장음표시 사용
211쪽
transiens. Ex generatione Quadratricis manitestum est arcum Quadratriciso a designari, dum radius AF conuertitur circa centrum Aper semicirculi mure donec ad ΑΚ perueniat motu semper aequali Leodemque temporis spatio motu item unisermi Applicata Lo percurrit semidiametrum generantemare omnis enim circuli par a radio conuerso percursa partem diametri generantis homolois gam, hoc est, ad quam diameter generans candem habeat rationem, quam totus circulus generans habet ad partem sui decursam, pcrcurri postulat Semicirculus ergo PH Κ semidiametrum generantem L Ddecurri vult parallela Loinitio facto a puncto L, quod puncto respondet; dum radius A F semicirculum PH Κ emetitur ita ut cum
radius Assi ad radium A csbi in directum positum peruenit clinea etiam L parallela Axi ad lineam D G sistatur, punctumque G sit
ad Quadratricem,&quidem puncto, diametro oppositum , cum interea duo puncta O, G diameter o G Quadratricis e diametro FK circuli definita intercedat. Quae ratiocinatio ex iisdem Principiis generationis Quadratricis instituta , locum habet circa Angulum quemlibet duobus radiis Quadratricem secantibus comprehensum inuocunque enim in loco constituantur Anguli inter se aequales iapunctis, in quibus Quadratrix secatur a radiis Angulos aequalcs continentibus lineae Axi parallelae ducantur : cae in Applicata qualibet lineas aequales intercipient, non secuscio quaelibet Quadratricis diameter quae quasi Angulum duobus rectis aequalem ad centrum A continere censenda est quouis in loco, si tuu e statuaturri punctis, inquibus Quadratricem secat, qualia sunt Oi G in hoc schemate, Viparallelae ductae liqea in Applicata qualibet aequales lineas intercipiunt, hoc est, ut hic demonstratum est, semidiametrum generantem. Recte igitur dato in Quadratrice cuiuis puncto punctum e diametro oppositum dc finitum est. Quod erat facien
Hinc ergo habetur rursus methodus, qua ex punctis Quadratricis iam definitis quaeque taciliorem admittunt inuestigationem; puncta in eadem Quadratrice definiantur minus obuia quae scilicet e diametro prioribus datis opponuntur.
212쪽
pROPOSITIO XI. Theorema. SI centro A Quadratricis eirculus describatur Quadrati i-cem secans in I, eiusque Axem in H ducaturque chorda IH ace centro Aradius ad punctum I destinetutiactandem per I recta IR Axi parallela agatur: Dico Angulum AP bifariam secari a chorda I H.
Triangulum AIH est Isosceles Ergo Angulus A IH aequalis est Angulo AHI. Sed Angulus IH aequalis est alterno Angulo IH A sunt enim ex suppositione duae lineae IMMAM parallelae Ergo idem Angulus RIH aequalis est Angulo AIH Angulus igitur AI bifariam secatur a chorda IH Quare si centro A Quadratricis circulus, c. Quod erat probandum.
PROPOSITIO XII. Theorema SI concentricos duos circulos D HE, FIG, quorum cen: trum est A, alius circulus D CE secuerit in Din F,4 in EN Gi Dico arcus DE, EG secantis circuli inter duos circulos,
concentricos interceptos, esse aequales.
Demostratio. Sit circuli secantis centrum B, quod cum centro A circulorum con-Centricorum iungatur communi diametro B C. ducantur etiam adsectiones e centro A rectae lineae AD, AI, a F, A G. Quia igitur
in circuli secantis diametro BC praeter centrum eius B sumitur pumistum A, a quo ex utraque parte lineae sumuntur aequales AD, Assii AF, AG sunt enim semidiametri concentricorum circulorum erunt
tam duo arcus GD, C E inter se aequales quam duo CF, G ut ex Prop. I. Lib. 3. Elem colligitur. Quare si ex aequalibus arcubus GD, E demantur arcus aequales C F, Ga arcus reliqui DF, EG aequales erunt. Quare Si concentricos duos circul6s,dic. Quod erat probandum C Seho
213쪽
Stholium. Si concentricorum duorum circulorum minor non secaretur, sed tangeretur in II tertio illo circulo serum nihilominus foret arcus duos, inter circulos esse aequales, ut ex citata Prop. T. Lib. 3. Elem facile eodem modo deduci potest.
