장음표시 사용
151쪽
enim multitudine infinitae rationes, eaeque specie diuersae quarum proportio sit semper aequiis proportioni M N siue Κ L. Ecce rationis E ad F quae decupla est , ad rationem quintuplam Gad inproportio est b, siue KL dupla: quae eadem proportio duplaim, est etiam proportio rationi R S triplae, ad rationem T V sesquialteram: e6que modo aliae M aliae rationes innumerae specie diuersae assumi possunt, quarum proportio sit semper di, aequalis proportioni KL,
notarum duarum rationum A B, CD ac proinde sint omnes rationibus A B, CD proportionales. Quomodo igitur si duae tantii notae rationes quatuor quantitatum supponantur praeter notam proportionem reperiri poterunt aliae duae rationes ignotae quatuor ignotarum quantitatum poterunt inueniri has certe nequaquam tacilius fuerit
dupla, datisque duobus tantum terminis AB rationis A , notis; alterutrum terminum vel re aut utrumque ignotum, notum volueris exhibere neque enim minus terminus Edo, quam Clara poterit a
sumi ue ut quaestioni satisfiat tam siquidem E ad F quam C ad Diationem duplam termini noti A 4 ad terminum notum C 2 obseruat. Ex his sequitur, clarius constare nihil Geometricum posse , quam quod hac Propositione affertum est a me nimirum. Etsi cognoscantur quatuor quantitates A, B, C, D ex simplici ductu planorum determinatae: ac proinde notae etiam sint earum rationes duae A ad B G ad in notaque earum rationum proportio DL: ε praeter haec , Authori Quadraturae , eiusque Interpretibus concederetur quod ut falsum concedi minime debere nuper demonstratum est in eandem esse proportionem M , rationum EF, G re, quam obseruant genita solida ex ducti subalterno planorum eorumdem quibus in se directe ductis producuntur Solida A, B, C, D, Etsi, inquam, haec ita supponantur. Nisi tamen praeter duas rationes Aa, MCD notas , notamque pro portionem D duarum rationum EF, G H ignotarum , alterutraharum rationum saltem detur nequaquam tamen notas fieri posse
has rationes EF, G H , quas obseruant Solida ex ducto subalterno genita. Quod cum ita sit. Clim Solida illa omnia E, F G, H ignota sint sunt enim cylindracea basi insistentia circulari , adoque ignotae, quae inuestiganda proponituri etiam ignorari necesse est tam eorum rationes EF, GH, quam ratione, cum eaedem sint cum solidorum ipsorum rationibus lassium circularium, quibus insistunt Cylindracca Solidis illis aequalia. Ergo etiam ex ea rationum ignoratione sequitur
152쪽
Et Promotum Examen Auadratura is
quitur bases illas circulares inter se non posse comparari, nec aliquid per hane comparationem cimilare detegi, quod rectilineo cuipiam ut aequale, hoc est, ut verbo dicam, nec Quadratura haec secunda, nec reliqua ei assines tertiari quarta ex eodem deducta principio ad exitum scelicem coptatum hac methodo perduci possunt. Quod ostendendum susceperam. Ex dictis Ue hactenus euidenter constare opinor quam sim non inanes, in Examine Madratura proposui, difficultates, quibus laborare identurha celeberrima celeberrimi Geometra . P. Gregori a S. Vincentis diuadratura cum eas vir eruditione non vulgari clarus R. P. Hane.
A Uram, dum omni stadio conatur dissoluere, o Euadratura ipsas tueri; vix a ne vix quidem , id, ut paruit, praestiterit. Unde sane graaius hos viragoni es omnes in dubium vocandi nascitur argumentum. Neque enim vel ipse laudatin Euadraturarem interpres, vel etiam earundem Authres is enis eo inconsulto, cuius res agebatur, eius aditor hoe opus in eius gratiam ediderit) quidpiam miserint eorum, quibus hi explicari, Albiaque, o abomni tum praesenti, tam olim fortassesturo ruina periculo libe. rari possent diuod cum minus ex sententita istin perfectum suadeamatam aperta in contrarium adducta tot Argumentae multo minas ab alis quisis idem aliquando praestandum merito videri debet cadesque teresama demonstrarum haberi, Euadraturam hac methodo ad exitum perdati nullo modo posse. An exb eadem sententia ferri debeat in eam, Pam quasi nouam ad duritis P. A Ucom uadraturam, nunc venit expenden-- υι, flos fuerit, nihil hae in materi/ omittatur: de quo rursu mouendast asiquando
153쪽
vilia q dam quasi noua Euadratura ratio a Geometra non vulgari R. P. Hanc A Ucom exposita multiplici
nomine rei'cienda demonmatur. PROPOSITIO XXX4U. morema. MEthodus quasi noua circulum quadrandia Quadraturarum interprete clatissimo adducta, rejiciunda vid tur non solum ob rationec ob quas secunda cum duabus fe-quentibus tertia & quarta reiecta est: verum etiam ob alias peculiares, quae in illa methodo occurrunt.
