장음표시 사용
161쪽
A CB ducta inse. 'MEnsem methodo reduceturpars CED ducta inse, adparallelepipedum notum. Haec ille ac quidem satis.. Iam quaero ab erudito Geometra, si in ipso eius schemate diame terat solet axis Parabolae vi deinceps supponit, supponique, ac ita determinari vult citato scholio paginae 13. eaque racu suppositionet hanc suam Quadraturam prosequitur absoluit. Quombdo notum fieret solidum ex Parabola Aci ducta in se ordinates Si enim tunc ducatur tangens A G per punctum A, quod statuatur vertex Paris Iae nunquam cum huiusmodi tangente concursura est B G normalis ad Adi atque aded nullum dabitur planum AC G, quod ducatur in altitudinem aliquam OP quae & ipsa tunc perit , duo siquidem puncta oeci in eo casu coales int in ipse axe Parabolae, Quae cum ita sint. Quamuis verum seret proportionem KL rationum duarum A B, CD, quas obseruant selida ex ductu ordinato genita, aequalem esse proportionii , rationum EF, GH inter lolida ex ductu subalterno priareata: quod falsum ostendit Nequaquam tamen hac methodo quam secutus est Quadraturae promotor,
ad exitum scelicem Quadraturam perduxisse censeri potest. vnia discultas. Eadem circuli Quadrandi ratio impugnari posse videtur argumem
to ex paulo ante relata determinatione cluarum diametrorum aequalium parabolae quae in scholio Lemmatis a pag. i 34,vel 33 assigna. tur in haec verba.
Sit, inquit Quadraturae huius Promotor,semicirculus Actsescriptus super axe AB parabola ADO. Sit autem o semicireu at AKR B priori maior,se, perimeter ARB sit commensurabilis perimetro
A Cum per Lem. 2. nueniatur in perimetro AR arcus a commemsurabilis perimetro ARB a euius extremitatibus x. edacta normales ad axem A B intercipiant in illopartem E V aqualem diametro A I dueatur
que ex F puncto intersectionis parabole est mea RE, recta L parallela axi A B. Erunt AI FL diametri aquales eiusdem parabola, ct parte ρ rabolica AID FLO, Uia de quibus praecedentes sequentes Propostiones melim intelligi ait idem Author. Quod ergo in hac determinatione diametrorum parabolicarum LM F difficultatem patitur, quam hic objicio,in hoc versantur. Vult Quadraturaeanterpres partes Parabolicas AID, FLO ius esse,
e quibuit cedentes sequore Propositio- sum vult intellis Vult
162쪽
Et Promotum Examen cumbatura ix
ergo partem parabolicam AID in se subalterne ductam corpu generare cui aequalis sit emi cylindrus basi insistens semicirculari A m; cuius altitudinem determinat Prop.7 pag. Iso Vultitiam non tantii in partem Parabolicam FLO in se subalterne duci; sed etiam partem ET ON; in hanc quidem ita in se ductam corpus generare, cui sit aequale corpus quoddam cylindraceum basi insistens mixti lineae EAE R V, arcum R,i rectis ΕΚ, E V V R, circumscriptae i cuius etiam altitudinem determinat citata Prop. 7 de qua superius dissicul. . egi xcuius porro cylindrace pars quaedam item cylindrace solido sit aequalis, quod ex parte parabolica L in se subalterne ducta
generatur. Hanc enim suppositionem tam in praecedentibus, quam insequentibus Propositionibus suis Idem Author assumit, iuxta candem, Hi adraturam suam absoluit. Censet igitur corpus ex segmento parabolico quadrilatero EF O V in se sub alterr ductogenitum, aequale esse cylindra cco, cuius basis sit planum mixtum Em R V: cuius scilicet unum latus sit arcu DR , perimetro AKR B commensurabilis, iuxta ab eo statutam constructionem. At ego in hoc , pace doctissimi Geometrae dixerim , longe aliter sent endum puto afferoque longe aliter determinandam esse
basim illam mixtam Ex V cylindrace solido aequalis, quod ex
duehu subalterno portionis par bolica ET O V producitur, neque eam esse,qua tam In preceden
tibin quam in sequentibus proposiationibus utitur. In iis enim omnibus supponit portionem parabolicam ET O V in seipsu subal
aequale cylindrace , cuius basis sit planum mixtum. EΚRV At nisi planum hoc mixtum tale sit viduae rectar Κ, Marcum K perimetro semicirculari AKRM com
163쪽
commensorabilem in rcipientes, sint aequales inter se tinuod tuin demum eueniet, cum aequaliter a centro circuli AKR distabunt
per Prop. 14. Lib. 3. Elem. in Nequaquam esse potest bas illius csii dracei solido quod ex ductu portionis E FOV in se iubaltem m. neratur esto possit esse basis alterius cuiusdam cylindrace , solido aequalis, quod producituris segmento quidem parabolico EFO subalterne ducto , non in seipsum , sed in aliud quoddam eiusdem
parabolae mmcntum syae, ut evadant a portissima, in eodem diagrammam pauca haec delinea.
