장음표시 사용
241쪽
Haec Propositio conuersa est prae N
cedentis , quam unico proposito primo casu, eiusque schemate declaro.
Itaque si hac statuta suppositione duci Anguli Sino, Sas non sunt aequales, sit maior, si fieri potest , angulus x angulo Saraci fiat ergo illi aequalis angulus in L per uiIctumet, in quo Quadratrix secatur a radio AZ, emittatura puncto Ilinea I P. Quia igitur duo anguli Sara. SI Z sunt aequales , ac peto Tex Applicatae termino I lineae ducuntur: IR,4 P erunt duo anguli HIR, HI P aequales per Prop. an tecedentem. Sed ex suppositione duo anguli HIR, H Ia sunt aequales AEquales ergo sunt HIT, HI P. Quod est absurdum AEquales ergo sunt anguli Sao, Sa V. Quod erat probandum.
Ex Propositionibus proxime antecedentibus facilis tutissimaque colligitur ratio describendi eam Quadratricis puriem, quae dissicilio. rem patitur designationem, eam scilicet quae ad eius verticem propias accedit ubi duarum linearum Quadratricem motu suo designantiuφsectio c5tingit obliquior,quam ut latis certo distingui possit.Ecce enim in schemate Propositionis huius sit punctum V a vertice Cison longe distans certδ designandum Ducatur Applicata quaelibet IE quae si a centro A paulo remotior statuta fuerit, aptior videtur ex centro Aper Icirculus IH E describatur; ducatur etiam chorda IH Quadratricem secans in S, ad quod punctum iungatur radius A S. His paratis, a centro A radius educatur per V vertici proximum; in quo radio punistum desideratur, per quod Quadratrix penda est. Fiat angulo S A V aequalis ex altera parte rectae A S angulus Sara ducto radio AD , Quadratricis partem illam secante in O, quae puncto radiacet ' tutioremque sortitur descriptionem. Tum per extendatur linea expuncto I, quae producta circulum secet in R. Sumpto autem arcu Ha aequali arcui H R ducatur recta IT. Haec secabit radium As in puncto, per quod abitura est Quadratrix ut euidens est ex paulo alite demonstratis. Si itaque plures radisinsta AS inter Si H ex Lemlt- tantor in eorum singulis vestigia Quadratricis designare licebit, per quae transitura est. Quanquam autem pars Quadratricis inter S I posita describatur ratione satis tuta tamen quia puncta puncto tiro
242쪽
xima normam non satis tuto ob spatium breuissimum dirigere viden. tur, ut ducatur rei ta I R. Licebit ultra I punctio utcunque aba remota assumere sed tunc punctum V reperietur in altero Quadratricis cornu. unc enim radiorum, qui cum radio ΑΔ angulos aequales hinc inde continere debent cum unus ultra Icadere supponatur, alterum insta H cadere necesse est 3 ade6que punctum per quod in eo ducenda est Quadratrix ad alterum cornu pertinere Verum punctura illud facile ad cornu superius reponetur, si radius supra Axem A C reponatur cundem angulum cum Axe continens in quo designetur punctum Quadrettricis ad cornu superius spectans aut cere omisso punisto I, line quel H, adhibeatur punctum oppositum E cum linea CH, reliqua absoluantur, ut prius. Quae cim euidentissima sint, pluribus non prosequor.
PROPOSIΤIO XXV. Nemma. SI ad Trianguli Isoscetis alterum duorum aequalium ars
gulorum, duo constituantur ex utraque parte basis aequalis anguli. Dico lineas, ciuibus ni aequales anguli clauduntur , latus Trianguli productum ita secturas, ut tres sint continue proportionales abscissae lineae ex eo latere., Expstio. . Sit Triangulum I sceles ALAE cuius basis sta Hi ad eius angu- Lim I fiant ex utraque parte basisI H duo anguli aequales HIR.MIT.Dico latus A H productum lia secari in R,&itia a lineis angulos illos
aequales claudentibus , ut tres ab-
rinue proportional S. Demonstratio.