Postquam eximius Quadraturarum interpres R. P. Amsco e rum principia declarasse, dcrundamenta pro munere seseepto statuisse sibi visus est, obiectisque dissicultatibus occurrisse ad idem illud munus suum pertinere iure censuit ipsam tetragonismi praxim tra dere, qua scilicet fusius exponeret constructionem totam, esque ratione querelis sati,faceret quas Authoris Cyclometriae huius maxima breuitas cum obscuritate coniuncta in ipsum concitarat. Illa ergo pravis, quam laudatus Author in secunda cuculi Quadratura proseeutus est, haud admodum probanda mihi videtur trium quia iis ipsis fundamentis nititur , quae non satis firma fuisse ex superioribus colligi potest tum quia aIlas de nouo dilucultates mutauit, quibus indiscrimen adducitur. DuasItaque varies continet haec Propositio demonstrandas. Ii priore declarandum est hanc lutionem , vel eandem esse cum Glutione secundae Quadratum, aut certe ex iisdem fundamentis concludi. In posteriore obseruari debent ea, quorum memini, viti, quibus eadem noua tautio labefactari videtur Demon a
154쪽
Et Promotum Examen uadraturae tris
Prior pars huius Propositionis, quae praecipua est,utpote quae totius huius Quadraturae de nouo adductae fundamentu est, paucis concludi potest. Cum enim eadem sit haec Quadratura cum secunda Authoris Quadratura, eo tantum discrimine ab ea diuersa , quod haec noua paulo susius, &dsistinctius exponatur, quam illa secunda ab Authore fuisset deducta. Quid opus nouis Argumentis praeter iam allata ad hanc impugnandam, ac concludendum de novo, eandem ab otvmi labe minime esse immunem Nec vero ullatenus dubitandum est, an hae Quadraturae duae, eaedem sint eodemque e principio petitae illud habes Prop. 3r superiore ex Authore Quadraturae recitatum i quod consule, recum hoc conser, quod ex Quadraturarum interprete adduco salua tamen designatione mea quam haec tabella continet Prop.
27. constructavi apposita ad schema, quo hactenus usus sum. Dico, inquit Prop 3. Secundae Circuli Quadrat rationem stiri A ad filiam , esse ad rationem solidi Cad solidam Discat rati solidi E ad solidum, ad ratio solidi Gad solidum H est est, Proportio KLur itionis AB ad rationem GD aequalis est proportioni μ rationis EF ad rationem M. Atque ade proportionis KL ad proporri
nem MN proportionalitas P in quaedam ratio aequalitatis siue te mini P. labent esse aequales, ve asserit adraturae interpres Atque hoc Tncorem suum probare conatur laudatus Author Sed siue Cadem ratiocinatione utatur, qua Quadraturae Author 'sus est siue diuers. perinde vitio aliquo eam laborare certum est Deum ostenderim tantam interesse diuersitatem inter terminos Propbrtionalitatis
Pacravi in utroque Paradigmate ex Examine petito hic apposito
cernitur. Quain Paradigma primum. P. Io I 6 84 23 I 23.
Paradigma secandum. P. 3 38 1989O.
legibus tu Geometriae, tum Α-rithmeticae cal---- , . cuius sit admeinitus insuperioribiis Prop. 3a satis constat. In quo autem omnes illas
ratiocinatione sue ab Authore Quadraturae,sue a Quadraturaeiaut re institutas peccare contingat, haud fuerit operae pretium pluribus inuestigare per numeros in posteriori satis est mihi euidenter demonstraste falsum esse eandem esse proportionem x rationis AB ad rationem CD quam utramque gignit ductus Ordinatus)cum Propositione MN rationum EF, GH ex ductu subalterno genitarum suesquod idem exproportionis DL ad proportionem MN proportion
155쪽
litatem PQ esse aequalitatis siue terminos illius Pi Q. esse aequeses. Dicam tamen hic obiter quod in pari eas obiter iudicaui superius
Nimirum conglobationem illam proportionum, qua ut medio ad illationem suam utuntur clarissimi hi Geometrae non esse Proporti num additionem : cum rationum ipsarum termini tam Antecedentes quam conlequentes simul addantur, ex qua additione iam nascitust nascitur
156쪽
