est citata Propositio 1 . de Progrevsonibus sequitur etiam rectangulum HGI ad alterum rectangulum H Ga, habere rationem duplicatam rationis, quam habet rectangulum Κ GD ad alterum re- et angulum G O. Sunt enim in utraque linea M GO, tam tres lineae G. G, H GDquam tres N G, O G, I G, proportionales continue. Ergo etiam per Proposcio proportionalia sunt continue tria rectangula GN,ΚGO, HGI. Cum erg&duo prima rectangula utriusque lineae M a s nempe rectangulam G No snt aequalia; duo rectangulam I habebunt percitatam Propositionem 7. Progressi rationem duplicatam rationis, quam habent duo rectangula Rc O secunda , siue primis proxima. Quod etiam ex eo manis stum est, quδd ratio rectangulorum duorum H GI ostensa sit quadruplicata rationi duorum rectangulorum LGPr quorum rationis duplicata est ratio rectangulorum duorum K G O.
SI lineae omnes G N per omnia Axeos A puncta Gduci concipiantur: rectangula illa quinque continue proportionalia per Prop. io quae in singulis lineis M GN, constituuntur solida quinque efformant: quae ex quinque su-
73쪽
perficiebus ad Axem terminatis in alias quinque su
perficies ad eundem Axem terminatas ductis generantur.
Expositi erimonstratis. Haec Propositio sola eget expositione, ut eius veritas pateat eui . denter supposita igitur ductus plani in planum natura definitione;
quam egregie suo more exposuit, ad varias Geometricas speculationes subtilissimas adhibuit Quadraturae Author & ipse quantum satis erat declaraui in Examine Quadrat Lib. 1. Prop. I x. Supposito, inquam , quod planum in alterum planum eidem communitermino adhaerens duci dicaturri cum omnes illius lineae per omnia tem mini communis puncta ductae per totidem lineas alterius plani fluere concipiuntur quoquo modo sublimes eodem per motum semper seruato situri Theorema hoc oculis ipsis intuendum pro
Primo itaque , si concipiatur linea una aliqua auerigi perpendiculariter in G, eoque seruato situ per lineam .a in plano Quadrato A D iacentem fluere donec ad ultimum eius punctum N pe uenerit, haud dubie rectangulum M GN , de quidem quadratum descripserit. Quod si eodem modo lineae omnes Gi per omnia pune a Axis A B ductae quibus duae lineae extremae a C, B F per extrema puncta Ain B transeuntes debent annumerariὶ per omnes lineas
Gm fluant omnia Quadrata plana describent quibus solidum ex ductu plani Quadrati A F in planum quadratum A ingenitum constat , solidumque ipsum quod Cubus esto constituere concipientur non quod quadratis illis planis indivisibilibus solis solidum constari possit, ut aliqui contra saniorem Philosophiam sibi persuadent sed ita dicitur exilii, otici, quemadmodum dici solet planum, verbi gratia Α F constare lineis rectis parallelis G M per omnia puncta rectae lineae Ara ductis & recta ipsa A B constare punctis omnibus suis non quod sola Indiuisibilia sne partibus quantitatis interpolatis illam componant i sed quia nihil nisi punctum Indiuisibile in ea possit sigillatim assignari, determinari, non autem pars aliqua certa,
quae alias plures infinitas non contineat,ac ex quibus non componatur. Ita igitur Solidum ex Quadrato A F in Quadratumam ductogenitum , dicitur constare Quadratis infinitis, qua singulae lineae G M in G N ductae efformant, ut partes etiam quantitatis licet indeterminate mediae inter Quadrata singula intercipiantur. Sed de
74쪽
Et Promotum Examen si didratura
his susus disserendi non est locus cum hic sufficiat Solidorum , de quibus agitur,generationem per ductum linearum, omissis partibus,reete concipere. Atque hoc Solidum est primum illorum quinque, quae hic
Secundum Solidum est , quod constat rectangulis LGI, duetis enim lineis omnibus Gi in lineas omnes G P singulis in singulas, fiunt rectangulari quibus constare dici debet Solidum ex superficie Parabolica A BI C in Parabolicam alteram superficiem B AI usu
alterne positam ducta constitutum Quod non alia eget expositione, quam ea, quae proxime allataest ad Solidi primi generationem concipiendam. Tertium Solidum fit ex rectangulis Gor quae, si omnia sumantur,eGrmant Solidum quod ex Triangulo B AC in riangulum AB D sub-alternum ducto constituitur Patet ex dictis Corporis illius procreatio. Quartum Solidum conflatur ex rectangulis DG Δ quorum latus unum PGest media proportionalis inter duas G Κ&GH: alterum Gis est media item proeortionalis inter duas O, GI. Caeterlim Solidum huiusmodi, irregulari quadam superficie circunscripta lineis rectis A B, A C reliquae, quae ducuntur iri curua, quae per puncta in singulis lineis G M inuenta agitur ducta; in altera item irregularem superficiem sub-alternam;quam cum lineis rectis B A, B D, curua peria transiens continet, generatur. Quod quidem Solidum ad Quadraturam hanc, de qua agitur, nihil tere confert confert tamen aliquid ad ordinem quinque illorum Solidorum recite statuendum: quo statu iam nulla ulterius eius mentio facienda venit.
