장음표시 사용
271쪽
ita est arcus L Do ad arcum re semicircularem per Prop 38. Ergo etiam ut est Obad AO, ita est arcu tuo ad arcum L V. Quare in hoc cliam casu , in quo radius Ara ponitur aequalis semidiametro generanti AD,inuentus est quaesitus arcus. - Tertio radius Gad Quadratricem centro emissus, Mior sit semidiametro Quadratricis generante
AD , atque adeo per punctum O descriptus
productam semidiam trum generantem A Dsecet in Z. Hac ergo statuta hypothesii Problema bluetur ope Quadratricis,tum adhi- . ita Helice Excessus Det, quo radius xo semidiametrum generantem Am superat, super eadem semidiametro A reponatur ex centro A usque ad Y per quod punctum agatur Axi parallela YXQuadratrici occurrens in X. Denique ex punctori per centrum A linea traiiciatur occurrens in circulo L ZOV. Dico arcum Let O ad arcum LZOV eandem ha-re rationetruquam habet Applicata OS ad radium AO. Probatur Vehabet semidiameter generans AD ad rectam AY aequalem excesima radiLA O supra semidiametrum generantem ita se habeticirculus L ZR ad Arcum L P. Probatur,quia si circulus ipse generans, qui per D describendus rei reipsa describeretur eius semicirculus ad arcum, qui a lineis A L. P interciperetur, ita se haberet per Quadratricis generationem Lut se habe AD ad a. Sed cum cireulus L TR sit circulo generanti concentricus, similiter secatur in P, ut circulus generans secaretur a recta A P. Cum ergo ita
sit semicirculus L ZR ad arcum L P, siue ei aequalem V oppositum, ut est AD ad AY, siue ei aequalem D Z. Componendo. Ita erit Z ad D Z ut arcus L DR V ad arcum U. Et per conuersionem rationis. Ita erit A Z ad AD ue Dareus L TR V ad semicirculi peripheriam L ZR. Est autem AD ad Applicatam Δ, ve semicirculi LZR peripheria ad arcum L Zo ex generatione Quadratricis. Ergo e aequalitate. Ita erit o Lado Sue ut arcus L ZR ad arcum
272쪽
Leto, ut hoc schema refert. Et invertendo.
Ita erit Applicatam S ad Aa, siue ad radium AP, ut arcus L ZO ad arcum L ZRV. Recte igitur hoc modo repertus est arcus L TR ad quem ita se habet arcus Let oi ut Applicata OS elabee ad radium AD. Quod ope Quadratricis praestandum erat. Sed hoc ipsum nunc per Helicem inuestigemus,4 quidem via lom ge breuiori. Descriptus per O circulus spiram secet in V. Dico arcum Let eum esse, qui quaeritu es ad quem scilicet ita se habet arcus Leto, ut applicata ori se habet ad radium AD. Nam ex generatione pirae
Prop. 37. declarata, per Prop. 38 ex ea deductam. Ita se habet radius A aspirae ad radium A Wi ut arcus Leto a radio AG producto ab cissus ad arcum L Z v. Sed radius RG aequalis est Applicataeo S, ωAV aequalis radio AD. Ergo, ut O S ad ΑΟ ita est arcus L ZΟ
ad arcum LZV. Sive etiam ad semicirculum L ZRuna cum arcu LP super semicirculi L Z circumferentia repetito Atque ita exhibee spira eundem arcum L TV quae sinum. Hac eadem methodo semper inquiretur arcus ille LTU semicie culo maior adhibita tum Quadratrice tum spira donec ad alterum semicirculum excrcuerit: quod fiet per Quadratricem excessu D Z, siue Aa radix o supra semidiametrum Quadratricis generantem D semper crescente donec Tattingat D, d radius A aequali se duplae semidiametro generanti AD, siue aequalis toti diametro generanti quo in casu Helix emenso orbe integro primam periodum ab . solueriti, in eodem Axis puncto L concurrent, seseque intersecabunt ipsa, circulus centro A. semidiametro A O, quae si generanti Quadratricis diametro, sive primario Helicis radio aequalis, de
Quarto. Si radius Ao extiterit maior, quam dupla semidiameter generans AD, siue quam tota diameter aut radius Helicis primarius AF ad quem terminatur prima eius reuolutio: ut habeatur quaestus arcus ad quem ita se habeat arcus LTO st applicata Ossi se habet ad radium Ara non alia est instituenda ratio, quam quae proxime tradita est cum radius A maior proponitur generante semidiametro AD. Sumendus scilicet est excessus, quo radius Ao binas iam percursas semidiametrosa D superat,4 super semidiametrum A mr ponendus a puncto A vsque ad T a quo puncto ducatur recta ad
ipsam semidiametrum inperpendicularis, sue Axi parallela; quae
273쪽
currat. tum per X emitatatur ex centro A tecta,
quae in V circulum L ZOM secet. .areum Lue cum Axe intercipiet; qui addendus erit ad duos iam decu sos semicirculos, siue ad totum circulum L ZO M , ut fiat arcus ULMI V circulo maior ad quem arcusLTO ita se habebit, ut
ad radium AO. Eadem autem est, quae prius in tertio casu allata est demonstratio.
