장음표시 사용
81쪽
Haec Propositio omnino necessaria est ut planius deinde pateat quid in ea Quadratura probandum.quid nesjciendum videatur.Quod porris praestandum hic est;opera ac aud adeo magna ex dictis haest . nus ab luetur. Ac in primis supponatur, quod proxima Propositione in selito Diagrammate nostro imperatum est. Nimirum, censeatur Axis AB in quatuor partes aequales diuidi in punctis G, R, Gipe quae puncta agantur lineae G M, R V, Ga ad axem perpendic larςs,i secantes in hoc schemate sparsas lineas, tam rectas, quam curuas Parabolicas, in punctis suo charactere inustis, ut schema et fert. Sed prius ad vitandam tot characterum molestam repetitionem; expedit Solidorum,de quibius agendum est unumquodque unicocharactere insigniri: quo deinde appelletur.Itaque. Primum Solidum ex portione Parabolica Aa in seducta genitum , vocetur A. Solidum secundum ex mixta quadrilatera taura
QMG in se item ducu procreatum, dicatur B. t tertium. ex Trapezio MC R ducto in Triangulum AR O nascitur, d
82쪽
nabitur charactere C.Quartum autem ex Trapezio GK cainar pezium GO OG charactere D. Solidum quintum fit ex mixta figur quadrilatera A CL R in adiacentem Parabolicam portionem A ZR diceturque E. Sextum denique, quod ex mixto plano quadrilatero a L G in mixtum quadrilaterum GPI G ducto nascitur, charactcre F insignietur.Quia vero per Corollarium & scholium Propositionis 11 constat Solidum quintum ex plano mixto A CUR in planum parabolicum Ala ducto natum aequale esse Cylindraceo: cuius basis est circuli Quadrans ARV, altitudo vero Latus rectum B. Hoc etiam poterit, E, vocitari scut dici poterit, , Cylindraceum, cuius altitudo est eadem Ai i basis vero est mixta figura quadrilateram VTω est enim Cylindraceum hoc per citatum C roli aequale Solido sexto proxime desgnato. Vt autem hae designationes horum sex Solidorum , de quibus crebrior futura est mentio, oculis facilius, cum opus tuerit, occurrant'. en tibi cum schemate synopsim .in qua , quae fusus determinata sunt, unico intuitu
His ita paratis ecce ratiocinationem doctissimi Geometrae. Si nosci possit ni duo corpora quintuma, sextum F, quemadmodum nota sint ut ostendi praecedente Prop. 26' quatuor reliqua corpora A, B, C, D. Latere non poterit ratio, quam Solidum Thadet ad Solidum F. Cum autem Solidum E aequale sit Cylindraceo , cuius basis est circuli Quadrans ARV altitudo vero AB Latus rectum Parabolarum 8c
Solidum F aequale Cylindraceo, cuius eadem est altitudo ΑΒ, basis autem figura quadrilatera G SN Tl quod exposui in scholio Propositionis s. nota perinde erit ratio Cylindrace super Aadrante R V erecti ad Cylindraceum eiusdem altitudinis super plano mixto GSΤG erectum. Sed, quae ratio est Cylindrace illius ad istud, eadem est ratio baseos A MV ad bas a raper Prop. ii Lib. a. Eucl. Ergo etiam nota erit ratio circuli Quadrantis ARV admixtum planum quadrilaterum G S G. Quo posito sequitur circuli Quadratura. Nam ductis rectis RI, Ra Sector Sa aequale erit sectoria Sari terque enim sextans est circuli eo quod recta RG posta sit semissis semidiametri . t ac propterea sit sinus arcus S V Graduum 3σι cuiusluplus est arcus ST Dempto igitur sectore R S rex figura Quadrilatera mixta G S ut ex ea relinquantur duo aequalia triangula RG S. G Τ dempto autem ex Quadrante RAV sectore RAS, ut reliquus fiat sectora S V. Tunc compara-
ait hic sector S V cum duobus triangulis RG S,RGa hoc est,. H a curvilineum
83쪽
curvilineum quidpiam cum rectilineo motaque erit ratio eorum. praeter quod ad Quadraturam nihil desideratur. Atque haec est series totius ratiocinationis , qua Cyclometra intentum colligit; si quomodo possit rationem exhibere Solidi E ad Solidum F, Perpendendum igitur restat Ani quomodo abeo id absoluatur quod equenti
