장음표시 사용
231쪽
catam IT, circulum vero IH DB in F describatur autem centro P per Talter circulus, qui per adc transiturus est per Prop. 8 ducan- vir demum rectae FP, FG, FE i item OI, O F, F L. Demonstratis
Tam angulus PETrianguli P ET, quam angulus FGITriangu- licet duplus est anguli FG E. Patet. Nam angulus DG est ad
li Ga centro O descripti idemque est ad
li, qui centro P per Erit F describitur. Ergo per
Prop. 1 o. Lib. 3. Elem. tam angulusFOLquain
angulus FPE est duplus anguli FG E4 isdem a cubus FI FE quibus
illi subtenduntur, insistensiaequales ergo fundi anguli FOL PE:ergo ipsa Triangula sunt aequiangula, cum habeant circa aequales angulos latera proportionalia,ncmpe aequalia ita ut angulus IF aequalis sit angulo P EI.Ducatur linea recta RF a puncto R, ad F, in quo latus O 1 Trianguli O IF cisculum secat erit angulus RIF in segmento RIE F. At in eodem se mento esse necesse est angulum PEF, patet. Nam, cum angulus PEF aequalis angulo RG R, sit ad punctum K per quod transit circulus R IEF ue conueniant autem duae lineae FI RE ad punctum Reiusdem circuli duae reliquae R. Sue quaecum lineis PI F angulos RIF, P EF inter se aequales continent in codem eiusdem circulii puncto con-CUrrent, ut terque ille angulus aequalis MLF PEF in eodem possit esse segmento, cum ergo linea Od secet in Rcirculum non in alio, sed in eodem puncto xlinea P Eeundem circulum secare potest. Si enim in alio, quam I recte PE circulum secare siue citra, siue ultra casse .reretur, aut maior, aut minor angulo RI dicendus seret angulus
P EI, Vtate in minore vel maiore se emo, quam sit segmentum
232쪽
R IEF angulum capiens RIF, constitutus. Quod esset absurdum: cum aequales probati sint anguli IF ωZE F. Quare Positis adhue
similibus Circulo scilicetic. Quod erat demonstrandum.
propositionibus quatuor praecedentibus,quatuor diuersos casus ex.
posui , in quibus iisdem positis, Applicata nimirum quacunque IE,I-ue ea statuatur extra sagittam Ac Quadratricis, ita ut axem secet vltra centrum A, ut schemata Propositionum s. o. 1 I. reperunt siue
sagittam ipsam secet, & centrum inter & verticem Quadratricis interliciatur, ut in Propositione proxima Σχ fieri contigit Posito etiam
arcu T X aequali arcui ΙΗ, siue angulo a X aequali angulo LAM,
in prioribus duabus Propositionibus in Propositione autem 11. positus est arcus aequalis arcui I H,, in Prop. at eidem arcui IH aequalis est staturus RPB Iis, inquam, positis ostendi quatuor in diuer-s casibu quomodo concursus duarum linearum ex Quadratricis punctis Olc P in quibus a radiis arcum aequalem arcui IH complectentibus Quadratrix ipsa secatur, per Applicatae terminos Ivi Straiectarum in ipsa existat circumserentia circuli qui ex centi, per Applicatae terminos describitur. Primus casus, de quo agitur Prop. 8. aut ly est cum duo puncta Quadratricis O P cadunt intra circulum,siue in arcu Quadratricis ab Applicata IE ad verticem C abstita. Quo quidem in casu necesse est, ut horum punctorum duorum alterum in uno Quadratricis cornu existat alterum ver,in altero climarcus X aequalis esse debea arcui IH si ponetum rapuvieto brecesserit etiam tamo spatio punctum X a puncto Id recedere necesse est, atque adeb punctum P in inperiore Quadratricis cornu constitui. Casus ecundus illa est qui Prop. ao exponituri clim scilicet arcus X arcui IH aequalis, siue angulus TAX aequalis angulo IAH radiis continetur huiusmodi ι ve alter, nempe AX, supra Axe AH, siue interavi H ducatur; quo in casu altera vvltra Iducendus erit, ut patet, sicque fiet ut ab iis idem Quadratricis cornu a vertice C per Lextensum secetur in ac P. Ad hune autem reserri debet casus tertilis de quo agitur Prop. ai. Clim radius quidem vi si qui in schemate est A Rharcum a urina arcui IH continentium statuitur inter L&M,re Quadratricem secat in P . alter vero est ipse axis A B in infinitum productus versus B intri idem cornu Quadratricis a vertice Cper Ιporrectum in infinitum in O secare censeri potest: quo etiam in casu ineo sus est linearum per terminos Irissi Applicatae a punctis ovi P ductarum concursus in circulum IH E incidere Quartus denique silia Hop. 1 declaratus supponit radios continentes arcum aequalem 3 arcui
