장음표시 사용
221쪽
cum rectae DO,& in in punctora conueniant necesse est ut unicam lineam Dracomponant alioqui quod absurdum foret duae lineae ab eodem puncto Oad eandem lineam E V perpendiculares duci possent. Sola ergo linea bifariam,& ad Angulos rectos secans inritertiumTrianguli latus RV de nouo accedit ad punctum quadratricis, ope Trianguli ME V determinandum : sicut rectario bifariam 4ngulos rectos secans in datus a Trianguli GIF sola de nouo idem punctum O Quadratricis desiginat, duabus aliis L O , AG punctii millud oc generatione Quadratricis determinantibus. Facile autem
definitur arcus I E V ad quem ita se habeat arcus IH L, ut se habet Applieata I E ad rectam PR, ex dictis sed idem per compendium hic, ubi occurrit, absoluam hoc modo Arcui I BE aequalcm arcum PH V in uno schematum, in altero vero arcum F IV constitue. Ita enim erit Applicata IE ad lineam IR , ut est arcus IH E ad arcum I BE V. Nam ita est Applicata E ad G E, ut arcus bH E ad arcum ITF, ut ex Propositionibus superioribus constat. Sed posita est recta P in utroquesti cichemate aequalis rectae GI:& in figura in qua puncti m Quadratricis citra sumitur intra circulum, arcus i EV aequalis est arculas ta est enim ex suppositione arcusas aequalis arcui I B E. Ergo addito communi arcussis aequales fient arcus I E V ωRV E. In hoc itaque casu ita est Applicata Issi ad rectam ΙR,ut est arcus IH Ead arcum ΙE V. Recte igitur in hoc casu , si ponatur arcus DV aequalis arcu PINE, designatur arcus EG, ad quem ita se habeat arcus I Hi, ut se habet Applicata IE ad reclames R. In altero vero casu, in quo punctum Quadratricis vltra' extra circulum statuitur,idem probatur in hunc modum. Applicata IE ad rectam IR , ut proxime monui, ira est ut arcus IH E ad arcum LVI. Sed arcus IV Eest aequalis arci; IRE V. Nam ex suppositione aequales sunt duo arcus IV&RE. Ergo utrisque, additis duobus communibus arcubusa Fin EV aequales fient arcus I FE V, ωFLV E. Ergo ita est arcus I H E ad arcum I UE 3 ut Applicata I ad rectam IR Recte igitur citam in hoc casu definitum est punctum V, ut statuatur Triangulum RE V cui ci Cum scriptus circulus centrum nanciscatur O in Quadratrice producta vitres Hic porro rursὐ obiter obserua, quomodo in producta Applicata ultra sumenda sit linea sit x quoties arcus ei respondens ab
eodem puneto I ad laeuam Applicatae assumitur contra vero sumi debeat infra punctum P, quoties arcus ab eodem puncto I ad dextram Applicatae numerantur. Sic enim ostensae sunt in utroque hoc schema te rectae EI, Ia proportionales arcubus I HAE , Hii V quorumptior respondc Applicatae I E instari positae , posterior auter
222쪽
Libὸν III. de si uadratrice. r. F
ilicetvltra si usque advexcurrat in arcu E HI ad dextram Applica tae IEDrespondet, &homologus est rectae I R. in Applicata ultra I pr dum assumptae.
ΡROΡOSITIO XVI. Theorema. SI ex centro A Quadratricis circulus describatur secans Quadratricem in I&E;&per via ducatur Applicata Issi quae demum, Marcus abstinus I H E proportionaliter se- centur infra I, illa in G, hic in R; in hoc primo casu. Dico centrum circuli per tria puncta E, G, F descripti, siue Τriangulo Ea circumscripti esse ad Quadratricem.
