장음표시 사용
121쪽
In qua ad latam a me lib. . Examinis in secundam, tertiam, a quartam a P. Gregor a Madraturas sententiam estonsio a R. F. Pranc.
'som propositi, clare diluitur , όque magis
Examen ipsum confirmatur, ac promouetur. PROPOSITIO XXX. Problema. CHEMA praepuemus ad secundae Quadraturae discuD
Constructio. Aliud non potest Diagramma ad Institutum parari aptius eo, quod in ipse Examine eiusdem Quadraturae secundae Lib. . designatum est. In eo siquidem qbseruari poterit facilius, siquid in ea discussione forte peccatum stli ex eo facilius ad obiectam a R. P. ynscom difficultatem responderi. Sic igitur sere citato Lib. 3. Exam. Propositio, nibus aliquot,ac praesertim Prop. 9 Schema designatum habetur. In recta quapiam linea A B, particulae definiantur hanc inter se rationem obseruantes censeatur neque ad exemplum ut reipsa ita se, opus est a diuisa in partes sci quarum Assi sit is , V 23 3 at V iterum 16 Tum circa B tanquam Axem Parabola describatur P AOι cuius Latus rectum, sit particula una ex partibus', di quas diuisa intelligitur A i eius autem vertex sit A. huic deinde altera Parabola obuersa desgnetur aequalis eiusdemque Lateris recti cuius Verte in puncto B statuatur Tertia denique describatur Parabola YIX caeteris aequalis, cuius idem sit Latus rectum, vi quod illis as. signatum est. Ad haec Perpuncta I, E, V lineae ordinatim ad axem
inpplicatae ducantur NID, SE F, PIO, Tum sumpta IM, aequa-
122쪽
ρ Promotum fixamenta uadratura. 99
li rectae I A, emistatur ex vertice A te in Mi quae Angulum semi- rectum ina cum axe AB constituet, ut patet Denique diuisa tota Ambifariam in C, centro C per A, B semicirculus AKR B describatur diuisa etiam AI bifariam in re, centro H describatur semicirculus Α QI. Atque haec tota tere est sehematis delineatio , quo in- posterum utendum erit.
v A E. PROPOSITIO XXXI. Probi. EXponamus in schemate proxime designato methodum, quam eximius Cyclometra ad Quadraturam suam secun dam adhibuit.
Expositio. Ne status quaestionis, quine de re agatur, te tuo cum fastidio fugiat, hanc secundamcirculi Quadrandi methodum in primis declaram ri
123쪽
ii necesse est quam licet uniuersaliter tradiderit Author Prop. 77.
Lib. bo. Oper.Geomea tamen in designato schemate est contemplanda , cum ex eo sit initum a me Examen, ut Examinis a Quadraturae fautore assumpta impugnatio. Itaque praeter allatam praecedenti Prop. detineationem duc insuper lineas duas ST, Ficonnectentes puncta in quibus Parabolae obuersae secantur a duabus Applicatis S ET PID Erit autem haec utraque
linea, aequalis,ac parallela lineae E V. Nam duae Applicatae E S, V ι illa in Parabola Sin F, haec in Parabola Τ NU; sunt aequalesve 5 quod ex constructione schematis aequaliter distent suo quaeque vertice in Parabolis aequalibus sunt enim Axis segmenta Assi, B V posita aequalia. Ergo per Prop. 33. Lib. I. Elem. duae lineae S T E V connectentes duas rectas Eri, a parallelas & aequales, aequalesac ipsae sunt, parallelae. Eodem modo aequales, parallelae erunt inter se duae TV, F L. Vtraque porro UT, DL aequalis erit rectae AP, cui ex constructione aequalis est Es his positis. Asserit Qiradraturae Author Prop. 62. Lib. o. Oper. Geom si ducatur in se Parabola AID , ut fiat Solidum i quod A deinceps appellaturus sum qucatur autem, Parabolae