장음표시 사용
301쪽
io Lib. II. Dest uadratine. pROPOSITIO et VIII. Theorema. S grauis magnitudinis centrum, vel suspendatur, vel su
stentetur datum quemlibet situm ab extiri seco agente,sdeliter conseruabit magnitudo.
Sit lineae grauis AB idem esto de superfi-II cie , idcm de solido iudiciun hcentrum grauitatis a quod vel suspendatur linea pendulan CF , vel subiecta firma linea CG sustentetur.
Probandum est eam quemlibet situm datum, aut Horimnii parallelum, ut AB, aut ad Horizontem obliquum , via D admissuram, .conseruaturam. Cum enim aequalis sit utrimque grauitas, quae aequali utrimque nisu ad centrumgrauium sertur: quouis in situ sive AB,si ueli statuatue data grauis linea;dicendum omnino est eam in dato situ permansuram nullum enim est motus aliud principium intrinsecum, nisi grauitas binc,quam inde,maiorue Quod foret contra suppositionem,cum aponatur grauitatis centrum, utrimque aequali grauitate pressum. Quare. Si grauis magnitudinis &c. Quod erat probandum.
PROPOSITIO LIX. Theorema per-i gne.
Si duo inaequalia pondera X, , iugo cuipiam RS appen
dantur: quod in ita secetur, ut eadem ratio sit partis TS ad partem TR quae eit reciproce ponderis X ad Mappensi, ad pondus Tappensum ad S. Dico. Si iugum in puncto , vel pendula linea et Q. spendatur, vel Ermanc sustentetur, duo pondera aequi ponderare iugum RE, datum quemcunque situm obserua
Per insigne, inquam, est hoc Theorema, ut pote quod fundamentum complectatur totius statices:cviusquam-i uda sit contempLatio, Constat
302쪽
facultatum tractatione aquam vero toti Geometriae utilis,vix.potest enarrari.Consule Antoni,Lalo uerae e Societate nostra Elementa Tetragonismica, Cycloidica in quibus non sine voluptate, admiratione obteruabis, quam multa, inauditatum Problemata Vir eru- .dissimus ex statica hausistit, demonstrarit facillima, aeque ac breuissima methodo quorum pauca alij quidam non vulgares Geometrae vix tandem alia ins sten tes via demonstrare potuerunt. Quia verb et siue insigne Theo rem hoc tam obscure traditum magni nominis Geometris visum est, ut supra memini, ut si minus de eius veritate dubitarint eius tamen probationem non ut legitimam admitti posse rati, aliam excogitarint: aliam, ipse meditatus sum quae Principio per se notissimo niti videtur. Hac autem eget constructione.
Lineam quandam gravem homogeneae grauitatis assumo AB. Qua diuisa bifariam in C, perpendicularem exciro CD per cuius punctum quod uis lineam duco D E ab ipsammeta perpendicularem, siue lineaeam parallelam. um a puncto F lineam sumo DE quamacunque, dummodb minor sitiemisse Citotius lineae Al sit, exem pli gratia, aequalis rectae CI. Ab eodem vero puneto F sumo FD aequalem reliqitae I B, ita ut tota E sit totius ΑΒ semissi aequalis Aedenique ex punctis Drussi lineas duco D H, EI ad Am perpendicu
Hac absoluta constriactione. Manifestum est reclam HI aequa lem esse semissi totius Α B est enim H in Rectangulo D aequa lis rectae E quae posita est aequalis rectae C B. Ergo duae reliquae partes in , IB totius Aa, simul sumptae sunt etiam totius Assi sermissis. Quod si sumatur H G aequalis rectae HA, reliquam GI aequalem esse necesse est rectae I B: haec enim una cum recham G aequalis est semissi H I totius Ali atque ita tam A G, quam aB bifariam di uiduntur illa in re, haec in I alineis H, EI. Ergo per Prop. d.
