장음표시 사용
171쪽
Vt vel hoc uno argumento cui aliud simile iam supra obseruaui, adducar ut credam, Examen illud meum Quadraturae a Quadraturae fautore lectum , aut perpensum tuisse paulo leuius, quam accurata
responsio, quam moliebatur, exiseret cui asserendae, si debita haec attentio accessiiset, fortasse supersedisset, laborique sane graui pepercisset quem ab eo in hanc responsionem impensum oportuit. Sed de hoc in allata propositione commisso lapsu satis , cum talis non sit, ut e
occurri non possit nec per eum, si solus seret, impediatur Quadraturae persecta solutio non tamen parum ad hanc Propositionis meae partem secundam stabiliendam conferre videtur. Secunda difficultas. Secunda dissicultas, quae ad huius Quadraturae hac methodo assequenda solutionem aditum praecludere videtur, pendet tum ex Propositione . secundae circuli Quadraturae pag. I 6.deduet. Geometricae tum ex scholio Lemmatis a. pag. si his enim in locis constructio duplex affertur ad Quadraturam necessaria, quarum tamen una alteri, ut oporteret minime potest inseruire, atque adeo ex hoc etiam capite R. P. Ayn scom Quadraturam hac methodo minime exhibuisse censendus foret. Nam citato scholio duas parabolae diametros ad Quadraturam necessarias laudatus Author tales assumit, ac determinat ac tales assumptas ac determinatas hoc toto in tractatu a se intelligi monet, ut earum altera sit Axis parabolaei altera priori aequalis, talis ducatur ut per eius extrema puncta ad axem normales ductae lineae, sue ad axem ordinatim applicatae , abicindant ex quodam circa axem descripto semicirculo arcum toti semicirculo commensurabilem. les in meo diagrammare sunt diametri A I, II lineae autem per extrema puncta F4 L, diametri P ad axem applicatae sunt PE , ON, quae produc te abscindunt ex semicirculo ΑΚ R B arcum Ra, quem suppono ipsi semicirculo commensurabilem sicut &hunc semicirculum totum toti semicirculo A in circa alteram diametrum AI descriptori has enim conditiones ad commensurabilitatem pertinentes vult Quadraturae interpres obseruari, modumque, quo obseruemur, erudite suo modo docet citatis locis. Hanc porro constructionem instituit eius Authorci ut deinceps
ostendat iuxta sua, sinque potius praeceptoris principia proportionem rationis E ad F licetiam breuitatis causa meum obseruo simplicibus characteribus solidae ductu subalterno genita designandi modum hactenus usurpatum ad rationem G ad H, hoc est, proportionem M N notam esse ex eo, quὁd nota sit proportio D rationis A ad Bad rationem Gad D: quae ad solida pertinent genita ex ductu ordinato
172쪽
eorunAem panorum, e quorum ductu subalterno genita tuerunt solida E, F, G in haec enim proportio D nota est,co quod Hida A, Bire Dad rectilinea sui reducta. At haec solida A, B, C, D, ex ductu ordinato genita, ad solida rectilinea quomodo, an via a Quadraturarum fautore reducta fueres Propositione . Secunuae Quadraturae pag. 46. inquiet, in ea enim praxis docetur, qua nota fiant haec solidi noesque proinde habeatur rationum, quas obseruant, proportio Κ ad uuadraturam hanes misis necessaria, ut citatae Propositionis Corollario habetur. At ego contra assuro ope citatae illius Propositionis . nullo modo notam fieri mile proportionem I solidorum ex ductu ordinato genitorum in eas assignato,in determinato in scholio Lemmatis . pag. F3. quem exposui Paulo ante. Atque adeo affero exhibitam non esse, nec exhiberi posie a Quadraturae Promotore Quadraturam hac, quam exponit, methodo Assertio haee mea melius nequie demonstrari, quam allata Propositionis citatae constructione, quae Ee habet. Sint inquit Propositionis Author, Λ B, CD