portio F L in se, ut fiat Solidum i quod voco Bytertio ducatur Parabolae portio F SP L in se unde nascatur Solidum illud dicito Cyac denique ducatur in te Parabola AI , unde formetur Solidum D. Rursus. Si eaedem superficies in se ducantur subaltem, ut alia fiant Solida quatuor Solidum nimirum Lex Parabola Ad D in subalternama Aci, sue quod idem est hin bucrsam A IX de Solidum F ex portione F L O in obuersam portionem P G Solidum autem G ex portione F SI L in portionem obuersam TX TI: denique Solidum H ex Parabola A IN in subalternam A X vel obuersam I AN Asserit, inquam, Author
citato loco , Solida octo ex quatuor ductibus directis, riuatuor sub- alternis genita eam habere inter se habitudinem ut proportio rationis primi Solidi A ad secundum B, ad rationem tertij Solidi C ad quar. tum D cadem sit cum proportione rationis Solidi quinti E ad Solidum sextum , ad rationem Solidi semim G ad octauum H. Haec Solida memoriae, A confusionis vitandae gratia in hac Srnopsi deinceps inriterdum consulenda intuere. Sed insuperadde ptoportionem duarum priorum rationum A B, CD vocandam imposterum XL; duarum ver posteriorum EF, G H esse nuncupandam M N Fc harum proportionum proportionalitatem PQ Ad huius porro Assertionis suae probationem Author non alio utitur Principio quam quod ex Propositione suat. Lib. i .colligitur , ut tota eius ratiocinario aperte declarat. Secundb
124쪽
Et Promtum Examen 2Badratura. IOI
Secundo Author Prop. 63. 44. Lib. Io modum attingit, quo solida illa quatuor A, B, C, D ex ductu orta directo in alia aequalia reduci possint: quae rectilinea sint, adeoque tum ipsarum quantitas, tum ratio, nota fieri possit. Quod utrumque cumulate prestiti Prop. ra. Lib. 3. Examinis. Vbi etiam rationumAB, CD proportionem
125쪽
Tertio. Idem Author reliqua quatuor Solida E F G , in quae oriuntur ex ductu subalterno eartamdem superficierum, quae in se di. recte ductae Solida quatuor priora genuerant; in alia commutari quidem posse indicat Prop. 68. Sed obiter, obscurissime. Ea ex eius mente&ad schema nostrum apposite commutaui Prop. I . Lib. 3. Examinis singulorumque quantitatem exhibui, bc simul rationes EF, G H, rationumque Proportionem M N. Quarto.concludit Idem Author Quadraturam hanc secundam dari ex eo, qu bd ostendcrit eandem esse proportionem a duarum rationum AB, CD, cum proportione M N rationum duarum EF, GH:
dc praeterea inubiostenderit quatuor priora Solida reduci posse ad Solida rectilinea, posteriora verδ quatuor E, F, G, H ad alia Solida
curvilinea quidem, sed curvitate circulari. Hinc enim fit velut AN gumentatur ut habeatur nota ratio cuiuspiam curvilinei ad rectilineum: quam Lectori inquirendam relinquit non sine operatione tam
prolixa aifficiliques ut mirum, nisi studiosissimus quisque Geometra tanto labori supersedeat, e6que ipso in suspicionem iam inducatur Tetragonismum hunc tantis obrutum tenebris , nec ab Authore ipse discussis, occulto cuipiam defectui obnoxium esse. Non parum Ego quidem mihi videor tantis difficultatibus attulisse lucis cum Solida
quatuor posteriora E, F, G, H, in Solida Cylindracea commutari poue demonstraui Prop. I. Lib. 3 exam quorum altitudo Latus rectum fo- et non secus quam Idem Latus rectum est altitudo Solidorum rectilineorum, in quae Solida quatuor priora A, B, C, D conuertuntur.
