장음표시 사용
261쪽
pROPOSITIO XXXVIII. Theorema. SI a spirae ortum duo quicunque ducantur radii I, Aa adspira peripheri ais eadem erit ratio radii D, ad radium
Ad quae est anguli, quem radius AF cum radio primario Assi continet, ad angulum I B a radio altero AI,4 eodem radio primario Ai contentum.
ex eius generatione immediate derivata proprietas cx qua facile innotescit Cum enim eodem tempore radius A mota uniformi
bilo punctum A motu etiam uniformi radium ipsum AB
Quae fuerit ratio temporis impensi ad conuersionerviradi, B donee ad adium AJ perueniat Lad tempus impensum ad eiusdem radi j B conuersionem usque dum radium A attingat: eadem erit tam arcus inter radium Assi, unde motus initur,& radium Minteriecti, ad arcum inter ΑΒ&radium AJ interiec quam radij Aa, qui pars est decursa totius radi A B, ad radium Aa partem. item radi Aodecursam. Sed eadem est arcuum, angulorum arcuisbus insistentium ratio per Prop. 3 3. Lib. S. Elem. Ergo eadem est ratio
radi AF ad radium At quae est anguli a B i hunc liceat hoc in casu angulum appellare etsi nulla sit inclinatio linearum' ad angulum I A B. Quod erat ostendendu PROP.
262쪽
PROPOSITIO XXXIX. Definitio. O Vadratrix Helici cuipiam connata ea dicitur aeuius cir
culus generans idem habet centrum cum circulo Helicis generante generans verydiameter aequalis est piimario Helicis radio.
Expositio. In eodem Diagrammate centro A circulus DF E describatur sumpta eius semidiametro AD aequali semissi ad ij AB quo Helix genita est vel certe describatur per Pin quo Helix radium At productum intersecat laesi quidem Aa semissis ad ij ΑΒ, cum mobile punctum semissem radi, B decurrisse debuerit, dum conuersus radius Alsemicirculum est emensus. Erit ergo circuli illius D DE diameter D Eaequalis radio Assici atque adeb in tot partcs aequales diuidi poterit, in quot diuisus est idem radius A B: dc similiter circulus D FE in tot etiam
diuisus fuerit in quot diuiditur circulus Hesicis generans; εc quidem per eosdem radios, quibus Hialicis circulus diuiditur. Itaque semidiameteram haec enim sui ficit ad superius Quadratricis cornu describendum, de quo solo deinceps mentio fiet in debitas partes dididistribuatur, per quas rectae Axi Am paraliciae, siue ad At perpendi. culares agantur, radios ex Demisso sngulae singulos sibi respondenates in O intersecantes per quas sectiones Quadratrix deducenda erit. Hanc igitur Quadratriccm , cuius diametcr generans D E aequalis est radio Helicem generanti AB,d generans circulus D DE circa diameatrum D E aequalem eidem radio A B describitur hanc,inquam,Quadratricem Helici connatam ad aliarum distinctionem quarum idem quidem centrum A foret idemque ad ij circulos carum diuidentes
existerent , sed diameter radio Ai foret inaequalisci nuncupandam censeo propter illam diametrum D E radium At aequales vi circulum D PE eodem centro A descriptum in ab iisdem radiis in partes aequales distributumia quibus Helicis circulus generans distri
Caeterum, ut haec harum duarum linearum affinitas, earumque generationis similitudo planius concipiatur expedit paulo aliter quam Propositione .explicatum est, linearum Quadratricem generantium motum ordiri. Ita enim citata Prop. instituitur, ut Asymptotus msensim per diametrum generantem Da defluat, donec ad eius termi
263쪽
num inseriorem E peruenerit eodemque tempore semidiametera FCirculi generantis conuertatur sursum versus donec emenso orbe toto
ad locum x pri itinum restituatur. Quibus lineae DAE , dc radi A Fsic institutis motibus fit, ut Quadratricis initium statuaru rad spatium infinite distans, ad quod superius eius coitu pertingere concipitur, sicuti inferius ablolutis motibus. At quia spirae designatio inchoatur radio gentrantes B sursum versus conuerso, spiraeque principium in eo latuitu ctiam aptius ad rem nostram fuerit initium Quadratricis in eius,crtice statueres ita ut idem radius Am sues Histriusque lineae tam duraratricis quam Helicis designationi eodem tempore inscrutat, dum versus D conuertitur. Tunc autem Axem F H Quadratricis parallelo semper eruato situ sursum ferri per scmidiametrum AD continget donec eius terminum Dattingat, situmque Asymptoti DAE occupet radius vero AH conuersus eodem in tanti ad axem Al semicirculo H DF emenso perueniat, cornuque Quadratricis superius longitud mis immensae, ad cuius terminum duae lineae parallelu Asymptotu, Dri, laxisina conuenire dicantur, exaratum sit. Quo tempore exaratum etiam crit Hesicis segmentum superius AΙF. Vt uci b cornu inserius Quadratricis continuato illo motu designetur, ra- diu, ΑΨ deorsum versus conuertetur eodemque in mento Alym emtus DK ad alterum diametri generantis terminuma transvolabit,. a quo usquedum ad A peruenerit sursum serctu ac tandem xem Coccupabit; dona ad eundem eodem momento perueniet radius Alpei curio semicirculo F SH, locumque A H, unde prim im disce L. scrae, occupabit eiusdem autem ad ij motu mobile punctum A de ferentis descriptus crit inserior spirae arcus.