PROPOSITIO XXVIII. Problema. EAdem repetit hypothesi expendamus An nota sit ratio Solidissi ad Solidum F siue ratio circuli Quadrantis xx ad mixtum Quadrilaterum G UT G ad Quadratu
Antequam fundamenta, ex quibus rationis illius E ad F cognitio colligitur
84쪽
Et Promotum Examena uadratura cci
colligitur, in Examen vocentur is quoad fa, fuerit, res non parum obicura clarissime explicetur proponenda est, desattendenda Authoris Propositio A. Libro O. Oper. Geom. in ea siquidem totum latet Retragonismi huius mysterium. Sic igitur ad verbum sonat si modδcharacteres indices, quibus ex tabclla superiore desumptis, tor exceperis citata Propositio apposite ad hypothesim mei schematiq. Dira inquit J Sol dum E ad Solidum , notam habere rationem. Id ita probat. Ostensum est Prop. 43. Oporis Geom. notam esse rationem Solidi A ad Solidum si similiter Demonstratum est Prop.eadem notam esse rationem Sotiadi C ad Sotidum D. Hanc utramque rationem notam exhibui in numeris Lib. 1. Examinis Quadrat unde cos ad Proposivionem 6. superiorem retuli tum pergit Cyclometra.
Demonstratum autem est Prop. o.rationem Solidi A ad Solidum si toties continere rationem Solidi C ad Solidum D;quoties haec ratio Solidi Cad D. lidum D continet rationem Sotidia ad Solidum FGrauior atque ac obscurior, quam prima fronte appareat, in hac oratione latet dissicultas, accuratius in sequentibus discutienda. Intcrim obseruasse nunc satis esto, eo tantum nomine dici posse rationem Solidi A ad Sotidum B toties continere rationem Solidi Cad Solidum D; quο-
ties haec ratio continetisationem Sotidiis ad Solidumus quae est illa, quae inquiritur ignota ratio quὁd rationes partiales terminorum, quibus Solidum A conflaturi ad terminos, quibus Solidum B conflatur sint toties multiplicatae rationum partialium , quas habent termini Solidum C constituentes, ad terminos, quibus constituitur Solidum D, singuli ad singulos quoties lia rationes partiales terminorum singulorum ad singulos .multiplicatae sunt rationum partialium , quas ter mini Solidum E constituentes habent ad terminos quibus Solidum Fconstituitur hoc enim solum ex Prop. 34& O. Oper. Geom. quae citantur,colligi potest; non autem rationem totalem A ad B toties continere per multiplicationem rationem totalem Cad D, quoties haec totalem rationem E ad F. hoc enim falsum est ipso etiam iudice, huius inladraturae fautore R.P. Aynseon,ostendiq; superius Prop. v. sed haec nunc obiter ex occasione verborum,quibus Author usus est,ut ad plura in hanc rem inferius diccnda viam parem redeo ad Cyclometram. Igitur, cum notaesint rationes prima Solidi ad Sotidum B er secunda Solidi ad Solidum D. notum quoque es quotiesprima contineat secundam Acpropterea notum quoque est quoties secimiae ad D contineat tertiam Ead F. Itaque, cὸm secunda ratio ad D notast;etiam nota erit ratio terita
85쪽
Ead F. Eoodera Demonstrandum. Haec etiam nuneseulter perstringo. iasunt rationes prima A ad B, ef secundae ad D. Nihil verius eas enim numeris expressas ex Libro, Examinis nuper retuli ad Propositioncm 16. Notam quoque es quoties prima ιontineat seundam. Hoc etiam verissimum est potest enim Proportio earum facile reperiri, si de simplici continentia haec verba intelligi velit Author vel si de continentia per multiplicationem quaestio sic haud ita latet eam conti nentiam inuestigandi methodus, ut obtineri non possit Neque vero hic nulla continentia illius ratio, aut mentio habenda est de qua in telligitur Propositio 3. Lib. Io. Oper. Geom. quam exposui Prop. 8.c im ratio secunda Solidi C ad Solidum D terminis suis totalibus con stituatur i qui nullo modo partes sunt, velut Propositio illa exigit, terminorum rationis prima Solidi A ad Solidum B. Quae demum sequuntur verba , in quibus totius ratiocinationis huius conclusio, imo Quadraturae totius volveritas vel falsia condita latet,haud ita obuiam de planam admittunt cxpositionem. Sic enim habent. Ac propterea notum quoque es quoties secunda, tio ad D contine.