장음표시 사용
91쪽
claratis. Si plurium Progressi num ab eodem primo termino inchoatarum homologi termini simul addantur
logos totidem aliarum Progres sionum abeodem priorum primo
termino coepta rum conferantur.
Vt in schemate termini duarum Progressionum A, B, Cinc.in F, G, H c. homologi additi conserri possunt cum terminis homologis duarum Progressionum L M, c. Q R,44c simul additis. Tunc si simul etiam addantur Exponentes termini Progressionis Arithmeticae,ssingulis terminis Geometricarum Progressionum affixi, ut additos in schemate licet intueri i haud quaquam indicabunt huiusmodi termini multiplicationem rationum terminis Progressionum Geometricarum additis constitutarum i velut indicabant cum simplices rationes temminis Progres,ionis unius simplicis ad stiminos alterius simplicis Progressionis relatis constituebantur. Quod quidem in hoc Paradigmate per se patet. Ratio autem aperta est. Termini quidem Progresis num diuersarum irationes specie diuersas propagatarum simul ado:ruabant, rationes confundunt, in alias longεitant At termini Exponentes, siue termini Arithme-,gressionis homologi ad diuersas Progressione Geometricas pertinentes, si simul addantur,semper Progressionem Arithmetieam, cuius termini aequali se er excessu crescunt constituunt, ut Prop. 37. demonstraui post plum Quadraturae Authorem Prop. s. Libro Progress Quae Arithmetica Progressio per additionem de nouo genita, non minus apta est ad exponendam multiplicationem rationum, quas termini Geometricae Progressionis obseruant 3 quam ipsa simplex vulgaris Progressio Arithmetica. Etenim in schemate, ProgreGitonis Arithmeticae 8, 6, 4, 1, o, ex Additione duarum Progrestionum .ulgariu a genitae, terminus non mitius constat duabus uir entilis
92쪽
Et Promotum Examena uadratura. 69
per quarum alteram, quae est a Progressio extenditur quam terminus 1 vulgaris Progressionis numerorum 4, 3, 2, I, ora nec minus aptus ille fiterit ad indicandam rationem duplicatam inter terminos Progres
sonis Geometricae , quam istes; esto expressius duplicationem illam
rationum indicet hic terminus 2, quam ille 4 Vt superius Prop. I.declaraui. quam ad maiorem horum euidentiam consule. Hic demum obseruari debet, rationes, quas inter se habent termini homologi duarum Progressionum Geometricarum , quales sunt Progressiones A, B, Cic. i, , N,inc quae continuae non sunt continuari posse, Progressionem unicam Geometricam constitue iare aliis quidem terminis, tamen aequivalentibus expressam. Vt , in proxime appellatis duabus Progressionibus, ratio termini C ad N du. plicata est, ut ex Elementis ostendi superius, rationis D ad O Λ ratio Bad M est eiusdemm ad O triplicata: sic deinceps disparatis, neCCommuni termino connexis rationibus Verum , si fiat to ad D 1, ita D 1 ad iram rursus, ut D 1 ad 1, itari ad in ea ad . ita H ad
V c. habebitur Progressio Geometrica , , t , 24 4 eratque ratioci ad , duplicata rationis rex ad O : cuius rationis duplicata esta ad I 6. Ratio vero . ad est triplicata eiusdem rationis D 1 ado , ut eiusdem triplicata est Ba ad με Λ ita de caeteris sequentium terminorum rationibus, earumque multiplicatione dicendum est. Ex his firmiter,&quantum fert rationum natura aperte constitutis, hanc colligo ratiocinationem.