Parabolam describe BPX priori parabolae AF aequalem
obuersam , cuius veric sit B; eaque lecet rectas Em, VR in punctis
P .X. Diuisa etiam recta E V bifariam in C, centro C semicirculus dei cribatur Aria H secans in Sac Tiroductas lineas Em, V Mi ac demum parabola describatur circa axem H A prioribus aequalis, obuersa cro parabolae A FG; quae secabit lineas ΕΚ, V in punctis L, G. Hispositis, clarum est portiones obuersas, siue sub alterne po-mas EFOV, BDULGE esse aequales aequales cnim sunt tam duae ordinatim applicatae EF, V L, quam duae E G, V in Tamenim illae, quam istae aequaliter distant a verticibus Aa H suarum parabolarum aequalium Vnde primo fit apertum portioncm parabolicam EFG
in se subalterne ductam, vel duc tam in obneriam portionem EG LV, generare corpus quod cit aequale Tlindraceo, cuius basiis est planum mixtum EST V, altitudo vero cst latus rectum parabolarum,ut supra declaratum est Corpus ergo ex portione EFOV in se subalterne ducta genitum, nequaquam aequale esse potcst cylindraceo, cuius basis si planum mixtum E DR V, nisi in eo uno casu , in quo continget
rectas DK V R esse aequalcs; vel l quod in idem recidit iis quando
eaedem rectae a centro circuli cuius arcum abscindunt, aequaliter distabiant. Quare Quadraturae promotor scholio illo Lemmatis 1 .recitato superius non antlim debuit determinare, ut circulus A KR B describeretur maior circulo AMI ad arbitrium,& ut in eo arcu DR inuestigaretur perimetro semicirculari commensurabilis, per cuius extrema
punctari, R ductae lineae normalcs DE, R V ad axem A B, abscinderent ex ipso axe rectam E V aequalem diametro AI circuli AMI: Sed praeterea conditio adhibenda neccssario fuit , circulus circulo A I maior describeretur talis, ut ex eo arcus Κ Rabscindi posset, ex cuius extremis punctis Dd R ductae normales DEAE R V ad axem
AS, ec abscindentes TY aequalem diametro Ad circuli AHI,essent
164쪽
inter se aequales,vel certe aequaliter centro circuli descripti AKRBhinc inde aequaliter distarent siue quod idem est, eiusdem circuli centrum punctum medium lineae abscissae LV occuparet. Quam conditionem negoti,non mediocris foret obseruare. Verum siue leuis, siue grauis negoti conditio ea sit , ad proposivam determinationem , ut
Omnino necessiria omitti non debuit a Quadratura intei prete cum in omnibus tam praecedentibus, quam sequentibus propositionibus suis ab eodem lippo
natura nec ullum liceat eius schema obseruare, in quo summa non habeatur eius ratio; ut haberi reuera debuit ad eius institutum. Cum igitur a proposito tam aliena sit haec aicus R, clineae V, quam Quadraturae Promotor adducit, determinatio nec ad Quadraturam promouenda, vel in praecedentibas vel in sequentibiis propositionibus ab eo sit unquam adhibita, licet ab eodem semper adhibenda Macratur: videris, quid de huiusmodi Quadratura ex suppositionibus , Principiisque tam incertis , deducta sentire
eius enim mentio superius ficta est in cum portio Parabolica ET O V in se subalterne ducta non gignat solidum aequale 3lindracco, cuius basis sit dianum mixtum ΕΚ RV i in quam aliam portionem parabolicam eadem portio EFO V subalterne postam duci deberi ut corpus gignat cylindraceo aequale, cuius basis sit planum illud mixtum E KRV spondeo portionem EI O V duci debere in portioncm LX P Viquam eaedem lineae E R intercipiunt ex parabola BPX obuersa parabolae AF O, cuius vertex est B. Quod ex superioribus, vel ex Lib. I. Exam. Quadr vel ex ipso Cyclometriae Authore Lib. I O. Oper. Geom. satis aperte constat Tota enim Parabola AFo ducta in Parabolam
165쪽
subalterne posta BP XL, corpus generat aequale solido Cylindracei; cuius basis est semicirculus ΑΚ RB altitudo vero, ut ostendi, est Latus Rectum duae autem quaelibet portiones ex duabus obuersis Parabolis interceptae a duabus quibus ibet lineis E Κ, V ad axem normalibus, in se ductae, solidum generant aequale cylindraceo cuius balis est planum mistuma KRV, eisdem lineis ΕΚ, VR interceptum, altitudo vero est Latus Rechum Parabolarum.