Et Promatum Examen uuadratura et 3 a
nascitur rationum ipsarum, cum dissimiles sint, summa perturbatio; quae deinceps in rationum earundem proportionem multo maior dc-riuetur. Vnde non mirum si tanta, quantam retuli, proportionalitatis
P naequalitas consequatur cac demum ex ea inaequalitate veritas colligatur prioris partis Propositionis huius. Quod cilicet rcjici debeat baec Quadratura in speciem noua ob easdem rationes, ob quas Quadratura secunda rejecta ruit; quarum rationum haec est prima. Altera non minoris , qu m prior ponderis , quam Propositione 33 adduxi, haec est. Quamuis concederetur eximio cyclometriae huius fautori proportionem D rationum Atm C Dex ducti ordinato genitarum aequalem esse proportioni M N rationum EF, M GH, quas genuit ductus subalternus , siue carum proportionum proportionalitatem PQ constare terminis aequalibus Pacin haud quaquam tamen nota fieret alterutra rationum ignotarum Ei aut G H, ut notam fieri necesse est ad Quadraturae huius solutionem Ostcnsum siquidem est citata Propositione Prop. 8 Lib. 3. Exam. Quadrat ex nota Proportionalitate , aut quod perinde est ex notis duabus proportionibus, ves L, dc et si duae quaecumque
rationes tantum cognoscantur, reliquas cognosci non posse e necessa rium enim est,ut praeter quatuor rationu proportiones duas notaS,aut notam earum proportionum proportionalitatem, ut PQ, non duae tantum rationes, sed tres innotescant prius, ut quarta possit innotescere. Quemadmodum enim ut citato loco exposui in absolutis , si
quatuor suerint quantitates proportionale .cx tribus notis,ac non ex duabus tantum , quarta cognosci potest Lita etiam in relativis accidit: necessarium enim est, ut e quatuor rationibus proportionalibus tres habeantur notae , ut quarta ignota colligatur. At in casu nostro duae tantum rationes A B dc CD quae ex ductu directo generantur, notae
sunt, utraque vero illa ratio EF d GH, quam ductus subalternus producit, ignota est si enim earum altera nota esset, nota utique esset, quae inquiritur, Quadratura , siquidem earum termini, plana sunt circularia dissimilia dc inaequaliaci unde quidpiam rectilineum curvilineo aequale colligere liceret. Quare etiam sconcedatur legitime probatum esse a Quadraturae Authoribus, rationes A B, CD, 6c EF, G H esse proportionales, hoc est, proportiones ΚLd MN esse aequalesci vel harum proportionum proportionalitatem P QIsse aequalitatis nihil tamen ex ea concessione ad Quadraturam compen. dij sequeretur Atque adeblatiam ex hoc capite dici non potest ad exitum perducta Quadratura, ut asserit Propositionis huius 3 . pars
prior, quae erat demonstranda. R. Demou
157쪽
Posterior Pars Propositionis huius 34 alserit hanc de nouo allatam miragonismi methodum, aut potius secundam eximis clometriae Authoris Quadraturam explicatione non paulo tusiore ab erudito interprete illustiatarn,hac inexplicatione quasdam patidissicultates ob quas,ecsi aliude ab omni vitio seret immuni vix a Geometria deberet
158쪽
Et Promotum Examen uadraturae s
admitti . Atque in harum dissicultatum expostrione tota versatur quam ineo partis posterioris Propositionis demonstratio Has igitur singulas hoc ordine prosecuturus sum. Prima di cutias. Prima haec difficultas continetur Propositione . secundae circuli Quadraturae pag. 49. quam eApono iuxta meam iam saepius usurpatam diagrammatis designationem , eiusque indices characteres, sensu interim, ipsisque adeo Authoris verbis seruatis. Sic igitur habet citata
Propositio. Sint AI FL diametri quaecunaue aquales parabola ADFor ducan- arque per Ioauor nalesu D ULM Axem AB. orte ostendere corpora ex ductupartiam A ID FLO ins stibalterne.
es reducta ad frusta cylindrica habere diuersas altitudines her pro basibus
segmenta circularia diuersorum circuismin utrumque autem oporteat determinare. Haec ille, in quibus haec obseruo.
