장음표시 사용
181쪽
semper retineri eadem semper rationum CB ad BA,&FEUE Dfutura est proportio CB ad PE, siue ΚΗ ad H G. Vnde sequitur prae terea viri H ad G si vera re haec propositio semper sit proportio rationis C B ad PE, ad rationem GA ad PD. At certum est,&manifestum mutatis consequentibus A BI DI, in alios inter se aequales, antecedentibus iisdem C Bri PE non mutatis, rationes C Bad PE, via ad F D, semper sore diuersas , neque posse eandem proportionem K H ad G omnus inter se obseruare. Quod in numeris euidentissime licet intueri, quos non longius repetam quam ex duplici superiori schemate, quod ad falsitatem ipsius assertionis adduxi, Ecce in priori schemate, si Κ H i ad G i, est proportio rationis QR ad PE 1, ad rationem A GA ad DF3; erunt rationes L ad 1, ω ad 3, aequales earum enim proportio M I ad Κω est aequa litatis. In posteriori vero, in quom in ad Da est proportio rationis C B L ad F Ei, ad rationem Acci ad DF ratio 1 ad 1 dupla foret rationis 3 ad . Quod item talsum est. Ratio siquidem 1 ad 1; dupla est rationis i ad , non autem rationis 3 ad 4. Atque hoc ipsum aliis atque aliis assumptis numeris duobus A B, D E aequalibus, imori inaequalibus aequales enim non necessitatis, sed facilitatis gratia ac sumpsi licebit obseruare.
Cum ergo in duplici hoc Paradigmate falsum sit H,
ad GK esse proportionem rationis G ad PE ad rationem
sit proportio rationis C B ad PE, ad rationem AB ad D Et falsum etiam erit, quod ex eo infert Author per Prop. 39. de Propori nimirum H ad G Κ, esse proportione rationis
C ad CA, ad rationcm FEad PD. Vt habet hoc Authoris
Lemma citatum. Quod cumst ad hanc Quadraturam summe necessarium, ut ex eius solo bione constat, cernis quo ea stet loco.
Atque hae sunt praecipuae, maiorisque momenti dificultates nequci: im exhaustaesunt omnes, ut cx.dicendis patebit' quae exarac Qua
182쪽
Et Promotum Examen Luadratum s
draturam stabiliendi promota methodo consequuntur quibus, etsi
non alia occurrerent argumenta occiarrunt autem ea omnia, quae aduersus secundam, dc tertiam quartamque Quadraturam proposui, quae hanc etiam atrihgunt j non leuiter confirmata videtur haec mea pridem adducta Propositi γ34. v vltima qua eam a Geometria vix aliquando admittendam pro nunclaui in haec , quae ne sorte exciderint, refero, verba Methodus quasi ua circulum uadrandi a uadraturarum interprete clarissimo adducta, rei tenda videtur, non solum οὐ ationes ob quas secundam e rateras ejei debere suadetur; erum etiam Obadiaspeculiares, qua in ilia methodo occurrunt. dicerat osten.
Monitum. Oneri, quod susceperam, tum. istud meum diuadraturarum elelerrimarum Examen tuendi tum ea isdem promotionem a Geometra pererudito
initam expendendi stisfecisse cumulate , fortasse videri debeam Auia tamen in tauadratura ituus promota discussione a Thesi vix discessi, dum
ipsa, unde deduceretur sola principia expendi: merito exigat non-nemo ghypothesi ea omnis contemplatio applicetur, gratior omnino, nec paulotimnis euasura. Euod ego sum eo libentius praestuurus suo clarius ex eo elucebit laudati sepius Euadraturarum interpretis facultas in Geometruis
non vulgatisci quo etiis maior ex eo iis, qua hactenus agitatasunt, euidemtia, mit seque conciliabitur. Hae porro theseos ad spothesim applicatio, eum to fere in eo versetura, qua ad praecedentis propositionis probationem allatasunt, Dima prasertim difficultas singularibus exemplis ex aseia quo Propositionum Quadratura promotoris petitis instrentur: ideo eam scholiorum ad haneprapositionem 34 pertinentium nomine non male appeLlaueris quorum hoctrimum esto. Stholium Primum.
