장음표시 사용
201쪽
tempoΗs parte promouebitur utraquo linea AD TH per partem spatij sui decurrendi temporis parti homologa Cum ergo tam circulus quam eius diameter FG in partes aequales numero pares diuidatur,& per singulas lineae ducantur erit necessario earum sectio ad Qua dratricem. Quare si binarum & binarum omnium sectiones linea
curua connectantur , ea erit postulata Quadratrix. Integram ergo, seu nouam Quadratricem descripsimus. Quod faciendum erat.
Ex tradita Quadratricis delineatione patet radios qui hinc inde ab Axe aequales cum ipso Axe angulos continent esse aequales inter se. Vt si angulus A si aequalis angulo C Adradius Aa, aequalis erit radio AS. Angulis enim aequalibus C A.I, Cassi respondent aequales rectae A O in P cum sint rectae huiusmodi inter se, ut inter sunt anguli ipsis homologi Cum igitur in triangulis AGI, A PS, anguli O, Psnt aequales,utpote recti,sint autem anguli AIO, A SP etiam aequales, sunt enim alternis C AI, C AS aequalibus ex suppositione, aequales;& latera AD, Al aequalia, eruntdi reliqua latera Ad, A S aequalia
PROPOSITIO IV. neorema. OV dratrix Antiqua Quadratricis nouae pars quae
In eadem figura concipiatur centro A per punctum B, in quo Quadratrix diametrum FG secat, circulus describi Certum est circuli illius Quadrantem Quadranti UL E concentricum in totidem partes aequales diuidi a radiis A L Quadrantem A RUE diuidentibus, in quot diuisus est idem Quadrans Aa E. Certum item est rectam Al esse dimidiam partem semidiametria F, siue partem quartam diametri totius FG. Nam punctum B , in quo Quadratrix radium AI secar, de , signatur iuxta Quadratricis generationem, cum radius A partem totius circuli, tecta RH partem Diametri FG eandem decurre: re. At radius AC in radium AF promotus, emensus est quartam totius circuli partem. Ergo etiam Recta FH cum ad Quadratrricis punctum B peruenit, quartam diametri FG partem emensa est, siue dimidiam semidiametri A F. Quod cum ita sit cum radius A F deferetur per Quadrantem FLE, siue per Quadrantem circuli centro A per
B destripti creeta B O Quadrantem illum tangens in B deteretur per
202쪽
partem B Aquartam totius diametri, secablique radios A L in punctis I per quae Quadratrix agitur. Quae est Antiquae; adratricis designatio Antiqua ergo Quadratrix Quadratricis nouae pars quaedam est. Quod probandum erat.
Ariarum linearum ad Quadratricis constitutionem concurrentium definitiones stabilire.
Expositis. Non parum lucis, re breuitatis allatura est toti huic tractationi linearum multiplicium. quarum crebrior memtio facienda est, denominatio, siue definitio. Prima Circulus ge
tione est circob, DIE G, quem radius A D
de Currens, Quadratricem natus est produ-
Secunda Diameter generans, est circuli generantis diameter FG per quam linea ΗΚ tangens circulum in F sens defluit, cum conuerso radio A D concurrens, eandem producit Quadratricem. Tertia. Axis Quadratricis est recta CD ad partes D in infinitum porrecta per centium A circuli generantis transiens quae eadem linea totam Quadratricem induocornua utrimque posita dirimit. Quarta Quadratricis vertex est punctum axis extremum. Quinta Sagitta Quadratricis est Axis pars AC inter verticem C,¢rum A circuli generantis intercepta Sunt quidem ec aliae sagi
tae , sed haec absolute ita denominabitur. Sexta. Applicata pinnari , siue absolute Applicata ordinatim est recta Baaxem in centro A perpendiculariter secans. Ordinatim autem Applicatae secundariae, dicuntur, aliae quaelibet rectae ad Axem Perrinc orale
203쪽
perpendiculares, ad Quadratricis cornua virumque terminatae r cui ut modi sunt rectae Τ V. Septima Centrum dratricis est punctum A,Idem quod circuli generantis centrum. Licet enim Quadratrix centro omni proprie Ureat, cum ad partes D in infinitum producatur, nec spatium circumscribat uen item lineas per punctum illud A ductas, Et ad y dratricem terminatas bifariam diuidat, ut centri notio postulare videtur: Quia tamen punctum illud fixum est,& determinatum lineatinque per illud ductae , ad puncta Quadratricis e diametro opposita ter minantur, quod nulli praeterea puncto intra Quadratricem assignato competit non incepte dicetur Quadratricis centrum, nec ineptius linea quaelibet per illud punctum A ducta, &ad Quadratricem terminata dicenda veniet Quadratricis diameter. Asae, si quae olim occurrant necessariae definitiones, suis locis ex ponentur nunc magis obuias adduxisse sessiciat. Quod hic praestam
PROPOSITIO VI. Prob DAxo centro Quadratricis, eiusque ordinatim Applicata
qu cunque, Quadratricem ipsam totam describere.