les in Parabo AEFὶ excipere debuit axem parabolae tanquam inutilemo actisque per se normalibus α. EF dueaturias paraia tela Caeta Mic solida orta ex ducta Ordinato partia- ACE, BAΗαCED. DC eqsas,riam
cere ad nota corpora, πιπν'm amringens is G, Momen Cae priauina mi Ponat is
173쪽
S Taqualem O P, aquale mixti eo AG CM Ain OP, hoc ess, Parabola Aca ducta inse. Eadem methodo reduceturpars CED ducta inse, ad parallelepipedum notum. Haec ille ri quidem satis.. Iam quaero ab erudito Geometra, si in ipso eius schemate diameteram Gret axis Parabolae vi deinceps apponit, supponique, ac ita determinari vult citato scholio paginae 3 3. eaque facti suppositione hanc sitam Quadraturam prosequitur, absoluit. Quom o notum fieret solidum ex Parabola Acm ducta in se ordinates Si enim tunc ducatur tangens A G per punctum A, quod statuatur vertex Paris Iae nunquam cum huiusmodi tangente concursura est B G normalis ad Adi atque adeo nullum dabitur planum AC G, quod ducatur in altitudinem aliquam O P quae & ipsa tunc perici duo siquidem puncta a P in eo casu coalest in in ipso axe Parabolan. Quae cum ita sint. Quamuis verum foret proportionem Κα rationum duarum Aa, CD, quas obseruant solida ex ductu ordinato genita, aequalem esse proportionii , rationum TF, G H inter solida ex ducit subalterno prὀcreata: quod falsum ostendi Nequaquam tamen hac methodo, quam secutus est Quadraturae promotor,
ad exitum stelicem Quadraturam perduxisse censeri potest. Tertia discutias. Eadem circuli Quadrandi ratio impugnari posse videtur argumento ex paulo ant,relata determinatione dVarum diametrorum aequalium parabolae quae in scholio Lemmatis a pag. 334,vel 13 assignatur in haec verba.
Sit, inquit Quadraturae huius Promotor semicir ω A m descriptus super axe in parabola Aii. Sit autem es semicirculin aliis AxRB priori maior,scvt perimeter ARBIis commensurabilis perimetro
A M. Cum per Lem. x. nueniatur in permetro AR arctis ς commensurabilisperimetro ARB aeuius extremitatib-X, Redacta normales ad axem Aa intercipiant in ilupartem EV aqualem diametro A D ducatu
que ex F puncto interfectionis parabol. erranea KE, recta n parallela axi A B. Erunt AI FL diametri aquales eiusdem parabola, o partes arabolica AID, FL O, ilia de quibus praecedentes sequentes Propositiones melim intelli fait idem Author. Quod ergo in hac determinatione diametrorum parabolicarum P& F dissicultatem patitur, quam hic objicio, ut hoc ver astur. Vult Quadraturae Interpres partes Parabolicas AID, FL , illas esse,
e quibus pracedentes sequentes Prosiiones sim ait intelligi Vult
174쪽
