장음표시 사용
141쪽
Max;zra cras ins ualitatu germanorum ρννονι iona statu PR, , quod P Leotaudin quanistate arearum, auibu cerastant pia a Lex luprum da Domat corpora, tantum considerarit, numerosque , quibus ιιιa expresse rat, ins Vsos, velis alios iuxta consuetas Arithmetica leges duxeri nulla habita rationesitus aut figura planorum ere. Quam longe aliena sine haec&4 praxi multiplicationis, qua usus tum , . a verbis inuibus eam exposui lotes; mi LeEtor, exsuperioribus, aut ex ipso Examine, vel leuiter inspecto iudicare. In eo enim Solida per ductus Geometrice constituta consideravi: nec unquam numeros, quibus planorum, quae ducuntur, designant ut areae, alterum per alterum multiplicaui sed Solidi cuiusuis Geometrice per ducitum plani in planum efformati basim per eius altitudinem semper duxi. Quare si tanta obseruatur inaequalitas Proportionalitatis in I cuias u vera foret haec Quadratura, summa esse deberet aequalitas me eam quaeso, quis quam censeat proficisci ex eo, quod in ductitas feresingulis, ex quibus octo illa Solida natastini a me , dum varias multiplicationes Nessarias institui, peccatumst. Clim saltem quatuor priorum Solidorum ordinato ductu genitorum quantitas numeris sit a me recte designata. Sed nec ullius quidem posteriorum Solidorum quatuor E, F, G, H, ex d. ctu planorum subaltei no genitorum quantitas numeris permultiplicationes reportis est a me talio constituta ut cuilibet renerationem numerorum quibus priora quatuor Solida designari asserui, perpendenti manifestum est: cum ex iis em meorumdem numerorum multiplicationibus eorum quantitas determinetur. Quod tum in eorum gratiam in quorum manus meum non peruenit Examen tum',
ne quid aliunde repetendum sit quod ad absolutam hanc tractationem desideretur , iuuat hic explicare. Itaque Solidum primum E, quartum H 'uorum Vtrumque nascitur ex ductu subalterno Parabolae Adin nulla egent multiplicatione numerorum qui ex planis in seductis vllo modo pendeant. IEst enim hoc utrumque solidum aequale semi. cylindro , cuius basis est semicirculas A QI, altitudo Latus rectum , ut Prop. s. Lib. 3. Examinis declaraui. Quare cum Latus Rectum sic , semicirculi verb in area statuta sit superius 3 8'o8 o maior vera,et 3 II 86 vera minori Erit utrumque hoc solidum numeris debitis expressum, vellis o 87o, vel 3i 8'o 861. Latus enim Rectum cum sita, basim AQI,
quam multiplicat, non immutat.
142쪽
MI 83 o 289 6 vera minor vi altitudo Lachiis Rectum I. quod basim multiplicando, solidumque generando non immutat , t hoc porro Quadrilaterum nuper definitum est dematur solidu, quod fit ex eodeRectangulo B in seducto, & quod fit ex eodem Reet angulo EL bis in planum parabolicum TUO. Qui terque ductus horum planorum iam lupra absolutus est, dum Solidum B quaerebatur , inuentaque sunt duo solida 4 , di quae simul addita constant numerum ι8 quidemidebet ex cylindraceo, basi Quadrilatcrae mixtae E KRV insistendi ad altitudinem Lateris Reet r. hoc est , ex basi proxime assignata. Est enim Cylindraceum huiusmodi aequale solido quod fit ex Parabolica portione ET O V in se subalterne ducta, ut ostendi
Lib. 3. Examinis Prop. s. Solidum autem ex ea portione natum , aequale est per Propositionem 199 ductuum solido exsectangulos L in seducto siue parallelepipedo; cuius basis est Rectangulum Ea in altitudo EF vi Sol idolis, quod ex codem Rectangulo ducto in portionem Parabolicam P O nascitum siue solido , cuius bas est portio FIO , altitudo EF nec resert ut in Examine dcclaraui quod haec portio in se subalterne dii catur de denique solido ex portione parabolica FLO ducta in se subalterne. Quare , sic nota quantitate portionis parabolicae ET O V in se subalterne ductae dematur duplex illa quantitas, quae simul est i 81 reducsque debet ad fractionem decadicam 8i33333 per Prop. 38. Lib. 1. Institutionum mearum Arithm ut a fractione decadica 83 or 914 vel i 83,1896 demi possit in relinquetur numerus 4 919 vel 49 63. Recte itaque hic numerus habetur, quo exprimatur Soliditas corporis ex ductu por tionis FIO subaltcrno geniti Recte, inquam, eo quὁd recte definiantur numeri ex duplici, qui hic occurrit ductus, procreati. Restat Solidum tertium G attendendum quod oritur ex portione