Resumatur schema superius allatum; in quo quatuor Progressiones quinque numerorum proportionalium habentur, primique singularum termini sunt aequales sngulis autem Progressionibus illis Geometricis totidem appositae sunt Progressime Arithmeticae, e qui Prop. 4 explicatus est, ordine quarum termini exponunt multiplicationem rationum ι quae inter terminos tam eiusdem Progressionis, quam diuersae, reperiuntur ut in superioribus declaratum est quae hic prae mentis oculis a studioso Lectore haberi pervelim tunc plane certior illum his, quae subiungo , assensum ultro praebiturum. Addantur termini homologi tam duarum Progressionum A, B, C&αF, G, H,&c quam duarum L, M. &c Q,R,S c. Addantur etiam termini homologi duarum Progressionum Arithmeticarum terminis singulis Progressionum Geometricarum appositi, ut ad calcem sche lacernitur. In primis, certum est rationem totalem Assis , ad E
Mnstare duabus rationibus partialibus At 6 ad Piri II ad K tum illa est duplicata rationis C ad Eiri haec vero duplicatalis Hy ad i. nec minus certum est rationem totalem CH
93쪽
13 ad Ex 1 constare duabus partialibus lationibus 4 ad Di I ad I iuxta Prop. 8. Lib. I o operis Geom. quam Prop. 8 exposuiquarum illa rursus duplicata est rationis D 1 ad haec ero duplicata rationis I 3 ad K i. Idem dictum puta de posterioribus Geometricis duabus Progress L i , m&c R, S M. cer tum vero est neque rationem totalem AI ad Eri , duplicatam esse rationis totalis G H ad Erici neque rationem totalem Mad DK, duplicatam totalis rationis re ad EAE. Vnde porro habetur haec certitudo attigi superi isci sed hoc ipsum ex P. franc. Aynseo nunc praestat audire eoqu)d, inquit in scholio Propositionis
4o Lib. I o. Oper. Geom. quam interpretatur, omne ratrones parιιale
diuersamisime dis iles. Neque alia ratio afferri debet, cur in secundo casu in quo termini rationum ad diuersas spectant Progriniones 3 ratio totalis AF 97. ad LQ 8 duplicata non sit rationis totalis C rei 3 ad N S iri vel ratio totalis CH 3 ad N S i non sit duplicata totalis rationis DII ad a, i quamuis rationes partiales A ad Lac F ad Q. duplicatae sint rationum partialium C ad N M ad S, singulae singularum d partiales haec ad N NH ad S singulae singularum D ad O& Iada sint etiam duplicatae Imode hoc locasu loquitur citatus
Author Sunt scilicet rationes partiales dissimiles iquarum proinde termini simul additi priorem, quam habebant habitudinem, mutuant contra quam contingeret, si rationes similes inter seserent, ut deducitur ex Prop. I . Lib. s. Elem. Α36. 8. CAT
At vero, si de Progressionibus Arith Geometricas Exponentibus sermo sit habendus, longe aliter, sentiena dum racloquendum est. Nam, Vt paulo ante iam ostendi zet te mini homologi diuersarum P gression Arithmeticarum per Additionem ma
reriaditerquidem mutentur Latino mum ab alter Mutantur scilicet
94쪽
Et Promotum Examen uadraturae. I
scilicet quoad quantitarem niuncti, quoad habitudinem excessusimn inutantur. Ita vides tenninuma conflatum ex Addation dum rum terminorum Ed 4 terminis Ama adhaerentium; ad term
num 4 referatur, qui ex Additis duobus terminis a& 1 ad terminos C, H Progressionum Geometricarum pertinentibus genitus est 1 non min is apte indicare duplicationem rationum, quam indicarent duo simplices termini. α simplicibus terminis ΑΛ aut Fin Hadhaerentes tam enim excedit duabus differentiis suae Progres-, sonis 8, 4, o quam 4 excedit 1 differentiis duabus Progressionis suae , i, o Illa siquidem progressio crescit differentia siue excessu perpetuo ; haec autem excessuri. Quo eodem iure terminus exterminis duobus avi et, qui adhaerent terminis Cic H Geometricarum Progressionum, genitus relatus ad Deci 4 penitum non minus bene declarat rationem, verbi gratia, Gad E duplicatam esse rationis uada; quam terminus x termino Geometrico C affixus, si ad i termino Geometrico D aExumreseratur fit enim etiam hic duplex Progressio Arithmetica nempe 4 1 o αχ, I, o Illa crescit per numerum progrestiuum a s haec vero per D terminus autem , non secus quama, duobus constat numeris progressi uisci ac proinde aeque apte ac a duplicationem rationiam declarat eo modo', quo dictum est.
