장음표시 사용
111쪽
definiri cum trobique conditiones pares forent. A quo porro in Examine citata Prop. o. tertiam illam rationem exigebam in quo cxpectabam 3 ab Authore nimirum , si disti ultates in Examine pro . positas responsione dignas censuisset aut certe a quocunque, qui eius loco Quadraturam eius tuendam susciperet ut suscepit tanto Praece prore dignissimus Auditor R. P. Aynsco m. Quid ergo Is non exhibuit, cum tam Pacile, ut asserit, crispatia hγperbolica posse cxhiberi Quod Ego quidem Argumentum tanti apud omnes ponderis futurum
reor ut Tetragonismus non ante secticem exitum assecutus censeri possit, cili caeterae omnes dissi ultates solutae forent, quam huic fuerit satisfactum Quare ex hoc etiam manifesta cst Propositionis meae veritas. Vt erat quinto demonstrandum. Anacephalesu.
Vt quae paulo fusilis ad praecedentis Propositionis probationcm
prolecutus sum paucioribus collecta uno lub aspectu constituam; quo , cuius sint momenti simul unita pateat euidenti iis quo etiam difficultates, quas hoc Quadraturae genus patitur,ac facilius occurrant, qui eius patrocinium de nouo statuerit suscipere en ut se habeant. Primo , ostendi Tertiam rationem ad Tetragonismum necessariam minime ab Authorc fuisse exhibitam , uti exhiberi in terminis debuerat, ut ad exitum perduista iure dici posset Quadratura. Cur tamen exhibitam censuerit Author per solam, quam iniit ratiocinationem ad probationem Propositionis si tae non inanis a me allata est coniectura in scholio demonstrationis quartae. Secundo Gemonstratum asserui eandem rationem tertiam censeri non exhibitam ab interprete, eodcmquc fautore huius Quadraturae qui eius rationis cognitionem ex spatiis hyperbolicis tacite Geduci pol. se pronunciare contentus; interminis ipsam non deduxit, te suscepto patrocinij munere post impetitam a variis hanc Quadraturam deducere Ipse maxime tenebatur si absolutam concedi vellet Qua
Tertio Euidentcrostendi non modo non tacite tertiam illam rationem ex spatiis hyperbolicis innotcscere posses Sed ne possibile qui dem esse , ut eo modo cognolcatur. Idemque duplici confirmatione apertissima stabilivi. Quarto , Ex ratiocinationis, qua Author Prop. demonstiat
notam cilest ri iam rationem, contextu iuxta Interprctis expositionem accepto collegi ratiocinationem totam nutare , nec sibi constare posse;cum continentiae illius rationum, de qua tot lites exortae, fgnificatio in ipso aliter de aliter sumatur Vnde tollitur omnis conle- qcten Dig
112쪽
Et Promotum Examen si uadratura I,
quentiarum ad discursum necessaria connexio, odependentia. Quinto denique, tertiam eandem rationem a Quadraturae Inter . prete minime notam factam esse , nec etiam notam neri potuisse merito pronunclauio eo quod Quaestioni simili, omni bsisque seruatis conditionibus a me innumeris propositae non tantum non satisfecerit sed ne eius meminerit quidem etsi a quouis, qui eam rationem tertiam notam esse contenderet, etiam atque etiam exegissem in Ex minis Propositione o ut eam adduceret neque eam Geometras , si
apud Ipsos saluum vellet hunc Tetragonismum, latere pateretur. Αtque ea fere sunt capita alia Aliis fortasse occurrent j quae hanc primam sum Geometrae R. P. Greg'rij a S. vincentio Quadraturam in dubium vocare mihi visa sunt cum satis euidenter Propositionem superiorem , unde tota haec Quadratura pendet, demonstrare videantur. Seholium primum.
Quod si nihilo minus quemplam in posterum incessat voluntas Quadraturam hanc ex iisdem Principiis vel tuendi , vel exponendi; suadeo ut quam superius obiter indicaui semitam sequatur longe tum simpliciorem , tum compendiosiorem: quam hic praestat paulo pluribus ex Instituto declarare.