Lib. 1. Elem ita se habebit H G ad GI; ut illius dupla AG ad huius duplam
303쪽
1 o. Lib. I II De AMadratrice.
duplam B. Sed FE aequalis est rect ae HG,&FD aequalis rei hae G I posita siquidem est F.D aequalis rectae I B, sue I G itaque ex totius AB se lubus aequalibus. E, H I reliqua: FE , H G sunt aequales Ergo iis est EF ad, io AG ad B. His ita declaratis, quibus nihil pertius dici lotest, Propositionus probationem nihilo obscuriorem
Si lineaA B, niformiter grauis ad iugum D E quod omni, grauitate a leuitate carere suppono in appendatur lineis pendiculis D H, Ea i& iugum ipsum D in firmitudinis puncto D, quod grauitatis centco.Ctotius lineae AB perpendiculariter imminet, vel iuspenda tur, vel sustentetur haud dubium quin tam iugum D E, quam linea tota Am consistant. Sustinetur enim ipsum grauitatis lineae Aa cenarrum C mediante linea directionis FG per quam solam labi nata est
tota grauitas Aa donec ad centrum grauium omnium , centrum eius
Cappulerit. Iam cocci plain grauis haec linea. B secari in C , ita ut in eo puncto soluatur eius continuitas. Tuoc partis AG grauitatis centrum erit ει , partis autem alterius Gl centrum erit Iesest enim tam A G in re, quam 2 in I bifariam diuua. Cum ergocentra haec lineis pendulis Dan, E, Ilioeam directionis occupantibus a lapsu prohibeantur in eodem plane situ permanebunt, etsi nunc tantum comtiguae ii quo ante commuMathbsolutumem consstebant, Iugumque ipsum in F suspensum, ve iustenorum, studato in me oletu babitur a pendulis lineis DM, E I. cadem grauitatione, quia ante sectionem lineae Amin G factam, ipsum inlatentibus. Haec ita cum sint. Quid euidentiusquam grauitatem AG ad grauitatem Gi ita se haberes, vi reciproce se habet linea Ff , quae est distantiasti hensionis grauitatis G Ba puncto firmitudinis F,ad lineam ED,sue di stantiam ab eodem firmitudinis puncto suspensionis grauitatis alterius Moe ostensum siquidem est proxime eandem es rationem lineae PE ad lineam FD,4 lineae AG ad GR lineam. At quae ratio est linearum A G, GB,clim grauitas uniformiter diffusa supponatur per totam lineam AI eandem esse rationem grauitatum necesse- est. Quia vero grauis cuiusti bee quantitatis figura nihil in eiu grauitatem inuehere potesti mutationis: loco grauium linearum A G, deos alia quiri ibet cuiusuis figurae quantitas eiusdem cum lineis AGωGBgrauitatis substitui concipiatur Liugum Eeadem, qua prius, grauitatione trimque affectum priorem situm suum tuebitur, scutti quem et alium a gente extrinseco datum auumere, tuerique
304쪽
ratum est. Supponamu ergo, ut ad Hypothesu veniamus, pondus aequale esse ponderi linc gr/uis AG pondus autem aequale grauitati GB nccnon iugum RS Iugo D aequale esse Mutrumque similiter in T, F diuisum , eaque puncta sint in utroque puncta firmiuidinis haud dubium quin Iugum MN aeque ac DE datum quemlibet situm seruare natum sit. Quare ndem certo tutoque concludi potest. Quod si dominaequalia pondera X&Vic. Quod ei at
Habes ergo primum, immediatum , ac per se notissmum Principium aequi ponderantiae duarum grauitatum inaequalium quando earum ratio eadem est cum reciproca ratione distantiarum a puncto firmitudinis suspensionum. Quia scilicet ambarum inaequalium grauitatum X& in allato schemate commune centrum grauitatis tunctantum suspenditur vel sustentatur ut ad aequi ponde tantiam necessarium esto cum reciproca illa ratio ponderum X, distantiarum S, Ma puncto inimitudinis pendularum linearum ST RX obseruatur. Hac enim sublata reciproca ratione, centrum illud commune grauitatum non cohibetur a lapsu, nec proinde post in ipse aequilibrium, aut datum quemlibet situm obseruare Memini porro duarum grauitatum inaequalium aequalibus silentio praetermissis, non quod eadem probatio etiam aequalibus non conueniat sed quia positis grauitatibus aequalibus, ut reciproca ratio ponderum & distantiarum suspensionum seruetur, aequales etiam debent esse distantiae. At eo casti posito Principium est per se notum grauitates aequiponderare: quod Archim. Lib. i. AEqui pond supponit nec de uit Propositioni immisceri quae probatione