PROPOSITIO XL. Theorema. SI quilibet radius AG Helicis producatur donec connatam Quadratricena secet in O .& a puncto O Applicata duca,
Lico hanc Applicatam OS aequalem esse H clicis radio AG
Ducatur a puncto O ad semidiametrum generantem At perpendiculari OZ, siue Axi parallela. Quia igit ut per Prop. 38. eadem est ratio radi DA FHelicis ad eiusdem radium A G quae est anguli RA HE qui est duobus rectis aequalis in ad angulum G AM: siue quae est se micirculi FD H. ad arcum XD H. Quae autem ratio est semicirculi
264쪽
PD uati areum X D Hi ea est semidiametri AD,ad eius partem AZ, ut ex constructione Quadratricis proxime explicata constat. Ergo ita est radius A ad radium AG ut est AD ad AZ. Sed Destae qualis radio AF Ergo Aa aequalis est radio AG Sunt autem AZ, ωApplicat O S in rectangulo Ora aequales. Ergo aequales etiam suturae sunt G. Quare Si quilibet radius,c. Quod erat
PROPOSITIO XIL Theorema. SI centro connata Quadratricis A per eiusdem verticem Ccirculus Cadescribatur. Dico omnes radios spirae, velut LG, abscindere ex circulo CT arcus ad partes C sibi aequales ita ut arcus rassio AG aequalis
Cum Prop. 36.ostensum sit arcus citculi Caa quolibet Quadratricis radio m abscisibs, aequales esse Applicatae OS; quae ad radium adiungitur in puncto, in quo Quadratricem secat, proxima vero Prop. Singulis Applicatis I aequales ostensi sint singuli ad ij AG patet singulos. hocce adio AG abscissis arcubus V C aequales esse. Ergo Si centro
connatae Quadratricis &α Quod erat declarandum
PROPOSITIO XLII. Theorema. I Quadratrix spiraque connata describantur. Di, sese mutuo tangere in medio semidiametri Qua
dratricem generantis puncto. Praeparatis o Expositis. Sit spira AIG.esque connata Quadratrix CIO.Constat quidem inprimis utramque hanc lineam transire per idem punctum L quod medium est emidiametri generantis A D, ita utina bifariam ab utraque hac curua linea diuidatur. Nam ut radius Avi conmersus, dum ad ra- . Ira dium
265쪽
dium A D, qui semicirculum F DH generantem bifariam diuidit, peruenit cita linea FH situm seruans parallelum ad medium semediametri eodem temporis momento peruenire dcbet, ac semissem illius decurrere, atque adeo eandem bifariam in eo puncto secare debet Quadratrix. Sed an non etiam mobile punctum A , spiramque describens medium idem punctum attigisse debet cum radius primarius illud deferens ad radium AD peruenit 3 transit ergo utraquc haec linea curua per medium punctum Psemidiametri A D. Probandum ergo est ambas illas lineas ita in puncto Iconuenire,ut in alio nullo puncto conueniant, sed ab inuicem abscedant. Ducatur radius quilibet AG Quadratricis tam ultra quam citra I & a puncto O ad semidiametrum D ducatur perpendicularis et lac denique centro A pcra circulus de sic tibatur. Is necessario transibit per Helicis punctum G , in quo cam secat radius A O. Nam per Prop. 4o radius A aspirae , aequalis est Applicatae per o ductae quae aequalis est rectae AZ. Ergo circulus per ex centro A delineatus transit per G. His positis.