ergo partem parabolicam AID in se subalterne ductam coipus generare cui aequalis sit semi- cylindrus basi insistens semicirculati Am; cuius altitudinem determinat Prop.7 pag. IJo Vult etiam non tantum partem Parabolicam FLO in se subalterne duci; sed etiam partem E DON; hanc quidem ita in se ductam corpus generare, cui sit aequale corpus quoddam cylindraceum basi insistens mixti lineae EAE R V, arcu R, dc rectis ER EN, R, circumscriptae cuius ctiam altitudinem determina citata Prop. . ' de qua superius dissicul. I. egi hcuius porro cylindrace pars quaedam item cylindracea solido sit aequalis quod ex parte parabolica L in se subaltem ducta
generatur. Hanc enim suppositionem tam 1n praecedentIbus, quam insequentibin Propositionibus suis Idem Author assumit,4 iuxta eandem, Quadraturam suam absoluit. Censet igitur corpus ex segmento parabolico quadrilatero EF O V in se subalterrae ductogenitum, aequale esse cylindra cco, cuius basis sit planum mixtum E KR V: cuius scilicet unum latus sit arcus R, perimetro A KR B commensurabilis, iuxta ab eo statutam constructionem. At ego in hoc , pace doctissimi Geometrae dixerim , longe aliter sent endum puto asseroque longe aliter determinandam esse
basim illam mixtam Ex V c lindrace solido aequalis, quod ex ductu subalterno portionis parabolica ET O V producitur neque eam esse qua tam in praeceden-ribus quam in sequentibus propositionibus utitur. In iis enim omnibus supponit portionem parabolicam ET O V in seipsim subaLterne ducta ut corpus generet
175쪽
commenstirabilem intercipientes, sint aequales inter se i quod ture demum eueniet, cui aequaliter a centro circuli AKR distabun
per Prop. 4Tib. 3. Elem. Nequaquam esse potest bas illius cililia dracet, solido quod ex doctu portionis E FOU in se subaltEri a te oneratur ue esto possit esse basis alterius cuiusdam cylindrace , solida aequalis, quod producitur ex segmento quidem parabolico E FOUsubalterne dueto , non in Gipsum, sed in aliud quoddam eiusdem parabolae seguiciatum suae, ut evadant aporeissima, in eodem di
Parabolam describe BPX priori parabolae AF aequalem 'obversam , cuius vertex stipeaque secet rectas Em, VR in punctis P, X. Diui a etiam recta TV bifariam in C, centro C semicirculus describatur Aria insecans in SH productas lineas ET V Mi ad demum parabola describatur circa axem re prioribus aequalis, obueis vero parabolae ATD qim secabit lineas ΕΚ. V vi punctis L, G. His positis, clarum est portiones obuersas, siue sub alterne positas EFOV, dc LGE csse aequales aequales enim sunt tam duae ordinatim applicatae EF, Viue quam duae EG, vini Tam enim illae, quam ista aequaliter distant a verticibus Aetia tuarum parabolarum aequalium Vnde primo fit apertum portionem parabolicam DFG in se subalterne ductam, vel ductam in nersam portionem EG L V, generare corpus quod est aequalc cylindraceo, cuius basis est planum
mixtum EST V, altitudo vero est latus rectum parabolarum,ut supra declaratum est Corpus ergo ex portione EFG in se subalterne ducta genitum, nequaquam aequale esse potest cylindraceo, cuius baias sit planum mixtum E DR V, nisi in eo uno casu , in quo continget rectas EAE V R esse a qualcs, vel 'uod in idem recidit iis quando eaedem rectae a centro circuli cuius arcum abscindunt, aequaliter distabunt. Quare Quadraturae promotor scholio illo Lemmatis 1. recitato superius non tantum debuit determinare, ut circulus A DR B describeretur maior circulo A m ad arbitrium,& ut in eo arcus D in uestigaretur perimetro semicirculari commensurabilis, per cuius extrema punctari, R ductae lineae normalcs DE, R V ad axem Assi, abscinderent ex ipso axe rechamis aequalem diametro AI circuli AMI Sed praeterea conditio adhibenda necessario fuit , ut circulus circulo ACU maior describeretur talis, ut ex eo arcus Κ Rabscindi posset, excolus extremis punctis 5 R ductae normales Κ Ei R ad axem