Mart Ucultas prae raseris i lanu, qua promotae huius uadra-
. tura fundamemam euertitur. A Llaiae hactenus, quaeque afferri possent aliae dissicultates ad Propositionis huius 4 veritatem stabiliendam non inanes quidem videri dcbeant : Quam tamen nunc affero, pondem longe adhuc maioris sutura est , utpote quae principium , unde Quadratura haec colligitur, euidenter concutiat. Illud autem habetur Lem.4. Propo- siclonis . Secundae Quadraturae pag. is . ubi Quadraturae promotor hanc affert Asscrtionem. Esto υι io EC ad BA ad rationem EF ad EDdυt linea in ad lineam GDico rationem B C ad Cis esse ad rationem EF ad FD, ut linea HX
Pi oportio rationis B C ad Baad rationem EF ad BD certe, inquit, re ad G proportio rationis B C ad CH, ad ratio. nem EF ad PD. Quod uniuersaliter asserit, siue uerit ratio G ad FI minoris inaequalitatis , ut in priori schemate , siue, ut in posteriori,im aequalitatis maioris Athoe in utroque casu propositionem hanc Geometriae repugnam atque adeo etragonismum, qui ei vel maxime nititur, stare non posse , euidenter ostendo, idque duplici inita ratiocinatione. Priorem instituo a posteriori per numeros quorum Epilogismus absit dum
166쪽
Et Promotum Examen uadratura i 1
dum non leue ex ea Propositione sequi aperte demonstrat Posterior in causa huius desectus, qui non nisi ex talsa aliqua propositione adprobationem Assertionis illius assumpta nascituet, inuestiganda tota
Ad priorem hac primum utor suppositione. Sunto Α Β ωD Eaequalcs: quarum utraque partium s. statuatur, quarum una sit CBι duae vero sint Utar ut nimirum ratio I ad PE sit inaequalitatis minoris, subdupla scilicet. Sit etiam linea quaecunque GH, quae bifariam diuidatur in , ut sit etiam ratio Κ subdupla, similis nimirum rationi CB ad FE. Quibus suppositis. Ita est ratio CB ad B A, ad rationem FE ad Eret ut C B est ad PE, sue, ut ΚHad HG. Nam, cum AB, DE, quae sunt ambarum rationum consequentes, positae sint aequales ita est per Prop.7. Lib. i. Exam. Quadrat ratio CB ad A B, ad rationem E ad D ta ut est antecedens illius CB, ad huius Antecedentem E. Ita ut ratio et ad PE sit proportio rationum C B ad A B in F E ad D ta quo eodem iure ratio, H ad G H quos terminos terminis CB, RE aequales hic esse volo heri earumdem rationum proportio. Cum ergo hac facta hypothesi ita sit ratio
B ad AI ad rationem PE ad D Es ut est Κει ad G H quae est ipsa
Authoris suppositio vita erit ratio CB ad C A siue i ad , ad rationem FEM FD 1 ad 3 ve est ΚH ad ΚG, nempe vera ad i nixta Authoris Assertionem. Quae si vera est; verum erit rationem 1 ad aequalem esse rationi 2 ad 3. Cum earum rationum proportio; HI ad K GI sit ratio aequalitatis Lada Atrationes Lad 4, a. ad 3 aequales esse asserer id vero est absurdissimum rationi siquidem ad aequalis est ratio 1 ad 8, non autem 1 ad 3. Quod cum ita sit, patet Propositionis huius quae Quadraturae quasi nouae basis est,falsitas. Alterum in maiorem confirmationem lucemque profero Paradigma, X ta posterius schema lupra allatum, in quo ratio CB ad F sit maioris inaequalitatis. Sint iterum AB, D aequales, trium unaquaeque partium quarum C B sit duarum, unius autem DE: ponatur etiam es partium duarum GH vnius siue ponantur Κ G, G H, aequales duabus CB, FE. His suppositis. Ita est iuxta proxime institutam ratiocinationem ratio CB ad A B, ad rationem PE ad D ta ut
ΚH ad G quae est Hypothesis ab Authore praescripta. Ergo ita debet esse iuxta eundem ratio CB ad Ac ad rationem P ad D F; ut G H est ad DG id est ut i ad i est enim Κυ partium duarum,& bifariam diuiditur in GO Vnde fit iuxta hanc Ausertionem, Vt ratio C B ad AC a ad ii ad rationem PE ad DT 1 ad xl sint aequales, dupla