Ducantur recitae FG a B ut fiat riangulum FG E cuius omnia latera bifariam, &ad Angulos rectos secentur a lineis, quae in centro P circuli Triangulo RG circumscribendi concurrunt , ut fert Prop. 3. Lib. 4. Elem cuiusmodi sunt K P, SP, YP. Ostendendum
223쪽
itaque est punetum P esse ad Quadratricem
Cum ex suppositione Applicata EI ita sit ad sui partem I G, ut a cus E HI est ad sui partem I F. Conuertendo. Ita erit Applicata EI ad sua partem E a ut est arcus E HI ad sui partem RHAE: sumptis consequentium semissibus G S, F X s qui arcus Fri determinatur a re- ista YI bifariam dc ad angulos rectos secante in Y chordamissi: eadem enimal transibit per centrum A. circum Fae bifariam in X diuidet per Prop. 3.Lib. 3. Eucl. alacrit Applicata EI ad ES , ut arcus E HI ad arcum LX.Ergo ducta per Sieeta SP Axi parallela, siue Applicatae E Iperpendicularis ductusque radius AX se mutuo secabunt in P ad Quadra ricem , ut patet ex generatione Quadratricis. Quod idem hoe etiam modo concludere licebit. Cum ita sit Ea ad Eri , ut arcus E HI ad arcum LX erit per conuersonem rationis, ita Applicata ELU IS, ut arcus E HI ad arcum IH X. Ergo per generationem Quadratricis radius A X,i Axi parallela per S ducta se intersecare debent in puncto, quod sit ad Quadratricem, quale est P.Euidens demum est rectam' i ae bifariam , ad angulos rectos secat in K tertium Trianguli FGE latus RG , necessario in puncto P ad Quadratricem existente, ut probatum est, cum duabus aliis rectis lineis coituram.Quare Si ex centro Quadratricis circulus&c. Quod erat demonstrandum.
ΡROPOSITIO XVII. Neorema. Iisdem positis. Descripto scilicet ex centro A Quadratricis, circules; qui secet Quadratricem indissi,ductaque Appi Dcata II: quae producta ultra I ita secetur in a vi productus arcus E HI, secatur in F : ac demum ducta FE ut hat Triangulum GFE. Dico. Centrum circuli Triangulo GI E circumscripti esse
Dividantur bifariam inciria duo Trianguli GI E latera GINDE & per haec diuisionum puncta SNa ducantur ad ipsa latera perpendiculares SP,i P quarum illa erit Axi parallela; haec vero transibit per centrum A, product que secabit in X bifariam arcum FIX E per Prop. 3. Lib. 3. Elem erit autem P, in quo S P, Y P concurrunt centrum circuli Triangulo G RE circumscripti in quo cum duabus lineis P S, P etiam conueniet recta DP bitariama ad Angulo
224쪽
gulos rectos secans in K tertium Trianguli latus G F. Probandum ita. que est punctum hoc P esse ad Quadratricem.
Cum ex hypothesi ita sit Applicata EI ad Ia ut arcus E XI ad
arcum IF erit componendo, ut recta EG adcla, ita arcus LX IF ad arcum I Antecedentium dimidiis acceptis, ita erit per Prop. 3. Lib. s. Elem recta S G ad Ia, ut arcus XI Fad arcum I F. Et diuidendo, Ira erit SI ad ΙG, ut arcus XI ad I F. mpermutando. Ita erit recta SI ad arcum XI, utreeta I Gad arcum I F. Sed vi Iaad arcum IRI ita est ex suppositione Applicata IE ad arcum IH E iam ex ipsa suppositione ita est Applicata IE ad I G, ut arcus IH Ead arcum I Fr&permutando. Ita est IE ad arcum IH E, trecta I G ad arcum I Ergo ita est recta IS ad arcum IX, Applicata II ad arcum IH E. Q clare ex generatione Quadratricis, mi uxta traditam Prop. 3. eius descriptioncm, si per punctum S ducatur Axi parallela S P, eam radius Ecentro A per X eductus in punito, quod est P secturus est ad Quadratricem posito eritquel centrum circuli Triangulo G PE circumscribendii in eodem recta ΚPadlatus I quod bifariam secat perpendicularis cum duabus lineis S P, A P conueniet. Ergo Iisdem positistic. Quod erat iamonstrandum.
