장음표시 사용
281쪽
vi est sagitta AG ad arcum P FG R i ita est AD ad arcum L Eo vaseul PFG l smilem. Ergo ita est sagitta AC ad radium AO, Vt
AO est ad arcum L EO V. Ita ut hae tres quantitates A ar e L E O V sint continue proportionales. Atque in hac harum trium
quantitatum continua Analogia versatur totum Argumenti momentum. Ecce enim ut ex ea propositum Theorema concluditur. Per
Prop. 1 f., o. Coroll. tres rectae lineae sagitta AC radius A O siue L ad recta AO abscissa in Axe inter centrum Avi ipsam Tangentem O, sunt continue proportionalec; sicutri tres A C , AD,
arcus LEO V continue sunt proportionales, ut proxime ostensum
est. Cum ergo es utraque serie eaedem in duae priores A C. O; etiam reliquae duae,arcus scilicet LEO V,& recta linea AD, necessario futurae sunt aequales per Prop. h. F. Elem. Itaq, quoad hunc etiam casum manifesta est prior Propositionis huius pars Posterior autem, quod scilicet recta Am intercepta a linea, quae Helicem tangit in V aequalis sit rectae AD, quam ostendi aequalem esse peripheriae LEO V, euidens est excitata Archimedis Prop. 1 o. in qua probat rectam AB eidem arcu LEO V a punctos inchoato, & versus spirae praxedentia promoto donec ad radium Assi Helicis primarium , siue limitem circulationis peruenerit aequalem etiam esse. Ergo non poterunt non
esse aequales rectae duae AD a B ut secunda parte Propositionis asse
Non alia unquam futura est Demonstratio Propositionis huius, quicunque tandem Quadratricis radius A ducatur Wquocunque in puncto; circulus centro A per o des craptus gyrantem spiram assequatur, siue punca una illud fruerit ultimum primae reuolutionis, siue secundae, tertiae c. aut praeter rc uolutionem primam , secundam, tertiam, aut aliam quamcunque, spatio aliquo promota fuerit Helix. Vt huic repetendae pluribus immorandum minime videretur, nisi ille Geometrarum apex Archimedes aliter censuisset, variatque aliquot variorum horum casuum singulares Propositiones prosecutus fuisset. Cuius vestigiis si inhaesei, quis vitio vertat 3 Accedit, quod ex variorum huiusmodi casuum expositione apertior euasura sit harum duarum curuarum conformitas eo sane magis suspicienda,'ubmaior earum videtur esse dissimilitudo dum una, via quasi recta in infinitum porrigitur;at altera in gyros multiplices circa primum suum
ortum reuoluitur , a quo non nisi aegre recedere, id ei illi. Hic ergo
primo loco quid de spira sua pronunci et Archim attendc nilum est: tum quid de Quadratrice nostra pronunciandum si , Ccta arandum. In Di0jtjZo by
282쪽
Ιn haec ergo prope verba de Helice loquitur Prop. 18. cuius sensum apposito lahemate expono. Si spiralem exprim4 ei
recta sinea UB tetigerit intermino spira L hiciri unum idemque punctum sunt , sed L pertinet ad terminum spirae, at V ad intersectione circuli cum
spira , quae hic in spiraetermino L contingere supponitur ιὶ apuncto vero A , quod es principium dira quadam ducatur reis ctu linea Aa ad angulos rectos linea AL, qua est pri
ducta Aa imide in tangentem ra, ct ipsus AB, qua pars media erit interra gentem, o principium spira A, nempe AB, aequalis erisper heriaprimi circula La Vr cuius scilicet semidiameter Ao est aequalis diametro Quadratricis generanti. Illa Archimedes de spira fatur,ri probat. Hac ego de quadratrice assero, ac ostendo. Tertio hoc itaque casu, in quo ponitur radius Quadratricis Aoaequalis generanti Quadratricis diametro, siue connatae spirae radio primario ita ut circulus centro per o descriptus LEO V spiram non ante lecet in V quam ad ultimum punctum L primae periodi, quod est in Axerat, peruenerit assero iuxta Prop. meam clineam tangentem in o Quadratricem squalis supponitur OG productum
Axem secturam in D absci iratam Am, lineam aequalem periph riae totius circuli LEO Vratque adeo aequalem lineae rectae AB; quae a recta B Helicem tangente in V, abscinditur aequalis eidem peripher LEG; iuxta Archimedem. Perpunctum G, in quo radius A O Quadratricis spiram intersecat, circulus describatur secans ina radium x ad communem secti nem V circuli, spirae ductum h parem linearum Ec punctorum concursum per eosdem characteres designo, qui in superioribus casibus adhibiti sunt: ut parem non solum rebus, sed etiam verbis ratio-ὶ ducatur etiam Applicatio S, quae, ut dictum est