Quintum & vltimum Solidum constat rectangulis HGI oritur ex ductu irregularis superficiei sinuam duae rectae lineae A B, Ac,ri curua Parabolica GH B circumscribunt in sub-alternam item irregularem superficiem rectis B A, B Duein Parabola AID comprehensam. Cuius Solidi generatio ex omnibus rectangulis G I eodem modo se habet, quo productio vel Solidi primi ex Quadrato AF in Quadratum A D ducto geniti;vel reliquorum ex assignatis superficiebus in sub-alternas ductis procreatorum. Ex quibus ita declaratis, constat quomodo ex quinque rectangulis illis M GN, LGP, Κ GD, G Δ, H GI continue proportionalibus efformentur quinque solida vi ex quibus superficiebus in subalter . nas ductis enascantur. Quod erat propositum.
75쪽
Constat, haec quinque solida, quorum singula proxime determinaui, totidem rectangulis constari.Nam lineat omnes M Gm, quae ad omnia Axis A puncta ducuntur, continent latera rectangulorum quinque quorum numquodque pertir-- numquodque Solidorum quinque. Quot ergo rectangulis constabit unum aliquod eorum Solidorum tot rectangulis reliqua constare necesse est. Quod si ea Solida plano se centur aliqui, ad quod axis A B sit perpendicularis, quale foret planum super linea, G perpendiculariter erectum ad planum subiectum DF, siue basiis communem Solidorum: partcsomnium Solidorum ab co plano abscissae, pari numero rectangulo ruin propter eandem rationem constabunt. Nam lineae omnes,quae ad axis partis A G, vel GAE abscissae puncta duci possunt , rectangula quinque singulae continent: quorum numquodque sibi vendicant singula illa quinque Solida. Ad haec constat Solidum primum quantitates continere, rectangula scilicet , vel quantitatibus constares quarum singulae eandem rationem habeant ad singulas quantitates, quas continet, vel quibus constat Solidum secundum , quam habent hae quantitates olidum secundum constituentes ad quantitates quibus constituitur Solidum tertium δε sic deinceps de quarto, quinto Solido dicendum est. Cum enim rectangulorum quinque latera contineat linea quaelibet ad axc perpendicularis eaque rectangula sint continue proportionalia: reiit dicetur Solidum primum continere rectangula,quae ad rectangula quibus constat Solidum secundum eandem rationem habens quam haae rectangula obseruant,ad rectangula Solidum tertium constitueritia. Et si alioqui unius rectangulorum quinque seriei ratio, specie disserat a ratione , quam alia quaelibet series quinque rectangulorum obscruat. Quod non tantum Solidis integris conuenit sed etiam eorum partibus, quae planis abscinduntur ad axem Amrectis, ut propter eandem rationem manifestum est.
pROPOSITIO XXIII. Problima. PArabolam describere per puncta A m eiusdem sche
matis transeuntem cuius latus rectum Sit A B Axis ve
torii tecta RV bisecans in R perpendiculariter ipsam AB.
76쪽
onstructio. In recta MV, quaeaxis Parabolae describendae supponituri suma tur Ret aequalis semissi rechar Ra, siue quartae parti totius lateris recti. B. Tum posito puncto divertice Parabolae, describatur ipsa Parabola per tria puncta A, Z, Bis quod absoluetur aliquo ex traditis modis vel ab Authore Cyclometriae Libro de Paris vel a Mydorgio, vel ab aliis passim. Dico Parabolae sic descriptae Latus rectum esse AB.