Trianguli H I latu, inproducitur versus A. Ergo per Propos et Lib i. Elem angulus extemus A HI aequalis est duobus angulis inti nis& oppositis AERI, HIR. At angulus Aia est aequalis exHψpothesi angulo Al H. Ergo angulus IH aequalis est duo. hu anguli, AERI, HIR Sed angulus HIT est aequalis positus angulo HIR Eroo dempto angulo Hri ex angulo HIA, aequalis remane
243쪽
bit angulus Adrangulo A RI Cum ergo duo Triangula AIR,
AI eiusdem Trianguli AI ad latus a Triathguli AIT. Sunt ergo tres lineae AR, AI, A T continue proportionales. Ergo, tres A R. AM, AT proportionales erunt sunt enim duae AI, A inaequales ex suppositione. Quare Si ad Trianguli Isotalis alterum &c. Quod erat
PROPOSITIO XXVI. Theorema. SI circuli subtensam I Ubifariam secet diameter AM; in
puncto I ducatur linea ad H: ex cuius utraque parte fiant anguli aequales HIR, HIT: fiat autem angulus RIO aequalis angulo EI T. Dico rectam locirculum tangere in puncto L
Ducatur H E. Haec erit aequalis rectae H I per Prop. 9. Lib. 3.Elem.diameter enim A H, cum bitariam diuidat subtensam IE, bifariam diuidet arcum I HE. Quare subtensam est aequalis subten HE. Ergo angulus HIE aequalis erit angulo IIIam cum angulus RΙΟ laetus sit aequalis angulo EΙΤ, sit autem ex Hypothesi angulus HI aequalis angulo HI Trta erit angulus HIO ex duobus angulis HIR, RIO conflatus, aequatis angulo HIE ex duobus HIT, TIE conflato. Sed angulus H IE aequalis ostensus est angulo HE I. Ergo angulus Ira aequalis est angulo H EI. Cum ergo a puncto I cadat recta IH intra circulum, quae abscindit segmentum ΙEM capiens angulum IEHaequalem angulo HI recta OI per Prop. 32. Lib. . Esem conuersam circulum tangit in I. Quare.Si circuli subtensam, c. Quod erat probandum.
244쪽
I secans secans vero eius xem in H ad quod punctum ducatur IH ex puncto I: ex quo item ducatur ad Quadratricis verticem C recta IC Tum angulo HI C, quem hae duae rectae IC, IH continent, aequalis fiat Angulus HI R. Dico rectam IR daadratricem tangere in puncto L
Haec est hac in materia obseruatione tam digna, quam quae dignis, sima Propositio qua mirabilis ac plane diuina huius curuae lineae et proprietas prae caeteris insignis asseritur.5 declaratur m ver,ex hactenus allatis facile probatur, hac prius statuta praeparatione. Si recta Ad Quadratricem non tangit in I, Quadratricem secat vel vltra I, ut in priore schemate, vel citra I, ut in posteriore.V. G. inpuncto O. Ducantur Ergo adij duo A I. O. Tum angulo I AH fiat aequalis angulus in ducto radio AZ Quadratricem secante in Z quod punctum in priore figura erit supra Axem,in posteriore infra,
ut per se patet. Ducatur demum recta IZ Hispositis, Demonstratio. Cum in utraque schemate Angulus O AZ si aequalisAngulo I AH, Me puncto I ducta sit chorda IH ac deinde per idem puncturduei ductae sint linea O IR,in Iaserunt per
aequales Sed ex Hypothesiduo anguli HIR, HI sunt aequales. Ergo duo anguli HlQHIZ sunt aequales. Quod est absurdu.Nam in utroqDe schemate linea I differt a linea IC. Igitur dici nequit rectam IR ductam, ut suppositio postulat, se
245쪽
cate Quadratricem in I,& cum ea in alio quovis punctora rursus com currere. Quare. Si ex Quadratricis centro c. Quod erat pro
Hinc iam intelligi quo nixus fundamento asseruerim, tum 1 Epilogo Examnis Quadraturae turn alias in tertia parte Elementorum Geometria practicae ad locum linearem spectantes, Tetragoni imum absolivum fores si ars possit innotesceres; qua Geometrice )ucatur linea quocunque in puncto Quadratricem etsi infinite porrectam cono tingens. Si enim in hac duplici figura supponatur recta linea dratricem tangere in puncto I idque ex methodo Geometrica statutum esse. Si angulo I Rex altera parte fiat aequalis angulus HIM; constat verticem C inaciatricis Gcometrice de tei minarit quo habito habetur statim non tantum linea recta circulari aequalis sed etiam rectilinea superficies aequalis curvilineae. Sed haec , ali quo ex his non minora lineae huius mystcria hactenus tortassi inaudita declarate
PROPOSITIO XXVIII. Theorema. iisdem positis. Posita scilicet in schemate priore proximae
Pio positionis linea IR Quadratricem tangense in I. Di o inter tangentem L. Quadratricem nullam recta in lineam immitti posse, quae Quadratricem non secet.