283쪽
est iam non semel, aequalis est Helicis radio AG Hispositis. Sic Demonstrationem superioris casus in hunc transisto. Sagitta Ac ita est ad Applicatam S, siue ad radium A G, ut AG est ad arcum PFG per Prop. 33. Sed ut est AG ad arcum PFG; ita est A ad areum L E O similem arcui P FG ex Pappo Prop. 11. Lib. I. Colleest. Est ergo ita sagitta AC ad A G, ut AD ad arcum L E O. Et permutando. Ita erit sagitta AC ad radium AO, ut radius AG ad arcum L EO. Sed arcus LEO aequalis est arcu PFG hoc est, totius circuli PE a peripheria per Prop. 34. Ergo ita est AG ad AO , ut AG ad peripheriam PFGR. Sed ut est AG ad peripheriam PFGRI ita est AD ad peripheriam totius circuli LE O V peripheria PI Gasimilem ex Pappo citato. Ergo tres lineae, Ac in O, circuli totius LEO V peripheria sunt continue proportionales. Vertim per Prop. 3o Coroll. tres etiam lineae A C, AO vcla L, iecta AD per tangetem OD abscissa, ni continu proportionales. Clim ergo in utraq; serie trium proportionalium duae priores AC, A O sint aequales erit etiam tertia tertiae aequalis: erit scilicet circuserentia LEO V aequalis reactat AD qua tangens in O Quadratricem absc ndit ex Axe producto. Haec est prima Propositionis pars: qua statuta, secunda est manifesta: scilicet rectas AB, AD;quarum illa a tangete VB Helicem abscinditur; haec vero ab Otangente Quadratricem in O , esse inter se aequales. AEqualis namque est utraque toti circuli L E O V circunferentiae;prior quidcm AB,ut probat Archimedes citata Prop. a posterior vero AD ut hie est ostensiue demonstratum. Quarto. Radius AG ad Quadratricem diaetiis esse potest huius modi, ut generantem Quadratricis diametrum, siue radium Helicis primarium Aa, in quo prima eius periodus terminatur,excedat quo fit ut circulus centro A per o descriptus connatam clicem Ad secet in V vltra primam eius periodum in T absolutam in secunda ab eodem puncto T inchoata. Tunc autem nihilominus iuxta Archimedem linea recta Vi tangen, Helicem in V abscindet rectam lineam ex ea,quae principium spira: A ducitur perpendicularis ad radium AV, quilis cst AB: quae sit aequalis arcu cum tota circunserentia
E O L, siue, quod idcm est circunserentiae L VIDIV Parcu L Vrepetito. Huic autem eidem circularerentiae assero aequalem etiam esse lineam A in quam linea GD Quadratricem in O tanguns abscinderet ex producto Axerat iuxta Propositionem. Quod non aliter probatur, quam alij supcriores casus hoc modo.
Centro A peria, in quo radius A O spiram secat circulus destribatur
284쪽
ri , radium verbΑ Helicis in R. Est ergo veHelicis radius G ad alterum eiusdem radium ita arcus L E a radio G producto abscissus ex tota
culi per tae- scripti,ad arcum LV cum tota circuteretia per Prop. Is Archimedis de spirali Vel per Prop. 41 superiorem; iuxta quam itasunt etiam inter se iidem arcus L TO, V cuma ea circunferentist ut inter se sunt Applicatam S, radius AD, veibidem declaratum est. Quo posito Argumentationem superiorem in aliis casibus usurpatam resumere licet huiusmodi. Sagitta AC ita est per Prop. 3 3 ad applicatam Δ, siue ad Helicis radium A G, ut AG ad arcum P FG. Sed ut AG ad arcum PFGι ita est A O ad arcum arcui P FG similem UE O, ut ex Pappo Prop. D. Lib. I. Collin. deducitur. Ergo aest AC ad AGι ut A ad arcum L E O. Et permutando. Ita est AC ad A o ut AG ad arcum L E O. Sed arcus L EG aequalis est arcu PF a composito
ex tota circunferentia arcus P crepetito per Prop. 34. Ergo per
Prop.9. Lib. s. Elem ita est AC ad Ao ut AG ad periphetiam PF G R. Sed per Prop. Pappi citatam, e est AG ad peripheriam PFG R ita est AO ad peripheriam similem LEO V compositam
ex tota circunserentiati arcu L V. Ergo tres lineae A C. O, arcus LEO V sunt continue proportionales. Continue autem proportionales etiam sunt lineae tres Aa, AO,N recta AD a tangente in
o Quadratricem abscissa ex producto Axe A C. per Prop. 3o C rest. Ergo per Prop.9. Lib. s. Elem aequales sunt inter se recta A D& arcus LEON: quae est prima Propositionis pars. Vnde secunda, qua asseritur rectamam abscissam a tangente Hilicem in V, aequalem esse tectae AD abscissae a tangente Quadratricem in , euadie manifesta.