Radio quocunque x ad Quadratricem ducto ma Uncto O ad diametrum generantem reducta perpendiculari et v linea Aet Applicatae per Oductae aequalis definiaturci semper radius A O in Triangulo rectangulo A ZO maior erit latere AZSed AG aeqtialis est lateri Aa cum sit Applicatae per O duc 'ae aequalis. Ergo nullum esse potest Quadratricis punc um , quod extra Helicem non cadat. Unicum ergo est utrique commune punctum Ι, in quo ambas necessario conuenire probatum est. Ergo in eo sese mutuo tangunt,non autem secant clim Quadratrix,ubi ab eo puncto disceditur,tota extra Helicem abscedat. Quare. Si Quadratrix, spiraque connatae c. Quod erat probandum.
PROPOSITIO XLIII. Theorema. . Si duorum arcuum BC, in radi DLB in D, ita inter se fuerint ut reciproce duo anguli D AF, D A E illis arcubus
Dico arcus illos B C, D F esse aequales.
266쪽
Hoc ipsum quidem Corollario Prop.
34 obseruatum est. Sed, cum usui non
mediocri futurum sit insequentibus, pe- culiari Propositione exponendum visum
est. Itaque cum sit A B ad AD, ut anguin tu, D AF ad angulum Bata siue ad an-
gulum D Ata sit autem velangulus D
ad angulum D AI , ita arcus D F ad arcum D E per Prop. 33. Lib. 6. Elem ita erit arcus D ad arcum Di, ut radius AB est ad radium A D. Sed veradius Aa ad radium Amu ita est arcus B C ad arcum D E. Vt ex Pappo Prop. l.Lib collect. deducitur. Ergo per Prop.9. Lib. . Elem. aequales sunt arcus B C. F. Quae aequalitas hoc etiam modo colligi poterit Producatur AI donec in G arcu B C producto occurrat. Erit angulus D A F, sue B AG ad angulum B A C:ita ex hypothesi radius Bad radium A D. Sedit Amadam ita est arcus BG ad arcum Dici ut autem angulus Ba G ad angulum iuxta; ita idem arcus B Gest ad arcum BG Cum ergo sit arcus B G ad arcum D F, ut est ad arcum B aequales erunt duo arcus BC,DF perProp. 9. Lib. I. Elem. Quod erat probandum-
PROPOSITIO XLIV. Postulatum. Potest datus quilibet angulus ad alium quendam angulum
datam habere rationem: sic utri arcus circuli ad alium eiusdem circuli arcum.
Expositio. Minus aequum prima fronte videatur hoc PostuIatam. Si enim Auagulus rectus, verbi gratia , proponatum; qui ad alium angulum rati nem debeat habere sub- sextuplam : quisnam futurus est ille anpuus recti anguli sextii pilis, cum spatium ad plani alicuiu punctum constitutum quatuor tantum rectis angulis, quos duae lineae sese in eo puncto perpendiculariter decusi antes continent, aequivalere possit 3 nullos ergo angulus rectus rationem ad alium quempiam angulum habere potest minorem quam sub quadruplam vel contra nullus angulus ad re- etiam rationem maiorem quam ad summum Quadropiam Alsero tamen aequissimum esse Postulatum hoc, is euidentissimum, si recto intelligatur, in Principiorum numerum reserri debere: Notan
267쪽
Notandum igitur non parem angulorum , dc rectarum linearum esse rationem. Recta enim quaelibet linea ad aliam aliquam,datam potest rationem habere absque omnicius,cl totius, vel alicuius eiurum partis repetitione . quae in angulis necessariccst. Disparitatis ratio in eo versatur quod recta quaelibet linea possit in maiorem, & maiorem sine ici mino longitudinem produci,eoque modo ita determinari,ut integram non concisa ad alteram rectam, rationem qua ncunque datam habeat. At Anguli, huiusmodi incrementum non admittunt. Cum angulorum amplissimus quatuor rectis os tamen angulus dici queat ille, qui lineis incariamque omni inclinatione caret sit aequalis Verum tamen, si angaeus quilibet repetatur, quid obstat quin ita, quoties res teret, repetitus ad alium datum angulum datam rationem habeat 3 Hoc ergo sensu positum Postulatum assensum meretur, nec reiici potcst. Par est arcuum eiusdem circuli causari neque enim poterit arcus quilibet datus ad alium eiusdem circuli arcum quamlibet datam rationem seruare,nisi repetatur,vel totus ipse circulus, vel quaeda eius pars: visi sexta circularis peripheriae pars debeat sub-decuplam rationem habere ad aliam eiusdem circuli peripheri