장음표시 사용
251쪽
Z, Di multb ergo maior erit reeta OD arcu DZ. At eidem aequalis ostensa est ex eo, quod recta AD minor posita quam sagitta AC & recta ALvi peripheria II repositae sint tres continue proporti
Cum ergo duabus lineis arcui nimirum I PH, ωradio AI tertia proportionalis neque maior,neque minor esse possit,quam sagitta AC. erit ipsa Ac tertia illa proportionalis adedque tres lineae AC, Addi peripheria PF Herunt continue proportionales. Quod erat demonstrandum Seholium.
Haec est ab Antiquioribus illis lineae huius Authoribus tradita probataque Propositio:qua nihil subtilius agnoscat Cyclometria Verum, ut supra memini, terminis paulo angustioribus est circumscripta climia hunc unicum casum alligetur, in quo radius A I ad Axem A C per pendicularis est nec ipsa haec linea curua ultra Lextendi posse supponatur. Quare nunc a Diuinis illis mentibus aperta via non paulo uniuersalius heorema proponere licebit quod, hunc ipsum singularem casum 8c reliquos, ad quonibet radios spectantes complectatur. Quod ita enuncio.
PROPOSITIO XXXII. Theorema. SI ex centro Quadratricis circulus quilibet Quadratricem
secans describatur:& ad sectionis punctum ducantu tum radius, tum Applicata. Dico sagittam ad radium eandem habere rationem, quam habet Applicata ad arcum circuli descripti, inter Axemin radium interceptum. Expositio. Sit A centrum Quadratricis, ex quo describatur circulus secans in I Quadratricem eiusque Axem in H adiuuctum I sectionis ducatur radius Ad & per idem ducatur Applicata IE.Probandum proponitur sagittam AC ita se habere ad radium AP ve Applicata I se habet ad arcum I H, qui inter radium AI, Axem A H intercipitur.
Si sagitta Ac non eandem habet rationem ad radium AI quam Applicata ΑΙ ad arcum I PH alia aliqua linea vel longior, vel breuior quam sagitta Ac eandem habitura est rationem ad radium illum AI; quam habet Applicata IE ad arcum IPH. Dicatur ergo primo lineam
252쪽
Am maiorem sagitta Ac ad radium AI dictam Centro A per B circulus describatur GOB Quadratricem ino vi radium Abies intersecans Ac pero radius ADtraiiciatur ducatur item O linea ad Axem perpendicularis axi autem parallela O PHispositis. Cum situ radius AB ad radium AI Lita arcus a Bad arcum sibi similem IPH
tem A B ad Ad, ita ponatur Applicata IE ad arcum II Headem erit ratio arcus G OB ad arcum IF H in Applic tae PE ad eundem arcum
AI Ergo per Prop.9.Libri Elem arcus Gol aequalis erit Applicatae IE. Iam vero cum per punctum O Quadratricis ducatur tum radius AF, tum recta O Paxi parallela, siue ad Applicatam Issi perpendicu. laris: Ita erit per generationem Quadratricis, & per ea quae Prop. 6. exposita sunt. Applicata E I ad sui partem Pa ut est arcus HI ad arcum FI. Sed ut arcus H FI ad arcum I ita est arcus B OG ad arcum OG sunt enim tam arcus HII, BO G quam arcus I, OG similes j Ergo ita est Applicata ELad PD ut arcus B OG ad arcum G. Et conuertendo. Ita est Applicata EI ad DP, ut arcus B OG ad arcum B O. Est autem prima quantitas EI aequalis tertiae quantitati BOG. Ergo per Prop. I . Lib. s. Elem quantitas seeunda EP est aequalis quarta BD. Ergo cum duae rectae EI, D O sint aequales, erit recta DO, aequalis arcui BO. Quod est absurdum. Absurdum siquidem cst asserere chordam, cuius semissis est recta D O , aequalem esse arcui, cuius semissis est arcus odi, atque adeo rectam ipsam Doaequalem esse arcui BO. Quod absurdum cum ex eo sequatur, quὁd
alterium sit lineam Am sagittari amatorem ita se habere ad radium P vi Appii cata E se habet ad arcum IF Hi constat fieri non posse, nec posse asseri rectam AT ad radium Adita se habere, ut Applicata EΙ ad arcum I FH.Sed neque recta ulla minor quam sagitta AC ad radium Areandem rationem habere potest, quam habet Applicata E I ad arcum L H,
Quae est altera pars Demonstrationis exponenda Dicatur ergo re-
.ctam A D sagitta Ac minorem ad radium AI ita se habere, ut se hau et
253쪽
1 6 Lib. III. Dest uadratrice.