Ostendit Eucl. Lib. 3. Prop. 6. Elem non tantum lineam, quae afidiametrum circuli in eius extremo puncto perpendiculari foret,circu- L m tangere . sed etiam nullam aliam rectam ad idem corvactus pun-Hiari adiungi posse, quin circulum secet. Aliquid bla simile demonstrandum censui , ncquid cuipiam vide tu desiderarici piesertim cum Appiat unlia. avia, Propos 3 1. Lio. de contactu linearum rectariun io uicariam, quas proxime aiadrarris aemulatales, hanc specu
Lucatur itaque .s fieri potest, linea recta Tainter Quadratrkenaeti tangentcm l ita ut Quadratricem non secet Angulo Hua aequalis fiat ansvlus Hia ducta linea IT, quce Quadratricem lecet in pune o T ad Moo adiungatu radius A Z. Ducacur etiam radius AP adpunci larati in quo chorda II Quadratricem interseca qui bifariam
246쪽
duo anguli HIT, HI Lex utraque parte lineae IH positi , sunt inter se aequales: aequales etiam suturi sunt per Prop. 4 anguli pAl, PAZ. Sed anguli P AI, FAC sunt etiam aequales vel per eanderet Prop. eo quod anguli H PR, HIC ponantur aequalec vel quia radius A P ad basim IH Trianguli Isescetis ΙAH perpendicularis angulum eius IA Had verticem bifariam diuidit. Ergo duo anguli pinet lac se, aequales, pars& totum. Quod est absurdum.Nulla ergo linea I inter tangentem RII, Quadratricem duci potest, qui Quadratricem
Quod hoc etiam modo concludi potest. Si ducatur linea quaepiam Τ I ad punctum I adiungito inter tangentems ac Quadratricem, ita ut eam non secet. Ducatur a puncto E, in quo circulus HI Quadratricem secat ad punctum T recta linea DT Quadratricem in Sintersecans,ac quidem infla verticem : si enim ducatur Ea, ea in vertice C Quadratricem secat ut patet ergo E T ipsam infra C secare necesse est. Ducatur radius A S. Quia ergo a duobus punctis ΙΛΕ, in quibus circulus Quadratricem secat, duae linea IT, E T ad idem circuli punctum Tadiunguntur eatque Quadratrici occurrunt in IIc Lad quae puncta radi, I, A S emissi sunt: erit per Schol. 1.Prop. 12. angulus I AS aequalis angulo I H. Quod est absurdum. Nulla Ggo linea ΤΙ potest duci quae Quadrati icem non siccet. Quod erat pro
PROPOSITIO XXIX. beorema. I Quadratricem tangat in quovis punisto I recta lineas Lo per quod punctum I circulus centro A Quadratricis de Dcribatur eius Axem secans in H;Wiungatur IH: ducatur etiam ad verticem C recta linea C. Dico Angulos HIR, H IC aequales esse.
Haec Propositio conuersi est Propositionis, . quam sic veram esse demonstro. Si aequales minime sint duo anguli HIR, HIC Sit hic illo maior, animinor. Fiat ergo da ipsi H DR aequalis ducta recta IZ Quadratricem secante in dii ad quod punctum radius Aa destinetur ducatur etiam radius A S ad sectionem Quadratricis subtensae I H. Quia igitur duae lineae IR, Iet duos angulos HIR, H IZ ex utraque parte subtensae IH aequales constituunt: dc ad puncta Idcri, in quibus Quadratrix ab IS secatur, ducti sunt radij AI, A Zi
247쪽
erit per Prop. 1 .angulus SA aequalis angulo SA , Quod est absurdum, siue linea IZ supra, siue instaverticem C Quadratrici occurrat nam Sina aequalis est angulo LAM per Propa sunt ergo aequales anguli HIR, HIC, quos chorda HI cum tangente PR, ωreMI C adverticem C ducta continet. Quare. Si Quadratricem tangat in quovis.&L. Quod erat ostendendum
PROPOSITIO XXX. Neorema. hae Quadratricem tangens cum Quadiatricis Axe vltra verticem producto semper concurrit.
Exposit o. In schi mate superioris Propositionis Quadratricem tangat in I recta MI Dico rectam RI productam concurrere cum Axe producto ultra verticem C, siue ad partes vertici,
Centro A per I virculus deseribatur Quadratricem lecans in T, ducaturque Applicata DE ducatur item chorda IM , item Iz, ac denbque radius A Quibus positis ut ostendatur lineam tangentem IR concursuram aliquando cum Axes H, ostendi debet duos angulos RIA HAI duobus rectis esse minores sic enim per Axioma II. Lib. i. Elem constabit dictas lineas concursuras ad parte H Illud ergo probemus.