Est stilicet Applicata OS ad duas ςmidiametros generantes A Duna cum Ac hoc est, ad radium AOs qui duabus semidiame tris AD,in lineae AY aequalis ponitur ut arcus L ZO Applicatae
ob respondens, ad semicirculos duos integros; qui duabus semidia metris velut Applicatis respondent ιι praeterea ad arcum LV Applicatae Aa respondentem, hoc est ad arcum L V una cum tota peritapheria totius circuli. Licet enim irculus L ZM, circulus generans non sit, nec ad hanc Quadratricem pertineat: Anguli tamen ad cen truma ab his lineis constituti, utrique circulo sunt communes &, ut supra iam monui, similiter secantur circuli omnes circulo generan ii concentrici. Augetur ergo in hoc casu circumteremia totius circuli Let M additis arcubus ad ipsam, ut additus est arcus L V ea ratione, qua radius A Olongior fit, longiusque a centro A Quadratricem se cat qui quando duabus constiterit di me is generantibus, siue qua
tuor 1emidiametris AD ,habebuntur duo,irculi L ZM integri ad quos arcus ZO eandem rationem babebit, quam Applicata Shabitura est ad radium Ao. Et ira in infinitum, ut augeri potest radius A O , augebitur arcus per repetitionem circuli1 TM, ad quem ita se habet arcus Leto, ut Applicatio se habet ad radium M. Atque eadem semper methodo arcus ille quaesitus innotescet ope
At ope Helicis idem arcus L ZM V inuenietur producta spira vltra
274쪽
primam suam periodum ad axis punctum Rabsolutam donee cireu lum per Odecriptum secet in V. Ita enim eum sectura est ivt arcus Leto ad arcum L V sumptum versus consequentia cum tota circui
serentia Let M eandem habeat rationem , quam habet Applicata OS ad radium AD , siue Helicis radius A G ad radium As: qui duo ra- dij duabus lineis O S . O sum aequales, ut aliquoties Iam est explicatum. Atque eadem semper futura est eum constructio per Helicem, tum eiusdemonstratio, viseustra aliis casibus, qui repetitiones plures circuli L Z postulam exponendis diutius immoremur. Vnum tamen , qui non nisi semel occurrit, attingere necesse est. Is est eum Applicata,& radius ad Quadratricem ductus sunt aequales,imo ambo una eademque linea. En illum. In schematis omnibus proximEallatis secundum resumo semidiameter generans AD ad Axc ina perpendiculariter ducta, Quadratrice secat in I,quo in puncto Helix ipsam tangit,ut Prop. 1 demonstratu est. Hoc ergo in casu eade linea Alvi radius est Quadratricis de ad illum radium adiuncta Applicata, radius quidem, quia a centro A ad Quadratrice ducituri Applicata verb, quia ad Axem perpediculariter ducitur I pucto I in Quadratrice assumptos oc ergo in casu,s descriptus foret e cetur, circulus per P descriptum concipe' si fieret vi Applicata AI ad radium ΑΓ ita arcus illius circuli inter radium AI, 8c Axem A C interceptus ad alium arcumci haud dubium quin ille idem arcus haberetur, siue per Quadrati icem sue per spiram ineatur constructio. Nam arcus ille spiram in I solvi secaret , dc arcum inter Axem, ipsum me punctum I Helicis, qui Problemati satisfacere debet, non alium a priori arcu diuersum exhiberet. Ducto ergo qmcunque Quadratricis radio AO arcum LZ Vexhibuimus, tum per Quadratricem, tum per Helicem; ad quem ita te habet Arcus L ZOa radio Adc ab Axe huerceptus i ut habet Appii cata OS ad radium O. Quod praestandum erat.