parabolica PSI O in se subalterne ducta. Illud autem cum aequales per Prop. 99 ductuum , hisce Solidis, nempe Parallelepipedo ex ductu Rectangulii in se genito inuod notum est Solido bis, quod fit ex eodem Rectangulo EL in planum parabolicum E SP Us quod notum est, ut habetur superius o. Solido denique quod fit ex portione Parabolica E SI V in se subalterne dum quae est ipsa
basis mixta E KRV ducta in latus Rectum i , quae nota est si numeri omnia haec solida exprimentes addantur habebitur numerus; quovere quantitas Solidi tertiiadesignetur. Iti cuius inuestigatione contingit ducenda esse plana quaedam, quae iam ante ducta sunt, ostensumque Solidorum ex huiusmodi ductibus ortorum quantitates recte numeris esse definita, nec unquam, vel per umbram , numeros Area
143쪽
rum in se diictarum fuisse inter se multiplicatos non secu quam in inuesti gulone priorum quatuor Solidorum ex simplici ductu genito rum contingere demonstratum est Imo eadem ipsa Solidastic ijsdem
numeris exp&ssa sunt quibus eadem dum priora solida quaereremur, exprimi contigerat Patet ergo in hac quaestione, in qua de facto api tur, prolatis tabulis ex ipsis Examine, quod omnibus prostae, petitas iquo iure a R. P. Ayns com dici potuerit mirum non esse, quod tanta maequalitas proportionat talis fer reperiatur eum in ductibus pene singulis, ex quibus octo Elastida natasuntpeccatu is cum ne unus quidem in illorum octo blidorum procreatione ductus in Examine a me ad hibitus teperiatur istex praecedente singulorum discussione uitaritissinnim est in quo a me peccari contigcrit. Quod hoc miror magis ab eo cssu pronunciatum , quod Ipsemet Part. 1. Secundae Quadiar. Prop. q. . , 6 eadem methodo, iisdemque fere verbis, illa ipsa osci Solida ex ductibus mixtarum earundem juperficierum orta Geome trice constituat, qua a me constituta sunt. Quo fit, credam totam hanc meam ratiocinationem leuiusquam par sit, cum eam impugnaret, ab co esse er pensam. Certum igitur ciuis inaequalitatem illam , quae inter terminos proportionalitatis P des obseruatur , nullo modo derivari a Soliditate illorum octo corporum in numeris pcrperam definita con ludendum necessario venit, eam ex Principio aliquo falso supposito proficisci; neque eandem esse proportionem Κὶ rationis Solidi A ad Solidum B, ad licitionem Solidi ad Solidum D chim proportionem
rati is solidi E ad solidum F, ad rationem blidi Gadiblidum,
Qua sublua proportionum L, MN aequalitate , tolli continuo necesse est hanc secundam circulum Quadrandi methodum. Ut asseritur hac Propositione 31 quam probare, ct in Examine a me recte probatam, demonstrare susceperam.
Ex omnibus ad huius Quadraturae secundae discussionem hactenus allatis; non tantum haec una secunda sed reliquae etiam duae , tertia& quarta , cum iisdem fundamentis nitantur, non omni vitio carem demonstrantur, ut eas ulterius prosequi necesse non sit. Imb nec ea ipsa Quadratura, quam quasi de nouo affert F. P. Aynseom,&de qua luserilis sermo hiscndusest, pluribus egeret ut in latentis alicuius viiij suspicionem, aut apertam cognitionem veniret clim ex iisdem plane , quibus proxime memoratae tres, Principiis colligatur.