Quae cum lia sint. Si tam multiplicata est totalis prima ratio AF ad Linrationis sec dae GH ad NS: quam multiplex est terminus 8 terminis rationis AF ad Linaffixus, termini ad rationem CH ad NSpertinentis Ecdeinceps sitam multiplicata est totalis ratio secunda CH ad NS, rationis tertiae Drad OΤ quam multiplex est termi-nti Exponens secundae rationis, rationis tertiae exponentis terminia. Cum terminus 3 duplex sit termini ψ. hic vero duplex termini a raserendum Eret rationem primam A PHL Q luplicatam esse rationis secundae GH ad N S hanc autem GH ad N S duplicatam rationis tertiae D Iado T. Vel etiam ut eandem ratiocinationem ad est rum casum, inquo rationes eiusdem Progressionis comparanturi ratio
totalis prima A p ad BD, duplicata seret rationis secundae CH ad Em haec vet&C H ad Em , duplicata tertiae rationis D ad E S.
Quod in primis tanquam a veritate alienissimum , Quadraturae Authoris sententiae contrarium tum passim in sua Quadraturarum deductione i tum praesertim cum ad meum primae huius Quadraturae
Examen,&ad Hugeni Ereiam respondet Gonge longius reiicit PAyrisco tridemque ante ipsum reiecerat P. AI onso de Sarasa. Nec mirum si a iam perseicacibus Geometris reiiciatur cum non tarilitata per se Blsum esse , verum etiam hanc Quadraturam, quam
95쪽
tuebantur , penitus labefactari, si id admitteretur, Ipsos non latuetit. At falsum hoc,& absurdum ex quo alio Principio prosectum est nisi ex eo, quod ad spatia hyperbolica prouocarit Quadratura Interpres Aynscom Quaecunque enim de duplici numerorum Progressione, Geometrica scilicet, scelus Exponente Arithmetica lita declarata probataque sunt eadcm, ut Prop. 16 ostendi, de duplici Progressio. ne quam spatia hyperbolica obseruant, dici debent.
En igitur ut facilepe reprietates spatiorum hyperbolicorum quas Authorsandratura accurate Lib. 6 demonstrauit notum nobis fata quam multiplex sit spatium seperbolicum secundum spatij tertis, atque adeo quod hinc deducit citatus Quadraturae Interpres quam fit ratio δε- eunda Cad D nota tabellam Propositionis 17 consule in multiplicata tertia, qua inquiritur, rationis E ad Ff tale scilicet per has proprietates spatiorum hyperbolicorum nobis innotescit spatium tertium hyperbolicum, ut eius duplex necessario sit spatium secundum i quemadmo- cum euidenter demonstraui ope Progressionis Arithmeticie , quam obseruant spatia ipsa hyperbolica quo fit ex mente eiusdem Interpre.