ais id absoluetur, si totile ripherii quae sextupla est datae partis sextae addantur quatuor partes item sextae, ut fiat arcus decuplus partis sextae , ad quem pars exta rationem datam subdecuplam habere possitast ver,inter angulos Marcus circulorum disparitas quaedam. Nam circuli cuiusuis arcui, vel etiam toti eius peripheriae vel semel vel pluries sumptae dari potest aequalis arcus alterius circuli, vel aliam quamlibet ad eum rationem habens, ut Pro 43. proxime antecedente declaratum est quod angulis non conuenit Quilibet siquidem angulus sua in specie intima ita constituiturvi completur per differentiam talis aut talis duarum linearum
eum constituentrum inclinationis, aut carum mutui ad inuicem ituri ut alius nullus ab eo diuersus pollite esse simili M contra quam in circtilis, aut circulorum arcubus contingat , omnes enim circuli,circulorumque
peripheriae similes sunt, Mear vim a cus, varios habent aliorum circulorum arcus similes qui quales non lunt, scd quamlibctrationein inter se habere possim t. Atque ex hoc Principio consequitur, ut ad fi-Drarum planarum rectilinearum limilitudinem, ut ex Defin i Lib.6. Eucl. conitat, requiratur ratio laterum aequalis; quae eadem in lateribae valde aequalibus seruari potest: dum angulorum aequalitas requiritur: eo quod nimirum nulliis angulus alium sibi similem agnoscat praeter eos, qui sibi sunt aequale . Atque ita figura ad figuram similitudinem perfectam habet ui omnia quibus utraque constat rae alia
non sunt praeter angulos, laaera j sint similia anguli se fini
268쪽
aequales, e latera proportionalia. Quae sint obiter & ex occasione dicta.
PROPOSITIO XLV. Problima. DVct quacunque linea ad Quadratricem ex eius centro,
eique adivnota Applicata descripto item ex eodem Quadratricis centro, per lectionem eiusdem, ductaeque lineae, circulo reperire arcum circuliope tum Quadratricis, tum ei connatae Helicis ad quem ita se habeat arcus descripti circuli inter Axem ductam ad Quadratricem lineam interce
llus si se habet Applicata ad ductam illam lineam siue ra
Expositio. Sit in figura 3 3. Instar omnium Quadratrix CIO , iove connata Helix ΑΙ G cuius radius generans sita L,idem qui est Quadratricis Axis Ducatur autem ex centro Quadratricis A ad ipsam radius quicunque Arari cui adiungatur Applicata o S ad Axem perpendicula ris ac denique centro A per O circulus describatur Quadratricis Axem secans in L. Quaeritur arcus huius descripti pero circuli,ad quem ita se habeatareus ossi inter Axem dc ductum radium Ara interceptus ut fessi, bet Applicata O S ad radium A O:quaeritur autem adhibita tum Qua.dratricis, tum Helicis opera. Constrinio Demonstratio. Ex generatione Quadratricis tractatus huius initio exposita colligitur uniuersale Problema, eiusque solutio quo potest imperari, ut data quacunque ratione duabus rectis lineis expressa, ductoque quouis circuli arcu arcus inueniatur , ad quem datus arcus datam habeat rationem. Sed hoc ita uniuersaliter propositum Problema ad hanc hypo. thesim reduci necessarium est. Vt quae deinceps ad eam pertinentia veniunt explicanda, facilius, clariulque tradantur ic percipiantur ι ea praesertim, quae Helicem interi Quadratricem est summa con
Etsi porto possit ad Problematis huius selutionem integra Quadratrix suo duplici cornu in infinitum producto constans adhiberi n, cum tamen ex semicirculo generante, generante semidiametro pro ductum, quod simplicius traii tari eo modo res nostra videatur, nec utrumque
269쪽
utrumque illud cornu exigat, assumo. Sit itaque Quadratricis emidiameter generans AD, quam quidem Applicata nulla o potest excedem Vltima enim inadratricis Applicata, quae infinitolpatio distat, aequalis tantum esse potest huic semidiametro A D. At veris,a dius Ara breuior vel longior esse potest , prout ad Quadratricis punctum aliquod vertici propius,vel remotius admouetur Poterit ergo interdum radio generantea D esse breuior, alias ei aequalis, alias eodem longior.