233쪽
arcui IH ut sunt A X, xvj secare Quadratricem in Pio ultra ter
minum I Applicatae: quam tunc inter centrum vi verticem C axem secare necesse est, ut scilicet angulus I H sit recto minor neque enim alias posset sumi in arcuq arcus X rarcui I H aequalis,ut patet. Ad hunc autem casum pertinet ille, in quo terminus ipse Iapplicatae
assumeretur ut ex eo arcus aequalis arcu IH abscinderetur in arcu
IB. Tunc autem illaidipsum punctum esset punctum concursus I, nearum a sectionibus Quadratricis per terminos Iri Eapplicatae ductarum. Nam a puncto 1 ad terminum Elinea duci deberet, quae ipsita mei soret Applicata I E N a lectione altera Quadratricis ad Applicataeterminum I altera linea duceretur priorem utique I E ductam in ipse puncto Icirculi IH E sectura an hoc porro casu, qui Applicatam inter
centrum A Quadratricis eiusque verticem C collocari postulat, ut sit arcus IH Quadrante minor, siue angulus I A H sit acutus ita arcui IH sumi posset aequalis in arcu IBι ut foret eius terminus Q ipse Axis AB alter duorum radiorum arcum arcula inaequalem complectentium. Quo posito idem contingeret quod Prop. at contigit, eodemque modo demonstraretur, concursus scilicet linearum a sectione Quadratricis per terminos Applicatae I E ductarum in eo puncto circuli haberetur in quo alter radius ipsum circulum secaret quemadmodum in schemate citatae Propositionis concursus linearum O dc
EP cadit in ipsum circuli punctum R, per quod radius AR arcumr
B arcui I H aequalem abscindens ducitur cVnus superest casus, cuius nulla facta est in superioribus mentio. Potest scilicet angulus angulo LA H superiorum schematum aequalis. sue arcus arcui IH aequalis ita constitui ut eum complectentes ad ij Quadratrici occurrant vltra Applicatam IE , sed ita ut unus unum Quadratricis cornua vertice C per Lextensum alter alterum ab e dem vertice per E transiens intersecet. An igitur in hoc casu lineae ab . iiis Quadratricis sectionibus per Applicatae terminos Irussi traiectae, in aliquo circuli IH E puncto, ut in allatis casibus contingere ostensum
est, concursurae sunt haud quaquam, cum enim, ut ex superioribus a aliquoties repetitis constat, praesertim in generatione celeberrimae huius lineae, desin stholio 1. Propositionis 6 pars illa Quadratricis, quae vitia Applicatam ex utraque parte in infinitum excurrit, generetur
ope arcus I BE ab Applicata Issi abscissi,, ope Applicatae vitra I dic Eproductae usque ad Asymptotos, siue donec tota Applicata diametro generanti sit aequalis circulus, qui ex quolibet puncto cornu unius
V. G. cx punctoo in proximo schemate , per Applicatae terminum L.
describitur secabit in G Applicatam ultra I productam in verb vitai
234쪽
minum delineatus Applicatam secturursest ultra E productam quo fit, ut hi duo ci culi nequaquam possint aliquando secare sese mutuo in eodem Ap plicatae puncto, quale est G in hoc schemate, in quo circuli centris OQP ad idem cornu pertinentibus per Idi Educti se intersecant in Go deficiente autem hac communi horum duorum circulorum, Applicatae intersectione praescinditur argumentum, quo duorum
Triangulorum o IF PEF similitudo, atque adeo aequalitas angui rum AlF, P EF concluditur in ex eo hos angulos in eodem segmento existere: unde tandcm codigatur lineas angulos illos aequales ad peripheriam constituentes secare sese debere, in ipsis segmenti angulos aequales continentis terminis. Caeterum. Ex hac linearum per Applicatae terminos ΓωE ex Quadratricis punctis o P ita determinatis, ut a me determinata sunt, traductarum sectione mutua ad peripheriam IM E suo loco deducetur Quadratricis facultas insignis ut propterea illam paulo pluribus prosequi,&,quoad fas fuit, aperte exponere, operae pretiiri visum suerit. Sed ecce Mia, quae ex iis consequuntur, non minus obseruanda.