Propositio 8 secundae circuli Quadraturae pag. - ab eius Author in haec verba enunciatur. Sit CF axisparabolae , eui sit aqualis altera diameter Gs iuxta dete minatione actam in scholio Lem. 1, ductisque per Februad axem norma, libus, exhibeanturpiana parabolica ABCD. Oportet triasolida e lindrica, orta ex due subalternopianorum A,sa . redueere ad eandem altitudinem.
Primo hic notandum venit problema hoc ad reductionem pertinens cylindraceorum, solidis, quae ex planis A, B, D in se subalterne ductis oriuntur , aequalium, ad eandem altitudinem , perperam esse propositum aeum, ut difficultate prima superiore retuli, constet ex Prop ε
183쪽
Prop. MI Tio. 3. Exam. Quadrat cylindraceorum illorum altitudinem aequalem esse, & quidem semper Lateri rectiwis thor diametru G Hassumi iste minationem factam in scholi Lem. I. A iuxta illam determia nationem nec planum D in se ipsa
substerne ducunturi sed in alia qua dam plana ut supra dissicultate secunda demonstraui locum
Tertio. Si scinquit idem E FAxis ParasOD. At si EFfuerit Axis parabolae: nequaquam pos
sunt solida ex planis B&C in se direm& ordinate ductis genita, in alia solida rectilinea illis aequalia per pra-xim ab eodem traditam Prop. . reduci, ut innotescat velut innote cere necesse est eorum ratio Quod exposui supra dissiculi prima. Seholium secundum. Exponendum est hic Lemma 3. quod Vt ad dicenda maxime ne cessarium Author affert pag. i 3 3. Quod claritatis gratia terminis propono Arithmeticis, forma enuncio propter eandem causam paulo diuersa. Est autem huiusmodi. Inter duas quantitates Eos, uaquauis alia Festis interponantari Dic proportionem rationis EF ad rationem ' esse ad proportionem rationis EG ad ratimem G R, ut quantitas G ducta inse ad quantitatem Fdactam item inse.
Praeparatio. Hae rationes ita componantur, ut in hoc schemate cernitur. Ra
tionis autem EF antecedensa ducatur in H, ut fiat Κ; conseq. Fin F, hoc est in se, ut tacta Eodem modo, rationis EG antecedens Educaruz
184쪽
E duratur in H, ut fiat iterum i At consen aducatur in G, ut fiat T. Denique tam duo consequantes F, H, quam duo G, H in se mutuo ducantur, ut fiant M MN. Demon ratio. Duae rationes DF,N PH ad aequales rationes M, LM reducinsunt quatum idem est consequens M. Ergo ita se habet ratio LM ad rationem LN ut Antecedens cis habet ad Antecedentem L per Prop. 7. Lib. I. Exam. Quadrat hoc es LΚ est proportio rationis N ad rationem LM: siue rationis EF ad
ro8PH. Eodem modo Ket erit proportio rationis KN ad Zm, siue rationis G ad rationem GH. Sed proportio I ad proportionem Z, cum utriusque idem sit Antecedens Κι ita se habet, ut reciproce huius consequensa ad illius consequentem L per Prop. 8. Lib. i. Exam. Est autem Z, quantitas G ducta in ei, L, quantitas F ducta in se. Ergo ita se habet proportio rationis EF ad rationem PH, ad proportionem rationis EG ad rationem G H; ut quantitas caducta in se ad quantitatem Uductam in se hoc est, Glaucta in se ad F ductam in se erit proportionalitas proportionis L ad proportionem Z. Qiiod erat demonstrandum.
In hoc suo Lemmate R.P. Aynscom quatuor illas quantitates E, F, G, H supponit mixta quaedam esse planari unde occasio sese mihi offerret opportuna rejiciendi, quod prima parte capitis 6 de natura
rationum pag. 14 asseruit contra ea, quae a me definita tuerant Lib. i. Prop. 1.parte a circa denominatores rationum ad quantitatem con
tinuam pertinentium: quos dixeram semper esse in quacunque illius quantitatis specie duas lineas reectas rationem similem obseruantes, ruam haberent inter se propositae quantitates, siue planae, siue soliis ae nec illius Assertionis meae fundamenta satis firma reticueram, quorum primum erat. denominatorem rationis cuiusuis speciei, cum is sit mensura omnium eiusdem speciei rationum quibusvis terminis, sue planis, siue solidis, aut lineis etiam curuis expressarum, debere esse rationem in ea specie terminis simplicissimis, & maxime notis expressam quorum nullos simpliciores, notioresque secundum se lineis rectis est obseruare eoque nomine illud rationes denominandi oss.