Cum in descripta Parabola , posita sit sagitta Ra aequali semissi ordinatim Applicatae A R erunt tres lineae Al. R, Ret continuEproportionales.Est siquidem Assi dupla Applicatae A Ra haec vero ex constructione est dupla sagittae R Z. Ergo Quadratum Applicatae Aa est aequale rectangulo , sagitta ΖΛ linea Ara comprehenso Sed idem Quadratum applicatae A R est aequale rectangulo , quod
sagitta RZ, Latus rectum Parabolae AZB comprehendunt, per Prop. D. Lib. I. Apollonij ergo eiusdem Parabolae Latus rectum est B. Parabolam igitur descripsimus per Aia transeuntem , cuius Latus rectum sit AB. Quod erat faciendum.
PROPOSITIO XXIV. Norema. Solidum, quod eneratur ex ductu trianguli mixti rectis B, AC dclinea Parabolica Cm B comprehensi, in
triangulum mixtum priori sub alternum rectis B A, B D,
ωlinea Parabolica AID comprehensum aequale est Soli-
77쪽
s Liber L Confirmatum,do, quod generatur ex segmento Parabolico A Z, B comprehenso linea Parabolica A Zi,in rectara B, in seipsum
Huius Theorematis subtilissimi veritas demonstratur ab eius primo inuentore Cyclometra nostro Lib. o. Oper. Geom. Prop. a. Ad cuius probationem, cum plura requirantur quam hoc nostrum institutum ferat Ipsum consule, cum libuerit hic satis est, ut Propositum conceperis, memoriaeque commendes:nec omittas quae in scholio Propostionis sequentis 13. obseruo.
Ex ea, quam nunquam satis laudatus Author, affert Propositionis huius demonstratione colligitur, ductas duas quaslibet lineas ad Axemini perpendiculares cuiusmodi sunt MG N, VRZjabscindere ex segmento Parabolico AZB, portionem quandam Gin ZR: quae in se ducta Solidum generat aequale Solido, quod portio mixti trianguli Axm H B, ab eisdem lineis parallelis M G N, UR Z intercepta , si ducatur in portionem alterius mixti trianguli A DII A ab eisdem parallelis interceptam quae est Gaa Rὶ generat. Eadem enim demonstratio partibus quibus ibet a quihusibet duabus paralleli, interceptis, aeque ac toti segmento A AB
PROPOSITIO XXV. neorema. SI in eodem schemate centres per Aini semi-circulus describatur A Vi semi-cylindrus super hac semi-circ lari base erectus ad altitudinem Lateris recti A BParabolarum, aequalis erit Solido quod ex superficie Parabolica lineis rectis AC, A B, linea Parabolica CLLBcomprehensa in subalternam Parabolicam superficiem lineis rectis B A, B D,in linea Parabolica A PIO comprehensam ducta generatur.
78쪽
Et Promotum Examen uadraturae.
Demonstratio. Haec mira Propositio, ut pote qua aliquid circulare in aliam non circularem figuram transsermatum est, quod hactenus Geometria non praestiterat Demonstratur ab eodem per insigni Geometra Lib. IO. Oper. Geom. Prop. F. I.quam prolixa ratiocinationum serie ab eo collectam h1comittere cogimur; la contenti,quod sussicit,Pr positione allata vide tamen scholium.
Hie aliquid ei non absimile quod praecedentis Propositionis corollario obseruaui, notandum venit Nimirum si in Diagrammate duae quaecunque lineae parallelae ad Axemini ducantur perpendicul res cuiusmodi sunt G N. V R P quibus intercipiatur quaedam superficies tam circularis , ut G S V Mi quam Parabolicam L UR, WG P PR subalterne posita. Erit Cylindraceum selidum super basemixta G SI Rad altitudinem Lateris recti A B erectum, aequale Solid, quod fit, si ducatur mixta superficies Gi L R in mixtam sub alternam superficiem a P R. Eadem enim est partium quarumcunque hoc modo interceptarum probatio, quae est totius semi-cylindri, totiusque Solidi ex semi- parabolis subalternis in se ductis generati.