B, ec abscindenius L aequalem diametro Ad circuli AHI,essent
176쪽
inter se aequalesuevel certe aequaliter a centro circuli descripti AKRBhineinde aequaliter distarent, siue quod idem est, eiusdem circuli centrum punctum medium lineae abscissa TV occuparet. Quam conditionem negoti,non mediocris foret obseruare Verum siue leuis, siue grauis negoti conditio ea sit, ad propositam determinationem , veOmnino necessaria omlati non debuit a Quadraturae interpreter cum in omnibus tam praecedentibus, quam sequentibus propositionibus suis. ab eodem supponatur, nec ullum liceat eius u hema obseruare, in quo summa non habeatur eius ratio se haberi reuera debui ad eius institutum. Cum igitur a proposito tam aliena si haec aicus a in lineae E V, quam Quadratutae Promo tor adducit, determinatio; nec ad Quadraturam promouendan et in praeedentibas vel insequentibus propositionibm ab eo sit unquam adhibita, licet ab eodem semper adhibenda alseratur: videris, quid de huiusmodi Quadratura ex
suppositionibus , Principiisque
tam incertis , deducia sentire
eius enim mentio superius tacta est; cum portio parabolica ET O V in se sub alterne ueta non gignat s lidum aequale cylindraceo, cuius basis sit dianum mixtum E KRV i in quam aliam portionem parabolicam eadem portio EFO V sub alterne positam duci deberi ut corpus gignat cylindraceo aequale, cuius basis sit planum illud mixtum E RV spondeo portionem EIU V duci debere in portionem LX PI quam eaedem lineae E, V intercipiunt ex parabola BPX obuersa parabolae AF O, cuius vertex est B. Quod ex superioribus, vel ex Lib. 3. Exam. Quadr vel ex ipso Cyclometriae Authore Lib. et O. Oper. Geom. satis aperi constat Tota enim Parabola A FO ducta in Parabolam
177쪽
subalterne postam BPXZ, corpus generat aequale solido Cylindra ce cuius basis est semicirculus ΑΚ RB altitudo vero, ut ostendi, est Latus Rectum: duae autem quaelibet portiones ex duabus obuersis Parabolis interceptae a duabus quibus ibet lineis EΚ RV ad axem normalibus, in se ductae, solidum generant aequale cylindraceo cuius basis est planum mixtum E KRV, eisdem lineis ΕΚ, VR interceptum altitudo vel δ est Latus Rectum Parabolarum.
Euarta discutias prae careris insi nis, qua promota huius uadra-
. turae scindam emam euertitur. A Llaiae hactenus, quaeque afferri possent aliae dissicultates ad Propositioni, huius 4. veritatem stabiliendam non inanes quidem videri dcbeant : Quam tamen nunc affero, ponderis longe adhuc maioris sutura est; utpote quae principium , unde Quadratura haec colligitur, euidenter concutiat. Illud autem habetur Lem . Propositionis . Secundae Quadraturae pag. is . ubi Quadraturae promotor hanc affert A Tertioncm. D raii EC ad EA ad rationem EF ad EDaut lineas ad lineam M. Dico rationem B C ad Cis esse ad rationem EF ad FD, ut linea ΗΚ adineam, G. Expositio.