Et si Libro . Exam. Quadraturae numeros, quibus illorum octo solido
144쪽
Et Promotum amen si dratura ris
Solidorum quantitas exprimitur . constituerim eosque hic non omiserim dispersos tamen hinc illinc prout eorum tractatio tulit, exhibui quos si lubeat simul cogere, eorumque rationes rationumque proportiones, ac proportionum proportionalitates colligetes liceat quidem, sed opera paulo grauiores cui ut parcatur, en ipsos hoc uno sub Aspectu positos etiam distinctus quam in Examine Lib. 3 praestia terim. Quatuor ergo priora Solida ex ordinato ductu oriunda ita habent, ut hoc schema refert ex superioribus collectum. Fractis autem o L
ad eandem denominationem reuocatis, ad quam ipsi etiam integri reuocentum stabunt numcri, ut hoc secundum schema reserr. Demum abiectis denominatoribus , soli numeratores corpora illa quatuor, eorumque rationes exhibent, ut in hoc alio schemate exhibetur.
dia IM II na racione a eunae conlequentem reuocemus 3 qui
reuciatur postea tanquam inutilisci duo Antecedentes qui sunt K3o371 4 383 3 exhibent proportionem, quam inter se habent hae duae rationes Aa, G D ut hoc in schemate exhibetur. Non secus solida quatuor E, F, G, H, ex ductu subalterno genita; tu eorum rationes, ac rationum porportiones sigillatim oculis subiiciemus in unum collectas Atque ita quidem , ut hic habetur, Ipsam 1 8'o 87o m. n 318'o 86 Min.
Solida numeris designantur, veris tam maioribus, quam minoribus. At, vi sequens schema reserici eorundem solidorum rationes tam ex vero maioribus, quam ex vero minoribus terminis ortae exhibentur:
145쪽
earum autem termini sunt ipsi numeri Solida exprimentes, expun ctis antlim accentibus, qui denominatorum vices gerunt in huius, modi fractionibus decadicis: qui cum hic sint aequales , expungi possunt, solique numeratores retineri ad rationes solidorum exprimendas tam veris maiorum quam veris minorum , ut hoc in schemate Rationes Solidorum veris maiorum.
E. 3I8o86 I. G.6S236119 F. 69163. H 3 8o86i praestitum cernis. His ita constitutis rationibus E ad Fac G ad res earum Proportio inuenietur, si ad eundem consequentem termini reuocentur vel ea methodo quam Prop. 3. Lib. 3. Exam tradidi i vel altera, quam Prop. 9, Lib. i. exposui. Tunc enim Antecedentes Proportionem, quam rationes ipsae obseruant inter se, exhibebunt ut in hoc schemate cernere est, in quo Proportio illa quae est M ad N siue rationes E ad H, G ad Himmeris constent vero maioribus, exhibetur ad minimos terminos re
Ex palatis hactenus proportionibus rationum A ad B, ε C ad D, quas obseruant solida ex simplici ductu genita , rationum E ad F, α G ad resolidorum ex ductu subalterno ortorum ι quarum propor tionum prior est Dad L, posterio M ad , colligere licebit proportionalitatem P ad Q. Si nimirum proportiones Dad L,ωM MN,
quasi serent rationes simplices, ad eundem consequentem reuocentur: tunc enim Antecedentes proportionalitatem earum proportionum exhibebunt, quae duplex est altera quae ex proportionis M ad terminis vero maioribus gignitur, altera quam producunt termini vero minores. Vtramque hoc schema exhibet: dc utramque pro portionalitate aequalitatis valde alienam i contra quam a Quadraturae primo Aut re asseratur, eiusque deinceps fautoribus statuatur. Ha
146쪽
Et Promotum Examen uadratura cr
bes igitur hoc in scholio digestam methodum totam, qua proportio- Ex tremmis vero maiori Ex terminu vero minori .
