장음표시 사용
291쪽
male lineis L, ωVE; tam angulum CODquὶm angulum IVBbifariam diuisum iri per Prop. s. serent enim Triangula AOL, V Eusos lia, uineae tres, AI, A V siue ΑΕ, continue
proportionalec; sicut continue proportionales sunt A siue AL, ωAD illae enim tres his tribus sunt aequales. Quo deinceps fit, ut Co ita se habeat ad tangentem QuadratricisDDι ut IV uehabet ad spirae tangentem V B per Prop.6. lib. 6. Elem. M permutando. Vt CO MI V, ita tangens OD ad tangentem V B. Quae alia non pauca vel hactenus exposita,vel reponenda deinceps aditum aliquem ad lineae rectae circulari aequalis inuestigationem aperire posse videntur; sin minus, certe methodum exhibent illud ipsum praestandi qua
nec iucundior, nec elegantior, nec tutior, nec praecisior innotescere potest. Hactenus varia tam circulares, tum recta lineas, vel ad Matricisgenerationem comparatas, vel ex e dem genitas prosecurus sum. dii iam nam Matu sum, ut spero, non ingrata , qua ad superficiem
pROPOSITIO TI. Theorema. SI fuerit triangulum rectangulum C AF cuius unum latus Ac circa angulum rectum, fuerit aequale radiora D
sectoris cuiusvis D A E alterum vero eius latus AF circa eundem angulum, aequale ruerit arcui D CE eiusdem sectoris.
Dico triangulum illud CA , aequale esse ipsi sectori DAE.
Sit recta AG aequalis semiperipheriae circularissi CE, iungatur ractam G. Erit triangulum C AG aequale semicirculo CE. Nait demonstrat Archim. Prop. I. Lib. de dimensare triangulum rectangulum cuius unum ,
tus circa angulum rectum est circuli radius, alterum vero est toti circulo. Ergo si alterum latus circa angulum rectum suerit semici. culi
292쪽
circuli circunferentia, erit triangulum illud aequale semicirculo per Prop. i. Lib.6. Elem sunt enim duo illa triangula, quorum cadem est altitudo, ita inter se ut bases basis autem unius, alterius cst baseos
dupla. Quod cum ita sit ita crit triangulum C AG ad triangulum C AS ut basis A Gad basim AT per Prop. i. Lib. 6. Elem hoc est. ut semicirculit C E peripheria, ad periphuriam DC sectoris D ΑΚ Sed ut semicirculi BC E periphcria ad sectoris peripheriam cssi, ita est per Prop. 3 3. Lib. 6. Elem ipse semicirculus B CE, siue semicirculo aequale triangulum C AG ad sectorem D A E. Ergo cum triangulum C AG eandem habeat rationem ad triangulum C AF i ad sectorem Dassi erit per Prop. . Lib. s. Gel triangulum C AB aequale sectori D AE. Quare si fuerit trianguluminc. Quod erat
In figura Prop. 48 in qua sese
Quid ratrix H lixque mutuo tangunt, ducitur recta Om utramque tangens in O Λ per Prop. 8 ab hac tangente abscinditur recta A B, vel AD aequalis arcui LEO. Ergon per hanc Prop. triangulum rectan
gulum a B, sectori 'ia H. a hic est Quadrans circuli aequale
el Quia ver si centro A per Quadratricis verticem C circulus CGF describatu arcus CGF aequalis est radio AO Helicis per Prop4I. eodem iure triangulum rectangulum AO, euius unum latus A C circa angulum rectum, est radius sectoris Fin C i alterum vero AD, est aequale eiusdem sectoris peripheriae Raa aequale erie sectori Data Sed praestat uniuersale heorema in hunc modum proponere, quod se floribus omnibus conueniat. Hunc tamen, qui solus a Quadratricis Auctoribus obseruabatur, placuit sigillatim d
293쪽
Lib. III. De guadratrice. PROPOSITIO LII. Theorema. REsumptis quae in schemate Propositionis 4s constituta
sunt centro cilicet A Quadiatricis descripto circulo O EI; qui ipsim in O , eiusdem vero Axem in L secet: d cta item linea OD, quae Qusdratricem tangat in O , Axi autem occurrat in D: per quod punctum deducatur ad radium x etiam ultra xcum opus fuerit, ut hic contingit, productum perpendicularis D Dico triangulum Aram aequale esse sectori A O E L.
radius A arcino Ei eiusque altitudo siti quae per Prop.69. aequalis est arcui OEL erit per Prop. proXime
gulum illud AOD aequale sectori AD EI Quod erat demonstrandum.