96쪽
tis in scholio Propositionis 4o. Libri Io. Oper. Geom. aperte declara ta ut contra eiusdem mentem citatis nuper locis non minus aperte declaratam, d contra apertam veritatem, ratio secunda C adi nota. duplicata sit rationis tertiae E ad Fh unde re haec ipsa tam facile , quam falso innotescat,ac falsam, quae ex ea ratione tertia sequitur, Quadraturam praebeat. Perperam igitur, nec sine quadam, ut supra attigi, excellentissimi Authoris sui nota ad spatia illa hyperbolica, dc ad multiplicitatem quae multiplicationis rationum verus est character, nos ablegauit Quadraturae Interpres Put exponeret quo sensu Author a seruerit Prop. tam esse rationem tertiam E ad ex eo quod notasit seeunda ad D. Quare constat Propositionis allata veritas hac etiam
tertia demonstratione. Confirmati itertia huius demonstrationis. Totum huius tertiae demonstrationis momentum ex eo pendetiquod omnes termini homologi omnium Progressionum partialium Arithmeticarum Progressione Geometricas partiales Exponentium simul addit , Progressionem totalem Arithmeticam constituant, e Prop. I. ostendi, eiusdem rationis cum partiali qualibet Progressione, Maeque aptam, ac ipsam, ad Exponendum Progressionem quamlibet Geometricam. At verb, termini homologi partialium Progressi num Geometricarum , s simul addantur nequaquam Progressionem totalem Geometricam constituant, eo quod omnes partiales Progres.siones illae Geometricae dissimili ratione progressiua constent. Vnde sequitur, quod conclusi absurdum contra Quadratura Interpretem asserentem rationem secundam C ad D notam,tam ese multiplicatam rationis tertiae E ad ignota , quam multiplex est terminus Arithmeticae Progressionis totalis exponens rationem secundam C ad D, teriamini eiusdem Progressionis rivi exponit rationem totalem tertiam Ead F. hinc enim collegis quod ab urdum est in rationem secundam Cad D duplicatam i si e rationis tertiae E ad P, eo quod terminus Progressionis Arithmeticae totalis Exponens secundam rationem C ad D, sit duplex termini Exponentis rationcm tertiam E ad F. haec est tota superior ratiocinatio mea contia quam non nemo fortasse obiiciae R. P. Aynscom Authori Quadraturae ex eius mente&ore Interpretem in scholio Propositionis o Libri io Oper. Geom. disertiminὶ asserere termiro partialc homologos Arithmetici Progressionisi quam spatia hyperbolica obseruant simul additos non eandem, aut aliam eiusdem, mirae Progressionem Arithmeticam continuare de
hac enim sola eius verba possitne intelligi, cum de spatiis hyperbolicis loquatur, quae eam constituunt non autem desicca rica , quae inter
97쪽
inter lineas spatiaintercipientes reperituo, Οὐ 'μ, αι - -
spartialessent diaers. Quod si linis sive aliter esse, sentire tantorum Geometrarum' Authoritas i dici non potest ter dus Progressionibus Arithmeticae elia duplex termini eca orave sonis eiusdem Latque adeo neque ratio secunda Oad D dii rationis tertiae E ad H, ac proinde ex Assertione Iimp illud, quod ex ea deducebant, non colligi obiiciat etiam quispiam non satis apertam esse conuenientiam illam ou, meros progresilonis Arithmeticae,ac Geometricae 3 patia inrbolica lineasque proportionales , quibus clauduntur , nate
propterea omni dubi ration et non vacet ea, quam per numerosi inide monstratio.