285쪽
manifesta. Hoc ergo etiam in caIu, in quo radius Am supponitur maior generant Quadratricis diametro, eius tamen dupla minor, vera est Propositio. At si xo fuerit diametro generante dupla, tripla &c praeci sc maior; Quid concludendum videtur casu sequenti quinto illinaci manifestum fiet. -- Quinto itaque casu, in quo radius diametrum Quadratricis genCrantem , siue generantem spirae ra
tinere supponi Lur, non minus quam D praecedentibus ex- .. positis casibus vera est Propositio Ce
tum scilicet esti consule schema casus tertῆ,4 in eo suppone spiram absolutis duabus c. periodis, ad radium primarium esse regre ita radiumque ipsum Assi, qui aequalis est radio AD Quadratricis esse duplum , triplum c. generantis diametri Quadratricis. Certum inquam, est eo in casu rectam, quae in O Quadratricem tangit, abscindere ex producto Axes C reetam A D aequalem duplae, Diplae&c peripheriae totius circuli per o descripti; uno verbo, toties sumptae, quoties x radius Quadratricis continet generantem qius diametrum. Cui peripheriae duplae, triplae&c est aequalis recta, quae a recta V B Helicem tangens in V post duas tres C. periodos abicinditur ex recta AB ad radium N perpendiculari , ut asserie Archimedes Prop. s.cuius Assertioni demonstratio euadet tibi aper- tussima si in humate praecedentis catus quarti concipias arcum LVinii est excessus peripheriae LVEO V supra peripheriam circuli
L EO L ita promotum e sic, ut emenso toto circuitu Axem A L acti- perit, absoluta scilicet secunda circulatione, cuius in eo schemate arcus illa L V, inirium tantum est: eadem enim ratiocinatio, eisdem -q te verbis concepta institui poterit siue arcus L in medio cursuperiodi secundae serit, ut in casu quarto contingit, siue ad ultimam
286쪽
metam L pervencrite menso circulo secundo Qtiod quanquam clarusit ne quid hac in celebri Quadratricis cum Helice collatione, persit obscuritatis: accipe paucis casuum superiorum huic appliciuam demo stratione ex schemate casus tertii in quo suppono iam puncta Ysse terminii secundae periodi; radiumque Ao, vel x et aequitem,esse du-ptu diametri genorantis Quadratricis, sicut d Hri cis radi primarij.
Sagitta ACcst ad radium A G aequalem Applicatae ut A Gest ad arcu mi FG hic etiam si in tertio casu , ad seruandam eandem demonstrationis formam idem punctiim duplici charactere notari necesse est , Sed ut Ac est ad arcu mi FG , ita est AD ad arcum sit milem L E O. Ergo ita cst sagitta AC ad A a ut AD ad arcum L EO. Et pei mutando. Ita est Sagitta AC ad AO ut radius AG ad arcum L EO. Sed arcus LE Oaequalis est arcu PFGR, si tamen arcus ille qui est tota circuli periphcria his sumatur , ut seni. cet ita se habeat semidiameter x circuli PT GA ad semidiametrum circuli LE O , ut reciprocede habet angulus L AD ad angulum , qui
quatuor rectos tot circunferentiae circulii FG R insistentes, bis contatinet; sicut ΑΟ, siue AL, aut A V bis continere supponitur in hoc casu diametrum Quadratricis generantem , me Helicis radium primarium diametro illi aequalem intereulse infra e memoria exciderunt, qua in hane rem Prop. 37 explanata sunt Arcus ergo LE O tot circumferentaei Ra bis sumptae est Hic aequalis per Prop. 33. ad hanc
circumferentiam ita se habet radius A G , vile habet ad arci im LE OVt autem A G se habebat ad arcum L EG ita se habebat A C ad AO. Ergo ita est A C ad A AG ad peripheriam FGRbis sumptam. Sed ut AG ad peripheriam FG bis sumptam; ita se habet AO ad peripheriam circuli LEO V similem bis sum
piam. Sunt ergo tres lineae Aa AO 6 circumferentia USO Vbi sumpta continue proportionales. Sed per Prop. 3o Coroll. sunt etiam continue proportionales A C in siue A L .recta A D. quam in Axe abscindit linea O Quadratricem tangens in O Ergo per Prop. 9. Lib. . Elem aequales sunt peripheria bis sumpta LEO V, ωrecta Amri atque adeo recta AD aequalis erit rectae A B definitae per tangentem V B Helicem in puncto quam probat Archim eidem circumferentiae L E Os bis sumptae aequalem. Eodem modo ratiocinabere si radius A O tribus, quatuor de diametris generantibus constet atque adeo circulus per o descriptus Helicem secet in punctos ultimo tertiae quartae c. periodi, siue reuolutionis. Semper enim tam recti dia tangente Helicem quam
287쪽
too Lib. I II. Dest uadratrice.