In Propositionis huius decursu qudedam occurrunt, quae obseruacse non poeniteat, quaeque ad planiorem eorum, quae vel hactenus allata sunt, vel sunt deinceps asserenda, cognitionem assequendam non mediocriter conducunt. Primum est , Quadratricis radium Acnullum unquam tantae sere longitudinis, quin circulus ex centro Aper eius alterum terminum o deseriptus, connatam Helicem multiplicatis gyrationibus explicatam aliquando secet. Et si enim Quadratricis cornu recta quasi via in infinitum porrigatur Melix vero con- ita
275쪽
tra in varias reuolutiones colligatur:tot tamen gyrationibus poterit promoueri, cum plures plures iniri nihil obstet, vide puncti alicuius sui distantia a centro A cum Quadra
a. Omnium radiorum Quadi tricisApplicatas ab Helice definiri, ut supra Prop.4o ostensum est, eamque esse omnium maxi mam,quae ex Axe ab Helice abscinditur quam aequalem esse constat semidiametro generantia D, ad Quadraxrici punctum pertinere, in quo secatur ab Axe, quod nusquam seri potest. Tertium circu tum centro A per extremum radiscuiusuis erminum o descriptum. Huicem secturum in puncto, quod sit terminus tot Helicis periodo rum, quot diametros generantes continet Quadratricis radius Ao.Qubd si praeter diametros praecisas, aliqua pars adhaereat eiusdem diametri generantis, periodorum numero arcus proportionalis adde tur. Atque ita si radius A O aequalis praecise ruerit diametro generanti circulus,cuius semidiameterest A O, Helicem secabit in ipso vltimo primae periodi termino, qui in Axe reperitur. Si vero radius O praeter diametrum generantem , quartam Verbi gratia, inius partem contineat circulus pero descriptus non ante est Helicem onsensurus, quam post periodum integram, M quartam inchoatae se quentis periodi partem. Eodem modo si duabus, tribus, quatuor c. diametris generantibus constet radius AD, Helicem secabit duabus, tribus, quatuor m periodis absolutis addita etiam sequentis reuolutationis arcu proportionali, si praeter numerum praecisum diametrorum generantium radius x partem aliquam diametri contineat. Quae omnia ex proxime dictis Prop. antecedente aperta sunt altius tamen menti infigenda, ut sequentibus inserviant ad quae nunc pergo.
276쪽
Lib. III. Dest uadramce. pROPOSITIO XLV Neorema.
SI centro Quadratricis circulus describatur cόnnatas Quadratricem&Helicem secans illam in O , hane in HAxem vero in L: ducantur ad 4 O radiDAU, RO; quorum hic ad Quadratricis punctum O ductus Helicem secet in Gis ac tandem per G circulus RG P describatur. Dico huius circuli arcum R. Gl inter Axem A P, Melicis radium A; interceptum , aequalem esse arcui O E L inter Axem LL,in Quadratricis radium L intercepto-
Theorema hoc ad omnes illos diuersos casus , qui Propositione ante incedeti explicati ut, extendi debet, deinque illis omnibus intelligi siue circuislus in Quadratri--cem secans Helici occurrat in V ante absolutam primam girationem qualem casum instar caeterorum omnium lite
absolutam, siue post absolutas plures eadem enim est omnium d monstratio, quam sic instituo.
Quam rationem habet arcus LEM ad arcum LEO V 3 eamdem habet arcus P FG arcum FG R , hi enim arcus illis sum snguli singulis similes. Sed ut arcus L Eo se habet ad arcum LEO Uri ita se habet radius AG Helicis ad Quadratricis r dium AD, ut ex praecedente Prop. constat , Ergo ita est arcus P FG ad arcum PT G R., atque adeo per Prop. 33. Lib. 6. Elem Angulus P AG ad angulum P AR ut est radius AG ad radium ΑΟ. Hinc
277쪽
fit, ut angulus PAG, siue Angulus idem Lao ita se habeat ad angulum P Aa, ut reciproce huius anguli FAR radius Ac, siue latus alterum, ipsum angulum P x continens, se habet ad radium Aoangulum L Ao continentem. Ergo per Prop. 3. aequales sunt arcus LEO,&PFGR. Quod idem ita etiam concludi potest. Ita est arcus PI Ga ad arcum similem L Eo v ut est illius radius A G ad huius radium Ao. Sed per praecedentem Prop. v est AG ad Ao; ita est arcus UE O ad arcum L Eo V. Ergo ita est arcus P Ra ad arcum ED 4 ut ad eumdem est arcus L EO. Ergo per Prop. 9. Lib. s. Elem arcus P FGR,& arcus LEO sunt inter se aequales. Quare. Si centro A Quadratricis Ece. Quod erat probandum.