indigebat. Obserua praeterea etsi lineas pendulas R X, Sa, sicue etiam M. ci aequales statuerim, ut facilius texeretur tota ratiocinatio, breuiusque concluderetur, id tamen non esse necessarium. Sicut enim lineaehniusmodi longiores,i breuiores ad libitum esse possunt absique ponderum imitatione , ita etiam ad arbitrium in*quales inter se . possiant constitui immutat grauitatione ad cuius aequalitatem ser- .uandam satis est, ut in aliquo loco lineae directionis centrum grauita- is referiatur. Ad haec Obserua allatam ponderum inaequalium hanc aequiponderantiam obponderum re distantiatum quibus eorum suspensiones puncto firmitudinis recedunt, reciprocam rationem,non ntum, ad Libram, sed etiam ad vectem eodem inrepertinere. Perinde enimi ε 3 aequili
305쪽
aequilibrium ponderum X statuitur, sue firmitudinis punctum T iugi RS suspendatur linea pendula TZ, ut in Libra contingit i sue, ut vectis exigit, sustentetur suppost hypomochii Tin Vel vehabet schema in Praeparatione demonstrationis constructum, quod ad vectem adhiberi immediate potest aequilibrium seruabit vectis D ta, duabus grauibus lineis A a, Gil vel earum loco duobus ponderibus X, Y oneratus mediantibus pendulis lineis CH , EI: si fulcimento C F lineam directionis occupante sustineatur. Ex eiusdem proximi Theorematis demonstratione ortus est modus motricis potentiae vires in quacunque data ratione per Libram Que,ctem augendis aut potius vires debiliores ad maiorem quam ipsae per se solae possent, essiecto per dictas machinas comparandi. Quid enim pondera, quam motrices quaedam potentiae sunt 3 substitue in superiore vecte R ponderiet potentiam quandam grauitatia aequalem quae scilicet ipsa per se sola, omni machina destituta pondus veractare possit,i sustinere ea poterit in vectis extremora posita, pondus X contra nitendo sustinere vi duplo in triplo, riuauis alia ratione maius qu m Y si vectem ita diuidat hypomochlium in ut pars Tri sit altera parte TR duplo, vel triplo, aut alia quavis ratione.
Caeterum. Cum vectis, siue Libra RS appens ponderibus X,
Y in R&S. quorum eadem sit ratio; quae est reciproc distantiarum ΤS TR appensionum a firmo puncto , ad quemlibet situm sit in differens, quemcunque datum tueri possit non videtur potentia in S applicata maiori virtute egere ad mouendum pondus X, dc in alio situ vectem, vel librae iugum RS constituendum quam quae sufficie ad aequi ponderantiam ι quae scilicet conatum exerat praecise aequalem conatui sue grauitationi ponderis Y Cum enim vectis aut libra ponderibus X Sca comparata sit ad situm omnem admittendum, de
Conseruandum;per motum autem ad varios tantum stus eodem semper ponderum conatu perseuerante deducatur: quid est, quod admouendum requiratur praeter ponderis virtutem, laeterminationem potentiae admouendum, eiusque applicationemZquibus non mutatur cum extrinseca sint, ter accidens aduenientia, tonderum conatus ad aequiponderandum in quocunque stu dispositus per illam ipsorum , suspensionum reciprocam rationem. Habetur ex dictis hactenus quo nitatur Principio Librari vectis Scquo,quae ex vecte deducuntur avariis cunei cochlem vires. At Trachlea
306쪽
Lib. III. De auadratrice. Io 9
chlea aliquo alio eget, ut quod motrici potentiae praestat adiumentum, declaretur. Quod non parum a vectis, Libraeue fundamento disserre videtur nec fatis aperte Authores aliquot paucissimi enim sunt, qui id seruati fuerim Dillud exposuerunti En itaque Theorema quo non parum lucis ad huius Machinae intelligentiam accessurum est.
S Iugo cuipiam Di, vel duabus pendulis lineis O D, VE
utrique eius extremo Dissi adhibitis suspenso, vel duobus hypomochliis H, EI sustentato hacumbat pondus Cex puncto F iugi illius suspensum. Dico grauitationem qua pendula linea DO, siue fulcimentum DF arficitur, eam habere rationem ad grauitationem, quam patitur altera pendula linea U T, siue alterum fulcimentum EI: quam reciproce habet linea FE, quae est: distantia puncti extremissi ipsius iugi a firmo puncto F ad lineam PD, siue distantiam alterius extremi punctis eiusdem iugi ab eodem puncto firmo F.