ι tertiam E ad F. Cum ergo prima ratio A ad B secundam Cadi contineat vel simpliciter, vel permultiplicationem, nec alio ullo modo, ut attigi, illa possit hanc continere etiam clim secunda ratio C ad D toties continere tertiam E ad dicitur, quoties prima continet siccundam Lintelligi debet secundam toties continere tertiam vel simplicitur, vel per multiplicationem. At neutro modo secunda continet tertiam mon simpliciter; quia sic ratio E ad F seret duabus A ad B,, C ad E tertia proportionalis non per multiplicationem ι quia sequeretur secundam tam effemultiplicatam tertiae, quam multiplicata est prima secundae. Quod utrumque, ipsis etiam non consentientibus modo, sed etiam confirmantibus Q i adraturae fautoribus, falsum est. Sed haec obiter ad Authoris verborum Paraphrasim tantum, etsi momento non careant,
adducta sunto fuso enim de eadem Propositione , eiusque ensu habenda est Disputatio quae ex dictis hactenus huc enim collimantrumnian planissima , ut spero, nec iniucunda futura est quam hincordio
RAtio illa tertia , de qua actum est Prop. proxima, Solidi
E ad Solidums: quae eadem ostensa est Prop. 17. cum ratione circuli Quadrantis ARV ad mutum Quadrilate
86쪽
Et Promotum Examen uadratura. 6
rum G sacri ab Authore Cyclometriae non est definita nec eam inuestigandi ars est tradita atque adeὁ nec circuli Quadratura ad exitum perducta.
Cum hae Propositis ni ρὼμ ad Examen reuocand. vi ex eiuspem specta veritate, vel falsitate lis tandem tota de hae celeberim circuli Euadratura ex quo maturoque consilio componatur eum aliquo quod unum nobis tam Assertoribus quam Aggressoribus in hac controuers/ propositum est yrei Geometrica Emolumento quaecunque AEd eamflabiliendam vel confirmandam occurrerint Argumenta, siue ea iam alias in Examine adduxerim, cumsolutione hactenus earere mihi videantur suem eo menti oborta fuerint ι cuncta minore fortasse numero quam pondere proponam, unoque intuitu contemplanda culis subirriam diuorum hors primum. Demonstratio Prima Ea est apud Geometras constituta lactenus obseruata ex , nee alias ab insigni Cyclometra nostro violata nihil ut tanquam Geometricum agnoscatu es quod aut per se velut Principium notum non sit, aut euidenti Demonstratione non fuerit stabilitum Absurdame est, Serenus inquit, Geometras de Prommate Geometrico, quale istud est,
sine Demonstratione quidquam affirmare. Hoc ergo cum ita sit, arriquaero quando quove loco operis amplissimi Geometrici ab eius Authore mentio facta sit methodi qua ratio tertia ad F ex datis Aad B dcc ad D colligi possit; quam eo maior erat exponendi neces.stas, quod ea ratio E ad Fic tertia esse possit duabus datis A ad B, dcc ad D proportionalis; nec eius concedatur totius multiplicata secunda Cad rei quoties prima A ad B secundae C ad D multiplicata est praeter quem duplicem inodum rationem ignotam ex duabus notis inuestigandi, alius apud Geometras est inauditus Ille igitur, si quis est,abeo debet exponi priusquam circuli a se absolutam Quadra turam pronunciet. Quod Argumentum unicum simplicissinium, ut patet,ac maximaeobuium abunde suffcit, ut constet euidenter quanto cum fundamento asseruerim rationem illam tertiam E ad F sine qua ad exitum perduci Quadratura hac methodo nuillatenus potest, non esse definitam, ac proinde nec inuentam Quadraturam. Quod