Primo itaque sit radius ille Araminor radio AM: dc peret in quo
circulus per o ductus semidiametrum generantem secat , ducatur
linea Axi parallela Z T Quadratricem secans in T: per quod punctum reducatur e centro A ra-
dius secans in V circulum per Ο descriptum, & cum Axea Lintercipiens arcum V L. Dico arcum hunc Va, cum esse qui quaeritur ad quem scilicet arcus I ita se habet ut Applicata O S se habet ad radium Ao Ratio aperta est ex generatione Quadratricis. Nam Ap plicata ori pertinet ad arcum OL recta verba Tarqualis est Applicatae, quae per ad Axem duceretur perpendiculariter. Vt autem se
habent Applicatae, sitae Applicatis aequales O S, A Z siue Arari ita se habent arcus L O, L V illis Applicatis debiti per Quadratricis gene
Quod si ad determinationem eiusdem arcus I spiram velis adhibere: ecce quam expedita sit illius ope determinatio Circulus enim ille centro A per Odescriptus spiram secat in punctos, ita ut arcus L V ab Axe Quadratricis inchoato qui idem est etiam radius spirae generans h& in consequentia Helicis tendens usque ad sectionem V circulivi Helicis, ita sit ad arcum Lo,ut est Applicata ori ad radium Ao Quadratricis Radio est quia radius A G Helicis, qui ab ipsa abscinditur ex Quadratricis radio AO, aequalis est AppIicatae O S per Prop. 9. At per Prop. 38 ex Archimedis Propositione 4 petitam, ita in arcus L V ad arcum Lo, ut est radius Helicis A V ad eiusdem radium A G, hoc est , AO ad OS. Itaque hoc in primo casu in quo supponitur Quadratricis radius A O minor semidiametro A Douadratricem generante, recte definitus est ope tam Quadratricis, quam Helicis, Arcus qui quaerebatur. Idem una reliquis praestemus. Secundδ.
270쪽
Secundo Radius Ao proponi potest huiusmodi, ut generanti semidiametro A D se aequalis. Quo in casu assero arcum Lo ita se habere ad semiis
generanti AD ut ex generatione Quadratricis Prop. a. vel Prop. Sy. exposita constat, respondet semicirculus totus generans: & Vero id vel ex eo patct, qtiδd si per D ducatur recta Axi parallela,quae Asymptotus est, debeat secare radium V productum, ut habeatur punctum ultimum Τ-dratricis,quod infinite distat, ex eo Quadratricis puncto ducta ad Axem Applic ta aequalis foret generanti lemidiametro A D. Cum ergo arcus L Do
ad arcum Lis ita se habeat;ut Applicata ori arcui L DO debitam, ad semidiamettum A D sive Ao Applicatae aequalem, quae semicirculo LD debetur patet ita esse arcum L DO ad arcum semicirculi
Lis , ut est Applicata O S ad radium AD, cui adiungitur. In hoe ergo secundo casu , in quo radius Ara ponitur aequalis semidiametro generantia D, ope Quadratricis definitus est arcus L D V, ad quem arcus L D O ita se habet , ut Applicata O S est ad radium Α O Aesope
Helieis idem arcus semicircularis D V. quomodo inuenitur. Ecce.
Circulus per o descriptus occurrit necessario Helici in puncto , in quo eadem secatur ab Axe L A producto qui ctim per centrum Αeiusdem circuli ducatur, eius diameter est, demicirculum L D abscindit Ideo autem Helix post radio AO aequali semidiametro generanti A D cum absoluto semicirculo LM V concurrit: quia cum radius Helicis Quadratrici Connatae ex Definitione debeat esse quali, Diametro generant Quadratricis erit semussis radij illius aequali, semidiametro generantias, siue A V. Quare ex constructione spirae, mobile punctum spiram describens percurrisse debet semissem ea dij sui, siue diametri generantis Quadratricem quando conuersus radius in orbem fixo eius termino Hemicirculum percurrerit. Quo fit ut Helix Axem secet in V,in quo eum secat semicirculus atque aded sese mutuo in eodem puncto V, semicirculus L D V,dc Helix interse cent Qtro posito ostendetur, ut in priore casu,ita esse arcum UD O ad
semicirculum L D Vcut Applicata OS est ad radium Am sues V. Nam spira ex radio Ao Quadratricis, radium AG abscindit aequalem Applicataeo S per Prop. o.Sed ut radius A G est ad radium A m