t Applicata EI ad arcum IPH. Centro A per D deseribatur areus D Z L item in puncto D ad Axem ducatur perpendicularis DO Quadratrici occurrens in Oci per quod punctuin emittatur radius M, oc ducaturo P ad Applicatam perpendicularis ac denique perpunctum Z, in quo radius AT arcum L Z intersiccat, ducatur ad ipsum radium perpendicularis Z V. Cum igitur ita esse dicaturam ad Ad, ut Applicata Ea est ad arcum IPH. Vt autem est A D ad AI, ita fit arcus Leti ad arcum similem IPH: ita erit Applicata E I ad arcum I PH, ut arcus Let D est ad eundem arcum IPH. Ergo per Prop. 9.
Lib. s. Elcm arcus L Z aequalis est Applicatae El. Iam, cum per punctum O Quadratricis ducatur tum radius AF, tum ad Applicatam EI perpendicularis O P ita erit ex generatione Quadratricis Applicata EI ad sui partem P P vi arcus I PH adsul partem I F. Sed ut arcus I H ad arcum IF ita est arcus L ZD ad arcum L Z. Ergo ita est arcus L Z D ad arcumia, ut Applicata Ea ad sui partem P I. Et conuertendo. Ita erit arcus Leti ad arcum AD, ut Applicata E ad rectam DP. Sed Applicata Ecl est aequalis arcui Letici ergo etiam Elaequalis erit arcui di per Prop. 4. Lib. s. Elem. Cum autem Oaequalis si recta BP .eiit etiam Dra aequalis arcui Z D. Quod dici
non potest propter eandem rationem,quam in secunda parte Liemonstrationis praecedentis Propositionis adduxi. Quia scilicet arcus L Din easdem parte cauus est cum lineis et quae arcum Amincluduiu,&cum eo habent eosdem terminos Zi in quo fit iuxta ibidem citatum Archimedis Axioma Lib. i. de sphaera Cylin. ut duae rectae V D, V simul maiores sint arcu ZO quibus adhuc maior est rccta D in maior siquidem est recta V O subtendens angulum maiorem Oet Varianguli Odi , quam recta a subtendens eiusdem Trianguli minorem angulum V OZ Ergo addita communi recta linea V tota D O maior erit duabus simili incis V D, V Z. Ergo multo maior erit Do arcu Z in Sedin eidem ostensa est aequalis. Quod dici non potest. Ergo nec dici potest lineam At sagitta A C minoiarem, eandem habere rationem ad radium AI quam habet Applicata
E I ad arcum PH. Sed neque ulla linea Al maior quam sagitta A Cad radium; Ieandem, ut ostensum est, rationem habere potest: quam
habet Applicata Ed ad arcum LEM. Ergo ipsa sola sagitta AC ita erit
ad AI 4 Applicata Ed ad arcum I FH. Quare. Si ex centro Quadratricis circulus &c. Quod erat demonstrandum.
Nunc demum patet euidentissime ex Prop. praecedente, Ciusque probatione a me allata, quae eadem est cum demonstratione Proposita
254쪽
is 3 i. LPappo petiti ue Veterum Quadratricem, ut alias memini, ae huius partem tantum quandam esse, eiusque initium Deamque proprietatem nobilissimam, ut sagitta AC radius Abadaxem perpendicularis,4 Quadrantis arcus I FH sint continue proportionales. casum tantum eure singularem in hoc a caeteris diuersumiquδd in hoc casu recta AI, cum sit ad Axem perpendicularis, sit Applicata simul,& radius Quo fit, ut hae tres lineae AC, AI, arcus I H sint conti nue proportionales, media Arduarum vices gerente, radij scilicet MApplicatae caeterum casus hic eadem uniuersali Propositione a proxime allata non minus quam caeteri omnes, comprehendatur, ut patets his terminis efferatur huic casui accommodatis. Si ex centro A aadratricis eirculus deseribatur uadratricemsecans in I, ad qua ectionem ducantur tam radius Aa, tum Applicata I Sagitta cita erit ad radium AI ut Aulicata AIest ad arcum IF Hister Axem ΑΗ radium Aetinteriectum.