PROPOSITIO XLVII. lamma. Iisdem positis. Dico arcus PI G, PIGR siue ei proxime ostensos aequales arcus LEO, LEO V, esse continue
Arcus P FG ita est ad arcum FGR ut arcus Oad arcum LEO V sunt enim arcus similes ad arcus similes in Sed arcus P FG ostensus estir cedete Prop. aequalis arcui LEO. Ergo ita est arcus
ad arcum LEO Vlunt ergo arcus illi continue proportionales. Itaque Iisdem positis c. Quod etiaprobandum.
278쪽
Lib. III. Te auadratrice. 81pRopo SITIO XLVII Labeorema pe irine. SI connata Quadratrix & Helix descripta sintaeirculusque
L OV centro A describatur utramque secans, Quadr tricem quidem in O, Helicem autem in is ad quae puncta radii O in V ducantur: ducatur demum ad radium A Uperpendicularis A B. Dico. Si a punctora linea Ο Quadratricem tangens
duceretur eam ex producto Αxe abscissuram rectam lineam Atuatae commensuratam iuxta varios casus sequentes circumferentiae L EO U: cui etiam aequalem rectam lineam
A Babscinderet ex rectarim ad radium AI perpendiculari, linea V B Helicem tangens in V.
Demonstratio. Tot sunt Propositionis huius casus, ouot sunt Propositione superiori 3. enumerati Qui omnes una eademque ratiocinatione demonstrari possent. Verum quia Archimedes casus illos ad Helicem pertinentes distinxit singulisque singulas probationes et easdem aut proxime similes assignauit illum in pari causa, o ut manifestius appareat utriusque huius curuae lineae commercium, imitandum ratus; varios casus citata Propositione adductos, sigillatim tra bo. Primo quidem loco casus ille sese offert, qui simplicitate, facilitate ceteros antecellit, eo etiam nomine commendandus quod a primis Quadratricis Auctoribus , caeterisque deinceps Geometriae cultoribus solus tuerit obseruatus, ob eumque unum apud ipsos summo in pretio habita semper fuerit haec inflexa linea ininc exposui ultimo loco Prop. s. Ita vero haura iuxta hypothesim hac Propositione statutam i cuius contextus caeteris casibus conueniens, ut huic etiam accommodetur, quaedam schematis puncta duplici charactere fuere designanda, cum hic in unum coalescant,quae in caeteris diuersa
Sint itaque connatae descriptae Quadratrixi Helix, quae sese mu- tub tangant in puncto 4 in quo utraque generantem diametrum O ad Axem perpendicularem intersecat, ut ostendi Prop. 42. describatur verbientro A per punctum Quadratricis o circulus L EO; qui etiam Helicem secat in V quod idem est cum O materialiter. V a Demon
279쪽
Demonstrarunt,in quidem soleristissime Quadratricis Auctores aris
cum OEL esse duabus lineis, sagittae AC, ωApplicatae A , tertiam
proportionalem. Nunc ergo videndum, an linea Ot Quadratricem tangens in O, WAxi occurrens in D ex eodem Axe abscindat rectam A quae sit duabus lineis AC, MAO, siue Ai, tertia proportionalis. Constabit enim tum demum arcum O E L aequalem esse rectae A D per Prop. 4. Lib. s.