Cum in hoe utroque casu linea I connectens puncta Gri R. in quibus Applicata IE,&arcus IH EPqui ultra usque ad F scut Applicata ultra I usque ad G producitur in eo casu , in quo punctum OQuadratricis vltra I reperituro proportionaliter secantur sit latus duobus Triangulis G IF, G DF commune hinc sequitur, eo bifariam diuiso in K, Ac per Κ ducta linea ad ipsum perpendiculari , eius ope duo Quadratricis puncta , cuiusmodi sunto, P, designari quorum illud est centrum circuli per Applicatae terminum I delineatum hoc autem centrum est alterius circuli per eiusdem Applicaret alterum terminum Edescribendi vel etiam vicissim punctum est centrum circuli per Etranseuntis, qualis est R SV, aut RG Si punctum verbi est centrum circuli , qui per I describeretur, Applicat mque
PROPOSITIO XVIII. Theorema. SI ex centro A Quadratricis circulus describatur, ipsam in punctis Irae E intersecans, per quae ducatur Applicata. Tum centro O quouis in Quadratrice assumpto circulus per
225쪽
Applicatae terminum I delineetur secans in G Applicatam, in Farcum I HAE productum in altero duorum casuum. Deinde per tria puncta G, F, circulus describatur: cuius centrum sit P. Ac denique per haec duo circulorum centra O& P radireducantur ex centro A circulum IH E secantes in Τ&X. Dico primo Centrum P circuli per tria puncta F, G, Edescripti cadere in Quadratricem. Dico secundo. Arcum TX aequalem esse arcui IH inter Applicatam, & Axem intercepto siue Angulum T A X, aequa
Prima quidem Assertionis huius pars clara est per Prop. antecedentem: qua constat centrum P circuli riangulo P circumscripti esse ad Quadratricem determinatur enim a duabus lineis, Pri Axi parallela, A X; quarum illa bifariam secat, ad angulos rectos Trianguli latus G Si haec autem arcum Fcissi bifariam secat in X,dum latus FE Trianguli bifariam rac perpendiculariter secat ina, ac per centrum ducitur quibus accedit tertia linea OP secans in bifariam, M perpendiculariter tertium eiusdem Trianguli latus FG centraque Oi P connectit circulorum, qui Triangulis FGI, FG Dcit,
Secunda veris pars, quὁd arcusari aequalis sit arcui I H, ita euadet
226쪽
det manifesta Cum aequales sint si ducantur iectae I, o P sunt
enim semidiametri circuli GIFὶ ducantur autem ex puncto O in dia- .metro A T circuli IM E extra eius centrum A posito erunt arcus ΤΙ,ΤFex utraque parte aequales iuxta Prop. 7. ω8. Lib. 3. Elem. Sunt ver 5 etiam aequales arcus X F, XE , vel propter eandem rationem: nam rectae PI, PI, si ducantur, sunt aequales,4 ex puncto P diametria extra centrum A posito egrediunturci vel quia recta AP bifariam secans chordam F Tinet, bifariam etiam secat in X arcum F X E. Quod cum ita sit. In eo casu, in quo duo centra Ovil intra circulum IM E existunt, ita declaratur Astertio Arcus I I una cum arcu FXEtotum arcum Ire componit itaque si arcus I F emissis T F, ωareus P E semissis item P sumatur, & ad arcum TF addatur, ut fiae totus arcus TFX, haud dubium, quin huiusmodi arcus TFX sit passdimidia totius arcus I H E. Sed arcus IH dimidia pars etiam est eiusdem arcus IH E. Ergo arcus TFX aequalis est arcui ΙΗ, atque adeo angulus T A X aequalis angulo LAM, ut asseritur. Cum vero ambo puncta in P circulo I HI non includuntur, ut habet alte casus eodem sere modo Propositum includitur. Totus arcus I TE in duas partes ITE, Fassi diuiditur , si igitur ex arcu IF dimidia pars sumat ira F,4 ad arcum Fri, qui dimidia pars est reliqui
arcus DE, addatur ue ut fiat totus arcus FZ hic erit dimidia pars totius arcus Idita atque adeb aequalis arcui I B, vel El. Quare Si ex semicirculo NIM , arcus I B vi ex semicirculo Z T X, arcus ZTdematur reliqui fient arcus IM,&. X aequales Angulique T A X, dcla inaequales erunt. Quare Si ex centro A Quadratricis &c. Quod
PROPOSITIO XIX. Theorema. SI centro A Quadratricis circulus describatur ipsam secans in punctis Iin D; per quae agatur Applicata I E. Tum in A
angulus constituatur T LX aequalis angulo IAM, quem Axis A H cum radio Au continet sue arcus T X arcu PH aequalis sumatur, radiis A T, A X Quadratricem secantibus in Od: Pintra circulum HE. Dico. Si ex applicatae termino I per punctum O in eodem cornu Quadratricis positum in ex altero Applicatae termino Eper punctum alterum P rectae educantur ID, E P. eas in aliquo puncto R. circumseremiae circuli I HI simul coituras
227쪽
Centro O per I circulus describriatur secans Applicatam quidem in G, circulum vero IH E in F fimiliter centro altero P per alterum APplicatae terminum E describatur ci cuius qui necessario per puncta G&F4 in quibus Applicata,m circulus IH Ea priore circulo ex oper I de-
'ipto secantur , transiturus est. Vt ex praecedentibus Propositionibus constat. Ducamur etiam reme OF,
PF ac demum duae IN FN ad quodlibet punctum N circumferenti: circuli ex centro oper I deseripti.