Quanquam vero hac simplici obiectione proxime declara a 'ubdscilicet nusquam reperiatur expositamethodus tertiam rationem .s
87쪽
terminandi i lis tota plane consecta sit ea tamen , quae tanto Geometrae merito debetur obseruantia factum est, ut eius verbis 'uod Archimedi vix concedaturo non omnis sit fides abrogata sed variae
snt tentatae viaei quibus, quo modo posset, eorum elucesceret verita Si pateretque, quo sensu tantus Author ratio tum illam tertiam notam ex secundae cognitione extici asseruerit verum incassum haetenus, ut hoc etiam ex capite confirmetur concepta de ea Assertione vel dubitati, vel lata condemnationis sentcntia. DemonDratio secunda.
Secundum hoc Argumcntum priori futurum est per simile, ex eodem loco petitum Dum enim gregius huius Quadraturae fautor R.P. Aynscom merito quaeri cerneret a pererudito eius Authore Praeceptore suo, qua tandem methodo tertiam illam rationem E ad F ex duabus rationibus notis A ad Bin C ad D, colligeret non potuit;clim eius partes, quas susceperat hunc retragonismum Yponendi, tucndique ad prae caeteris exigerent, huic quaestioni non respondere. Quam responsionem ut facilius in accuratius deinceps perpendamus, praestat hanc eius verbis prius referrc. Haec igitur habet meis tamen seruatis characteribus indicibus)dum Propositionem 4 Libao. Oper.Geomctrici pag. O . quam expendimus, interpretatur. Per Scholium praecedens, inquit, ratio secunda ad D, tam multipticata est rationis terti. E ad F quam ratioplani hyperbolici x planahaec hyperbolica suis characteribus appellat iuxta sisyam Diagramma quo hic non egem ad planum T multiplex fragio plani π rbolici Tadpianum . Sed notum in horum prae caeteris verborum memor esto ineum facile deduci possi ex proprietati statior pestilicorum, quas Author L b. 6 accurate Demonstrauit, φα--ultiplex sit ratio plani hyperibolici ad planum rip rboticam T rationis plani hyperbolici Tad planum hyperbolicum Z Igitur mi es Pam multiplicatasit ratio Glidie ad Solidum D, ratioris Sotidum . Nota est titem rati Solidi C
Demonstrandu- ,-- , concludit, in hac diuadratura prima nonpr eedo,quod sinta hac propositione, omnino sibi ilia constet. Vetiusdici nihil potest quam stabilita hac Propositione 44. Lib. Io. Oper. O .Quadrat artan primam , de qua sola nunc sermo habetur; in hare, absolutamque exhiberi ut Prop. 7. declaraui. At non minus verum , t ex eadem Propositione constat, censeri debet, eandem quadraturam labet actari ue si quo modo citatam Propositionem illam in discrimen vocari contingat ut vocari reuera videtur multis
88쪽
Et Promotum Examen cradratura gue
multis nominibus , quae in oratione Patris Aynscom proxime relata continentur quibus omnibus in alium locum rejectis unicum interim propono ex verbis illis, quae iam tum, cum a me recitarentur, prae caeteris obseruanda monui, quae ita senant. Sed notum est eum facile deduci possit ex proprietatibus statiorum hyperbolicorum, quas Author Lib. 6 accurate demonstrauit qua multiplex sit ratio, ere. Non egeo pluribus. Accuratissime, fateor, test6rque, de spatiis hyperbolicis nunquam satis laudatus huius Quadraturae Author in maximum Geometriae emolumentum quam plurima, eaque inaudita demonstrauit. Nihil minus an facilius deductum iri a quopiam censere debuit Quadraturae Interpres illud, sine quo stare Quadratura non potest , quam a seipso deductum fuisset, aut saltem locusvi propositio, cum tam multis de hyperbolicis huiusinodi spatiis agatur in opere Geom. futuet designat 3 Deinde Quid in Conicis tam planum ac facile reperiri, cuipiam fuit aliquando persuasum ut exposivione non egere censeretur De sine semper fuit