Os ensium staqui p. quinque rectangula , quae ex se.
gmentis cuiusuis lineae, GN Diagrammatis constituuntur esse continue proportionalia. Ea sunt, ut memoriam eorum refricem,
Ex his deinde rectangulis omissis rectangulo G Δ ad haec inutili xso I id nascuntur i ex diuersis superficiebus in alias ductis, ut citata Prop. declaratum est. Ad haec comparata sunt tria solida; quae ex planis ad axis Assi segmentum A R. adiacentibus ductis generiatur Lad alia tria solida, quae generantur ex planis ad eiusdem axis AB segmentum G G segmento Aa aequale terminatis facta comparatione solido rum homologorum , quae unico charactere sunt singula designata puttabella Prop. et . constructat hic repetita, repraesentat. Denique, ostensum est rationem solidi A ad solidum B rationibus partialibus
constitui duplicatis rationum partialium rationem C ad D constituentium rictit&hae partiales rationem C ad D constituentes duplicatae sunt rationum partisium rationem tertiam Ead F constituentium. Quae omnia ex citato loco, ubi susus exponuntur, repetita sunt. Iam velo, chira rationes illae partiales, rationes sint rectangulorum sibi correspondentium duplicationem inter se onseruantes eadelmque re
ctangula ex segmentis unim cuiusque lineae M GN inter se collata, eandem
113쪽
eandem multiplicationem sue duplicationem observent rationeshabebuntur totales solidorum ex illis proportionalibus rectangulis genitorum, quae toties per multiplicationem alias totales continebunt iuxta sensum Auctoris Quadraturae4 quoties hae continebunt tertias Rem ob oculos ih diagrammate constituo.
Rectangula quinque HGI ,r Go,ΚGO, LGP,MGN sunt continue proportionalia. Ergo rectangulum Κ GD ad rectangulum MGN, rationem habet duplicatam rationis rectanguli LGP ad idem rectangulum M GN. Ratio vero rectanguli G ad rectangulum idem GN, erit triplicata rationis re fianguli LGP ad idem M G N. Denique , rectangulum H a rationem habebit ad rectangulum M GN, quadruplicatam rationis, quamhabet rectangulum L GP ad idem G siue duplicatam rationis , quam habet rectangulum KGO ad Reet M GN. Quae omnia constant ex proprietate Progressoriis Geometr:cae, quam obseruant haec quinque rectangula Proportionali Cum ergo , Quaecunque ducatur di ara , camiati
114쪽
Et Promotum examen uadratura i
num, quas rectangula obseruant, multiplicationem fieri contingati fiant autem ex rectangulis omnibus ad eadem segmenta linearum MG pertinentibus solides; quae ex superficiemis ad totum axem AB terminatis in alias sibi respondentes duetis, generantur patet rati ne solidorum illorum totales continere alias aliorum Solidorum iuxta
dictas multiplicationes V ratio Solidi quod fit ex superficie mixta BACH ducta inmixtam superficiem ABDI subalterne politam , siue Solidi,quod fit ex segmeto Parabolico AQZXB in sic ducto hoc enim illi esse aequale declaratum est Prop. 1 . ad Iiduex Quadrato A in Quadratum m ducto genitum , rationibus constituitur partialibus toties duplicatis rationum partialiti quibus constiti. itur ratio Solidi ex triangulo rectangulo ABC in subalternum BAD ducto geniti, ad Solieum c Quadrato Aa in Quadratum A D ducto genitum Ratio vero haec siccunda Solidi ex triangulis subal emis nati, ad Solidum ex Quadratis ortum constituitur ex rationibus partialibus , quae duplicatae sunt rationum partialiumci quibus constituitur ratio totalis Solidi ex Parabolica superficie ACLBin Parabolicam superficiem sub alternam B APDducta geniti ad solidum ex Quadratis AF, AD in seductis
Haec cum ita sint. Cum prima ratio totalis Solidi ex segmento Parabolico a B in se ducto geniti ad Solidum ex Quadrato A F in Quadratum AD ducto genitum et ratio secunda Solidi ex triangulo A BC in triangulum subalternum ducto procreati ad Solidum ex Quadratis A F, A mortum notae sint i haud dubie, si vera fuissent
Principia ab eximio Cyclometra constituta, nota haberetur tertia ratio Solidi ex parabola ACL in Parabolam subalternam BAPD ducta geniti, ad solidum ex Quadrato AF in Quadratum D ducto prinereatum Rubisi horum solidorum ratio nota fieri posset nota conti tui, rei ratio semicirculi A VI ad Quadratum A F. Nam Solidum ex Parabola ACLB in Parabolam subalternam B AI D , aequale est semi ci lyndro, cuius basis est semicirculus A V S altitudo vero est AB, ut Prop. 11. declaratum est , Solidum vero ex Quadratis or- t. in est cubus lineae Aa ergo eiusdem altitudinis cum semi-cilyndro Ergo ita sic habet semi cilyndrus adcubum, ut basissem i. ci lyndri nempe semi circuli1 AVBad basim cubi, siue Quadracum AF per