Consereti possunt praxima Propositiones hoc modo.
SI centri Quadratricis circulus describatur ipsam secans in L E. ex punctu Irissi rectae emittantur sese in Madcir-uli peripheriam secatura, quae Quadratricem ipsam in O
235쪽
Dico Angulum T A X aequalem esse Angulo AH:quem radius Aa cum Axea H continet siue arcum a qualem esse arcui I H.
Demonstra tis. Hic unicum schema propono,quoa ad Propositionem ' pertineta in quoepuncta σε P, in quibus Quadratrix secatur a lineis IM, E D cadunt intra circulum, ut fert citata Propositio: ve
rlim non minlis recte de caeteris casibus Prop. ao. I. 12 explicatis haec
Assertio potest enunciarici quam in hunc modum demonstro. Si arcu, arcui IH minime sit aequalis sit TX maior, V. G. quam H, fiat ergo huie aequalis D X dueto radio AD quiQuadratricem secet in P ac per Fex puncto I recta ducatur. Haec cum recta E Rex puncto per P traiecta concurret in peripheria circuli IH E per Prop. i' .ao.&c.Ergo in puncto R, in quo recta BP circulum secat. Sed in eodem puncto recta etiam Io supponitur circulum secare,& cum recta BP conuenire. Ergo duae rectae IOR, IRR spatium comprehendunt contra Axioma I 1.Lib. i Eucl. Inaequales ergo asseri non possunt facti hypothesi duo arcus bH,Τ X,siue duo anguli ΙAM,T A X. Quare si centro Aquadratricis circulus c. Quod erat ostendendum.
SI Quadratricis centro A circulus describatur ipsam in I
E intersecans ducatur autem chorda a puncto Iad punctum H in quo circulus Axem intersecat, quae in S Quads tricem iecer,&ad S a centro A radius educatur. Tum hinc inde ab hoc radio A S duo alij radiiA O, A V ducantur, angulos MAM, SA V inter se aequales continentes ac denique exi macto I per in V rectae emittantur. Dico angulos SIO , I V esse inter se aequales,
236쪽
Vari sunt Piopositionis huius casias quos quidem una eademque tractatione, quae ad varia schemata adhiberi posset, complecti liceret verum etsi breuitati mimis, at claritati tantomimpensus consultumfuerit, si singuli pertractentur quorum hic est psmus Suppostis reliquis in ipso Propositionis textu expressis,duo radij AO, V angulos aequales S AO, S A
cum radio AS continentes ita statuantur ut intra circulum Ire idem Quadratricis cornu CLintersecent.' o supposit, producatur recta IO donec circulum secet in R ad quod punctum ducatur TR secans in Daxem producatur etiam IUeundem Axem sectura in eodem puncto D in quo recta TR ipsum secuit ut statim declarabitur sectura verycirculum in T ad quod punctum iungatur E Τ.Ducantur demum ad puncta P, Z, X in quibus secatur Quadratrix a lineis E R EH, ET; radiiAP, AZ, A X Quibus positis, ostendo duas reetas IN T, TUR sese mutuo secare in eodem puncto D Axis. Clim enim duae rectar IR, TR iuncta sint ad idem circuli punctum M secabunt Quadratricem in Ovil ad quae puncta, si radi j ducantur Ac, A PLangulum a P capient aequalema gulo IAM .s tela Hier scholium praecedens, per quod etiam eidem angulo EAH aequalis erit angulus XAV lineae enim IT, ET E punctat Iris egressae ad idem circuli punctum T concurrunt, quadratricem secant in V&X; ad quae puncta ducti sunt radi AX AV: ob quam eandem rationem angulus in angulo eidem IAH est aequalis. Cum ergo angulus o Paequalis sit angulo LAM: si dema tiar communis angulus o H, reliquus fiet angulus in inaequalis angulo IAU. Sed angulus LA O aequalis est angulos AH Nam ex angulis S AI, SI H per Prop.β. aequalibus ablati sunt ex suppositione
Propositionis aequales S AD, Sin V Ic reliqui facti sunt IAU. V AH aequales. Ergo anguIPV AM, PAM sunt aequales Ergo per Corollarium Prop. 3. rectae A V, AI sunt aequales Triangula igitur LANE A elim habeant angulos IA V, E A P aequalesidetracti siquidem sint ex aequalibus IAM, EA H, aequales ostensis A HI AM Mlatera A V, AI lateribus A P. AE circa aequales angulos aequalia
237쪽