PROPOSITIO XXXIII. Theorema. SI centro A Quadratricis circulus IH describatur ipsam in I secans,i per punctum i ducatur tum radius AI, tum Applicata let; ac demum centro A, radio AG qui aequalis sit Applicatae IE circulus GL delineetur. Dico sagittam A C, Applicatam EI siue ei aequalem A G,
arcum G L inter Axe AH, radium AI interceptum, esse continue proportionales.
In ut Applicata IE ad arcum IH per Prop. 32. Et permutando Ita erit sagitta AC ad rectam A G Applicatae IE aequalem , ut radius A I ad arcum I H. Sed veradius A I ad arcum Ire; ita est radius A G ad arcum G Dareui
AC ad ΑG, ut AG siue Ainplicata IE ad arcum G L. Quare si centro Α Quadratricis circulus &α Quod erat demonstrandum.
255쪽
IIsdem postis. Si per a posita AG aequali Applieataea j
ducatur ad Applicatam I perpendicularis GP occurrens Quadratrici in puncto R per R educatur radius A R. quifroductus secet in circum I H. Dico sagittam Ac, radium AI,4 arcum H esse in continua proportione
Cum ostensum si Propositione antecedente sagittam A C Applicatam EI, Marcum Iesse continue proportionales si arcus V inprobetur aequalis arcui Gi haud dubium quin eadem sagitta DC, Applicata EI,& arcus resint etiam continue H proportionales Illud ergo ita declaratur. Vt semidiameter A Iad semidiametrum A G ita est arcus IH ad arcum a per Prop. tr.
Lib. 1. Pappi. Sed ut A I ad A G, siue ad Issi sunt enim aequales A GωE I ex suppositione in ita est EQUE P. Ergo ut est Et ad EP ita
est arcus I H ad arcum G L. Sed per generationem Quadratricis , ut est Applicata E Lad LP cita est arcus I H ad arcum V H. Ergo ut est HI ad LP cita est arcus IH tam ad arcum Gi, quam ad arcum M. PEquales ergo sunt arcus L&VH per9. Lib. s. Elem. Clim ergo sagitta xa, radius AI, arcus Gi sint continue proportionales uecontinue etiam proportionales erunt, A C, AI,& arcus V L. Quare iisdem positis. Si per a&c. Quod erat probandum.
Ex demonstratione huius Prop.sequitur arcus illos circulorum ii qualium, aequales esses quorum raditangulis, qui arcubus illis ad ceratrum insistunt vel arcubus ipsis sunt reciproce proportionales. Nam in eodem schemate ex eo quod semidiameter AI ad semidiametrum G eandem habeat rationem, quam angulus I H habet ad angulum V A rei siue quam arcus I H habet ad arcum collectum est arcum IH ad arcum V H,&ad arcum G Leandem habere rationem,
quam scilicet hayet semiudiame-Α . Quo
256쪽
gi, ut areus illi V H. L sint aequales per Prop. i. Lib. s. Elem patet autem angulum IAM, uui Αλ, qui insistit arcui Gi, ad angulum v H instantem arcu VM eandem habere rationem ι quam habet reciproce semidiameterina arcus VH ad semidiametrum A Garcus GL adeo ut verum semper sit .ssueri semidiameter Ima toris circuli H ad semidiametrum Ac minoris circuli GI Lut vicissim angulus in ualuimens arcum a minoris circuli, ad angulum V A H, a quo arcus V remaioris circuli assiimitur , assumptos arcus illos L, VM esse inter se aequales.