Exponatur iugum D E cum ap-- penso in F eodem pondere C , simul cum pendulis lineis D O, E V iugum
D E penderes graue sustinen ibus eadem foret ratio fulcimentorum H, EI advectem speetantium:qu i S rum hic breuitatis .claritatis gratia
mentionem omitto:quaecunque enim x circa Libram concludentur , eadem vemi conueniunt, ut ex praecedente
Prop. manifestum est.' Iam ipsi duae pendulae lineae D O, E V alligatae concipiantur alteri iugo V quod cra priori D E parallelum sit quo fiet, ut lineae D O E V quae perpendicul Ves supponuntur ad iugum quod sustinent. ι sint aequales quale
307쪽
item iugum os priori D E. Ad haec o P sumpta aequali lineae DF, sue VP aequali lineae SP, suspendatur iugum OV pendula lineal PZ,
quae necessario , si produci concipiatur , tota concurret cum linea directionis FG in qua centrum grauitatis ponderis C reperitur. Hispositi S. Demonstratio.
Clim linea pendula Pet centrum grauitatis grauis quantitatis G stineat iugum O , quod mediantibus duabus penduli, lineis D O, E V, pondus C sustinet, consistet in aequilibrio Ergo grauitatio,qua illud asticit pendula linea Dra, aequalis omnino est grauitioni, qua ab altera pendula linea E Vasticitur cid enim ad aequilibrium , necessa rium est. Ergo per Pio p. antecedentem ita se habet pondus lineae OG quod aliud non est quam vis ipsi illata alvi ere C ad pondus lineae E V, siue ad vim quam pondus C ipsi in pruirit, ut se habet reciproce recta P V ad PD sim autem P V Io aequales rectis HE, F D. Ergo pondus, quod sustinet lineat O , ad pondus a linea Vsustentatum, dira ambae iugum Di ponderes oneratum sustinent, ita se habet ut reciproce rcctat E se habet ad colam D. Quare. Si iugo linc. Quod erat demonstrandum.
C im ut supra monui, eadem sit vectis, e Librae ratioci patet cuit.:ndamento nitatu secundum illud vectis genus;cuius alter teriminus puncto firmo insistit dum alteri termino potentia applicatur ad moliendum pondus medium inter potentiam .fulcimentum cocnim non minu iuuat potcntia, quam prioris generi, vectes in quo potentia vectis unum extremum tractat, alteri vero extremo pondus incumbit posto inter utrumque extremum fulcimento. In utroque siquidem , quo potentia a sulcimento magis rccedit eo facilius pondus mouri, ut e utriusque demonstratione constat, constabitque cuidenti is ex sequente Propositione .
pROPOSITIO a XI. Theorema. IN utrobii vecti' genere, si idem pondus aequaliter ab hy
potrio chlio re dat Dico pote uti .am ex D emo vectis applicatam aequaliter adpond illuismo Gendum vecte iuuari.
308쪽
vectis CBλlcimem A insistati sit autem potentia iussi:& duo aequalia potia dera quorum centra in ipso vectestatuantur. licet id non nisi ad clariorem demonstrationem sit necessarium, aequali hinc inde a fulcimemora distantia ostendendum est potentiam B vecte aequaliter iuuari, siue mouere debeat pondus C vltra hypomochlium A postqm siue pondus D in
ter xi potentiam B constitutum. Aod ut euidentissime eonii clam iuuerit obseruare, ut grauem in aequipondio statuatur, disas potentias concurrere: una censetur selcimnntumaltera est potentiam mobilis locum alterius sulcimenti occupans. At ut graue C aequilibretur, unica solum potentiais exercetur, e patet ea enim sola ad psu cohibet graue C. Ad haec o poteratia B ad quemcunque situm adducat, in eo contineat graue a vectis extremum B, cui appli catur,tractat deprimendo; ouod attolle o tractare debet,cum graue
D ad situm quempiam stabiliendum est. Supponendum itaque est
aquales vires a potentia impendi, siue deprimendo, siue atollendore siquidem depressionis, vel elationis disserentia nullam pari mai rem , vel minorem dissicultatem , ut ad eam superandam maiores vires, vel minores potentiae sint necessariae. Suppono etiam utriuique grauis Crac D centrum grauitatis in vecste ipse consti tui ad clariorem demonstrationem;alias id minime necessarium est, sussicit enim ut examinis, et Alala & liberas lineas suspend tur. His de-
Vt aequilibrium statuatur ope potentiae B ea est ratio lineae BD ad lineam D A quae est passiuae grauitationis uom lilio aduenientis litaui D ad grauitationem,quam ab eodem graui opiatur potentia per Prop. antecedentem. Ergo componendo. Ita est BD cum x, hoc est, B A ad xu ut ambae simul grauitationes passiuae pondere D duobus simul patientibus, sulcimento A, ε potentiae Baduenientes adgrauitationem passimam potentiae v. Sed Mae simul. grauitationes, quae ponderemtulcimento Arac potentiae B adueniunt, est ipsa tota grauitatio, quae a ponderem potest emanarα Ergo haec tota grauitatio emanans ab Agente graui Dua se habet adgrauitationem, quam patitur potentia Brut se habet meri ad Ain
Sed VR ad AD; ita est Ba ad Ac sunt enim aequar ab hypo-
309쪽
thesiam, AchErgo ut Ba ad A C; ita est tota grauitatio a graus
D in fulcimentumari potentiam Nemanans,adgrauitationem quam
patitur potentiam. Sed vela ad A a ita est per Prop. 49 grauitatio a grauic quod est aequale grauit heidem potentiae madueniens.