nalitas P Jefinita est. Qua lubeat Propositionis huius meae 3x veritatem aliis S aliis factis Parabolarum suppositionibus perpendere, uti possis o Ipsemet Prop. I. Lib. 3. Examinis Quadrat usus sum ad confirmationem Propositionis i 6 cui respondet haec 31. In ea veris, Proportipnalitatis P naequalitas longe maxima collecta est; cum terminis exprimaturi si . D 4776oos i vecitato loco habetur ut d alia aliquot Paradigmataci in quibus omni-bin hanc Proportionalitatis Pinnaequalitatem. Vnde rationis Solidi A ad Solidum B ad rationem Solidi C ad Solidum D Proportio dif- similis colligatur Proportioni, quam habet ratio Solidi E ad Solidum I ad Rationem Solidi G ad Solidum H Sed quid opus tam multis
hanc harum rationum disproportionem, siue Proportionalitatis P a inaequalitatem probares; cum, etsi supponatur cius summa aequalitas, non tamen ex ea consequatur, quam asserunt Quadraturae huius Authores , rationum E ad P, aut G ad recognitio sine qua ad Quadraturam absolutam nequit perueniri , ut citata Prop. II. Lib. 3. Ostensum est euidentissime quam paucis sequenti Proportione iuuae rursus explicare, ut hic etiam haec dissicultas tradatur absolutius Itaque sit.
nato constitutarum Proportio et aequalis ore Proportioni di rationum EF, G H, quas ductus uubalternus generat. Sive quod idem est, etsi proportionum a& Proportionalitas P Qterminis constaret aequalibus,& ratio quaedam foret aequalitatis haud quaquam tamen obtineretur ex eo circuli Quadratura.
Et etragonismus iuxta hanc methodum absoluatur: debet necessario alterutra rationum E ad F aut G ad H determinate cognosci: a vi
147쪽
ut scilicet semicirculus A QI qui est Antecedens rationis EF possit conserti cum consequente suo i qui est mixta quaedam superficies, cuius unum latus est arcus KR,vi ex ea collatione circulare quidpiam
reperiri rectilineo aequale quod etiam reperiri posset, si Antecedens arationis G H, qui quaedam etiam est mixta superficies, quam arcus Excum tribus aliis lineis rectis circumscribit, cum suo conse quent 2 2j a ' Cp si
148쪽
Et Promoti axamen Luadraturae ia.
quente H, siue semicirculo A Q. I conferretur. Quam alteriatrius dictatum rationum EF dc GH, aut utriusque cognitionem omnino necessariam esse satis ostendi Doc imus Quadratur: Author, dum Prop. 77. Lib. Io. Oper. Geom, huiusmodi Problema adducit. Ῥο teat rationem exhibere qua est inter corpora , qua oriuntur ex subalterno duct Parabo D AIDi e schemate utor meo se ex ductu item se alterno portionu Parabolicas L . Vel inter Solida , qua flant ex ductu subalterno inseplani Ea P S i es Parabola AIT. Quae solida iuxta designationem meam sunt solida E, F qco, re quorum bases candem cum Solidis ipsis rationem seruant. Quod Problema utinam , ut proposuit, ita absoluisset summus Geometra. Sed tandem tota sua ratiocinatione, quam citata Prop. prosecutus est, aliam conclutionem non collegit, nec aliam colligere potuit, ut euidenter ostendi Lib. 3. Prop. 8. Exam praeter hanc, quae Propositione longe prosecto aliena est. et Proportionem exhibuim , qua est inter rationes E ad Redi Gad, Hoc est, stylo meo, Proportionem M N. Censuit erg6 eximius Cyclometra , tum necessariam esse ad Tetragonismum cognitionem rationum E ad F,, Gad in cum ad eam exhibendam Problema proponat , tum eam se exhibuisse eo ipso, quὁd Proportionem earum rationum, ut Ipse putat iam ne ipsam quidem Prbportionem rationum E ad F G ad H, quae est proportio M ad , exhibuit, ut proxima Propos demonstraui Dexhibuerit clim in conclusone, quae alia esse non potest quam ipsa Propositio, Proponionem
rationum EF, GH se asserat exhibuisse diuod praestandum, inquit,