Angulus I A B externus aequalis est duobus angulis AHI AI Hinternis Moppositis Trianguli A IH per Prop. 31. Lib. i. Elem hocst, duplus est anguli AIH Sed angulus APH maior est angulo HIR: ic enim ex hypothesi aequalis est angulo HIC, qui semper minorrit angulo H Ia eo quod Quadratricis vertex C inter A M semper intercipiatur lineaque IC proinde inter lineas I x IH ducatur, ngulum aue ΑΙΗ semper diuidat Totus ergo angulus A DR sem-Ierfuturus est minor duplo anguli A PH, hoc est angulo Ι B. Quod Paddatur communis angulus I AM fient duo angoli I A B, IAH qui sunt aequales duobus rectishmaiores duobus angulis IAH, AIR.
248쪽
Quare, cum in duas rectas I R. H incidat recta I A angulos internos duobus rectis minores cum ipsis continens concurrent aliquando lineae IA, A repercitatum Axiomarii. Lib. I Elem. Hoc idem ostendi hoc etiam modo potest. Demonstratum est Prop. 13. lineas, A C. H, ε eam quae abscinditur a linea, quae cum I Hangulum aequalem angulo Ha C continet cx altera parte , qualis est angulus H IR , esse tres lineas continue proportionales. Est enim Triangulum Ad a sceles Ergo citatam Prop. illam conuertendos si duabus lineis A C, H reperiatur tertia proportionalis, a cuius termino ad punctum I rccta linea ducatur haec cum H I angulum continebit aequalem angulo HIC. Ergo per Prop. 7. ea linea Quadratricem tanget in Itaque cum unica tantum linea duci possit, quae in puncto Quadratricem tangat: alia futura non est linea illa, quam PR, ac proinde linea I producta, productam A bl sectura semper est ad partes ta Quare linea Quadratricem tangensic. Quod probandum
Ex haesitaque Propositione eiusque demonstratione secundo loco allata, quam Pic positio 3. luppeditati Ece Prop. 19. praecedente manifestum est Quadratricis sagittam AC radium quemlibet A Iaa quodlibet Quadrati icis punctum' ductum, siue A H in lineam quae inter centrum A,& tangentem I ad punctum Iductam intercipitur, eme continue proportionales. Ex qua Quadratricis, eamque tangentium linearum facultate quid consecuturum sit , deinceps ostendetur Monitum.
Hactenus neepaneas nee scit omnino indignas , nondum eerte noras eείμberrima huius inflexa linea facultates nonfine aliquέ ut reor, optoque nimi voluptate es contemptatus ut operi hanc in tractationem impensa par. nitendum minime videatur. Sie habet nihilominus longe grauiora superesse: qua tibi opertasse nolim. Nondum rationem cur diuad Irix , cur τετρα νωνῶμονα a primis eius ita thoribus Dinostrato est Nicomede appellata fuerit, edoctus es aut siqua vel ex Pano vel ex Gavio tibi innotuit, qui nomen hoc sortitam asserunt, quod ad Euadrandum circulum aditum aperia ip&nissimum: leuius tamen quAm huius Argumenti dignitasferret, et ubtilissima de eo abiis tradyias demonstratio, rem hane totam perstrinxerunt Lut 3uoddam tantaem eius rudimentum tradιdisse videantur: cum asum tantum singularem proposuerint omissa uniuersali,qua absolutam disciplinam decet, tractatione Eua ut ad paulo uberiorem , aecuratior que ognitionemvram larem, rimum exponenda visa es: tum deinceps qua m idem Argu- 3 mentum
249쪽
mensum oecurrire occurrere autem non pauca is med αδ ex Gebm tria otiorum gratia Frae igitur est a Lappo Lib. . eouea Mathematita. rum ab Antiauioribus accepta est posteris ab eodem tradita Propositis , et . sve demonstratio. Haec a Claui luculentis e suo more explicata a nam propositionum mearum ordiu adscribo, meis expressam verbis memineris en, ωt ad Propositionem i. obseruasi sermonem hie has iis en tantaιm ma-d trieis parte qua,n circuli Quadrans gemerat, e plectitur: vore auae sola, tor aue Euadratrix censebatur. Sit eγ
PROPOSITIO XXXI theorema. SAgitta Quadratricis A C eandem habet rationem ad radium AI quam radius Aa habet ad Quadrantis III
peripheriam. Hoc est, tres lineae AC, AI, II H sunt conti