Ex propositione sequitur ductas lineas DE, FG, cliis duos arcus aequales DF, EG connectant, esse parallelas. Sinim ducatur D G, duo anguli D GI, ED G duobus arcubus aequa ibus DF, EG ad peripheriam insistentes, erunt aequales per Prop. aT. Lib. 3. Elem qui cum sint alterni, constatDE, FG se inter se parallelas,pROPOSITIO XIII. Theorema. Si centro A Quadratricis circulus describatur Quadratricem secans inclis E per quae puncta ducatur Applicata II: Tum quouis in Quadratrice assumpto puncto , ex eo per , aut E circulus describatu secans in F circulum centro Aper I&E descriptum Applicatam autem I E in G. Dico ita esse Applicatam EI ad sui patiem G I, ut est arcus EF Iad arcum FH.
Vari sunt Propositionis huius casus Vel enim punctum O Quadratricis designatur inter punctum Id Quadratricis verticem C: vel in eius cornu ultra punctum I producto Deinde vel circulus centro Odescriptus transit per Applicatae terminum I viciniorem , vel per remotiorem E M in altero Quadratricis cornu positum. Duos ergo casus hoc uno in schemate complector, eademque demonstratione, quae utrique conuenit, declaro. Cum scilicet punctum utroque modo in Quadratrice assumptum, citra scilicet, vel ultra punctum I, centrum statuitur circuli per Applicatae terminum I vici niorem vel in eodem cornu positum describendi Hoc supposito duc tur linea IF, ac per Oagatur radius A T, lineaque Axi parallela Isu Diyitia i Corale
214쪽
Cum per punctum Quadratricis ducatur radius AT, & Axipa.rallela OL patet per generationem Quadratricis ita esse arcum E HII ad arcum TI ut est Applicata EI ad Applicatae partem ILin utroque hoc casu. Hic meminisse iuuerit quomodo superius Prop.6. ope Applicatae II, arcus IH Quadratricis verticem Cincludentis delcriptus sit arcus Quadratricisa C E Quadratricis vero cornu ultra I productum in infinitum describi ope arcus B I, cApplicatae ultra I productae usque ad Quadratricis Assymptotum in selarcus IT, ita est ad arcum I F, ut est Applicatae pars I ad partem I G. Ergo ex aequalitate, ita est arcus EF I ad arcum I a circulo ex centro O per I descripto abscissum ut est Applicata E ad sui
partem G ab eodem circulo abscissam, ut seri propositio . Verum probanda est minor, nimirum ita esse arcum IT ad arcum IF vi
Applicatae pars I ad partem IG. Quia igitur I semissis est lineae
215쪽
in diametro Απ praeter centrum A alluinpto ducantur lineae ductas
puta O I, O F aequalec sunt enim semidiametri circuli GIF
aequales erunt arcus T I, TE per Prop.7. Lib. 3. Elem. Quare in hoc duplici casu , quo circulus centro per viciniorem Applicatae terminum I describitur, constat propositionis huius veritas. ω onctratio duplicis casus posIerioris. Repetito igitur schemate, in quo ostensum est, si centro O in Quadratrice assumpto siue citra, siue ultra terminum I Applicatae viciniorem circulus I describatur ita ipsum secare Applicatam in G, mcirculum centro A per I delineatum in F, ut Applicata EI, UCI ita se habcat, ut arcus E FI se habet ad arcum HI s ex eodem centro O siue citra, siue ultra I in Quadratrice assumpto circulus describatur per alterum Applicatae terminum E a centro remotiorem iostendi debet circulum hunc Applicatam IE,4 circulum IRE secare
proportionaliter. Quod ita concludetur. Secet circulus ccntro O per E descriptus circulum I FE in V,&Applicatam in Rostendi debet ita esse Applicatam VI ad IR, ut est arcus I HI ad arcum IREN, clarum attem est du clam O L Axi
parallelambifariam secarcii chordam TR per Prop. 3.Lib. 3.Elem Vnde clarum evadit lineam G aequalem esse lineae IR, siue centrum O citra I ruerit assumptum, siue ultra Si enim O citra I statuatur cum E L sint aequales; aequales item sint LI LG Si ex L dematur LG,, ex L R dematura I, reliquas E, IRaequales esse necesse est. Si vero punctum O vltra I fuerit constitutum: Si ad LEaddatur LG,& ad LR addatur L hient aequales 1R, E. Clarum denique est per Prop. proxime praecedentem, a cum IB E aequalcm esse arculi H V in priore casu, cum centrum Ocitra I p itur;& cum ultra I idem centrum statuitur, arcum PT csse aequalem arcu LV. Hi siquidem arcus in utroque casu intercipiuntur inter concentricos circulos centro O descriptos. Quibus declaratis, ac supp0 sitis.