167쪽
dupla scilicet, subdupla. Quo nihil est a vero alienius Et id miror a Geometra pererudito in re tanti ad institutum suum momenti nociesse obseruatum. Constat ergo ex dictis hactenus ope numerorum dea posteriori, vitio non carere falsae huius Propositionis probationem quod occultissimum non potest non esse, quando tantos Geometras, Quadraturae Authorem quis enim haec edita absque eius approbatione sibi persuadeat Peiusque interpretem ira latuit,ut fugerit Quod ut comperiamus , etsi minime ad institutum id necessarium sit, cuι sufficit Propositionem hanc falsam esse ostendisse, undecunque fuerit prosccta falsitas, probationis ab interprete allatae seridi reseunda est. Quae sic habet. uoniam, inquit, ratio EC ad BA est ad rationem EF ad Emmis κes ad HG. Igitur rationis B Cadis A denominator est HK, restem, Gdenominatoru rationua F ad Ei. Non moror hic rursus, ut hanc de nominatoris rationum singularum acceptionem rejiciam, cum Lib. i. Examinis Quadrat. Prop. i. admitti non posse demonstrari nee paucis neco curis Quis enim non videat hac in Hypothesi rationem re ad HG, esse proportionem rationis B C ad BA, ad rationem EF ad SD atque adeo lianc ipsam rationem re ad H G dici posse, ac reuera csse denominatorem non rationum, sed rationum Urundem proportionis. Quod linamse et si leue in speciem videatur, obseruassent doctissimi cyci metra multis enim suis contemplationibus egre iv tenebras detersissent, quas iis offusas dolemus. Dicatur te
quem ma H G proportio rationii BC ad B AL&EFadi D. Pergit autem Est verone
168쪽
Et Promotum fixamen Quadratura r
in quibus aequales ponuntur termini Alm DE, rationem aequalitatis constituunt, Harissima. Sed pergat Author Ergo ratio antecedentium B C ad Esad rationem disserentiarum C A ad F eadem erit 6 scopulum in eum ratιone antecedentis ΗΚ ad disserentiam, G: Hoc et , noverbo, re ad G, est proportio rationi sic ad EF ad rationem GA ad F D. At hic est, cur merit 6 quaeram, quo ex principi, Qua ex Propositione, siue in Elementis habeatur siue in tam ampla Propositionum ad rationes, rationumque proportiones pertinentium sylua Libro de Proportionalitatibus a P. Gregorio congesta lateat siue ab alio quopiam Authore allata fuerit; haec illatio deduci queata nullam enim hic praeter morem,praetesque exigentiam cum principium per se notum non sit ea consequentia citari obseruare est. Nec mirum cum , quae ex ea sequitur conclusio, ut ex paulo ante declaratis absurdis iam patuit, nequeat admitti tanquam vera. Hanc autem ex illa colligit Quadraturae huius Author Sed utrario Cad EF ad rationem C A ad FD: ita est rati BC ad C ad rationem EF ad F D per 39. de Propora. Igitur trux ad ΚG, ita est ratio B ad C A ad rationem EF ad FD. uod erat demonstrandum. At haec conclusio 'uae est ipsemet, prout esse debet, propositio demonstranda a veritate alienissima est, quemadmodum supra per numeros probatum est euidentissime. Eius ver,defectum, quem ex aliqua ratiocinationis totius alia propositione proficisci necesse est; non aliunde profeetum assero, quam ex ea una propositione in qua Quadraturarum interpres supponitos nec ullo modo , ut iam monui, probat rationem B C ad DF ad rationem C A ad F D, ita se habere a rex ad Gisue ΗΚ ad x G, esse proportionem rationum BC ad EF, C A ad F De Ita ut ea ipsa sola causa sit falsitatis, quam patitur ipsa conclusio, ut numeri superius allati aperte demonstrant. Et vero praeterquam quod probatione caret ea Prop. eodemque, quo asseritur, iure negari potest i eius falsitas arguitur euidenter in