Ex quibus colligitur, si Ars haberi posset, qua ex datis duabus rationibus totalibus prima, secnnda, post siue illa rationum parti
litim rationes totales constantium atque-multiplicatione, ratio tertia totalis nota fieret tunc eam artem usui ruturam non tantum cum
115쪽
integrae superficies ad totum axemam adiacentes, rectuque duabus CE, FD interceptae in se mutuo ducuntur; tertiaque ratio, quaera quiritur, est ratio totius semicirculi A B ad totum Quadratum AR Verum etiam, si ducantur superficies duabus quibusvis lineis ad axem perpendicularibus interceptae eadem enim in utroque casu fieret demonstrario. Vt ductis duabus parallelis GN.MGN haberetur rasetio tertia mixtae quadrilaterae superficie G SN G ad rectangulum G M ex duabus notis rationibus prima decunda. Illa est ratio Sol id
ex superficie G QFG in se ducta geniti ad Solidum ex rectangino G M in se ducto genitum: haec vero e st ratio selidi ex trapeato G Gin trapezium ducto procreati, ad solidum rursus ex rectrangulo G in se ducto genitum. Et ita de caeteris rationibus, quas intersea, solida, quae ex superficiebus, quas duae quaelibet rectae linea ad perpendiculares intercipiunt, in se mutuo ductis generantur. Atque ex his, quod initio asserui, manifestum est. Quam breuior nempe seret, simpliciorque methodus tertiam illam rationem agnotam inuestigandi hoc modo inita, methodo a Quadraturae Author et raditari quam miror a tanto Geomctra non obseruatam fuisse se, Lectoremque suum non mediocri sine labore, quem tam multiplex planorum ductus creat liberasi et jec non planius fortasse comperisset, quod in hac sua prima Quadratura subesset errandi periculum.
Scolium secundum. Hactenus satis multa a me huc adducta sunt, quae latae in Quadraturam primam Libro x. Examinis sententiae aequitatem probare via deantur. Aliquid tamen adhuc non- nemo sertasse desideret,ut lis haec
tota composita censeri possit. Quid illud me scilicet iis, quae a R. P. Ayn scom in responsione ad Examen eiusdem primae Quadraturae allata sunt, quidpiam reponam. Itaque quamquam ex dictis egregio Quadraturae huius fautori cumulate satisfieri queat paucis tamen plenius adhuc faciam satis. Obseruauit R. P. Arn om nec ego quidem dissentio, quaeccinera primam Authoris Quadraturam a me allata sunt, ad tria potissimum capita reuocari posse. Ac primo quidem assero triplicem sensum , quo una ratio alteram continere quando Author hoc loquendi modo usus est dici potest quae recte intellecta continentian amentum est;cui nititur tertiae illius ad Quadraturam tam necessario rationis inuestigatio. Clim igitur asseruit Author rationem primam Solidi A ad Solidum B, toties continere secundam Solidi C ad Solidum Da quoties haec continet tertiam Solidi E ad Soli luma siue ouacilitantis circuli
116쪽
pronunclaui Sensus enim illius Propositionis,vel est ut dicantnr tres illa rationes continue proportionales simpliciter, absolute , vel ut sint proportionales secundum multiplicationem ala scilicet, ut prima ratio AB toties sit multiplicata secundae CD, quoties haec multiplicat c tertiae EF. qui sensus a priore diuersissimus est, ut ex duplici continentiae genere constat, quod Lib. i. Examinis Prop. 24. exposui. Vel denique ita dicatur prima ratio toties continere secundam, quoties haec continet tertiam Deo quis prima rationibus partialibus
constituatur toties multiplicatis rationum partialium rationem secumdam constituentium quoties hae partiales rationem secundam com stituentes, multiplicatae sunt rationum partialium rationem tertiam constituentium, ita semper intellecta constitutione illa, ut fert Propo, sitio 8. Libri io per Geom. Prop. . superior explicata Quem Ego triplicem sensum continentiae rationum mutuae ex Ipsius Autho-xis Quadraturae verbis, quibus variis in locis usus est dum de eat queretur , studiose collegis ut quo tandem ex illis intelligi deberet, e M 3 venarem
117쪽