Expositio. Datum sit futurae Quadratricis centrum Applicata quaecunque ad axem utique per centrum Αductum perpendicularis, iiDque positis Quadratrix ipsa describenda sit perinde ac si Applicata foret ipsa diameter
Constructio. Centro A per Applicatae extremum Dorcus circuli Da describatur. Tum,tam hic arcus quam applicata in partes aliquot aequales pari utrobique multitudine diuia
tur ille in punctis F. haec in punctis G. Ad haec a centro A ad Fradii
204쪽
radi idestinentur quorum singulos sngulae lineae Gi per puncta Gductae ad axem parallelae secent in I Erunt omnia sectionum puncta Iad Quadratricem. Quare si per ea deducatur curua linea, ipsa erit Quadratrix describenda. Quae vcvltra Applicatam Di in infinitum producatur producatur ultra D arcus EF D, ut totus habeatur semicirculus ET D H in quo sumantur vltrat arcus Di, FI, quotcunque licuerit,aequales arcubus D F, FI prioribus citra Applicatam Dapositis radiique ex Aser Remissi producantur cxtra circulum ad libitum Producatur etiam ultra Drapplicataram in ea sumantur spatia D G, GG prioribus infra Dpositis aequalia ac per singula diuisionum puneta G, ducantur Axi parallelae G L. Quae, si producantur, radios singulos singulae eiusdem ordinis secabunt in punctis I: per quae Quadratrix vltram agenda est.
A centro A excitetur ad Axem perpendicularis A L L quae est linea generans. Haec est Applicatae DB parallela, M a lineis Gi diuiditur in partes L L, aequales partibus G G Applicatae D B. Quia vero circulus generans, si descriptus concipiatur, diuiditur a radiis AF in partes aequales scut in aequales diuisus est circulus H DF T ac per diametri generantis puncta Di meae L G ducuntur Axi parallelae, quae radios eiusdem ordinis, sibique respondentes singulae singulos intersecant in punctis I: patet curvam lineam per huiusmodi intersectionum puncta I deductam, veram esse Quadratricem iuxta traditam eius descriptionem.Dato ergo centro Quadratricis, dataque Applicata quacunque Quadratricem descripsimus, non seclis ac si daretur ipsa diameter generans , ac generans circulus. Quod praestandum erat.