Hinc enim fit ut rationes, rationumque proportiones, quae alioqui in Solidis illis octo considerari deberent; in ipsis eorum basibus, longe, quam sint ipsa Solida, apertioribus; & ad Tetragpnismum hunc, qui in planis superficiebus totus versatur , accommodatioribus perpendiqueant: cum per Prop. 32. Lib. I I. Elem.&4 I. Lib. 2. eademst ratio priImatum, Cylindrorum , Cylindraceorumque, quorum eadem est altitudo; quae basium est , quibus insistunt. Quae cum ita sint eadem est iuxta Cyclometram ratio Solidi A ad Solidum B, 3bratio Solidi C ad Solidum D; quae est basis Solidi, in quod A conuersum est; ad basim Solidi ex Solido profecti. Idem dicito de basibus solidorum, in quae conuertuntus solida C, D t Idem etiam de solidotum basibus, quae in solidorum E, F G, H locum substituuntur. Ita ut omissa omni solidorum, & ad ea spectantis rationis, rationum'ue
proportioni mentione; rationum, proportionumque ad bases illas
pertinentium habitudo debeat obseruari. Iuxtii quae asseret Author Cyclometriae eandem proportionem esse duirum rationum basium
126쪽
Et Promotum Examen Ruadratura. io 3
solidorum, quae solidis A, B ecta, ex ductu simplici ortis substituta ψnis cum proportione duarum rationum , quas inter se habent bases solidorum , in quae conuersa sunt solida E,F,G, H ex ductu subalterno genita, hoc est, aequales erunt proportiones DL, αμμι iuxta Authorem , qui ex ea proportionum illarum aequalitate Quadraturam colligi posse censet. Habes hactenus paucis Iclometrae mentem, quam in Examine paulo fusius prosecutus sum ted haec ad Institutum nostrum cumulate sussiciunt, qui rudem tantum aliquam expositio. nem status quaestionis; ne qua de re agatur, quempiam fugiat, qui aliunde eius cognitionem minime haulerit, hic afferendam censui.
ΡROpOSITIO XXXII. Theorema. ADmitti nullo modo potest quadratur e Principiis
piaecedenti Propositione explicatis collecta.
Haec Propositio ipsemet est Propositio i6. 48. Lib. 3. Examinis Quadraturae nec alias ad hanc stabiliendam probationes affero ab iis diuersas, cum firmissimae sint quas ibidem adduci. Vnum illud
hic tantum videndum est. An scilicet aliquid de earum robore detractum fuerit conatu illo non equidem leui quem strenuus huius Quadraturae fautor R. P. Franc Aynscom exeruit. Verum, quo perscrutor accuratius, maturiusque perpendo, quae ab eo contra Propositionem I 6 Lib. 3. Exam citatam i Propositionis enim i8 ponderis licet grauissimi, ne mentionem quidem fecit hallata sunt , eo firmius stabilitam licet intueri hanc utramque Propositionem meam: tantumque abcst, ut a sententia decedam ut nihil mihi magis totam hanc Quadraturam in dubium vocare visum sit. Quod ne gratis dictum, fictumque censeatur , rem ipsam mecum paulisper contemplari ne
Quadraturam suam secundam, de qua nunc agitur, ex eo absolui censet Author; quod Propositione 61 ostenderit prouortionem Lrationum A B, CD quarum termini nunc, ut paulo ante exposui,
censeri debent bases solidorum aequalium solidis ex ductu simplici planorum in schemate superius designatorum procreatis haequalem esse proportioni m duarum rationum EF, G H quarum etiam termini bases sunt solidorum solidis ex ductu subalterno genitis substitutorum. At duas illas proportiones L&M N inaequales esse euidenter produnt multiplices Epilogismi in Examine non sine cura,
operaque grauissima collem Ex quibus quid aliud a trie statui potuit
127쪽
tum in Examine Prop. I 6 Lib. . tum hae 31 quam totam Quadra isturam sol aequalitati proportionum Κα, αμ nixam stare nopposse.