Si sagitta AC ad radium AI eandem non habet rationem quam ra diu; AI habet ad arcum ΙFH: alia aliqua linea maior, vel minor quam sagitta A C eandem rationem habebit ad radium AI, quam raditima I habet ad arcum PH Ponatur primo linea AB maior quam sagitta Ac ita esse ad radium AP, ut Arest ad arcum I H. Describa
tu centro A per B circulus secans in o Quadratricem: tum exin pero radius emittatur AF Ducantur etiam linea OD, P, illa ad axem
A H, haec ad radium A perpendicularis Hispositis Cum ita sit arcus I PH ad radium AI vi radius A ad radium A G , vel x ex Aduersario sit autem ut radius Abad radium A a ita arcus IF H ad arcum GOB. Ita erit arcus I PH ad arcumGO B, ut est ad radium AI. Ergo radius A I aequalis est arcui a B per Propo.Lib. I. Elem. Quia vero ex Quadratricis puncto O ad radium ducitur perpendiculariso P ita secatur radius Abin P, ut sectus est Quadrantis arcus I FH in F a radio ex A per O traducto , ut constat ex Quadratricis generationes ita ut ita se habeat radius A Lad PI,ut se habet arcus HII ad arcum FΙ. Sed ut arcus H FH ad arcum VI, ita est arcus BO G ad arcum OG. Ergo ut ΑΙ ad PI, ita est arcus B OG ad aris Cum OG. Et conuertendo. Ita erit Arad AP, ut arcus B OG ad arcum O B. Clim ergo ostensus sit radius Adaequalis arcui BOG aequalis
250쪽
lis etiam erit recta AT arcu B O per Prop. I 4. Lib. M. Elem. Est autem rechao D aequalis rectae Pa. Ergo recta OD aequalis est arcui Od.
Quod est absurdum.Nam subtensa arcu semper minor est. Ergo etiam semissis subtensae OD minor est semisse subtensi arcus OB. Quod absurdum cum ex eo sequatur, quod affertum sit reclamat maiorem
Quadratricis sagitta AC ac radium Aq, peripheriam ΙΙ H esse
continuo proportionales constat nullam rectam maiorem sagitta A Cesse posse cum radio A I dc arcu LPH continue propoitionalem. Dicatur secundo lineam Am sagitta AC minorem in radium Aacum peripheria I PH sse continue proportionales. Ostendetur etiam ex ea Allertione absurdum sequi hoc modo Centri per D circulus Zi describatur ducatur itemicro linea ad axem perpendicularis occur ias Quadra rici in Oci tum pero radius emittatura F, ducatur etiam O P ad Ad perpendicularis ac denique per punctum Zagator perpendicularis LV ad radium AP, quae in L circulum tanget, sicut condem tangit in D recta O D. Hi, positis, Ostendetur eodem modo quo prilis aicus L AD aequalis radio A I. Nam, ut radius AD ad radium AP ita est arcus Deti ad arcum Iri I. Sed ut radius AD ad radium xl , ita est radius AH ad arcum Lissi Ergo ut radita Ad ad arcum H FI; ita est arcus Dat ad eundem
arcum H FL AEquales ergo sunt duae quantitates D L E A I per Piop. v. Lib. Elem rursus quia per Quadratricis punctum O agitur radi aD; recta O P ad radium generantem A perpendicularis ita erit per Quadratricis gencrationem arcum Fri ad arcum FI, ut radius Aa ad eius part cm P I. Sed ut arcu, Hi I ad arcum F I, ita est arcus D Z L ad arcum Ti. Ergo ut radius Ad ad eius partem P L; ita est arcus D Lad arcum L L. Ei conuertendo, erit ut radius A ad in ita arcus Det L ad arcum D Z. Cum ergo radius A Ii arcus Zi, prim a lestertia quantitas, aequales sint ostensi is quales et lain erunt per Prop. I Lib. 3. Elem recta A P, siue huic aequalis D O in arcu. Z, quantitas secundaec quarta At absurdum hoc est. Est enim arcus Det minor duabusiceiis lineis et, Vm arcum Det ambientiabus iuxta Axioma ab Archimede statutum Lib. i. de sphera Cylin. quo constat. Si duae linea in plano, dem habeant termixos,snIque in easdem par es au.e, comprehendentem comprehensa maio=em esse. Est vero re-eta DO duabus simul tineis Va, V in maior probatui. In Triangulo Z V angulus directus est ex suppositione, atque ad ed maior angillo TO V , qui non nisi acutus esse potest per Prop. 3 α. Lib. . Elem. Ergolatu O V maius eliquam latus vaper Prop. I9. Lib. I. Elem. quare si v quc addMurcumnum Vm, maior iit tota OD GaIbus iuniit