Obseruandum hic est, quando continget continget autem ut plurimum xvi spatium aliquod F F in arcu D E assumptum, & in arcu D Hrepetitum, ipsum arcum D repraecise non metiatur ue spatium etiam D G in Applicata Di assumptum, in eadem ultra D producta repetitum non praecise adaequaturum lineam diametro generanti aequalemci supererit enim particula, quae ad totam diametrum generantem
ita se habebit, ut particula reliqua semicirculi H D E se habet ad totum semicirculum unde facile determinabitur ipsa tota diameter. Quod si longius dolongius producenda floret Quadratrix, in illo arcu reliquo pars quaedam sumi deberet spatium P metiens, per quam radius emitteretur hunc enim linea parallela ad Quadratricem sectura est quae per particulam spatij G G arcui assumpto proportionalem
205쪽
duceretur vi, si dimidia pars, vel tertia 6cc arcus P assumatur , per quam radius ex centro emittaturri pars etiam dimidia vetaertia&c. spatij G G Applicatae assiimi debet, per quam ducatur parallela radita illum sectura ad Quadratricem. Haec enim linea parallela non minus respondet radio illi quam reliquae per puncta G actae radiis reliqui, pera transeuntibus : adeoque per harum duarum linearum mutuam semionem, non minus quam reliquarum sectionem ducetur Quadra
stholium alterum. Obseruandum praeterea
cetruma Quadratricis quouis ad Quadratricem situ statuatur,& pcrpuncta, in quibus radiiAngulum illum co- tinctes Quadratricem intersecant, Axi parallelae ducantur, eas semper lineas aequales in qualibet Applicata intercipere. Hoc enim in schemate patet Anguli cuiusuis F radios Quadratricem secare in punctis I per quae vo
spatia aequalia D in primaria Applicata AT, vel a in qualibet alia Applicata BD intercipitit. Nec obscura est huius effectus ratio.Cum enim ex generatione Quadratricis, radius A incirca centrum A per circulum aequali semper motu eratur eodemque tempore,motuque uni rmi linea L R. Axi parallela per Applicatamini, aut B G descendat patet radium Alquemcunque ad locum circuli statuatur aequali temporis parte aequalem arcum emetiri , lineamque L R smiliter eadem illa temporis parte propter eandem motus uniformitatem decurrere spatium L Uarcuis decurso respondentem adeo ut asseri vere possit, si Angulus quispiam alteri Angulo fiat aequalis,N per puncta, in quibus Quadra trix a lateribus Angulorum secatur, Axi parallelae ducantur eas in Applicatis spatia aequalia intercepturas. Caeterum ciuibusdam in casibus diligenter debet attendi quonam in loco spatia illa aequalia sint in Applicata sumenda. Quod uno aut
206쪽
altero exemplo exponoo haec enim obseruatio non parum est alias usui futura Sit Angulus D AEradiis AD, AE Quadratricem in Doc C secantibus comprehensus. Huic Angulo, siue arcui DF DE respondet Applicata D B, ut patet hoc enim in casu nulla per punctum D duci debet Axi parallela,quae Quadratricem secet, cum in ipsa puniactum illud D reperiaturi sit autem alter radius A C cum radio Amangulum D A E continens, ipse Axis A CLIam fiat ei Angulus aequalis D AS; 4 puncto S, in quo Quadratricis alterum cornu secatur, Axi parallela ducatur Sri erit etiam in eo casu Applicata Di intercepta aequalis Applicatae , quam intercipiunt parallatae per puncta D&ri Quadratricis, in quibus secatur a radiis AD, AS Angulum DAS continentibus. Verum intercepta huiusmodi Applicata non unica linea tutura est, sed duae a se inuicem auulsae quales sunt D V,in Petiquarum illa intercipitur inter punctiim D, dc lineam L Asymptotum Quadratricis haec vero inter Asymptotum alteram P X, WAxi parallelam S i ita ut ambae simul D V, P Τ, aequales sint rectae Det. Id porro, quod primataronte argutissimi cuiuilibet mentem percellat, vi
Angulus D Ari in duos Angulos D AM, SI H secatur ab Axe
Hi siue Arcus D ΗΚ, in duos arcus H D, HAE . Dum igitur Asymptotus LR: quae quasi in infinita distantia Quadratricem sccare dc quasi cum Axe AH producto in eodem puncto Quadratricis conuenire concipienda est concipitur eodem tempore motu aequali descendere per Applicatam VI, donec ad punctum perueniat dum in a
terim eodem tempore, aequali item motu circa centrum A immotum