Geometrarum sententia ratione crebraque experientia comprobata in Conicis nihil vulgare, nihil nisi maxime abstrusum , nihil tam ficile, quod expositione non egeat, contineri. Quod cum in hac materia semper verum sic tum maxime in his spatiorum hyperbolicorum proprietatibus verissimum licet experiri: cum earum mentio nulla apud quemquam alium quam apud eximium hunc Geometram reperiatur solita sua breuitate, nec sine obscuritate breuitatem comitante haec ut caetera proponentem Ad haec. Cum de Quadraturae Authore non leuiter questi fuissent Geometrae subquestum me sane in Examine non possum dissileri, nec potuie Cyclometriae huius Interpretem latere' quod Prop. 4. recitata superius, absolute, absque omni alia citatione, doconsecutionis notitia praeuia tertiam illam rationem E ad F notam asseruisset mirum iure videatur interpretem hac in eadem ipsa causa parium, aut etiam grauiorum priorum scilicet aduersus Authorem querelarum non ignarum expostulatio discrimen minime declinasse: dum generaliqua dam ad spatia illa hyperbolica appellatione usus, rem de qua agebatur, quaeque dissicultatis caput erat pronunciauit facilem, ut aarumis e proprietatibin s aliorum Horam nulla negotio deduci posset. Debuisset ipse, ut interpretis munere cumulate fungeretur, conclusionem ad minimum usque apicem deducere, explicare. Quod praestitum cum non sit Quadratura non ab Authore, non ab interprete absoluta, sed a Lectore Geometri absoluenda dici debet. Quod erat demonstrandum.
89쪽
Confirmatur enidenter proxima ratiocinatio mea Vix quisquam sibi persuadebit aliquando eximium Cyclometria Authorem, cum in illa saepius memorata Propositione 4 . Lib. l . Oper. Geom. Concludit. Ergo nota os tertia rati sequat est ratio solidi E ad solidumue voluisse tertiam illam rationem per spatia hyperbolica notam fieri. Si enim eius ea mens fuisset quid, quaeso, obstabat quo minus eam duabus tantum addiris voculis in hunc modum expressisset Ergo hora estenta ratio peνstatia 'perbolica Nec tantum obstabat nihil verum, ne alioqui Lectorem rudere videretur quod de viro doctissimo iuxta ae optimo alienum est suspicari ve animi siti sensum ita aperiret; suadebat,im cogebat rei grauitas. Quid enim toto tam amplo in
opere Geometrico grauius quam ea conclusio, ex qua proxime Mimmediate colligi debeat, quae una proposita est, circuli Quadratura Atque hanc sententiam meam confirmat non leuiter sinu δ' mimius Cyclometra spatiorum hyperbolicorum mentionem nullam faciat aut Libro M. Operis sui Geometrici, ubi Quadraturas exponit ex instituto aut Libro 6 ubi spatia illa eorumque mirabiles facultates accuratissime prosequitur; non utique praecipuam 3c ad scopum sibi propositum apprime utilem ac maxime necessariam praetermissurus, si qua fuisset ab eo obseruata huiusmodi Sed neque deinceps alter tanti Auditor Praeceptoris R. P. Alphonsus de Sarasa eorum spatiorum usquam meminit insolidissi tria illa responsione quam aduersus Merse Leensuram conscripsit in qua de spatiis hyperbolicis egi eam eo pio se , ut nihil praeterea desiderari posse videatur. Qui ergo faculti haec prae caeteris insignis in ad ruendam , quod agebat, Circuli Quadraturam tanti ponderis ac momenti ipsum effugerit 3 Atque ex
his euidenter constare censeo praeter Authoris Quadraturae mentem spatiorum hyperbolicorum mentionem hic fieri , novamqne potius Tetragonismi absiluendi methodum fabricares, quam ab eo fabricaram tueri velle, dum existis facile deduci asseritur cognitio tertiae illius rationis ad Quadraturam omnino necessaria. Ac proinde, nisi deducatur, aut deduci posse saltem demonstretur eadem illa rati, immerito dicatur ad exitum perductam esse Quadraturam.