Si in eadem figura duci concipiatur arundi O ad Q - , dratricis verti cc Crecta et ut reipsa in figura proposirionis Io hic repetita ducta estri eri triangulum
294쪽
sed sector AZ C ad sectorem similem AO habet etiam rationem duplicatam radiLA C ad radium AD. Ergo ita est triangulum AOC ad triangulum AOD, ut sector AZ C ad sec torem AOL. Cum isaque triangulum A OD aequale sit ostensum sectori A Oit etiam triangultun AD C aequale erit sectori A Z Q Quod idem eade trimethodo probari potest, qua probata est haec Prop. Nam ducta OS ad Axem perpendicularis est arcui et aequalis per Prop. 3 6. Cum ergo trianguli A O C altitudo O S aequalis sit arcui Cet , si que eius eadius Ac basis trianguli Lerit per Prop. si . triangulum AOC aequale se i AZQ
PROPOSITIO LII a Theorema. SI ex centro Quid trici A circulus describatur ipsam in
O secans: Lad idem punctum linea eam tangens api tur, quae Axi occurrat in D: A puncto vero D linea quaelibet D Iducatur ad Quadratricem:&ad idem punctum I radiusAI destinetur qui circulum primo descriptum secet in F. Dico sectorem in L aequalem esse triangulo AI D: quod ex abscisso Axe x a tangente, radio Ad Quadratricis, lineaque D I constituitur.
si lubet, Quadratrici connata Helix, quam radius Aa secet in V, radius verba O secet in Z. Constat in primis per Prop. vi triangulum A OD aequale esse eetori O A L. Quia verb duo triangula O , AI eandem sertita sunt basima D: ita erunt inter se, veipsorum altitudines O G IB. Com ergo ex is Quadratricis gene- r,tione, ut Applicata OG est ad Applicatam Ist ita sit angulus O ALN ad
295쪽
ad angulum FAL aut etiam, si spira describatur, ita sit angulus OALa d angulum Fri Ut ut radius Aet est ad radium ΑΝ est enim xadius Aet Applicatae OG vi radius A WApplicataea B aequalis per Prop. o. autem est angulus O A L ad angulum P ita est per Prop. 33. Lib.6. Elem. sector O Ladsectorem FAL. Ergo ita est triangulum ADt ad AI triangulum o sector Oin ad sectorem FAL. Sed sector O A L aequalis est triangulo A O D. Ergo sector AL aequalis quoque est triangulo AI per Prop. 4. Lib. s.
Elem. Itaque. Si ex centro Quadratricis Acirculus&c. Quod erat demonstrandum.
Cum linea Quadratricem secans eam diuersis duobus in punctis necessario secet ut lineam DEPindrussi ipsam secare constat ductis radiis AI, AS sectores abscindunt a L, TA L quorum ille aequalis est per hanc Prop. triangulo AI ui hic ver,triangulo ASD. Hinc fit ut triangulum A SI aequale si sectoria A T. Si enim ex triangulo A4 , desectore Fa L aequalibus demantur aequalia,nempe triangulum A SD M sector AL reliquum triangulum ASI reliquo lectoria Aa aequale eis necesse est. Constat praeterea tria gulum totum AID, in duo triangula ASI ASD diuidi proportionaliter , ut arcus Fa tali diuiditur linea cnim I D quae est basis triangulorum rita secatur in S, ut constabit per Prop. 64 ut arcus FI Lsecatur in T.