Et AD tangente Quadratricem determinatae, aequales erunt sim gulae .eircumserentiae circuli L E O V toties rumptae quoties eius semidiameter Ao diametrum generantem Quadratricis continebit, vel, quod in idem recidit, quot periodos Helix absoluerit singulis enim periodis, quae in Axe Quadratricis A C producto terminantur, punctum mobile Helicem de se libens percurrit radium primarium, qui connatae Quadratricis diametro generanti est aequalis. Quod si radius A O Quadratrici, diametrum eiusdem non praecise contineat, patet ex casu quarto, quid ii quomodo concludendum sit. Quicunque ergo casus proponatur, c quisquis radius A O Quadratricis ducatur, aut quisquis circulus Quadratricem in quovis puncto O secans describatur Lostensiue demonstratum est tangentem Quadratricem in puncto sectionis, reetam lineam in Axe abscindere circuli descripti circumserentiae varie iuxta varios casus expositos commensuratam eique aequalem in Helice, quod fidem superet, exhiberi: s quo in puncto Helicemsecat idem circulus, duceretur linea ipsam contingens. Quare tandem si connatae Quadratrix, Melix descriptae sint c. Quod erat demonstrandum.
Ex proxima,aliisque aliquot Prop.
luperior sese prodit summa illa Heis licis connatae Quadratricis con uenientia, symbolietatio tanta, Ut
situ discrepantibus suos illos sane mirabiles effectus pr ducere natae snt.
in figura 37. mstar omnium' eaequalibus utriusque positis radiis, AO Quadratricis,in Helicis aequales rectae lineae A D. B inter se, aequales eidem peripheriae circulari LEO Vabscindantur a rectis curuas illas tangentibus ad extrema radiorum
Puncta Oi V. Ecce, ut Quadratticis Applicata qualibet Lex quoli
288쪽
quolibet Quadratricis punctoo ad Axem perpendicula ineae insistens aequalis sit Helicis radio Α G. ab Helice intercepto in Quadratricis radio illo, qui ex centro A ad punctum o adiungitur, unde Applicata deo S deducta est. Ecce ut eadem sit ratio Applicatae ori ad Quadratricis radium A O iac Helicis radij AG ad eiusdem Helicis radium Α , siue semidiametrum circuli centro A per Odescripti, ScHelicem secantis in V quae est arcus LEO ad arcum L Eos circulo
toto vel maiorem,vel minorem,vel ei aequalem,ut in variorum casuum
schematibus superioribus explicatum est praesertim casu quarto Pr positionis 4s in duo arcus L EO V excedit peripheriam totius circuli Eoi arcu replicato LV , sicut radius Ao, aut A V excedit generantem Quadratricis diametrum rem AY, primarium Helicis radium qui diametro Quadratricis generant aequalis esto recta Alaequali ostensa rectae ΑY. His aliae similes harum linearum conumnientiae, si accurati is eas scrutari iuberet, obseruarentur. Ne porro mirere tantam hasce inter lineas smilitudinem intercedere Germanae sunt sorores iisdem ambae parentibus progenitae. Vtraque siquidem, ut ex utriusque generatione patet, producitur , dum idem ei culi radius eius ad centrum haerente puncto conuertitur Dium, ut fingatur Helix, radium illum decurrit punctum mobile, at, ut Quadratrix generetur, linea Axi parallelaeodem temporis spatione diametrum generantem fertur, radiumque conuersum perpetuo secat: ut non inepte Helicem vocaveris Quadratricem collectam,Quadratricem autem, expansam Helicem.