Huic duplici obiectioni paucis potest satisfieri Pries hquod verissimum est, asseruero, latete me quo rundamerito P. Ayn scom pronunciarit non eam cssc multiplicem terminum secun . dum totalem talis termini tertij; quam cst multiplicata ratio totalis secunda C ad D,rationis te mae E ad F illud enim nequc apud Ipsum neque apud Authorem uspiam reperias explicatum. At quo Ego ni-Nus contrarium pronunciarim i nec me latuit, nec Lectorem Geometra in latere passus suis euidenter siquidem demonstraui Prop. 7. Arithmcticarum quotcunquc Progressionum terminis homologis additis nouam creari Progressionem Arithmeticam ad bdem munia omnia exercenda aeque aptam, quibus singulae Progressiones funguntin. Posteriori autem obtemioni cii mulate satisfactu censebitrioistruis perpenderit symboli rationes quas inter spatia hyperbolica , di Pro- Udines Geometricam S: Arithmetica obseruaui Sed, ut haec ita. sint nihilominus ad rem pet senon talist obscuram illustrandam , si V
per Emque demonstrw- , rinorandam prima ipsa ratiocini
. rionis mea Principia miri ,34ire: paulbiu stasnon fuerit inutile. Resumatur itaque Diagramma superius Prop. I 8 dclineatum. Ostensum o Cyclometra docui Prop. io ductam quamlibet lineam M GNad axem Assi perpendicularem ita secari a Parabolis, aliisque rectis lineis, ut ibidem exponiturivi quinque semper habeantur rectangula continue proportionalia. Nimirum H GI,DGO IGI, M Gm, ita ut Progressione Geometricam, illaecunque ducatur linea Gm,re tangula illa quinque semper constituant; varia tamen semperque dissimilj ratione Progressiua propagataur ab eodem rectangulo orrinibus progressionibus communi mempe rech gulo GN. Huporro P mgressionibus inmnibus Geometricisdicta sum quinque m tangulorum: totidem Pro distanes Arithmeticae
98쪽
Et Promotum Examen quadratura ue
eodem termino inchoatae respondere concipi possunt quarum hoc est
munus, ut Geometricta exponant, ut Prop. Is declaraui. Iam vero
si omnium illarum Progressionum Geometricarum termini homologi, siue rectangula eiuslem in sua Progressione ordinis sc loci, simul coalescere concipiantur nascentura tormabuntur ibi ita quinque ex ductu quinque diuersarum superficierum, quas citato loco distinxi , in alias quinque ibidem etiam dc finitas hὶc patere me Indi uili bilibus breuitati cavsa uti dococxhaustionum, quae longiorem, implicatiorem e Xigunt ratiocinationem praescietim cum haec Indi uisibilia ad eas hoc in case facile reduci possint haec autem solida quinque nequaquami possunt esse continue proportionalia , vel Geometricam Progressionem constituere; eo quod singulae Progressiones dissimili omnes
ratione progressiua extendantur; qua rationum continuationem turba Hi necere est. At vero , si Progressionum Arithmeticarum termini hornologi coalescant peradditionem , procreabitur Progressio Arith mclica ciusdem naturae, iisdemque muneribus fungendi aeque capax, ac uagula ius quaelibet Arithmetica Progressio, ut supra declaratum est apertit Sime per numeros, ubi bina e linas Progrchiones tam Geometricas quam Arithmeticas additis terminis homologis in unam conflauimus. .
Haec ita clim sint rectangulum quodlibet GD siue Quadratum Gin eo rangulo G I aequale declaratu Prop. 23. ad rectangulum primum M GN.duplicata habet ratione rationi eius, quam habet rectangulum KGO ad idem et reclagulum primu MGNIc rectangulti Goad rechangulum G N,duplicatam rationis rectanguli LGP ad rectan gulim Eis: in Progrcs Mone Arithmetica terminus adhaerens re et angulo HGI dupi cx est termini adhaerentis rectangulo Κ GO hic vero rurbiis duplex est te imi ni ς est angulo LGP adhaerentis. Si militer. Si quinque illa rectangula proportionalia continue ad alia quinque rectangula continue item proportionalia conserantur, quae ex alterius lineae M N segmentis efformantur sequi est casus secundus superius expostus ratio rectanguli HGI ad alterum rectangulum H Ga est duplicata rationis rectanguli ΚGO ad altCrum rcclangulum ΚGO 8chaec ratio ΚG ad KGO est duplicata rationis rectanguli L P, ad alterum rectangulum L G P. In Progres ionibus aut cla Arithmeticis terminus uterque rectangulis duobus HGI p. positus, duplex erit termini utriusque ducibus rectangulis G O appositi: dc hic rursus, terque t crminus, duplex termini viri utque virique rectangulo LGI dcbiti, et superius declaravi. In Vtroque porro
casu ex redan ghi uiatomologis simul sumptis qua cautione Indi uisibio
99쪽
libus utor, nuqer exposui j fiunt varia solida:quae eandem non inseris umbrationum, quas habent inter se, multiplicationem; quam rectis. gula singula, ex quibus coaliterunt, obseruant Attamen termitato. mologi Arithmeticae Progressionis rectamulis singulis crantinue proportionalibus adhaerentes, si simul addantur, Progressionem Arithmeticam eiusdem cum singulis partialibus Progressionibus naturae et ta- cultatis constituunt. Hinc fit, terminus totalis Arithmeticae totalis Progressionis ita multiplex non fit alterius termini totalis ad eandem Progressionem totalem pertinentis vi ratio Solidi ad aliud solidum, multiplicata est rationis alterius solidi ad alterum solidum. Vt ratio solidi A ad solidum B, non est duplicata rationis solidi Cad solidum consule horum solidorum tabellam ad propositionem, . expositamin& tamen terminus Arithmeticae Progressionis totalis priorem rationem A ad B exponens, siue potius adhaerens, duplex est termini posteri ris, rationem posteriorem Gad D Exponentis.