Cum arcus I BE itincto citra I existente aequalis sit ostensus arcu SH V hic character Upuncto; vicinio intelligi debet, ut per se patet si addatur communis arcus Esse erit arcus B E V aequalis a cui FH V E. Iam, cum ita sit Applicata E ad I a vi arcus IH E ad arcum I TR ut in demonstratione casus prioris ostensum cst , erie etiam per conuersionem rationis Applicata IE ad sui pati cm
ut arcus I H E ad sui partem PH E sed linea a aequalis est ostensa lineae arcu PH Dai cui IBE V probatus aequalis. Ergo ita est
216쪽
Libis IIL de si uadratrice. Is
est Applieat IE ad lineam IR ut arcus IH ad arcum IBE V. Ergo secatur Applicata I producta ina a circulo ex centro O citra punctum Lexistente descripto, similiter ut ab eodem secatur in circulus centro A peret descriptus.
Eadem fere fututa est demonstratio cum punctum O vltra I constituitur . Nam arcus FB ostensus est aequalis arcu IU addito ergo communi arcus E V aequales erunt arcus FB TV, GH E. Cum autem ita sit arcus IH E ad arcum IF ut Applicata E ad recitam Iavltra I producti am, quemadmodum in priore demonstratione declaratum fuit erit etiam arcus PB E V arcu IH E aequalis ad arcum IF vi Applicata EI ad lineam I G:&componendo. Ita erit arcus I BE V ad arcum IR ut tota Saad rectam ΙG: per conuersionem rationis. Ita erit arcus I RE V ad arcum RSTV ut recta E Gad Applicatam EI: Et invertendo. Ita erit arcus FBE V ad arcum I NE V, ut Applicata EI ad rectam EG , sue ad rectam IR rectat EG aequalem nuper ostentam. Constat ergo circulum centro O vltra I in Quadratrice sumpto descriptum per inferiorem Applicata terminuma, siue in altero Quadratricis cornu positum, secare in Rappli-ς 3 catam
217쪽
catam productam ultraque ita, ut Applicata EI Ita sit ad PR, ut est atriacus IH ad arcum IRE VLIta, ut tam arcus I BZV, quam recta IR respondens ab eodem puncto I nascantur. Sive igitur Quadratricis punctum statuatur citra, siue ultra terminum I Applicatae,incirculus per punctum I vicinius, cin eodem, quo centrum O Qu dratricis cornu statutum, describatur qui duo casus in priore demonstratione exponuntur. sue describatur ex eodem duplici centro ope remotiorem Applicatae terminum Ε, 4n altero Quadratricis cornu existentem quo de casu duplici aistum hic est verum semper futurum est ab eo circulo ex puncto Quadratricis o deseripto pera, aut E. Applicatam IE 6 circulum centro A perdia descriptum, secari proportionaliter. Quare Si centro A Quadratricis circulus,&c.