Hac ergo Propositione assentior ipsi quidem notas omnino fieri debere rationes EI,N G H, ut eius fert Propositio illa' . Sed non perinde assentior notas esse factas , et si , ut eiusdem Propositionis sertconclusio, nota facta sit earum rationum Proportio. Quae mea seret hic probanda Propositio: nisi eam Prop. I 8. Lib. 3. Exam tum Arithmetice tum Geometrice nec paucis, nec obscuris Argumentis demonstrassem quem locum velim consulas. Aut certe stabilienda rursus sereti si quo modo fuisset a R. P. Aynscom impetita in ea Responsione, quam edidit ad dissicultates , quarum haec est maxima, quas
aduersus Quadraturam secundam, eique affines reIiquas duas, tertium, &quartam obieceram. Sed, quod ab eo omitti omnino non debuerat, si ut aequam aliquo cum fundamento pronunciatam hanc sententiam, Nihil igitur mira has uadraturas evicit P. Leotaudi Ex
men admitti vellet ne eius quidem uspiam mentio ab eo facta est. Nihilominus hic pauca addam, eaque , ut opinor, planioravi aper-α tiora t
149쪽
liora: quibus iuxta Propositionem hanc 33. in hac controuersa cuilibet, etsi minime presto foret Examen fiet fatis. Obserua itaque ignotas quatitates relativas non alia methodo,quam
absilutas innotescere posse sicut ergo,si quatuor sint quantitates,pr portionales id est eade sit ratio primae ad secundam,& tertiae ad quartam Lut earum una aliqua ignota cognoscatiar, necesse est, tres teli quae le
150쪽
Et Promotum Examen uadratura ir. 3
quae notae prius factae fuerint ι nec ulla hactenus tradita est ars, sed nec tradi potest, qua ex duabus tantum earum quibuscunque notis, reliquarum duarum, vel etiam unius cognitio colligatur Ita etiam in relativis quatuor quantitatibus, in quatuor scilicet rationibus proportionalibus, siue quarum binae eandem habent inter se proportionem quam binae reliquae; idem plane contingit. Nam , si rationum , de quibus hic habetur sermo, AB dc O, proportio DL eadem sit cum Porportionem duarum rationum EF dc a solidorum ex ductu
subalterno genitorum motaeque factae tuerint tres quaecunque ex illis rationibus quatuor AB, CD, EF, G H . certum est quartam ignotam , notarum trium ope notam fieri posse. Vt, si ratio G H ignoretur caeteris tribus notis A B, C D. 6c EI. Si illis tribus quarta operiatur ratio GH proportionalis per Prop. 26 Lib. I. Exam. ea erit,quae
inquiritur. Eodem modo si ignota foret ratio EF reliquis tribus A B, C D ac GH notis Letiam ratio S innotesceret si fieret, ut CD ad Al , ita G H ad aliam TR seret enim, Inuertendo, ut ratio AB ad Ct cita DF inuenta ad G H. hoc est, hae quatuor rationes A B, C D, dc ER, GH forent proportionales, siue duarum priorum Aa, o proportio KL , aequalis foret proportioni M N duarum posteriorum EF, G H qc earum proportionum duarum Κ L, MN pr portionalitas P QIerminis aequalibus Pac QSonstaret, hoc est , fi
At verb, si ex illis quatuor rationibus , et earum eadem Proportio supponeretur, duae tantum notae haberentur meutra duarum reliquarum posset innotesceres: non secus quam termini duo rationum duarum proportionalium s ignoti suerint, ex duobus reliquis notis, noti euadere non possunti Par enim est in hoc casu absolutarum , dc relativarum quantitatum conditio. Quod Exemplo placet illustrare. Quatuor rationum AB, CD, de EF, GH aequales supponantur proportiones DL, de MN; hoc est, sint proporti
nate, siue earum proportionalitas P Q sit ratio aequalitatis hoc enim ex ea suppositione necessario sequitur' si igitur
notae sint duae tantum rationes
AB, dc CD: etsi constet proportiones a d Mi esse aequales. Nihilominus, neutra duarum ratiouum ignotarum E F