IN Axe Quadratricis assignato quovis puncto ultra eius
verticem rectam lineam speculati uc , qua Quadratricem
tangat, ex eo ducere. Conctructio.
Sit descriptae Quadratricis Axis AC, eiusdem vertex Ctvltra quem in Axe producto assignetur punctum D: ex quo ad Quadratricem linea duci de ar, quae ipsam tangata Inter sagittam AC & rectam A D media proportionalis inueniatur A L. Tum centro A per L circulus describatur , qui Quadratricem siccet in O. Denique iungatur recta D O. Dico rectam D O , Quadratricem tangere in puncto . Demonistratio. Si negetur recta OD Quadratridem in O tangere alia,quae ipsam i Diuitigod by COO le
296쪽
in tangeret duci posset: eaque Axi occurreret vel citra vel ultra D, ut in P 4. abscissa Al foret per Cor. Prop. 3o duabus lineis AC, Aitertia proportionalis. Sed eisdcm duabus lineis Aa, At, recta A est tertia proportionalis inuenta siquidem est A media proportionalis inter A Cia D. Ergo aequales sunt AD AP. Quod est absurdum. Recta igitur D tangit Quadratricem. Quod quae
PROPOSITIO TU Problema. IN Axe Quadratricis assumpta trianguli bas qualibet, quae
sit sagitta laadiati icis maior eiusque Trianguli angulus bas oppositus ad Quadiatricem statuatur Sectorem circuli Triangulo illi aequalem reperire.
Axe Quadra tricis assignata,maior elusidem amita AC sit verbangulus Iaasi oppositus ad Quadratricis punctum I. Statuatur rectam O Quadratricem in O contingens. Tum centro A per O circulus descrioaitur secans in F latus Aa trianguli etiam productum, si opus sit. Dico huius circuli sectorem Aiab Axe A LΛ trianguli AID latere AI producto comprehensum aequalem esse dato triangulo AID.
Cum enim recta OD Quadratricem tangat in G, Axique occurrat in D, unde ad Quadratricem ducitur recta Di erit per Prop. 3. tria illum quaequale sectoria A L. Dato itaque triangulo, cuius basis et pars Axisin D maior sagitta Ac, tangulus I basi oppositus est ad Quadratricem aequalis est inuentus sector FAL qui inuenien
297쪽
PROPOSITIO AEVI. Theorema. SI ex Helicis principio Acirculus describatur ipsam in
secans,, ad punctum Oducatur tum radius Ao, tum Helicem tangens linea O qua: occurrat in D rectae Am ad radium KO perpendiculari ducatur autem alius quicunque radius AI, qui circulum primo descriptum secet in F. Tum in recta AH, quae sit ad radium Aa perpendicula is, sumaturA H aequalis rectar Am4 ac demum iungatur I H. Dico Triangulum AI Haequale esse sectori in , quem Axis KL,de radius A I complectuntur.