PROPOSITIO XXXV. --. SI centro A Quadratricis per eius verticem C circulus des
Dico eius Quadrantis' C peripheriam aequalem esse lineae rectae ΑΙ ad Axem perpendiculari, quae a Quadratrice abscin
Centro A per I circuli Quadrans H des cribatur Ostensum cst Prop. 3I. rectas A C, Iin peripheriama H esse continue proportionales. Cum ergo, ut est radius A C ad AP ita sit arcus DC ad arcum similem I Hex Prop. I. Lib. I. appi. Sit autem ΑΙ ad arcum IH ut AC ad AI eadem erit ratici rectae Arad arcum H quae est arcus B CH ad eundem arcum I HErgo per Prop.9.Lib. 1 Elem recta AIri arcus B C sunt aequales. Itaque si centro Avic. Quod erat probandum.
Propositio haec collecta est a Clauio ad finem Libri 6. Euclidis ex mirabili illsi Quadratricis facultate ab eius primis Authoribus demo irrata qua constat eandem esse rationem Quadratricis sagittae A Cad rectam Ixad axem perpendicularem, siad punctum PQuadratri. sisterminatam di qua est rectae I A ad arcum ΙH. Verlim Quemad-mudum terminis angustioribus Quadratrix ab illis fuerat circumscri, utpote intra circuli Quadrantem collecta lex ea ita definita dςductum fuerat tres lineas AC, AI& arcum IH Quadrantis esse
contiaue ἀγαla les qui casus quidam singularis tantum cst Pr Hra positionis
257쪽
positionis uniuersalis ad omnes radios, Applicatas pertinentis, ve Prop. 31 superiore declaratum est . Et ex hac sngulari proprietate deinceps collectum est rectam AI aequalem esse arcu B C. Ita nune iuuat eandem proprietatem sua donare tota amplitudine, di casum hune singularem hac Propositione expositum ad uniuersale Principium reuocare. Quod sequente Propositione conficio.
PROPOSITIO XXXVI. Neorema. SI ex centro Quadratricis A per eius verticem C circulus Bet C describatur Tum radius quilibet AH educatur circulum B Z C secans in Z, Quadratricem vero in I unde Applicata ducatura E. Dico hanc Applicatam Issi aequalem esse arcui Z C, quem radius A abscindit ad partes verticis C.
Centro A per I circulus IH describatur. Quia igitur per Prop. 32. ita se habet sagitta A ad radium AI vi se habet Apis plicata Issi aut etiam Applicata
I , ut casum praecedentem hic rutius complectar, in quo Applicata cum radio concurrit ad ar-
.Hoc cum I H. Vt autem sagitta AC ad Is nradium AI, ita est arcus Z C ad
arcum IH similem. Ergo Applicata DE,N arcus Z C eandem habent rationem ad arcum IH Quale per Prop.9. Lib. .Elem aequales sam Applicata Issi, Marcu A intc radium AI, Sagitiam Α C interceptus quisquis tandem statuatur radius A I. Ergo uniuersaliter verum est. biod si ex Quadratricis centro A dcc. Quod erat demonstran
Eadem facta suppositione, schematis constructione probandum est Applicatam IE aequalem esse arcui TC abscissis per radium a. Ducatura puncto Ι .id diametrum generantem A L productam recta I 'perpendicularis. Cum igitur a puncto Quadratricis ducatur radius IA, II ad diametrum generantem Aa perpendicularis ita
258쪽
erit per generationem Quadratricis recta' ad angulum A C. Sive ut arcus DC ad aracum Z C. Sed per Prop. s. arcus Caequa is est rectae AT. Ergo arcus C
qualis erit rectae AP per Prop. I . Lib. Elem qua constat, si quatuor fuerint quan titates proportionales ot proportionales sunt AT AP,&arcus L C TQ Prim
aequalis sit Applicatae E per Prop. 3 .Lib. i Elem. Dciu etiam Liadem Applicatae IE aequalis erit. Quod erat probandum.