Hoc est re ad HG, sit Pi oportio rationis B C ad Baad rationem EF ad SD i erit, inquit, re ad DG proportio rationis B C ad Cin, ad ratio, nem EF ad PD. Quod uniuersaliter asserit, siue uerteratio CB ad F minoris m- aequalitatis, ut in priori schemate, siue, ut in posteriori,imi aequalitatis maioris. At hoc in utroque casu propositionem hanc Geometriae repugnam atque adeo Tetragoniimum, qui ei vel maxime niti ur, stare non posse , euidenter ostendo, idque duplici inite ratiocinatione. Priorem instituo a posteriori per numeros quorum Epilogismiis absit γdum
178쪽
Et Promotum Examen uadratura i r
dum non leue ex ea Propositione sequi aperte demonstrat Posterior in causa huius desecisis, qui non nisi ex falsa aliqua propositione adprobationem Assertionis illius assumpta nascit , inuestiganda tota
Ad priorem hac primum utor suppositione. Sunto Α Β ωD E aequales quarum utraque partium . statuatur, quarum una sit CBι duae vero sint Uta ut nimirum ratio 2 ad PE sit inaequalitatis minoris, subdupla scilicet. Sit etiam linea quaecunque GH, quae bifariam diuidatur in , ut sit etiam ratio Κ H ad GH subdupla, similis nimirum rationi CB ad FE. Quibus suppositis. Ita caeratio C B ad B A, ad rationem FE ad Eret ut C B est ad PE, sue, ut ΚHad HG. Nam, clim Aa, DE, quae sunt ambarum rationum consequentes, positae sint aequales ita est per Prop.7. Lib. i. Exam. Quadrat ratio CB ad A B, ad rationem P ad Diu ut est antecedens illius C B, ad huius Antecedentem HE. Ita ut ratio C B ad PE sit proportio rationum C B ad Am,i PE ad D ta quo eodem iure ratio GH ad G Hi quos terminos terminis CB, RE aequalesllae Te volo heri earumdem rationum proportio. Cum ergo hac tam hypothesi ita sit ratio
B ad Aa ad rationem PE ad D EI ut est Κ H ad are quae est ipsa
Authoris suppositioὶ ita erit ratio G ad C A siue cas , ad ratione PE ad PD, 1 ad 3 ut est Κ H ad K G, nempe ut i ad i nixta Authoris Assertionem. Quae si vera est verum erit rationem I ad aequalem esse rationi a ad 3. Cum carum rationum proportio; HI ad K G I sit ratio aequalitatis Lad I. At rationes 1 ad 4, ω ad 3 aequales ei Te asserere id vero est absurdissimum rationi quidem ad aequalis est ratio a ada, non autem 1 ad 3. Quod clim ita sit, patet Propositionis huius quae Quadraturae quasi nouae basis esti falsitas. Alterum in maiorem connrmationem lucemque profero Paradigma, iuxta posterius sthema supra allatum, in quo ratio 2 ad PE sit maioris inaequalitatis. Sint iterum Amrac D aequales, trium unaquaeque partium sequarum C B sit duarum, unius autem PE: ponatur etiam es partium duarum Ges,nius siue ponantur Κ G, G H, aequales duabus CB, FE. His suppositis. Ita est iuxta proxime institutam ratiocinationem ratio CB ad AB, ad rationem PE ad D ta vi
H ad G H quae est Hypothesis ab Authore praescripta. Ergo ita debet es se iuxta cundem ratio CB ad Ac ad rationem P ad DT; ut G H est ad DG id est utra adci est enim Κυ partium duarum,& bifariam diuiditur in GO Vnde fit iuxta hanc Assertionem, Vt ratio CB ad Ac 1 ad ii ad rationem Fae ad DF i ad ij sint aequales, dupla
179쪽
dupla scilicetin subdupla. Quo nihil est a vero alienius Et id miror
a Geometra pererudito in re tanti ad institutum suum momenti noti esse obseruatum. Constat ergo ex dictis hactenus ope numerorum rea posteriori, vitio non carere falsae huius Propositionis probationem quod occultissimum non potest non esse, quando tantos Geometras, Quadraturae Authorem quis enim haec edita absque eius approbatione sibi persuadeat Peiusque interpretem ira latuit,ut fugerit Quod ut comperiamus, etsi minime ad institutum id necessarium sit cu. sussicit Propositionem hanc falsam esse ostendisse, undecunque suerit protecta falsitas probationis ab interprete allata seriei relegenda est. Quae sic habet. uoniam, inquit, ratio BC ad B est ad rationem Euad Ei, Hae est ad H G. Igitur rationis BC ad A denominator es HK, resecta, Gdenominatoris rationis E ad ED. Non moror hic rursus, ut hanc de nominatoris rationum singularum acceptionem rejiciam, cum Lib. . Examinis uadrat. Prop. i. admitti non posse demonstrari nee paucis nec obscurli Quis enim non videat hac in Hypothesi rationem
H Dad HG, esse proportionem rationis BC ad BA, ad rationem EF ad BD 3 atque adeb hanc ipsam rationem HKadHG dici posse increuera esse denominatorem non rationum, sed rationum earundem proportionis. Quod utinam,.