185쪽
cium ad ipsas iure deterri debere ut omnes summi , infimi hae cimi
detulere Geometrae qui rapiones terminis vel planis ves solidis con stantes non nisi rectis lineis, utpote notioribus ac facilioribus expcNnunt. Nec alium huius rei testem, quam ipsummet aut praestantissimum Geometram RP. Gregorium ipsius praeceptorem, qui tam mulista, tamque eximia de rationibus sola linearum rectarum ope adhibita
tradidit, adduci volo censet tamen id a me perperam assertum, cum tae nobis minus non sint eum planae, tum solidaequantitates rationem fundantes, nec minus hae, quam linea rectae, aptae sint denomio natorum sungi munere. Quod, quam crum sit, Geom trarum csto iudicium.
Ad alterum vero, quod citato loco Affertionis mcae argumentum adduxi, quid responderi queat neque enim illius vel meminit. Idcm. Author non satis conijcio. Dixi rationibus conuenire, ut inter se multiplicari, diuidi alijsque modis versari possint, non secus quam absolutae quantitates At hoc neutiquam praestari potest iiiii termini
rationum inter planas, aut selidas quantitates intercedentium, ad lineas rectas prius reuocentur huiusmodi operationum capaces. Cuius testimonium aliunde, quam ex hoc Lemmate ab ipsom et Quadraturarum interprete concinnato , luculentius peti non potest. Statuit
enim ibidem quatuor illas quantitates E, F, G, H, esse mixtas Planas superficies t quarum duas medias F4 G in se duci iubet. Verum utroductus generes Aneo quo plana superficies alicti secundum latitudinem adaptata eandem decurrit, eoque fluxu solidum format, Id quidem ab eo ita concipi significaret proposita quantitatum illarum determinatio, esura ad eandem Umnes latitudinem ad huius generis ductam necessariam ab reuocentur. Sed, cum citatum Lemma hoe
suum probet Ain Ner Prop. 84 Libria operis Geom. quae ad simplicem rationum ductum, siue multiplicationem spinat halidesiis bium quin de hoc simplici ducti, non autem de allicro perfluxum, inito intelligi debeat. Vult ergo nec aliud velle potest xvir doctissimus, ut harum superficierum rationes terminis exprimantur, qui in seduci possint qui alij esse nequeunt, quam lineae rectar quae terminis illis planis substituantur eandem cum ipsis superficiebus mione serauantes Hoc est, earum loco ipsarum denominatores assumamur Atque haec satis ad citatam illam assertionem meam de denomiliatoribus tuo in robore tuendam perdigressionem illa dicta sunto cui causam praebuit ipsius aliter sentientis Authoris Lemma hoc quod non misi
per denominatores rationum, ut a me citato locosat istitit, explicari potest. Scholium
186쪽
Et Promoti axamen quadrarum 1 9
draturarum inte pretis , qua velut
gr du sensim pergia ad meta sibi propost sitam, ad ab lutum scilicet hac quasi
noua semita attingendum Tetragonismum quam accuratilis prosequar velut Principium quasi praecipuum, unde derivetur. Sic itaque habet pag. 3IT seruata tamein Arma a me usurpata scholio 1 prOp nendi Lemma blud 3. Exponarer, inquit,
nias quam attuli scholio I. J Sint autem tria segmenta NK VO, RIX L M, qua dulta, eandem altitudinem quae est Latus Rechum facta μι aqualia Prop. 8. tribus selidis ex ductu sebaltem piamrπ- A, B, C in sei a genitis. Adhac, Sectori R XL auale a segmenta- P, XLIV Quod praestabitur, si bifariam diuisis RS, R L, per diu
siones ducatur recta PQ ut docet Elementa. Triailla segmenta N SIO, H, IKLMeadem sunt quae india mammate meo superius saepe repetito sunt bases cylindraceorum selidis E, F, G, H, ex ductu subalterno portionum parabolicarum AID FLO, FLPS, AIN genitis aequalium quae vocari praecepῖE, F, G, Hrivi eorum loco, cum sint eiusdem altuudinis, quam metiatur Latus Rectum Parabolarum . ipsas eorum bases eandem cum ipsis culindraceis rationem seruantes substitui. Dissuri autem prima
187쪽
Quadraturae Interpres definiuit quod ego eam semicirculum A Leue asseram asserat ille eue semi- Ellipsim iuxta opinionem suam reiectam superius, qua sibi persuaserat cylindrace illa inaequalis esse altitudinis unde fiebat ut basis illa primi, quarti cylindraceia,
H; quae semicirculus reuera foret circa axem EF descriptus in cius schemate, in meo autem circa axem AI, in semi-Ellipsim circa eandem diametrum EF, aut apud mea I, mutaretur. Quod quidem annotasse oportuit ut videas quibus tandem fundamentis nitaturale promotus Tetragonismus Caeterum basis illa H, siue semi- circulus, liue semi- Ellipsis supponatur I eadem tamen demonstratio ab eo ali ta aeque subsistiti quae ut commodilis proponatur. Expedit ut unico Charactere Indice sngula haec segmenta designentur. Segmentum igitur, Loedicatur G segmentum autemPKL equale sectori R KL, vocetur V at segmentum K LM appellabitura denique semicirculus Id eandem retineat appellati nem. Has autem appellationes hac in Tabella, memoriae causa intuere. His ita declaratis. Quid ex facta suppositione concludat Author, audiamus.