Elem tunc enim eadem recta A O dicetur candem habere rationem ad arcum O DL,in ad rectam Amri cam scilicet, quam habet Acad AO. Illud autem euidentissimum est,i in terminis ipsis dcciaratum Prop. 23. 3 coroll. Propositionis o ubi probatur uniuersaliter sagittam A C in radium AG ad Quadratricem ductum siue Aio& rectam AO a Tangente interceptam , esse semper & in omni casu, continue proportionales. Quare verissimum est in hoc casu tangentem in Quydratriccm, abscindere in Axe rectam A aequalem arcu LEO. Quia vero Archimedes Prop. 1o inquit. Si tineam spiralem A G
linea recta contingat in Unon inisermino prima circulationis, o a eontactu
Vad principium spirae A recta ducatur UA Hr centro A Interuasio A circulus VE L describatur itemque a principio spiratis A ducatur linea A Dad angulos recros lineae A V, quae a contactum ad A ducta est. Eri linea A B inter eoutingentem Vν, initium spirae A interiecti, qualis circumferentia LEV descripti circuli qua es inter contacrum V, ct punctum sectionis, en descriptus circulus L Gerat principium reuolutionis, hoc est, rectam AB unde motus incipit, circumferentiam sumendo versus praecedentia a puncto, quod est principium circulationis scilicet a contactu V versus L, qualis est circumserentia WE L. Haec Archirnedes citata Prop. quae ad casum hunc pertinet. Cum ergo Helix in Quadratrix sese contingant in eodem puncto O vel V: lalias futura Iunt distincta haec duo puneta, quae hic coalescunt unam . eandem lineam rectam esse necesse est, quae utramque curuam lineam contingat , est scilicet recta OD Quadratricem tangens eadem cum linea Vi spiram tangente eademque praeterea linea est AD abscissa ex Axe
tangente O Quadratricem ;& linea Am abscissa a tangente BMelicem Labscissa, inquam, ex linea AB, non vi Axis est, sed test
280쪽
est perpendicularis ad Helicis radium A V ad contactum V ductum.
Euidens ergo est in hoc casu utraque Propositionis huius pars Veiarum scilicet est rectam σα, quae Quadratricem tangit in , abstitiodere ex eiusAxe lineam A aequalem arcui LEV a puncto L, in quo Axem secat, inchoato,di ad punctum V in quo Helicem lecat, producto Verum item est lineam, quae Helicem tangit in V. in quo puncto eam secat circulus LEVi abscindere ex recta Ai perpendiculari ad radium AI , rectam lineam AB aequalem arcui L E V intercontactum V, 4rincipium circulationis, siue radium primarium ABHelicis. Secundo occurrit ille casus, in quo radius A O Quadratricis est diametro generante, atque adcoi qui illi est aequalis radio Helicis primario quacunque ratione minor, excepto praecedense casu iam exposito ita ut circulus pero ex centro A descriptus ante Helici occurrat in V, quam peruenerit ad primae periodi suae terminum, qui est Axis Quadratricis, ut Prop. s. declaratum est.
Itaque designato schemate, ut seri Propositionis hypothesis descripto scilicet circulo LEO V secante Quadratricem quidem in O, Hesicem verban Ut ductisque radiis AO, A V, quorum ille Helicem secet in G, per quod punctum destribatur circulus PF GR ducta deinde rectarim ad radium As perpendiculari. Ostendendum est, si ducatur linea OG Quadratricem tangens in O , eam in Axe definire rectam AD aequalem arcui LEO Vir atque adeo aequalem rectae AB, quam linea VBHelicem tangens in V abscindit ex recta AB quae abscissa linea eidem arcui L TO V est aequalis , ut probat Archimedes citata Propositione a o. cuius verba superius retuli. Illud ergo probo, quidem ostensiva Demonstratione huiusmodi.
In hoc diagrammate ducatur ex puncto O Quadratricis Applicata OS ad Axem perpendicularis. Huic Applicataeo S aequalis est Helicis radius A aper Prop. o. quo posito sic ratiocinor Per Prop. 3 3. qua rationem habet sagitta AC ad Applicata OS, siue ad radium AGHelicis;eandem habet Applicata S,suo AG ad arcum PF Gaeonstat enim per citatam illam Prop.recta AC.AG,& arcum PFG esse continue proportionales. Sed ut est AG ad arcum PFGlita est radius A ad arcu LEO arcui PFG simile,ut ex Pappo Prop. I s Lib. s.collect.deduci solet. Ergo ita est sagitta AC ad AG,ut radius A ad arcum LEO, Et Permutando. Ita erit Sagitta AC ad radium AO , t AG est ad arcum
L Ε . Sed per Prop. 3 . arcus PF acaequalis est arcui L EO. Erisgo ita est sagitta AC ad radium A., ut AG ad arcum P FG R. Sed