100쪽
per. Geom. concipi posse asserat spatia hyperbolica , ita composita ex partialibus spatiis, siue in partialia spatia ita diuisa. ut composita sunt solida ex rectangulis, vel in rectangula resoluta asseratque insuper rationem inter duas rectas spatium hyperbolicum abscindentes, tam esse multiplicatam rationis alterius inter alias duas rectas existen
iis quam multiplex est spatium ab illis abscissum, spatij ab istis abscis.
sici hoc est , ut uno fere concludam verbo, asserat in spatiis hyperbolicis easdem rationes totales esse inter lineas rectas spatia intercipicntes s quae reperiuntur inter solida illa superiora ex rectangulis generata spatia vero ipsa alineis rectis intercepta quae ex spatiis partialibi sP rogressiones partiales Arithmeticas obseruantibus componuntur, rationum illarum multiplicationem per eam cluam inter se obseruant, multiplicitatem designare concludendum e sic necessario sequitur ex
eo quod spatium primum sit spatij secundi duplex ad hoc duplex
terti , rationem primam solidi A ad solidum B esse duplicatam rationis secundae solidi Gad solidum D , 5 hanc , duplicatam tertiae E ad F. Sed haec rationum inter solida illa duplicatio ab ipso Interpreto citc1tur, meritoque reiici debet. Ergo desidem reiicere debuit spatia hyoperbolicari non autem asserere per earum proprietates facile deduciquAmst multiplex statium secundum statu ter i s atque Adeo , quam Atratro Iecunda multiplι cata tertia, adeoque Usam tertiam, unde tetragonismm ab Oluitur, notam esse Patet ergo ex hoc etiam capite Propositionis meae veritas. Confirmatur secundo tertia haec allata demonstratio. Si vi a Quadraturae huius Interprete asseritur scholio non semel iam citato non tam multiplex est spatium hyperbolicum secundum spatij terti j; quam multiplex est primum secundi inde consequatur, ut ratio secunda Cad Dion sit tertiae rationis E ad F tam multiplicata , quam prima A ad B multiplicata est secundae C ad D Quid ad tertiam rationem E ad F cognoscendam necessarium ab eodem supponitur rationem primam A ad B prius cognoscia sublata enim illa primae rationis G secundae,
secundae item & tertiae tum aeque multiplicitate tum aeque -multiplicatio neri quid restat connexionis inter primamri tertiam, ut per eam connexionem , siue dependentiam ex primae cognitione erui possit cognitio tertiae meque enim minus verum futurum est , quod ab eo asseritur , etsi nulla primae rationis mentio fiat, rationem secundam
tam esse multiplicatam tertiae, qu m spatium hyperbolicum secundi se aiij terti j multiplex est. Aded ut sentiam tertiam illam ration em solidissi ad solidum F, non aliter reperiri posse , quam prima Soli-d iri ad solidum B vi secunda solidi C ad solidum repertae sunt ae- 3 pertis