duplici schematis superioris casuri in quo utroque AB, ωD E supponuntur aequales. Qua facta Hypothesi patuit rationem CB ad F Eeandem esse cum ratione AE ad Gi, utramque esse proporti nem rationis C B ad Ba, ad rationem PE ad E D. Cum enim rationia CB ad B A, MPE ad SD, consequentes Baia sint aequales. ita se habet ratio C B ad B A, ad rationem PE ad SD, ut antecedens CB se habet ad antecedentem FI, siue ut K H ad H G. Cum ergo hi duo consequentes B A,in E in alios maiores,dc minores seruas aequalitate mutari possint, idemque ipsi antecedentes CB, FE semper
169쪽
ductus directus ductus subalternus
Posterior Pars Propositionis huius 3 . asserit hanc de nouo allatam Tetragonismi methodum, aut potius secundam eximiscyclometriae Authoris Quadraturam explicatione non paulo fusiore ab erudito interprete illustratam hac in explicatione quasdam pati dissicultates ob quas,cι si aliude ab omni vitio foret immunis,uix a Geometria deberet admitti.
170쪽
E Promotum Examen uadratura. 33
admitti. Atque in harum dissicultatum expostrione tota versatur quam ineo martis posterioris Propositionis demonstratio Has igi-- singulas hoc ordine prosecuturus sum. Prima di cultas. Prima haec dissicultas continetur Propositione . secundae circuli Quadraturae pag. 4'. quam e pono iuxta meam iam saepius usurpatam diagrammatis designationem, eiusque indices characteres, sensu interim, ipsisque adeo Authoris verbis seruatis. Sic igitur habet citata Propositio. Sint AI, FL diametri quacunque aquale inparabou ADFDr ducan-νurgae per Ier L males ID UL ad Axem AB. portet ostendere corpora ex ductupartiam A ID, FLO inse subalterne,
o reducta ad frusta olindrica habere diuersas altitudine, o pro basilius.
segmenta ircularia diuersorum circuloruin utrumque autem oporteat determinare. Haec ille, in quibus haec obseruo. Proponit Quadraturarum interpres ostendendum hla esse corpora
ex ductu partium narrabolicarum AID, DUO in se subalterne,AE reducta ad trusta cylindrica habere diuersas altitudines, & pro basibus
segmenta circularia diuerserum circulorum Animaduerto quidem, &ωadmitto huiusmodi corpora ad frusta lindrica reducta bases ancisci circulares diuersorum circulorum, easque, vel hac Propositione vel praecedente4 recte esse determinatas corporis enim cylindrici
solido ex ductu subalterno parabolae AID genito aequalis basis est semicirculus A in basis autem cylindrace aequalis solido ex segmenio parabolico FLO in se ducto subalterne, est mixtum quoddam planum ex plano mixto Erias abscissum, adiacens arcuim R. verum igitur est, imbac determinatum duo huiusmodi cylindrace hahere pro basibus segmenta circularia diuersorum circulorum. At ubi habetur demonstratum vel hac propositiones in qua id oportet ostendere,vel alia quavis duo illa cylindracea habere diuersas altitudinest nusquam Attamen id priusquam ipsae altitudines dete minarentur, ostendendum suerat ut problemati propositio labiis fiet et, quod expressis verbis id exigit. Sed minime mirum, scylindraceorum issiorum altitudines diuersae ab eximio Geometra ostensae non suerint Letsi id ab eo propositumhla sitisset aequales enim ambae sin m huiusmodi cylindraceorum est tudines in quidem ambae aequales lateri recto parabolae ADFO. Nunquid illita satis clare, euidenter demonstraueram Lib. 3. Prop. Α-W1. Examini, Quadrat. eaque I positione tanquam certa&mdubitata in Epilogismis tot ealculorum colligendis semper usus fueram vi