Deinde Propositione i8. Lib. 3. Exam, alia euidentissima ratiocinatione ostendi, etsi Cyclometrae concederetur duplicem illam proportionem KL, rationum Aa, V D; proportionem di, rationum EF, dc G H, aequalem esse. non hinc tamen secuturum ora tiones ipsae specificae innotescerentri cum rationes infinitae diuersae speciei possint exbiberi, quibus tamen eadem competat propositio. Attamen ad Quadraturam necessarium omnino est, ut ipsae rationes DF, G H hoportionem findantes cognoscantur ut ex ipsarum terminis inter se comparatis quidpiam comperiatur rectilineum quod ad curvilineum rationem habeat notam, & eorum alterum in alterius sermam possit conuerti. Possiim hic etiam Argumentum ad hanc confirmandam Propositionem grauissimum ex eo deducere quod Cyclometriae Author nancaequalitatem proportionum L&MN colligate Prop. sua: 8. Lib. io Derquam rationum speete diuersarum termini vari adduntur conflatamque rationem, ut ostensum est superius conniam, ignotamque exhibent, iamque ad eius cognitionem assequendam praecludunt omnem. Quod si ex Additione terminorum ad rationes simplices pertinentium perturbatio huiusmodi, confusioque rationum
consequatur, quid in earumdem ita contusarum rationum proportionibus euenturum censeri debet,
Haec si vera sunt falsa esse non potest nec mea haec Propositio,nee Propositio is Lib. 3. Examinis, siue etiam Prop. 8 eiusdem Librii adeoque secunda Authoris uadratura in discrimine versatur aperistissimo Versiis, illam ab eo liberasse sibi visus est eius Propugnator R. P. Aynseo in ea , quam ad citatam Propositionem 6 Lib. 3. Examinis, responsionem exhibuit: quae hic primo reterenda, tum perpendenda est , ut suus veritati, quae sola ab utroque nostrum per- uestigatur, saluus sit locus. In hunc igitur modum dictam Propositionem 6 Lib. 3. Exam quaecum hac eaeem est, aggreditur in Responsionibus quas ad Propositionem . Quadraturae secundae Pag. Istr.
128쪽
Et Promotum Examen uadratur, . ii squalitas illapraporitonum XL o M siue proportionalitatis Podi νιν sit, ut melius intelligatur.
Aduertendum est, in quo ducrus plani in planum, ex quo Author sua firmat Solida, diferat a multiplicatione numeriper inmerum, quo locotianorum supponuntur, t productus ex ilia numerussolidum exhibeat. Nimirum in hoc dissere: quod Authoris ductus ita dependeat a gura se tulim
129쪽
norum, qua inuicem ducuntur ue Lalterutro mutato, alvi mole diaerissum Apriori oriatursolidum: Aιυen, ijdem numeri quomodocunque inuicem ducti, idemsemperproducant, quod exemplissi ostendo eo primo quiadem in eo ductu, in qu iademseruat figura solus mutatvrsitus.υ triangulum AIM. Illud Ego in schemate nostro assigno in hae ductum inseordinate,producitnramidem duplam eius Dramidis , qua oritur ex ductu eiusdem trianguli ius abalieme dacti. Sit ergo idem triangulum IM
ioo expressum tunestae in se ordinate . siue subalterne ducatur, cumstus eius Pantitatem numero ico expressam non mutet, eundem, meram semper producet. Alia ibidem Exempla subiicit ad mutationem tum situs tum figuriae pertinentia quibus hanc Solidorum quae ex ductu planorum, numerorum generantur odiuersitatem , inaequalitatem ostendat sed pluribus in re clarissima; quae a nemine ductus planorum , numerorumque multiplicationis non omnino rudi in dubium reuocari potest, opus non est: hanc admitto amplectorque veritatem. Quid porro ex ea ita admissa, supposita contra hanc meam Propositionem I 6 Lib. 3. Examinis item meam colligi potest 3 En quid colligi censeat. R. P. Aynscom , dum in haec verba suam ad meum illud Adigumentum ex Inaequalitate Proportionum D dc MN petitum, ReL
ponsionem concludit. Secunda est maxima ausa inaequalitatis primam eius causam leuiter, pro eo ac meretur,attigit , quam inanem euidenter in Examine ostendi) proportionum Lo a Nisiue termisorum P ct Iroportionalitatis earum , es, quod P. Leotaudus quantitates arearum , quibus constant piana I ex quorum ductu sua format corpora, tantiis considerarit; numeroTque,quibi istas expresserat, instipses, vel in alios iuxta conferas Arit,. metiea leges riverit, nulta habita rationeinplerisque figura aut situs planorum a qui .lmen ita dependet Authoris ductus, ut alteruore mutas aliudplane est mole diure in oriatur Solidum, ut ante demonstraui. Vnae m3rum non est, quοί tauta inaequalitas inter orportiones et est MN,sκ terminos proportionilitatis P erita eperiatur eam in ducti seia singulis, ex quibus Octo Pasolida nata suur, peccatumsit. Nihil igitur c-tra Auadraturas uicis P. Leotaudi Examen.