conuertitur. Axii H donec idem punctum attigerit descriptum tunc erit cornu Quadratricis a puncto D in infinitam distantiam porrectum, donec Axem A H etiam infinite productum quasi secare concipiatur. Cornu ergo illud Quadratricis ab infinita distantia usque ad D deductum generatur per arcum H D, dum Axis A insuo motu illum decurrit eodem tempore, quo Asymptotus descendit per Applicatam V D, radiosque respondentes A F secat in punctis PQuadratricis Arcui igitur DH; siue Angulo Da H respondet Applicatae pars D V ita vi si arcui Dat lius quilibet arcus aequalis, siue Angulo
DAH aequalis alius Angulus sumeretur radi eum continentes Quadratricem secarem in punctis,per quaeductae Axi parallelae lineae in Applicata lineam interciperent lineae D V aequalem. Iam ver,eadem ratiocinatione circa Angulum H AS, siue arcum
207쪽
& parallelam S 4 puncto S, in quo radius A S Quadratricem secat, deductam ad Applicatam respondere dicto Angulo Hari, siue arcui
H Κ ita ut pars Quadratricis, quae a puncto S in infinitum producitur, describatur, dum Axis AH conuersus circa centrum Marcum decurrit NK; eodemque tempore Asymptotus P X, Applicatae partem P Temetitur: ita ut si alius Angulus Angulo AEA K aequalis alio in loco assumeretur, radiiduo illum continentes Quadratricem secarem inpunetis per quae actae paraliciae in Applicata lineam interciperent lineae ' aequalem iuxta Propositionem antecedentem. Quibus declaratis, luce clarius euadit toti Angulo Dari, vel arcui Drex, ita respondere partem Applicatae, aequalem Applicatae alii cuicunque angulo aequali debitae ut illa in duas partes V P distrahatur licet arcu 'D HI siue Anguli H AD, Hari sint contigui,&4dhaerentes.Quod semper semper continget quoties positus Angulus ab Axe A H utcunque secabitur, ut ex proxime dictis manitestum est.
PROPOSITIO VII. Prob Adio ad quemcunque Angulum ad Axem constituto, A per assignatum in eo quodcunque punctum deducere
Quadratricem. Expositio. In eodem schemate ductus sit radius Am Angulum D AM, siue cum Axe complectens in eo assignetur punctum D per quod deduci debeat Quadratrix cuius scilicet centrum sit A,&AxisHAE. Constructio. Centro A semicirculus per D describatur i eiusque arcus D TE quem nunc Quadrante maiorem suppono in partes aliquot aequales diuidatur in F, pacique multitudine in partes item aequales datus radius A D secetur in punctis O. Tum per puncta radireducantur: quorum singulos singulae lineae rectae per puncta O Axi parallela eius. dem ordinis cum radiis AF, ipsisque respondentes ductae intersecent in punctis I per quae linea curua designetur. Hanc dico Quadratricem esse quaesitam. Quam ultra ad libitum producere licebit sumptis in arcu D respatiis aequalibus quotcunque licuerit spatio FF; per qua radij emittantur : quos in punctis P per quae agenda erit Quadratrix rsecent lineae eiusdem ordinis ductae ad Axcm parallela per puncta
208쪽
punctara in producto radio At i quae eodem spatio inter se distant, quo eadem punctio insta D posita a se abscedunt.
Quod si Drcu SDH, wra H V a, diu A D in parte aequales pari uterque multitudine secarentur , ac infra D tam ra-
dij, quam lineae Axi paralle- laeter diuisionum puncta F& ducerentur duceretur
quidem per sectiones Quadratrix , ac per D transitici, ut postulatur sed prius ductam Quadratricem secaret in D, eique obuersa foret, verticemque C ex altera parte centri A versus His ancisceretur, nec priori seret at- qualis Quam porro ultra Din infinitum producere liceret versus E eodem modo, quo ultram versus H produci posse docui prius descrppiam Quadratricem, cuius vertex C.
Huius solutionis demonstrati cx praecedentis Propositionis demonstratione euidens est. Nam lineae per puncta Oradi, Dductae, ad Axem Assi parallelae, secant in punctis L diametrum generantem aequaliter inter se distantibus, ut aequaliter inter se distant puncta Oradis rei suntque praeterea tot spatia LL diametri generantis, quot sunt arcus DE spatia FF. Ergo rectae Axi parallelae peraductae secabunt singulae singulos respondentes radios in punctis I, per quae deducitur Quadratrix iuxta traditam superius eius descriptionem. Eadem erit ratio, si arcus D H, radius A D dividantur,ac reliqua absoluatur ad alteram obuersam Quadratricem delineanda necellaria.Quare dato quocunque radio,i puncto in eo assignati, per quod ducenda sit Quadratrix , ipsam, quod faciendum erat, descripsimus.