Quod erat demonstrandum. Seholium.
Hic obseruandum venit circulas ex centris ier Applicatae terminuma remotiorem deseriptos variis in locis secare posse circulum IBE H centro A delineatum. Potest scilicet minuete illius sectionis punetum V in arcum Emincideres, ut in allato Paradigmate contigit. Poterit interdum in ipsum Applicatae terminuma incurreret cum scilicet arcus FHE cum centrum o circuli secantis citra Iexistit aequalis fuerit arcui IRE: aut cum centro O vltra I existente arcus FB E, eidem arcu IBE suerit aequalis qui sus tunc tantum potest occurrere quando Applicata I E inter Quadratricis centum A, ω verticem statuitur; εc ab ea abscinditur arcus IH Eex circulo centro A pera m descripto semicirculo minor. Interdum etiam Continget, ut punctum illud sectionis existat inter Brissi, sed eadem in omnibus huiusmodi casibus demonstratio instituetur, ut eam pluribus prosequi operae pretium non videatur.
PROPOSITIO XIV. Theorema. SI centro A Quadratricis circulis describatur ipsam secans, in I 'id perdissi ducatur Applicata I E. Tum Applicata in G, Warcus I H E in F proportionaliter se centur: per tria puncta G, I, F, hoc est, circa Triangulum GPF circulus describatur, cuius centrum sara in eodem cum puncto I
Dico centrum O esse ad Quadratricem. Expositio
218쪽
Expositi o Praparatis. Haec est conuersa prioris partis Propositionis Antecedentis, in qua ostensum est circulum centro quouis O in Quadratrice, siue citra Applicatae terminum I, siue ultra assignato per Lin eodem cum Quadratricis cornu descriptum secare in G siue supra, siue infra I. Applicatam de in F circulum centro A per I descriptum, proportionalitera punctis ΙΛ E in quibus circulus, applicata se intersecant: ita ut eadem sit ratio arcus E HI ad arcum ΙF,ωApplicatae IE ad eius partem abscissam G. Hic verba contrario si supponatur eadem ratio arciis IH ad arcum I F, applicatae IE ad I GLasseritur centrum O circuli per tria puncta IF transeuntis in Quadratrice existere.Quod ut probetur, ducantur rectae I F, G F, ut fiat Triangulum I GI; cui circumscribitur circulus,cuius centrum est O. Ducatur etiam recta AO quae producta arcum I bifariam secabit in Τιrectam autem Ι bifariam item in D. Nam ductis OI, OF ductas suppone aequalibus, utpote semidiametris circuli GIF ex puncto Oin diametro A Textra centrum accepto; erunt arcus I, I mu
les per Prop. . Lib.3. Elem atque Medier Prop. 3. eiusdem Lib.3. recta IF bitariam δε ad Angulos rectos secabitur in D. Quibus deis claratis, Auertio evadit mani-α ,
Cum ex suppositione ita sit arcus IH E ad arcum I F; ut est Applicata I ad eius partem IG. Sit autem arcus I ad sui semissem IT, ut ad sui semissem Lest recta I G. Ex aequalitate, ita erit arcus ITH ad I , ut Applicata Issi ad rectam I L. Quia vero periducitur Axi parallela LO,N ad T ducitur semidiametera mino secans parallelam erit O in Quadratrice. ut Quadratricis fert generatio. Sed idem punctum O est etiam centrum circuli Triangulo G IF circumscripti per Prop. 3.Lib. . Elem. duo enim eius Trianguli latera I F, IGbifariam , ad angulos rectos in L,&D secantur; a lineis LO,&D O atque adeo in earum conculsura existit centrum circuli GIS, quod idem punctum O ostensum est ad Quadratricem pertinere. Ergo Si centro A Quadratricis circulus, &c. Quod probandum erat.