Quae proximis Pro positionibus circa Quadratricem demonstrata sunt eadem , aut similia Helici plane conueniunt i ut in his etiam Hiluanta sit harum dua
liceat intueri. Sic ergo propos tum Theorema
concludo. Cum recta OD supponatur spiram tangero in O erit AD recta aequalis arcui LFO per Prop. 48., per Prop. a. triangulum AOD aequale erit secto io L. Quia vero triangnium AIH basim habet A H aequalem basi, A D trianguli A O in ita erunt inter se duo haec triangula per Prop. i. Lib. 6. Elem ut inter se sunt eorum altitudines, hoc est, ut inter te sunt radij duo AO, A Chi enim radii eum sint ad bases AD, AH perpendiculares, illorum triangulorum sunt altitudines in L per Prop. i . Archim de spira vel Prop. 38 huius, se habet radius AO ad radium Aa ita se habet angulus A L ad anguium ΑL,siue arcus DFL ad arcum FL.Sed ut arcus OFL;ad arcum FL ita est per Prop. 34.Lib. 6. Elem sector OAL ad sectorem FAL EGgo ita est triangulum AOD, ad triangulum I A Hi, sector O ALad sectorem FAL. Sed sector O A L aequalis est triangulo AOD. Ergo per Prop. 4. Lib. I. Elem triangulum Ad aequale erit sectorinjuitigodi c
298쪽
sectori FAL. Quare si ex principio A Helicis M. Quod demon
Post tot eisque tam gulares curua huius nostra exposita facultates
nihil in ea non exhaustum superesse merito censeri poterat. Et veri totius huius contemplationis exitum appetebam,cum derepente mentemsubiit egitatio quadampostremis hisce meis Propostitionibus a me demonstrata fuisse Theoremataci inter quae, se quaedam a Ioanne Dela Age Societatis nostris Geometra non vulgari demonstrata, in poculo sane aureo, veriumque ae s-lidam Geometriampraeseserente de centro grauitatis partium Circtili OEPipsis intercederet similitudo quaspessere aliqui, ad hane etiam tetragonismi ni estigandi methodum per staticem, facultates ab hae Lined, quando tam inaudita exhibere soleret, profecturas. iuga vanaene an v rasretpenitiὸ cognoscendi cupiditate incensus ad eam denu excutiendam acriter animum adieci nee sine contentionis, operaeque pretio. Dum enim mentis aciem ad singula nuper flabilita Theoremata conuerto, Ingula fert stro ecce primum intermicans quaedam species occurrit quae lacessensim perfusa copiosiore, euidentisime tandem cum non mediocri mea voluptate , nec admiratione minori demonstrat nullam circuli, aut sectorem, aut se gmentum exhiberiposse , cuius grauitatis centrum rimpendiaria planaeque methodo assignare nata musis Euadratrix. Eoo quomodo possit absolui statim exponam υbi paucis de centrograuium, quando in eius mentionem incidi disseruer , totiusqueflaticessundamentum obiter uero contempla tus. Et si enim ad rem meam, cui plusquam satis es, hactenus admissi, in ea disciplina nitatur, ea tractio minime necessaria videatur: quia tamen non multis ante annis grauissima circa Principium, quo motricium potentiarum toti que Mechahices mirabiles essectus demonis ri solent orta est, necdum dirempta disceptatio ; non aliena ab institutosuerit breuis digre is, qua nonnulia exponam, qua olim ante annos plusquam triginta, dum M
thesm praelegerem, Auditoribus tradidi ex quibus aliquidserta o Iutispr.- fecturum si ea enim viris non imperitis memini non displicuisse' quo nodis hic flationem nancisci facilius simum in possit. Est autem huiusmodi.r Asserit Mechantee Parens Archi
medes Lib. I. Prop. 6 de AEquiponderantilus Sidua graues magnitudines G errita in libra a appendant1Ar: ut quam rationem habet grauit.t G
299쪽
1 o . Lib. III. Desuadratrite.
adgrauitatem Leam reciproce habeat distantia Cissensionisgraia Mora punctosirmitudinis C, ad distantiam C A ab eodemsirmitudinis paxm C suspensionis grauitatis G tunc Libram AB insitu dat conquiescere almiai
utrimque pressu ad aquilibrium determinatam.
Hane Assertionem non est, qui ut verissimam est quotidiana experientia eomprobatam non admittat sed astatam ab eius Auihore probationem haud perinde censent omnes veram huius aquilibri causam assignare. Defect hune obseruauit primus, ct exposuit eruditissim in opusulo reliquis eius operibus non absimili cui Noua de Machim Philosophia nomen dedit. ynν grauissimus est tum omnium disciplinarum, tum Matheseos in primis facultate excultismus R. P. Nicolaus Zuchius e Societate no Zνά, in Romano
eostegi Olim Professor Mathematices, de qua tam bene, quam qui ptime postea meritus est editis in opticam Philosophiam inter cura grauissimas doctissimis lucubrationibus. Hic itaque cam nou tantivm quid, qu mve Leaa-fam in Archimede ratiocinatione minas probaret, exposuisset; sed etiam Pristipiam explicasset unde aequiponderationis illius ratio peti debere ipsi videreiar eius sententiam amplexisuo aliquot non imperiri Geometra: nee tamen defuere iij, qui Archimedeis Placitis sibi inhaerendum enserent. V riusque partis rationes, obiectisque utrimque di aliates hie exponi non patitur breuis ab instituto digressior cui vispera finem non ante imponam, quam lucis alis, id ad huius quum Araxis, tam iucunda disceptrito-Missolutionem tuendam ex ea coluctum fuerit Euod eonsequar faci- Las , pauca praemitto praenoscenda seruat Propositionum serie.