Quod in scholio Propositionis antecedentis obseruatum est circa Applicatam B,lla etiam circa radium AO locum habet. Nimirum s ultra inexcurrere debeat Quadratrix eius puncta quaedam inuestigabuntur repetito, quoties licuerit arcu, DI in periphetia D HB 3 licet
209쪽
licet princise non exhauriatur, totiesque repetito spatio Dra in radio AD productorauctisque peto lineis O Axi parallelis, quae radios ΑΨ piusdem ordinis productos ultra secabunt in t punctis, per quae Quadratrix deducetur quam etiam promouere licebet adhibita partieula Arcus D PH, si quae supersi, esque in radio AO sumpta proportionali, ut in citato scholio declaratum est.
PROPOSITIO VIII. Theorema. SI centro A Quadratricis circulus per quodlibet Quadratricis punctum I describatur Axem secans iam:&iungatur chorda IH Dico eam a Quadiatrice bifariam secari.
Ducatur ad Axem A C productum perpendicularis, siue Applicata IF qua bifariam diuisa in L,per diuisonis illud punctum L Axi parallela ducatur secans in Ochordam H. clarum est per Prop. Lib. 6. Elem .ipsam in O bifariam secari unde fit, ut arcus IH bifariam etiam secetur in D si a centro A per O radius cducatur A D. Quia igitur ut se habet Applicatam Iad LP ita se habet centro Adescriptus arcus HI ad arcum DP ac per I parallela Axi, perti dius A D ducitur erit communis utriusque sectio O ad Quadratricem per Prop. 3 ubi Quadratricis generatio exponitur.Ergo a Quadratrice chorda Imbifariam secatur in o. Quare si centro A Quadratricis, c. Quod probandum erat
Isdem positis. Si radius a centro A per punctum O, in quo
a Quadratrice secatur chorda I H,educatur: Dico radium hune sole ad chordam IH perpendicularem in puncto in
210쪽
Prop. proxima ostensum est Iesa centro pero radius emittatur I non potest is non esse ad chordam IH perpendicularis. Quod erat pro
Hinc colligitur tutissima methodus ex definitis Quadi atricis punctis alia ciusdem Quadratricis puncta designandi. Si nimirum per iam statuta liadratricis punitae centro A arcus describantur Axem se .cantes in punctis, ad quae a singulis respondentibus punctis Quadratricis ducantur chordae quae si bifariam secenturi erunt sectioni mpuncta ad Quadratricem , adeoque per ea debebit Quadratrix agi. Quae methodus potissimum usui futura est i cum Quadratricis pars illa, quae vertici proxima est, describenda fuerit Ibidem enim Applicatarum, radiorumque communis intersectio est obliquissima, nec nisi aegerrime distingui potest, cui difficultati hac methodo licebit occurrere cui ecce annecho non absimilem.
PROPOSITIO AE . , ob At quovis Quadratricis puncto punctii in e diametro oppillum assignare.
ConBructio Datim sit Quadratricis punctum O , cui oporteat aliud e diametro oppositum definire. A punctora per centrum A agatur linea: ac per idem centrum A ducatur diameter generansis A L ad quam ex puncto Oducatur perpendicularis, vel Axi parallela O V deinde a puncto super diametro generante sumatura Daequalis semidiametro generantici Denique per D Axi parallela agatur secans in G productam diametrum A. Dico punctum G illud esse, quod in uestigatur esse scilicet ad Quadratricem, loquidem puncto
Oa diametro oppositum. Demonstratio. Descripto e centro A circulo IHI, volgenerante, vel alio quocun. que quicunque enim cnerantis locum occupare aptus cst cum Anguli ad centrum ratio potius habeatur, quam magnitudinis circuli.
cuius radij Angulum continentes cuius diameter sitim per O , G