erunt per Prop. lib. I .Euci anguli AIV, A DP aequales & additis aequalibus ALE, AEI, aequales erunt facti VIE REI. Quare si producantur IN EP necessario sese intersecabunt in eodem puncto Axis AH, eum Axis bifariam & perpendiculariter diuidat in basim IE Trianguli ad eam basim habentis angulos aequales.Quare,cum recta IT secet in Daxem Am, eundem in Detiam secabit recta TR
Duo riangula ID H, EDH tria latera singula singulis habent aequaliac sunt enim DLDE, & HI, FI E aequalia, latus autem D H commune Ergo& angulos habent aequales.Itaque cum
sit autem angulus D EM, sive ME H aequalis angulo PH per Prop. 17.Lib. 3. Elem. eo quod eidem arcu RH assicircumserentiam insistant i aequales erunt etiam duo anguli HIR, H PD. a.d hoc quoque modo concludi potest. Vbi ostensum est angulos L LE, DI I esse aequales , ex ea aequalitate concludi debet arcum IR angulum Et sustinentem aequalem esse arcui E angulum E ID
sustinenti. Cum ergo arcus HI, HE sint etiam aequales et si ex arcu HI arcus RI,4 ex arcu H E arcus T E dematur. remanebunt arcus
IH R Ha aequales. Ergo anguli HIR, H E T illis arcubus insilientes erunt aequales per Prop. 17.Lib.3. Elem. Quod in hoc primo casuir
Praeparati , si constructio casus huius secundi Ita habet Iiscem positis, quae in priore casu supposita sunt: nempe circulo PH Eue canis te Quadratricem in L& E ductaque Applicata Issici dum etiam IH, qtiae Quadratricem secat in S, ad quod punctim ducatur radiusAS: ducta quoque E H intersecans Quadratricem in T, ad quod ducatux radius Aet ductis denique AI, A E quae omnia, ut in prae denti casu se habent statuantur duo anguli aequales S A P.S A V hinc inde a radio Ari, ita ut recta AO Quadratrici occurratino ultra Applicataeterminuma recta vero A Walterum Quadratricis cornu C E secet in V. Tum a puncto O per I tecta emutatur Olαια peta ab eodem puncto
238쪽
puncto Precta ducatur IV Τ. quibus positis anguli duo HIR, ΗΙΤprobandi sunt aequales iuxta Propositionei ad quod haec adhuc necessaria est praeparatio A puncto per R& , in quibus circulus secatur a lineis IO,PV productis, ducantur lineae EM, E quarum illa Quadratricem in P haec vero producta in X intersecet ad quae
puncta radij destinentura P. X. His peractis,
Cum duae lineae RI, RE in eodem puncto A circu- Ium secent decent vero Quadratricem in Ο Ρ,
ad quae puncta ducti sunt radi AD AI .angulus P AG aequalis erit angulo
IAH per Schota .Prop. 22. dempto communi P AI, aequales erunt PAHJΑO.Quia verbex Hypothesi Propositionis duo anguli, O, SAE V sunt aequales si ex iis demantur aequales Sin I, Sin re, aequales fient reliqui I AD AEA V. Sed IA O aequalis est ostensus ab gulo P AH. Ergo duo anguli P AM,VAE H sunt aequales ac proinde per Prop. 3. Coroll. aequales sunt lineae Al in V. sunt autem etiam aequale. E. I; tanguli IAU, A P, lateribus illis aequalibus com prehensi, aequales sunt enim anguli H AIM H AE aequales quibus adduntur aequales ostensi H ΑΝ, Η ΑΨ Ergo duo triangula I A V. Ea P habent angulos AIV. DP aequales per Prop. . Lib. I. Elem. Quibus si addantur aequales ALE , A E I aequales fient anguli MIN ME P. Duae igitur lineae IV, Et sese in eodem puncto D axis Mintersecabunt. Quo fit, ut duo Triangula DdM , D EM tria latera tribus lateribus habeant aequalia; atque adeo tres angulos tribus an .gulis Angulus igitur D IH aequalis est angulo DEH. Ergo arcus R. H , quibus insistunt, sunt aequales per Prop. a T. Lib. 3. Elem. Sed a cui re insistit etiam angulos H I R. Ergo angulus HI aequali est angulo HIT constat ergo in hoc casu Propositum. Quod hoc etiam modo colligere licebit ostensus est proxima ratiocinatione angulus M ID siue E IT aequalis angulo M ED, aut I E R. Ergo arcus IR ET per Prop. a T. Lib. 3. Elem. sunt aequales qui si ex aequalibus HI MIaufeiant ortae oales fient reliqui arcus R, HT.Ergo aequales sunt anguliHiR,HET his arcubus insistetes,ut demon strandu proponebati r.