pROPOSITIO VII. Thiarem a. CViusuis. magnitudinis grauis, grauitatis quoddam cen
Expositio. Magnitudinis grauis nomine non sollim tertia quantitatis species, solidum scilicet quodlibet grauitate donatum , sed etiam prima ,secunda, hoc est, lineavi superficies, intelligenda venit. Licet enim quantitates huiusmodi a solida quantitate separatae nequeant reperiri: concipi tamen eas nihil vetat, deque ita conceptis varia demonstrari. Asseritur itaque hic quamlibet quantitatem grauitate donari posses quid obstat 3 .grauitate donatam, centrum quoddam nancisci grauitatis suae, hoc est, punctum quoddam medium, unde aequalis undique effundatur grauitas vel, si mauis, per quod secta plano aliquo
300쪽
ad libitum grauἰ quantitas, in duas partes semper aequales diuidatur. Hic et Lenim huius vocis centri vis quae a circulo i, parra mutuata ad caeteras quascunque quantitates transata est. Dixi plano secari debere grauem quantitatem, etiamsi fuerit superficies ne alioqui saeupius sequeretur partes tum quantitatis, tum grauitatis ex sectione alitem quam per planum facta genitas esse inaequales, licet per medium illud punctum quantitas grauis diuideretur. His declaratis in quolibet graui grauitatis centrum , idque unicum dari probo. Denim traim. Centrum huiusmodi grauitatis in quolibet graui dari tarii euidenacensuit Archimedes, wreliqui deinceps ut eo sup sito eius definitionem tantum tradiderint. Nihilominus,ut omnis hac de re dubitan . di ratio praescindatur, id ita confirmare licebit omne graue, sitratiquo impedimento exiri invio prohibeatur, toto nisu ad centruin grauium, quod idem centrum est uniuersi , contendit; illudque occupat, de in eo, dum aequalis undique grauitas urget conquiescit. hae quies nullatenus stabiliri potest nisi medium aliquod grauitatis illius punctii centro grauium aptetur,ac undequaque aequaliter prematur, ac in eo cohibeatur: Quo praeterea fit, ut unicum possit esse medium illud grauitatis puncturari si enim duplex forer, grauius ex parte alie ius illius me dij puncti pondus incumbe et, & conuelleret consistentiam. Atque haud scio an aliud dari possit argumentum quo confici in qualibet figurra, siue superficierum cuiusuis generis, siue solidorum, reperiri punctum quoddam medium figurae totius, quod proinde centrum figurae dicatur, ut reperiri vulgo supponitur. Quis enim facile sibi persuadeat in figuris irregularissimis siue secundae sue
tertiae specie quantitatis tale dari earum quantitatis centrum' At dari nemo non agnosceretndenter, si figuram quamlibet grauitate aequaliter fusa constare δε centrui uniuersi occupare Hipponat. Cuni cnim tunc centrum grata itatis figurae centro vhiuersi coaptetur non tantum ingrauitate centrum dari concludetum sed etiam centrum figurae. quantitatis, quandoquidem grauitas unissirmiter quantitatem comitatus. Sed hoc oluter ex data occasione. Nunc ad rem . Clim igitur quantitas quaelibet grauis incentro grauium posita centro potiatum quis extra illud eam centro carere iure dicat Ergo cui unis magnitudinis grauis &c. Quod erat probandum.