Dico, inquit, notam esseproportionem rationis seroti Gadsegmentum , ad ratione ementi Uadsegmentum Z. Ad huius conclusionis colligendam probationem supponit Author, etsi, ut ostendi, non satis caute, ita per scholium Lem. 1. determinatum esse circulum, cuius arcus sit Κ L, ut ei sit hic arcus commensurabilis: quo fit ut sector M L, siue per constructionem, segmentum V sit semicirculo commensurabile qui semicirculus iuxta conditiones in citato Lemmate appositas est etiam semicirculo H commensurabilis. Vnde sequitur, ut subdit idem notam esse rationem segmenti Vad semιcirenum maiorem, cuius arem est KL, ct exindemiam etiam esse
rationemeiusdemsegmenti semicirculum reuitur etiam nota est iis segmenti Uducti in se semicirculam H ductam in se exposui in sch iij praecedentis Annotationei neque ductus hic accipiendus est, quasitore ductus plani in planum, ut verba sonare videntur sed me Udmctum in se, ad ductum isse; ita est proportio rationis GH ad rationem ΗΖ, adproportionem rationis V ad rationem UZ per Lem. 3. quod exposui scholio secundo. Igitvrnua est, concludit ibiden Author uratis promtisnis tame proportionalitas GH ad rationem Ηz. Sed nota est proportio rationis GHadrationem ΗΖ nam eadem es cum proportis solidorum A, D in se ordinate pera hu- igituris nota est proportio rationis G Vad rati
188쪽
Et Promotum Examen uadratura e 1
Vides, opinos, unde concludatur, quod propositum erat Inotam
scilicet esse proportionem rationis, quam habet segmentum G ad segmentum, ad rationem quam habet segmemum V ad segmen tumet. Id enim concluditur ex eo,'ubd iuxta hoc schema proportio solidorum ex segmentis parabolicis B, A, D, C in se subalterne ductis genitorum, eadem sit cum proportione solidorum ex eisdem segmentis in se ordinate ductis procreatorum. Hoc est, ut iisdem terminis hic utar, quibus tum in Exam.Lib. 3 tum supra usus sum iuxta schema ibidem a me delineatum Quod proportio MN rationis solidorum E,Fad rationem solidorum G, H, ex ductu substerno oriatorum Leadem dicatur cum proportionem Liationis solidorum A, B, ad rationem solidorum C, D ex ordinato ductu earundem portionum parabolicarum genitorum. Quod dici nullo modo posse citatis loci euidentissimis Epilogismis demonstraui. Cum ergo haec conclusio tam necessaria sit ad hanc Quadraturae methodum, ut absque eius
praesidio stare nullo modo posse. Quid de ea sentiendum sit, Geome-
tuarum esto Iudicium. Scholium uartum.