Proponit Quadraturarum interpres ostendendum lila esse corpora ex ductu partium parabolicarum AID, DUO in se subalterne, dcredi Eta ad se usta cylindrica habere diuersas altitudine siri pro basibus
segmenta circularia diuersorum circulorum Animadu to quidem dc de admitto huiusmodi corpora ad frusta cylindrica reducta bases ancisci circulares diuersorum circulorum, easque, vel hac Propositione vel praecedente4 recte esse determinatas corporis enim cylindiici
solido ex ductu subalterno parabolae AID genito aequalis basis est semicirculus A m basis autem cylindrace aequalis solido ex segmento parabolico i in se ducto subalterne , est mixtum quoddam
planum ex plano mixto Erias abscissum, adiacens arcuim R., rum igitur est, imoac determinatum duo huiusmodi cylindracea ha here probasibus segmenta circularia diuerserum circulorum. At ubi habetur demonstratum vel hae propositiones in qua id Oportet ostendere,vel alia quavis duo illa cylindracea habere diuersas altitudines t nusquam Attamen id priusquam ipsae altitudines dete minarentur, ostendendum fuerat: viii oblemati proposito satisfieret, quod expressis verbis id exigit. Sed minime mirum, si cylindraeeorum issorum altitudines diuersae ab eximio Geometra ostensae non fiterint .et id ab eo propositum hic fuisset aequales enim ambae sunt huiusmodi cri indraceorum altia tudines , dc quidem ambae aequales lateri recto parabolae ADFO. Nunquid illita satis clare, euidenter demonstraueram Lib. 3. Prop. N . Examini: Quadrat. eaque Appositione anquam certa isdu-hitata in Epilogismis tot ealaulorum cialigendis semper usus fuerani3 VL
159쪽
Vc es h uno argumento cui aliud similalam supra erumn Q
ducat ut credam, Examen illud meum acurae a s actuaturae fautore lectum , aut perpensum fuisse paulo inurus, quam responsio, quam moliebatur, exigeret cin afferendae, si de attentio accessisset, fortasse supersedisset, laborique sane graui pepercisset usem ab eo in hanc responsionem impensum oportinc Masa hoc in allata propositione commisso lapsu satis. cum talis non sit, ut e occurri non possic nec pereum, si solus foret impediatur Quadrarii. rae persecta solutio non tamen parum ad hanc Propossitionis ea partem secundam stabiliendam conterre videtur. seeunda inculi Secunda dissicultas, quae ad huius Quadraturae hac methodo in ouendae solutionem aditum praecludere videtur, pendet tum ex Pr positione .secundae circuli Quadraturae pag.I4 taeduct Geometricae tum ex scholio Lemmatis a pag. is a. his enim in locis constructio duplex affertur ad Quadraturam necessarii quarum tamen navit ri, ut oportere minime potest inseruire atque adeo ex hoc etiam capite R.P. ynscom Quadraturam hac methodo minime ex nubuisse censendus foret. Nam citato scholio duas parabolae diametros in adraturam necessarias laudatus Author tales assumit, ac determi-- ac tales assumptas ac determinatas hoc toto in tractatu a te intelligi monet, ut earum altera sit Axis parabolae altera prior Musi f* ducatur ut per eius extrema puncta ad axem normales ductae lineae, siue ad axem ordinatim applicatae, abscindant ex quodam circa axem descripto semicirculo arcum toti semicirculo in in meo diagrammate sunt diametri AI,&FL lineae autem per extrema puncta FN L, diametri FLad axem applicatae sunt i, O R,roductae abscindunt ex semicirculo ΑΚ RBarcum RR, quemno ipsi semicirculo commensurabilem sicut hunc semicircuisatum toti semicirculo A QI circa alteram diametrum AI et
criptori has enim conditiones ad commensurabilitatem vult Quadraturae interpres obseruari modumque , quocerudite suo modo docet cit xi losi. . .. . . Hanc porrδ constructionem instituit eius Author ut deinceps ostendat iuxta sua, suique potius praeceptoris principia proportionem rationis E ad F hic etiam breuitatis causa meum obseruo simplicibus
characteribus solidae ductu subalterno enixa devo et
hactenus usurpatumrad rationem G ad H, hoc est,i ruonem MN notam esse ex eo, quδd nota sit proportio KL rationis A ad B: - C ad D quae ad solida pertinent genita ex ductu ordinax
160쪽
eorundem panorum, e quorum ductu subalterno genita fuerunt
solida E, F,&GH haec enim proportio ς nota est co quod solida A, B;&C Dad rectilinea sint reducta. At haec blida A, B, C, D, ex ductu ordinato genita, ad solida rectilinea quomodo, aut via iuuadraturarum fautore reducta fueres Propositione 4. Secundae Quadraturae pag. 46 inquiet, in ea enim praxis docetur, qua nota fiant haec solidi notique proinde habeatur rationum, quas obseruant, proportio, ad Quadraturam hanc omnino necessaria, ut citatae Propositionis Corollario habetur. At ego contra assuro ope citatae illius Propossitionis . nullo modo notam fieri posse proportionem I solidorum ex ductu ordinato genitorum in casu assignato,in determinato in scholio Lemmatis . pag. r 3. quem exposui paulo ante. Atque adeo assero exhibitam non esse, nec exhiberi posse a Quadraturae Promotore Quadraturam hac, quam exponit, methodo Assertio haec mea melius nequit demonstrari, quam allata Propolitionis citatae constructione, quae sic habet. Sint inquit Propositionis Author, Λ B, CD
les in Parabola EFiexcipere debuit axem parabolae tanquam mutilemo actissae per
cere ad nora corpor . Constructio. Agar ν per Mosmnngens is G aecumen C proaucta mi Ponatam