Cum Quadrilaterum I FG circulo ex centrora per I descripta contineatur erunt duo eius anguli opposti IN F, G Raequales duobusrectis per Prop. in . Lib. 3. Elem. hoc est, duobusreetis aequalibus FGI, FGE. Ergo angulus FG Eaequalis est angulo FN I Segmenta igitur IN F,, EG F, in quibus existunt aequales illi anguli, similia sunt per defin Lo.Lib. 3. Elem unde sequitur Angulos FG I, FI E ad centrum arcubus similibus IN F, EG F insistentes, esse inter se aequa-las. Quare, clim duo Triangula UIS, ME S duos angulos FIS, ME Sinterses, duosque ad verticem IS F,&ES Raequales habeant erunt etiam duo IUS, E R S inter se aequales. Cum ergo angulus IF Est in segmento PH E, in eodem etiam erit angulus I ME per Prop. 1i. Lib. 3. Elem hoc est, duae recta Iovi EI productae in peripheria IH Esimul coibunt. Quare in hoc casu, in quo duo puncta O I intraci entum ire includuntur ue sue in quo angulus a X aequalis angulo IAH, radiis continetur AT,AX intra segmentum I HELvera est
pROPOSITIO XX. Ibeorema. IIsdem pelliis. Si ita sumatur arcus Tin X ritualis arcui IHι ut radius Aa Quadratricem secet in O vltra punctum I Dradius autem A X eandem in P secet citra I, siue intra circulum PHShaut si angulo P Haequalis fiat angulus O A X, ita ut duarum linearum angulum illum OAX continentium altera,
228쪽
mempe AO Quadratricem secet ultra in σε Altera autem citra Lini &recta ei per I transiens producatur, donec in secet circulum IH E. Dico. Si per alterum Applicatae terminum Sper P traducatur linea recta: ipsam in circumferentiae puncto R coituram cum recta OR per I transeunte
Ducantur lineae PG, F itemAI, AF: traitem OG,OS: traiiciatu autem ex Eser F recta EF donec in occurrat lineae RI O productae.
Duo Triangula OIU, FI E sunt aequiangula.Ostendo.Angulus FOΙ ad centrum O circulii ΙG per io. Prop. Lib. 3. Elem. duplus est anguli FGI eidem arcui IF insistentis,cui insistit angulus FG ad centrum, ille autem ad circumferentiam. Est autem angulus FPE itidem duplux eiusdem anguli FG , aut FG E. Hic enim est ad circumserentiam circuli EFG centro P per E descripti ille vero FI E est ad centrum, d uterque eidem arcui Ea insistit. Ergo aequales sunt anguli FGI, FPE. Quia vero latera circa aequales illos angulos sunt proportionalia, nempe aequalia erunt duo ipsa Tritngula FUI, UP E aequiangula per Prop. s.Lib.6.Elem eritque angulus II italis angulo FE P. Hoc posito, attendamus duo Triangula SIF, Sari, quorum comis munis est angulus Sci angulus autem SIF ostensus est aequalis angulo S E P. Ergo reliquus angulus tertius S FI, tertio reliquo angulo KR Etrianguli O Ea est aequalis Hinc ergo fit, ut duo anguli AE , IRE Quadrilateri IDEM , qui sunt oppositi sint duobus rectis aequales, duobus enim IRE, II qui sunt duobus rectis aequales hi ps sit ne aequales. Ergo circulus Quadrilatero huic I FEM circumscribi potestiqui alius non est, quam circulus IH Eccntro Adelineatus, cum tranisseat iam per tria puncta , F, E. Constat ergo rectam DP , si producatur non alio in puncto coituram cum producta O L, quam in ipsomet puncto R, in quo recta Icirculum IH Eintersecat. Quare Iisdem positis. Si ita lumatur arcus c. Quod erat demonstrandum.