Haec citato loco R. P. Aynscom non tam Quadraturae quam veritatis tuendae studio proposuit quo etiam uno ductum me, etiam atque etiam velim in animum inducant Geometrae,i Examen Quadraturarum alas instituisse & nunc denuo eiusdem Examinis confirmationes aduersus obiectas dissicultates suscenisse ut scilicet e tam
obscuris tot dissicultatum tenebris, quibus hoc de circulo Quadrando Proble
130쪽
Et Promotum Examen labaturae o
Problema omnium totius Geometriae cel ebc rimum obruitur, clarius tandem emicet, dca candidi, vel itatis cultoribu Sic agnoscatu ε propugnctura siue ea partibus stet Quadraturae quod votis omnibus
exoptarem' siue ab ea quod pertimesco in sit aliena id porto videndum nunc st. Ac in primis quemadmodum huius Quadraturae secundae Examen Libro . a me initum, a R. P. Aynlcom non lectum esse asserere non pollum rata , minime, aut valde leuitcr esse perpensum , adducor ut credam in rc dam etiam hanc contra Epilogismos a me aduci su Myadratio an collectos responsioncm , haud quaquam Quadiaturae Ruthori R P. Gegorio fuisse priusquam ederetur communicatam adcofacili, 8 expcdua a me , a quouis alio, qui Examini mei Librum 3. perlegisset, responsio danda videri poterat , uno quippe sic re verbo comprehensa Encipiam ulla est a me numerorum inita multipli catio tota Propositioni i6 Libri 3 probatione , quae Solidis ex Driorum planorum doctu genitis apprime non conueniat, eorumque Veram quantitatem non exprimat. Quo proinde fiat, ut inaequalitas illa proportionum KL&M non numerorum multiplicationi, sed ipsi Solidis , quorum rationes eandem non seruant proportionem, accepta reserenda sit. Quod eo maiori cum libertate asserere mihi licet , quo magis cuilibet praesto sunt tabulae , quibus probari possit AD sertio mea : neque enim nisi his prolatis fidem mihi adhiberi Volo. Consulat quisquis hac de re certior fieri expcti crit, Epilogismos citato libro . Examinis a me collectos, quibus Solida illa octo exprimunt ut , Ipse sibi non sine voluptate , ut spero satisfacturus est. Atque haec, breui licet, Responsio obiecti a R. P. Ayn scom plus quam satis
debet satistacere. Verum, ut Geonactram, critatis studiosum, in hac praesertim tam celebri, tamque agitata materia, omni labore leuem ι quem in expendendis ratiocinationibus mei suscipere ipsi incumbe. ret: dc ut quaestionem hanc ita dii imam se nulla sita suerit, in posterum de ea dubitandi occasio reliqua sat vcstigia post modii rursus teram; quibus Libro . Examinis institi, numerosque meos cum Solidis ex ductu planorum genitis conseram. Ad quae antequam v nio, lubet paucis velitari. Ac primo Mirari satis nequeo erndito Geometrae R. P Francisco
Aynscom postquam asseruisset In ductibi fer ingulis exquibi octo
illa Solida nata sunt, a me peccatum esse, in mentem minime venisse
illud Sereni Effatum celebre, quod Ipse alias mersennianam illam Quadraturae censuram retellens, ad rem aptissime proposuit Nimiarum Absurdum esse Geometras de Problemate Geometrico sine Demonstra in x rione