Ex hac demonstratione constat. Si circulus BL C in partes quotcunque aequales secetum& in totidem secetur diameter eteneram cuia
quarta pars est recta AI partes singulas circuli singulis,a 'bu, diametri aequales esse , ut totus circulii st toti diametho qta
259쪽
Usem int/νe eelebrem illam Archimedeam Helicem intercedit, eommereta:
Rara o prae rateris, quibus Absniat Spiralis lineafacultatibus, illa, nee immerito, admiratione dignώ vis semperfui3, qua earuam circularem lineam in rectam aqualem eius Author Archimedes hac in Theores Aruim desuperior conuertit id m rectam lineam cuidam,quam definit, circuli periapheria aqualem demonstrat abscin ta linea, qua Helicem quouis in punctaeontingat Ver. non minori, fortasse etia- maior admiratione dignam quispiam censeat hanc, quam versamus lineam Euadratricem dam asci lius etiam Tangente curuam reccta linea qualem ratione longe planiori prastita exhiberi contemplabitur Pac demonstratione inensi uά, quod in huiusmodi Theorematibus rarum admodum en euidenterprobari comperiet.tauiamt Iariori prosequar methodo, proponenda inprimis videtur Helicis genera. tio, se cum diuadratricissuperius expositἀgeneratione conferendare eas quidem triusque huius linea Origine, qη Apprime adfinis es, utriusque non absimiles secutiates nonfine voluptate licebit deinceps eontemplari quanquam, ut constabit, suis Euadratrix ita contentasiit, ut alienis ab Helice pelitis earer arileposu Haec est ergo Helicis his obiter exponenda generatio.
PROPOSITIO XXXVII. Definitio. HElix, Volsita, siue linea spiralis est curua quaedam li
nea quam circuli radius in orbem circa immotum centrum uniformi motu convcrsus donec ad pristinum locum restituatur iunctum a centro illum eundem radium eodem temporis spatio decuriens describunt.
Expositio. Sit circuli radius Ara qui circa centrum A quietum conuerti in Orbem concipiatur alios, alios eiusdcm circuli radios deinceps occupas donec ad situm pristinum, unde discessit, An restituatur dum eodem. temporis spatio punctum A radium illum decurrit motu uniformi, ita ut ad alterum eiusdem radi j terminum B eodem momento perueniat, quo radius Am cursum suum absoluit, lassitum At postliminio regressus est. Eo motu punctum A lineam inflexam A IF B vestigiis suis designabit a centro A exortam vi ad metam B terminatam qua Het ἡκ, siue Spira Archimedis in plano descripta alia enim est in solido, suo Cylindro, aut cono exarata in nuncupari selet.
260쪽
Haec porro spira ultra Rprod tui potest , si radius
AB rotius in orbem agatur , Noriimque super copunctum cursum eodem modo peragat, factaque radii integra hac couei lione lineam emensum fuerit priori lineae Alaequalem tunc enim secunda spir.econuersio , siue periodus absoluta fuerit quam in hoc schemate productam usque ad X intueris me Caliter tertia, quarta veracta
Habes helicis descriptionem mente conceptam inuam ad praximhaud aegre reuocare licebit, ipsamque designare sit radium Amraccirculum, in partes aequales utrinque multitudine pares diuiseris.Tum primo radio post radium Ai particulam unam radii Β, radio seculiado duas, tres radio tertio &c assignaueris 3 donec tandem emenso oriabe, numeroque radiorum particulas omnes radi jam exhauset is,& ad
extremum eius terminum B deuenetis. Tunc enim per singula si nou
lis in radiis designata puncta cur in lineam leniter deduces, ut lineas huiusmodi anomalae curvitatis deduci solent, di clamque cernis hoc in schemate. Designationis huius ratio apertior est, quam ut pluribus explicari debeat. Quo enim cmpore radius Aa partem primam circuli emensus est , eodem punctum A partem primam radi primie mensum esse necesse cstri vitandc post radios omnCs decursos, . ad pristinum locum, unde discessierat, restituto radio Assi,mobile pun- istum A vltimam partem ad ij Al attingat a in ultimo eius termino B conquiescat. Radius porro AB iure dicatur radiu Sprimarius,aut radius generans, sue, ut quibusdam placet, terminus reuolutionis lineae at lcm reliquae a centro, siue spirae ortu A ac eius peripheriam duistae, ad ij ex more dicendae sunt. Atque haec est spirae oneratio, haec eiusdem ex generation s modo instituta desga alio Accipe nunc primam ex eius generatione deductam proprietatem.