229쪽
pROPOSITIO XXI. Neorema. IIsdem aut similibus postis. Sit nimirum Quadratricis cenistrum A, Axis B H, Applicata quaecunque I E. Ponatur autem arcui I H circuli IH E centro A per I, Edescripti,arcus aequalis BR, siue angulo H Arangulus aequalis BAR ita veradius A cui adratri em secet in P quo in casu alter radius angulum BAR. angulo I xH aequalem continens est ipse Axis Assi qui in infinitum productus Quadratricem in infinitum productam secare concipiatur in punctos, quod,ut insuperioribus calibus contigit, respondet Quadratricis puncto P. Dico. Si ex eo infinite distanti puncto O, per superiorem Applicitae terminuma recta linea ducatur, ducatur autem&altera linea ex altero Applicatae terminossi per punctum P:has duis lineas in eodem puncto circumserentia: IHI, ut in R
Linea illa ex infinito spatio oper punctum Ddeducta est necessario ipsi Ax BH parallela: Illa enim, in xis B H productus ad Quadratricem infinii productam se mutuo secant inpuncto illo O infinite distanti, hoc est, nunquam, hoc est, parallela: sunt lineae illae Ducatur ergo per I linea OIAxio parat Iela:quae secet M arcum I HI AE expuncto E per punctum P Quadratricis recta extendatur DP. Probandum est rectam hanc, si producatur vltra P cum recta Orcoituram in eodem puncto R circumteremtia in quo ipsi secatur a recta OI Axi parallela.
Cum ex hypothesi arcus I RH,&RIB sint aequales dempto com-
230쪽
Lib. III. Dest uadratrice. 3 3
muni arcu PR, aequales erunt arcus I B R H. Ergo ducta Ia parat tela est Axi mo producta igitur Od Axi perinde parallela coalescet cum recta IR , dc in puncto R secabit arcum Rici in
quo eundem arcum secare supponitur radius ex centro A per punctum PQuadratricis traductus. Probandum itaque nunc est radium AR productum cadere in Applicatae terminum Et sic enim constabierectam ex terminossi Applicatae per Quadratricis punctum P traductam coire in puncto R, in quo altera linea ex puncto O Quadratricis infinite distanti per alterum Applicatae terminum I ducta arctar IH secat. Id porro probatur. Duo Triangula A SI A SAE, cum habeatutria latera tribus lateribus singula singulis aequalia aequiangula sunt iangulus ergo S AE est aequalis angulo S ΑΙ. Sed angulus S ΑΙ est aequalis angulo A in sunt enim arcus H, I B ostensi etequales er-.go aequales sunt duo anguli S ME, R A in qui cum sint ad verticem, unica recta linea ex duabus AR siue A Ph& A E conflatur. Sicut ergo recti P producta concurrit cum recta OI produm in puncto arcus IH i ita etiam EP producta cum eadem O I in eodem arcus IH puncto Rconcurret. Constat ergo etiam in hoc casu, in quo Axis AS in infinitum produci, in puncto infinite distanti Quadratricem secare concipitur, ex quo recta I per terminuma traiicitur secans in Rarcum Irei etiam rediam ex opposito termino Applicatae per P. traiectam arcum ΙH in eodem puncto R secare Quod erat probandum.
ΡROPOSITIO XXII non cpositis adhuc similibus circulo scilicet centro A Quadra
tricis descripto, qui Quadratrice secet in Irissi per quae ducatur Applicata I E. Tum puncto P in Quadratrice assurripto ultra I fiat ad centrum A angulus ' O aequa ' is angulo IAM, dueto radio Ara, qui secet Quadratricem in O in eodem cornu superiore in quo existit P. Dico. Si ex puncto O ad terminum I Applicatae superiorem recta linea ducatur secans in circumferintiam liculi centro A descripti δε ex altero puncto P ducatur recta ad alterumApplicatae terminumE:hanc rectam per Rarant ituram.
Centro O per I circulus describatur secans in G productam Appli-