DVcto ad quodlibet Quadratricis punctum O radio AO:
ductaque ad idem punctum tangente, quae producto Axi occurrat in D si a puncto D ducatur perpendicularis D ad radium A O. Dico rectam illam D Q perpendicularem AD, aequalem esse arcui Leto circuli centro A per Odescripti inter radium AD, axem A L intercepto.
289쪽
V. Erit per Prop. 48. recta AD in Axea tangente OD absci Lia, aequalis arcui L EO V i eritque praeterin ea per Prop. 38 radius
O Quadratricis adspirae radium A G sue ad Applicatam os per Prop. o. radio AG aequalem it arcus L E O V ad arcum LE O. Sed ut radius Aoad Applicatam O, ita est AD ad rectam sunt enim duo triangula AOS ADQ aequiangula propter angulos duos rectos aequales, aequales item duos SAO, AD ad verticem Sed AD aequalis est per Prop. 8 arcu LEO V. Ergo per Prop. 4. Lib. 1. Elem Dra aequalis erit arcui L EO. Ergo ducto ad quodlibet Quadratricis &c. Quod erat probandum.
In eodem schemate centro A per Quadratricis verticem C circulus describatur secans inri&I radios AG, A melicis. Quia igitur per Prop. i. radius A V aequalis est arcu CZPue radius autem G aequalis arcui et Ita erit arcus CZ P ad arcum ari ut radiusAV ad radium A a, siue ut radius A O Quadratricis ad OG Applicatam aequales siquidem sunt AOAV, dc AG, O per Prop. o. Sed ut AO ad OS; ita est AD ad in Ergo ita est AD ad D. ivt arcus et Pad arcum Q. Sed ut arcuba P ad arcum ara, ita est arcus LEO V ad arcum L EO. Ergo ita est AD ad D Q vi arcus LEO V ad arcum L EO. Sed arcus LEO V cst aequalis rectae AD per Prop. 8. Ergo recta Dinaequalis est arcu LEO. Quod
ΡROPOSITIO a Theorema. IIsdem positis Centro scilicet A descripto circulo CIZper Quadratricis verticem C: circulo item OV qui Quadratricem secet in O, NHelicem in V, ad quae puncta raditeducantur AD, A V duci vero concipiantur tangentes tum Quadratricem, ut O D, tum Helicem, ut liquarum illa
290쪽
illa ab se indet ex Axe rectam AD aequalem arcui LO V haec vero eidem arcui aequalem Assi ex recta AB ad radium A perpendiculati Tum ducatur ex puncto O ad verticem CQuadratricis recita C;&ex puncto; recta ad punctum , in quo circulus C IZ secatur a tecta AB ad radium A perpendiculari.
Dico duo fieri triangula A O C, A VI duobus triangulis AOD A Ui similia.
roll. Ita est Sagitta AC ad AOι, AO ad A D. Duo ergo triangula AO AOD
habent duo latera AC, O duobus lateribus AO, A circa eundem angulum C A C.
aequiangula semper Prop. 6 Lib. 6. Elem atque adeo similia. Quia vero radius A V aequalis est radio Ao i item A sagittae A C ac denique AB aequalis rectaea Dci erunt etiam tres rectae Al. V in BContinue proportionales: eruque t AI latus Trianguli A VI ad eius. Lm latus ΑW; ita latus ΑV trianguli AVB, ad AB eiusdem trianguli latus. Ergo haec duo etiam triangula AVI, AVB per citatam Prop.sunt similia. Quare iisdcm,c. Quod erat probandum.
Ex huius Prop. Dc monstratione colpigere licet, si nota habeatur Quadratricis sagitta Ac notum haberi anguliam; qui ad radium tum Quadratricis tum spirae a tangentibus constituitur. Cum enim ostensum sit triangulum ADC triangulo AO D esse aequiangulum erit utique angulus A CD angulo AG D ad radium AO tange uteo D constituto aequalis AEqualis itidem erit angulus IV angulo AN B, quem pirae radius rapiram tangens v continent. Vnde praeterea sequitur euidenter quod etiam ex praecedentibus Propositionibus euidenter licet obseruare in data altera atrius harum curuarum tangent alterius tangeniem dari. Habes etiam ductis in diagram