venare , cum Prop. 44. Lib. I in asserit rationem securHam continere tertiam, quoties prima ipsam secundam continet enim sensibus tribus uno aliquo intelligi necesse est,clim nulluagnoscat Ipse, nec Ipsi agnouerint duo eius Interpretes R. P. sus de Sarasa 5 R. P. Ayns com nec alius praeter hos excogitari Ivideatur. Atque hoc est primum ex tribus illis Capitibus, qui ma: Quadraturae Examen meum contineri monuit R. P. Aymmo Secundum autem Caput in eo constituit. Idem Quadratura: Interis pres, quod reiecerim tanquam absurdum i ut absurdum vere est de vi absurdum Ipsemet reiicit rationem illam tertiam Ead F,essedu bus rationibus A ad B, ad D tertiam proportionalem quod inse. per amplexus sim secundum mutuae rationum continentiae sensum paulo ante declaratum, quo asseritur prima ratio A ad B, toties esse multiplicata rationis secundae Gad D quoties haec C ad D multipIiscata est tertiae rationis E ad F. hunc sensum quomodo amplectar, mon
Tertium Caput nihil aliud continet, qua quoLauseruerim exa tionibus partialibus aeque - multiplicatis, quibus rationes tres totales AB, CD, Ex constitiumtur, nihil colligi, unde tertia ratio EF ignota ex duabus notis AB D innotestere possit. Ad duo haec Capita paucis luci satis crita quidem ad posterius. Nili. t verius, quam me asseruisse rationes partiales quibus tres rati nec B, CD, EF constituuntur seruata singularum illa aeque-multiplidatione superius explicata ad tertiam rationem EF ignotam inii itigandam inutiles plance ira Cm enim numero sint infinitae cum sint omnes dissimiles, illas tramndi artem quis norit 3 quis nosse possit 3 cc vero quidquam ex illis coge tipse Quadraturae Propugh tor R. P. Ayn scom, quo tertia haec ratio D innotescat quidpiam tamen ex his colligi posse innuere videtur in responsione ad huius Quadraturae Examen a me Institutum ueri modo applicentor ad hypemo lica spatia. At cum spatia huiusmodi ad dicti rationis cognitionem assequendam plane inepta demonstrarim superius iec leui coniectu.raductus ostendlarim non satis constiue an Ipse Quadraturae 3- ,rde hac eorum secvitate in Propositionis probatione quam re, cogitarit nee demum ab eiusdem Quadraturae fautore cognitio illius rationis ex iis deducta sit, sed fasile deduei posse tantum oesserta quod facti inpossibile euidciat et deinde demonstraui: Quid tans mad Instit m exlnhismodi partialium rationum aeque-mul ipncise posse sperandum est,
118쪽
CD toties continere tertiam EF quoties prima x continet ipsam secundam CD ad nequeat ita intelligi , vi tertia ratiota sit duabus AB, &CD proportionalis; neque etiam ex rationum partialium aeque multiplicatione tertia illa ratio EF deduci possit non mirum
si continuo asserui continentiam illam rationum ita ab Authore necessario intelligi, vi velit rationem ecundam toties esse tertiae gn e multiplicatam,quoties prima secundae multiplicata est Quod erat ab ru caput, si enim triplicitantum sensu, ut exposui,continentiam illam rationum intelligi necesse est, duobus euidenter exclusis quid restat, nisi ut tertius necessario admittatur, c iuxta eum Authoris Propositio expendatur quod si ex eo etiam sensu absurdi aliquid contigerit
ut reuera contingere mihi videor ostendi use clim partem tot aequalem esse collegi Prop. 8. Lib. 1. Examinis ,)quid tunc euidentius esse potest , quam huiusmodi Ouadratura methodum vitio non carere cum quocunque modo intestigatur Author quando suam Ipse mentem non exposuit aliquid semper absurdi incurratur Neque ver,debuit ex eo quod susus expendissem an reuera ex tertia ratione ita definita, ut eius toties multiplicata foret secunda, quoties secundam prima multiplicasset Ἐκ eo , inquam , non debilitR P Ayn scompronunciare uadraturam hanc a me non mod non laesam sinuod equidem Ego ex animo cuperem' sed ne petitam quidem, siue nequidem ponderatam cum Aut horis sensus longe alius fuerit. Fusius omninδ, de plus quam dici potcst operosias expendi;