Et si duplici proxima argumentatione constet euidentissime quid enim constet euidentius, quam, cum de facto agitur, non factum iure censeri, pronunciari sinusquam factum comperiatur nec factum,
se fieri facile posse oratio factum Auerentium diffirmet in absiautam
Quadraturam neque ab Authore ipsius exhibitam i neque ab Authoris interprete promotam nisi accedat tertiae illius tam saepe memoratae
90쪽
Et Promotum Examen uadratura a
rationis E ad firma suisque terminis expressa constitutio. Quia tamen quod δε ite fieri posse asseritur, tanquam factum admitti fortas se possit iuuat expendere quam facile ex spatiis hyperbolicis tertiam
illam rationem deducere potuerit R. P. Aynsco quod equid eiupraestare adeo dissicile mihi visum est inter impossibilia reponi censeam. Quod si ostenderes ut me spero euidenter ollensurum non leui probatione patebit iam tertio veritas allatae propositionis. Primo igitur in memoriam reuocanda est mira illa symboli satio superius Prop. 6 explicata; quae inter spatia hyperbolica, lationes linearum spatia illa abscindentium inter Progressiones Arithmeticas Progressionesque Geometricas apte debitoque ordine compositas intercedit des quid desit huic loco necessarium, de nouo superaddendum. Cum ergo tanta sic, ut citata Prop. ostensum est inter spatia hyperbolica, duplicem numerorum dictam Progressionem affinitas omissis tantisper spatiis illis minus tritis numeros assumamus nobis magis familiares ac notos. Sint itaque quatuor Progressiones per rationes specie diuersas extens aeri quarum primi termini sinta quales, quinque autem sint earumdem termini, ut hoc in schemate cernitur Hac sngulis earum terminis apponantur debiti termini Arithmeticae communis Progressionis. Iam , si conferamus crminos primae Progressionis Geometricae A, B, C dcc cum terminis Progressionis tertiae L M, Ninc homologos cum homologis constat per Prop. Io Lib. 8. Elem rationem C ad N esse duplicatam rationis Dad O in eiusdem rationis D ad O rationem B ad M esse triplicatam ;Quadruplicatam autem eiusdem esse rationem A ad L hanc auic in rationum quas termini Progressionis A B, C&c habent ad terminos
homologos Progressionis , M. N&c multiplicationem designant aptissime termini Arithmeticae Progressionis singulis appositi. Ecce enim ratio C ad N est duplicata rationis D ad O quo charactere id designetur aptiore quam utrique termino tam aquam Nadhahente
termino a. Arithmeticae Progressionis. Idem incit iplicata, quadruplicata c. obseruare, Mintueri licet. Adeo ut idem terminus et Arithmeticae Progressionis termino Progressionis Geometricae appositus.
non solum sit Exponens multiplicationis, qua ratio C ad E multiplicat rationem Dad Eterminis eiusdem Progressionis constitutam , ut Prop. is docui sed citam multiplicationis pqua ratio C ad multiplicat rationem D ad O expressam terminis homologis Progressionum diuersarum. Idem dicito de rationibus, quas habent termini homologi duarum quarumcunque Progressionum Geometricarum ab eodem Primo termino inchoatarum.