239쪽
Hic eadem, vel similia constituantur quae in superioribus constituta sunt. Nempe sic Applicata DE, Axis A H, circulus centro A per I a descriptus, subtensa IH ducta se quae a Quadratrice bifariam secatur in D ad quod punctum ducitura L quae ad mest perpendicularis. Haec sunt huic casu ec duobus praece- identibus communia , quae seruuntur,linearum reliquarum itum mutant, . huic casui proprium inuehunt. Sumuntur scilicet anguli duo virln-que a linea AS aequales SAO, SAV huiusmodi ut Quadratricem ultra terminos Iω secentradi AD, A Vallos angulos cum recta Ari continentes.Iam si iuxta Hypothesim Propositionis ex puncto oper I ducatur recta O I promota usque ad L, ducatur autem, ex puncto V, in quo radius As Q uadratricem secat ad idem punctum I linea VI Demonstrandum Propositio postulat duos angulos H LL, HI V esse aequales. Quod ut perflatatur Ducito radium Alad Quadratricis punctum P, in quo ipsa secatur a linea PR, quae per punctum' in quo circulus secatur a recta OI, traducitur Ducito ietiam Is a puncto I ad Quadratricis punctum', in quo eam secat radius A Vangulum Sin V cum radio A. constituens aequalem angulo DAU. Ducito denique ex Sper , ubi circulus secatur a recta IV, rectam ST, quae Quadratricem sectura est aliquando in X. Tum sic
Duae lineae RI, Rase mutuo secant in eodem circuli puncto xi secant ver b Quadratricem in Pico, ductique sum radi A O, AP. Ergo angulus P AG est aequalis angulo IAM per Schol. 1. Prop. 22. quae ad hunc casum pertinet. Et addito communi angulos AI, aequa-
laserunt duo anguli IA O RA H. Sed ex suppositione Propositionis
240쪽
duo anguli s AD, S A V sunt aequales. Si itaque ex his demantur aequales S AH Sin re reliqui fiene aequales IAU, H A V. Sed angulus I ostensus est aequalis angulo P A H. Ergo duo anguli H AI, Has sunt aequales t ac proinde per Proposit. 3. Coroll.
Eum uiles sunt lineae A P, A V. sunt vero etiam aeqtiales AI, A Emanguli IAI, EA illis lateribus comprehens aequales sunt enim anguli in P, H A V ostensi aequales in ad angulum H AP angulus Hassi, ad angulum H A V angulus in E aequalis angulo H AI, additura Ergo duci Triangula I V .E A P habent
angulos AI V, DP aequalas per Prop. Lib. t. Elem. Qui sta aequalibus angulis ALE, A EI demantur aequales erunt anguli reliqui PEI, VI E. Cum ergo I bifariam .perpendiculariter secetur in M ab Axe, se mutuo secabunt in puncto eodem axis, nempe in D,duae lineae P E, IV ut Triangulum D E sesceles constituant. Hinc fit, ut duo Triangula Da H, DEM tria latera tribus lateribus aequalia,&proinde tres angulos tribus angulis aequales habeant. Angulus ergo HID aequalis est angulo HED. Sed angulo HED aequalis est angulus HIL ut mox aperiam Ergo duo anguli HIL,HI sunt aequales, ut fert Propositio. Quod autem angulus HI sit aequalis angulo HEm, ita manifestum fiet. Figura HI RE Quadrilatera circulo in scribitur, ε eius latus I producitur ad L. Ergo per ea, quae demonstrat Clauius Prop. Q. Lib. 3. Euc angulus HIL externus aequalis est internovi opposito Quadrilateri angulo HE R. Vera est ergo quo uis in casu proposito vix enim praeter hos tres expositos alius occurrat allata Propositio. Quare Si Quadratricis centro A circulus dcc.
IIsdem postis quae in praecedenti propositione Circulo sci
licet centro Gadratricis A descripto , qui Quadratricenas secet in Irussi per quae puncte ducatur Applicata ducta iterii
subtensa IH quae inra Quadratricem intersecet , ad quod punctum radius destinetur S. Tum duae ducantur linea: IR, Iraequales angulos HI H, H IT continentes cum sub tensa IM,& Quadratricem secantes in ala V ad quae puncta. ex centro A ad ij ducantur Α O, A V.