a tertia ratio illa per aeque multiplicationem rationum totanum reperta, forct huiusmodi; ut ex cadeduci tuto possici Quadratura. id enim si brevilis tractationem expediri non paterct r tot planorum ductus tot ex ductibus ortorum solidorum corin p.ratim, ut tandem praecisae eorum rationes haberentur Quid si is sensus unicus, reliquis duobus ob absurda consequentia reiectis, censeri poterat Authoris: nunquid accuratius pluribiisque expendendus mihi erat me me latere dici potuit ille mutuae rationum continentiae sensus; quo rationes partiales singulae rationem primam constituentes, dicuntu toties multiplicatae singularum rationum rationem secundam constituentium: quoties hae rationes multiplicant rationes rationem tertiam constituentes secundum Prop. 8. Lib. Io. Oper. Ge om quem Aut horis sensum fuisse asserit eius Interpres clan eas partiales omnc rationes, ear imque aeque- multiplicationem aperte reiecerim ipsonae In tot
prete teste in ad calcem Prop. 1 o. Lib. 1. Examinis subquestus sim in R. P. Alphon sum de Sarasa quod post admissas rationes illas partiales aeque-multiplicatas, non ostendisset, quomodo earum ope colligi
119쪽
losset tertia totalis ratio ignota. Me tamen latuisse fateor, idque non emel hactenus consessus se , continentiam illam rationum, siue totalium i quae praeter aeque multiplicationem earum exigit aeque. multiplicitatem, quae ope spatiorum hyperbolicorum definitur ι ex ea tacite deduci ait Quadraturae huius fautor tertiam rationem ad Quadraturae necessariam. Sed haec spatia hyperbolica iam supra pliquam satis a me sunt agitata, & longius, ut ad hoc inutilia, amand Ad id porro, quod R.P.Aynscom obiicit contra Assertionem, a dixi Prop. 47. Lib. 1. Exam propositis quantitatibus quinque x, B, C, D, E continue Proportionalibus .eisque velut Antecedentibus e dem consequente G attributo feri rationem A G duplicata rationis CG hanc vero C G, duplicatam etiam esse rationis DG t non. nihil reponendum videtur. Obiicit ergo falsum id esses, Qver5 de
monstrat Unde colligit sententiam a me latam contra hanc primam Quadraturam aequam esse non posse. Respondeo primo.Cum eximius Geometra iam asseruisset me a sensu Quadratu Authoris
A, B, C, D, EG, G, G G, Gab errasses; non potuisse eum si quid viiij in
ratiocinatione secundum falsum sensum instituta commissum si Lex eo nouum Argumentum haurire, quo ostendat male impetitam esse Quadraturam neque enim illam vitium huiusmodi aliquo modo alimgit, cum in alieno sensu ratiocinatio tota versetur. Respondeo secundo cautius quidem locuturum sui me meu si non rationem A a rationis CG 8crationem C G, rationis DG duplicatam asseruissem sed proportionem rationum G in duplicatam esse pro portionis rationum C G&EG sicut rursu proportionem ratio,
num C G, EG duplicatam proportionis rationum D Gac EG i& ad eam suppostione in terminos rationum, quas pilogismis meis;
determinaui, reduxissem scopum a me intentum assecuturos , ut promptum foret declaraieci scd quam promptum , tam foret inutile.
cum Quaestionis status longe alius ab huius Quadraturae intei pretem erit constitutus. Qui quam multas, quam graues, quam inauditas dissicultates patiatur , ex iis licet colligere quas solius veritatis assequendae studio, es nobilissimae disciplinae excolendae cupiditate ductus hactenus exposui: eoque animo in lucem edi patior; tum ut Geometris aliquod nominis non obscuri id exposcentibus morem gediram, tum ut facilius quempiam aliquando fortasse nanciscar primae huius ab Authore propositae Quadraturae Assertorum si minus Author ipse R. P. Gregorius , quem eximium sui cultorem semper agnoset Geometria,ndcm praestet eius nomine datam a RP. Alphon so
120쪽
Et Promotum Examen suadratura V
de Sarasa in confirmationibus Quadraturae qui tantarum dissicultatum tenebras discutiendi negotium suscipiat Meminerit autem quisquis illud susteperit, se etiam atque etiam rogatum Lut omnes, ne minima quidem excopia , hasce dissicultates expressis verbis ita , si assuerit, dissio luat nihil vos etsi facillimum sit hver deducendum , vel colligendum ii muneri suo secisi satis censeri velit, Lectori com
Quod monitum non ad ea tantum , quae primam Quadraturam spectant, quam hactenus prosecutus sum, necessarium est sed in iis etiam; quae deinceps de secunda reliquisque duabus huic assinibus exponenda sunt ό est obseruandum , ut exigit huius materiae, qua ita Geometricis grauior nulla, momentum Caeterum, ea praecedentibus breuiora, uti spero, planioraque es experturus.