Ostendi Lib.3.Prop .Exam .Quadrat positis quibuscunque aequalibus Parabolis situ Ribalterno adiacentibus axi, etsi Axis pars AB inter Parabolarum vertices A& intercepta, non sit latus rectum; ut hic latus rectum esse supponitur: Si circa Axis partem illam inter vertices interceptam semi- circulus AN B describatur δε ad eius diametrum Dissiligo b c Orale
79쪽
diametrumam perpendicularis quaevis linea, G M, ducatur semicirculum secans in D, Parabolas vero in Li P. His inquam, positis offendi ita essem S ad Gi, vi est G P ad latus ructum, quod est his B. Ergo rectangulum, quod recta G4,4 Latere recto Aa continetur, est aequale rectangulo duabus lineis ordinatim applicatis GL GI contento Cum ergo, ut superilis exposui omnia rectangula LGl constituam Solidum i quod ex Paraboli CL B in Par holam BDP A subalternam duecta generatur etiam rectangula omnia lineis rectis Gram Latere recto A B contenta, Solidum conflabunt priori solido aequale conflant autem sem cylindrum, cuius basis est semi-circulus A Va,vi altitudo Latus rectum A B. In hunc omnino modum, si ostensa fuerit recta quaelibet G a Parabola Aa B abscissa esse media proportionalis inter lineas GH, G a Parabolis B H C, AID obuersis abscissas, ut mediam esse demonstrat Cyclometra loco citato Prop. 14 constat segmentum P rabolicum in se duetum , Solidum generare aequale Solido , quod fit ex Parabolis illis in se mutuo ductis, eb quod Quadrata omnium linearum Ginconssent Solidum ex segmento Parabolico AZ B in se ducto genitum rectangula vero omnia H GI singula singulis illis Quadratis aequalia constituant Solidum ex dictis obuersis Parabolis in se mutuis ducetis procreatum.
PROPOSITIO XXVI. Theorema. IN eodem Diagrammate, diuiso Axe AB in quatuor partes aequales in punctis G, R, G: per quae lineae ducantur ad Axem perpendiculares G M. RI, G M, Parabolam quidem AZ B secantes in Q Z, X rectas veris AD, BC, ino,& Κ, Dico Solidum ex portione Parabolica A Ret in se ducta
genitum,notae esse quantitatis tam continuae, quam discretae.
Solidum item, quod fit ex mixta figura lineis rectis G Q, GX, G G, lineaque Parabolica et X comprehensa, in seip
sam ducta, in iisdem notum est quantitatidus necnon S
lidum natum ex trapezio AG ducto in triangulum AR O. Ac denique Solidum ex trapezio G cx G in trapezium G O O G ducto procreatum.
80쪽
Et Promotum Examen Vuadraturae. 37
'M Memon batio. Perperam hic repetatur methodus, quam in Examine Quadraturae Lib. 1. adhibui ad horum quatuor corporum quantitatem tam continuamquam discretam inuestigandam, cum praesto habeatur opusculum illud. Quare hi solum Epilogismos reteram, quibus eorum quantitas definita ex ut paratior habeatur; cum in sequentibus ea fuerit opus. Primum ergo Solidum ex portione Parabolica AI et in in se uὐcta genitum, si circuli radius ponatura, erit iuxta Propositionem 36. Lib. 1.Examinis τοῦ Secundum Solidum ex figura mixta quadrilateram Z X Gin seducta genitum iuxta Scholium Propositionis o Examinis est Tertium autem Solidum , quod ex trapezio A CN R in triangulum A RO ducto generatur, est τ ut habetur eodem Lib. 2.Examinis Prop. 6. Quartum denique solidum ex trapezio G G in trapezium GO OG per eandem Prop. 46. est Atque his numeris ita determinatis , non tantum horum corporum ad inuicem collatorum rati, sed etiam rationum proportio facilε innotescet ad eundem cora, sequentem reuocatis rationibus. Et vero , Solidi primi H ad Solidum secundum a ratio e dem est in Integris quae est numeri si ad 1ox; si fracti reducantur
primum ad eandem denominationem, tum reductorum termini ad minimos reuocentur solique Numeratores 18α 2OL, expunctis
denominato ibus tanquam inutilibus clim ipsi Numeratores soli rationetri exprimatat factorum eiusdem denominationis in retineantur. QMAd methodo tertii Solidi ad Quartum ratio hisce terminis
PRO posIΤs, XXVII. Problema. VIam aperi mus, qua eximius Geometra ad suam circuli