Ex propositione se 9. de qua scholio praecedente actum est, deducie idem Quadraturarum interpres propositionem Io, quae habetur pag. 38. Cum ergo admitti non possit illaci neque admittenda est haec nec fusiori ad id concludendum opus est Argumentatione. Verum, quemadmodum in Examine ostendi, etsi concederetur proportiones illae duae, DL, rationum A B, C D, d M N, rationum EF, MG H, reuera esse aequales nihilominus ex alio capit Quadraturam non obtineri, ut hic etiam tradidi Idem etiam nunc concedamus, , quod ex ea concessione sequitur,admittamus,nempe propositionem,
Vcram esse, legitimeque probatam Atque perpendamus, An ipia etiam propositio id alio aliquo singulari vitio laboret 3 quod ipsam, &,
quae ex ea sequitur, Quadraturam admitti vetet. Ex ea porro conces.cone illud nascetur commodi, ut omnis de implicatissimis illis argumentationibus disputatio esset quas praestantissimus Geometra Ri P. Gregorius Lib. l . Oper. Geom. Prop. aliis, Archimedea solertia, Hercule Sque labore iniit nec omisit hic eius Auditor, &Jn-τerpres Prop. a Damisi, sui. Sic itaque habet dicta eius Proposi
5 em pseudiso annuit, notam esse proportionem rationis segmenti GAd rectilineum P Nom quod deinceps vocabitur Xyni rationempes menti ad rectilineum II αμ quod vocetur Y. V Demonstra
189쪽
ειν pracedentem Prot.' nota est, imquit proportis rati ni quam habet segmentum G ad se mentum H ad rationem, quam habeth mentis V ad segmen rum Z. Id ita habere supponi permisi.)Siligitur ratio G ad V ad rationem V ad Z ιυ S ad S R. ta igitur est ratio STMS R. Igitur se nota Mratis ST MTR. Sed inuria Nilia es ratio seo menti G ad residuum X, ad rationem segmenti Uad re uum uer Lem. 4. quod exposui supra difficult. . Igitur pro portio istarum rationum notas. Haec est huius propositionis a Quadraturae promotore adducta quam subtilis, tam manca probario. Cum enim Lemmati tota nitatur, quod citata dissiculi. . falsum esse satis multis ostendi s Quideenseas nisi falsam esse tam probationem, quam ipsam propositi nem 3 Itaque habes in hac propositi me nouum desectum Lex quo solo, esim in hunc Tetragonismum proxime influat, ei creetur discrimen non mediocre Letsi eum ab omni alio hactenus demonstrato tam multiplici lapsu, quo eius principia laborant, immunem esse
Setiliam Auintum. Videamus tandem quomodo insignis Quadraturarum interpres
ex principiis suis, propositione praesertim proximo Κholio discusia si ut
190쪽
Et Promotum Examens uadratura res
si ut vera admitterentur in aliquid rectilineum curvilineo aequale, in quo situs est Tetragonisinus, colligat.
Prop. II pag. G, His una ea spatiis duobus rectilineis ML
semicircula Siqui per Lem. ditum , factinsit aquatis δε notam est rationem seg-
mri R L, sime segmento V. Dico, menti G ad residuum rectilineum X.
Tum huius propositionis demonstrationem instituit quae , quia paulo implicatior, obscuriorque mihi visa est ι eius seruato sensu, ordine, eandem meo stylo exponendam censui hoc modo Nota est proportio rationis segmentim ad rectilineum X tabellam una cum schemate Geometrico, cui illa respondet, habeto prae oculis j ad rationem segmentis ad rectilineum Y per Prop. io laholio praecedenti discussam. Ecce ut citata propositis proxime influat, ut memineram, in viragonismum. Sed proportio rationis G ad X ad rationem V ad , eadem est per 39. de Propore cum proportione rationis G ad V ad rationem X ad Y. Igitur haec etiam proportio rationis G ad V ad rationem X ad Y nota est. Fiat iam via, consequens rationis XV, ad suum Antecendum X Ita consequens V rationis G V siue sector RKL, aut semiculus S, ad sembellipsim v quod quomodo fiat, Lem. 6 pag. III traditur. Tunc erit per Prop. I 3.cle Propori ratio segme ii Gad semi-ellipsin, proportio rationis G ad V ad rationem X ad Y Sed per Prop. ro, de qua proximo scholio 4 actum est, nota est proportio rationis G, X, ad rationem V, Y quae eadem est ostensa peros de Propon.cum Proportione rationis G, V, ad rationem Xa Igitur nota est ratio segmenti G ad semi ellipsim T. Sed ratio serm- ellipsis T per si de Ellipsi in per Geometrico ad semicirculum S. nota cst. Igitur nota etiam est ratio eiusdem segmenti G ad semicirculum S, siue sectorem Ei aut segmentum V. Ergo denique nota erit ratio segmenti Gad residuum rectilineum X. Quod erae V demonstranDigilias by Orale