PROPOSITIO XV. Theorema. SI centro A Quadratricis circulus describatur Quadratricem secans inclina: per Iri Educatur Applicata Issi: quae in G secetur a circulo ex centro O in Quadratrice assumpto
219쪽
sumpto per terminum I Applicata descripto: a quo eodem
circulo secatur proportionaliter in Parcus IH F. Vt Prop. 13. .antecedente ostensum est ponatur autem via Applicata
ad I R. aequalem rectae G E ita arcus E HI ad arcum IB EI. Dico circulum centro O per Applicatae terminum Texistentem in altero Quadratricis cornu descriptum, transire per Rin V. Hoc est centrum circuli per tria puncta R, E, V transeuntis, siue Triangulo ME V circumscripti, esse idem centro O circuli GI F.
Cum ex suppositione recta I aequalis sit rectae G D: Si ex centro O circuli GIF ducatur perpendicularis I ad Applicatam, bifariam in L secabit abscissam chordam GI adeoque UR, L E aequales erunt:
quo fiet, ut circulus centro oper Edescriptus etiam per Raransiturus sit. Probandum restat transiturum per V. Id porro constat per par tem secundam Propositionis 3 eiusque demonstrationemri qua ostensum est circulum centro per Applicatae terminum E in opposito Quadratricis cornu existentem descriptum,abscindere arcum IRE V;
ad quem ita se habet arcus IHE, ut Applicata I E se habet ad rectam IR Cum ergo hic ita sit arcus IH E ad arcum IBI V, ut IE ad I Rex hypothesici necesse est arcum centro ier Elaestriptum transire tam per Min Applicata, quam per V in circulo IRE V siue o esse centrum circuli Triangulo REV circumscripti. Itaque. Si centro A Quadratricis,acc. offerat probandum. Ex duabus proxime antecedentibus Propositionibus colligitur quodlibet Quadratricis punctum, veluti O, determinari posse per
quatuor diuersarum linearum communem concursum. Ecce enim in
eodem schemate ostensum est punctum illud o Quadratricis, centrum esse circuli Triangulo G IF circumscripti ex suppositione quod ita sit Applicata I ad eius partem Iasiue infra, sue supra I assumptam ut est arcus IH E ab Applicate abscisius ad arcum IF vel ultra I ad Laeuam excurrentem, quando nimirum recta Iaad Applicatam supra Iannectitur vel citra I in ipse arcu IH prepetitum, ut repeti necesse est, repetita infra Ι super Applicata eius parte IG. unc ergo, si Tranguli latera non tantum duo I F, Iabifariam secentur in
L ωD,di persectiones lineaeducantur ad ipsa latera perpendiculares;
220쪽
quae incentro O circuli circumseribendi cocurrunt per Prop. 3.Lib. . Elem. Sed etiam tertium latus G bisecetur in Κ, dueta etiam per Κlinea DP ad tertium illud latus a perpendiculari,quae pari cum duabus aliis iure ad centrum idem O contendet atque ita tres lineae in
eodem concurrent. Quibus quarta accedet Iuriangillum alterum
eonstruatur REI; cuius Angulorum unus si ad Applicatae oppositum terminum E duόque latera ER, TU Angulum E continentia ita determinentur in utroque schemare; ut Applicata EI, & linea IR proportionales sint arcubus IH E, IE V s quam determinationem mox aperiam Tunc enim tres lineae latera huius trianguli ME V M-sariam & ad angulos rectos secantia in L,χZ, concurrent ad centrum circuli Triangulo circumscribendi verum earum duae L O QOeaedem sunt cum illis ipsis, quae circulo inseruiunt circa Triangulum
G IF circumscribendo ut enim L O bifariam secat latus Iatrianguli Ga F; ita etiam secat bitariam RElatus Trianguli R E V. Similiter, recta CO bifariam secans latus E V eadem est cum recta O bis etiam secante latus IF prioris Trianguli GIF, cum enim per Prop. r. arcus I E, V sint aequales, parallela est linea TV lineae I F; quo fit, ut
recta DO producta sit perpendicularis etiam ad rectam E V. Ergo