etsi leue in speciem videatur, obseruassent doctissimi cyci metra multis enim suis contemplationibus egregiis tenebras detersissent, quas iis offusas dolemus. Dicatur itaque re ad H G proporti rationum C ad B A. II adi ED. Pergit autem Est en per
Prop. 39. de Proport.vtratis B Cad BA, ad rationem Esada D. ita rati BC ad EF ad ratimem BA ad ED. Erit uisurraam
nam rationum B C ad Ein ors A ad Ei. Hoe est, ut loquor ego, erit HK ad H G proponio rati Mm BC ad EF, QB Mad ED, siue etiam illius proportionis de, minator Verissima est haec illacto:&vero, in aspinis schematibus,
180쪽
Et Promotum fixamen uadratura s
in quibus aequales ponuntur termini A B dc DE, rationem aequalitatis constituunt, clarissima. Sed pergat Author Ergo ratio antecedentium B C ad Eu ad rationem disserentiarum C A ad F D eadem erit Q scopulum theum ratione anteceάentis HK ad disserentiam, G: Hoc est, noverbo, Hri ad K G, est proportio rationis BC ad EF ad rationem GA ad F D. At hic est, cur meritis quaeram , quo ex principio ulex Propositione, siue in Elementis habeatur iuc in tam ampla Propositionum ad rationes, rationumque proportiones pertinentium sylua Libro de Proportionalitatibus a P. Gregorio congesta lateat siue ab alio quopiam Authore allata fierit , haec illatio deduci queata nullam enim hic praeter morem,praeterque cxigentiam cum principium per se notum non sit ea consequentia in citari obseruarc cst. Nec mirum cum , qua ex ea sequitur conclusio, ut ex paulo ante declaratis absurdis iam patuit, nequeat admitti tanquam vera. Hanc autem ex illa colligit Quadratura huius Author Sed tratio B C ad Es ad rationem Cis ad Fila ita es rati m ad GA ad rationem EF ad F D per 9. de Proport. Igitur vi K ad K G, ita est ratio EC ad C A ad rationem DF ad FD. uod erat demonstrandum. At haec conclusio sequae est ipsa mei, prove esse debet, propositio demonstranda in veritate alienissima est, quemadmodum supra per numeros probatum est euidentissit me. Eius vero desectum , quem ex aliqua ratiocinationis totius falia propositionc proficisci necesse est; non aliunde profectit assero, quam ex ca una propositione in qua Quadraturarum interpres supponitos nec ullo modo , ut iam monui, probari rationem B C ad EF ad rationem GA ad F D, ita se habere erex ad Gisue HK ad K G, esse proportionem rationum BC ad EF, ct CA ad FDrua ut ea ipsa sola causa sit falsitatis, quam patitur ipsa
conclusio, ut numeri superius allati aperte demonstrant. Et vero praeterquam qud probatione caret ea Prop. eodemque,
quo asseritur, iure negari potest i eius falsitas arguitur euidenter in duplici schematis superioris casu cin quo utroque AB,&DE supponuntur aequales. Qua facta Hypothesi patuit rationem C B ad F Eeandem esse cum ratione Hri ad G M utramque esse proportionem rationis C B ad B A, ad rationem PE ad E D. Cum enim rationu
B ad BG, MPE ad SD, consequentes intra sint aequales. ita se habet ratio m ad Ba, ad rationcm PE ad BD, ut antecedens C B se habet ad antecedentem PE, siue ut K H ad H G. Cum ergo hi
duo consequentes B A ME in alios maiores,dc minores seruas
aequalitate mutari possint, idemque ipsi antecedentes CB, FE semper