Ergo potentia Baequalem vim patitur, siue graue fuerit in D, siue fuerit in C. Quare aequalibus viribus eget ad aequilibi tum per vectem hypomochlio incumbentem, statuendum siue graue vecti adhaereat in C vltra fulcimentum Α, siue transseratur Και modo eius distant. tia AD a sulcimento aequalis sit distantiae AC rgo. In utroque ctis genere si idem dcc. Quod erat demonstrandum.
Ex hoc Theoremate colligitur ratio, ut se pra memini,quomodo per Trochleam vel sina plicem, vel multiplicem, siue Polysipastum potentiae mouentis vires augeantur. Si enim hoc
in scheinate graue D medium,eetis Alpii ctum occuparit, potentiam ponderis semisse tantum bustinetidum semissis hypomochlio incumbit. Quod idem contingit in Tr chica per cuius centrum semper ducitur lineal directioni, suspensi ponderis. Sit enim trochlea, cuiu diametera B,& D eius centrum, ex quo pendet graue G sunt autem, qui in trochleam induitur, sit Ham Ea qui in Hi firmiter haereat. Si itaque in E statuatur potentia trochleam cum suo ponderes susti nens ι aut certe quod fieri solet non ad au gendas quidem eius vires, sed ad earum usum commodiorem praestandum circinducto ne in alio orbiculo ad punctum Palligato, statuatur in Pierit diameter Assi Trochleae, secundum vectis genus proximo Theoremate demonstratum cuius hypomochii A vices gerit se nisi sustinens vectis extremum A, alterum autem eiusdem vectis extremum B sustinet potentia E, vel, si mauis, I. Quo fit, ut potentia I dimidiam tantum partem ponderis G sustineat caltera ver,pars a funiculo H A suspendatur. Est efiim ut AD ad odi, ita reciproce potentiam ad potentiam A siue ad partem ponderis tuniculo re velut hypomochlio incumbentem, ut Prop. hac demonstratum est. Quod si plures, trochleae aptat constru
310쪽
Lib. III. De Suadratrice. Ira F
estione in capsulis componantur iuuari poterunt potentiae motricus ad grauiora tractandum ponderes, numque ac idem erit omnium hie expositum rundamentum iectis scilicet, siue Libra eius generis, ut graue in iugo statuatur inter duo suspensionum , vel sustentationum puncta, quae sunt eiusdem iugi extrema. Atque ad hoc quidem vectis Libraeue genus varias Trochleis utendi artes reuocat uidus Vbaldus in Mechanicorum Libro. Aia tamen longe aliam statuit rationem facultatis potentiae motricis ad graue sustinendum; quam sit Ratio reciproce quam obseruat distantia ponderis a puncto firmo iugi, ad distantiam eiusdem ponderis a puncto, cui applicatur adhae.
retque potentia; quam proportionem necessario obseruari hic de monstratum est ideo cautius legendus est, quaedam enim ex falso Principio deducta videntur ad veritatem minus accommodata. Quae, re alia non pauca quae ex declarato Principio, probatisque Theorematibus proximis, pluribus prosequi non patitur breuis ab Instituto digressio: quae ut suis numeris abiblutior prodeat,ad eam sequens Sch lium debet adhuc accedere. Scholmm. Memini superius obiter fundamenti illius, cui inniti omnisci Zuchio visa est motriciunt tacuitatum ars uniuersa: ad cuius inuestigationem permotus est , ut citato opere de noua Machinarum Philolb-phia ipse refert, tum quia aliquid in Archimedis demonstratione, qua Propolitione 6 6c . . Equi ponde tantium probat, desiderari videbatur rium maxime quia nec Archimedes ipse, nec ullus post eum alius mentionem fecisset vectis illius secundi generis; in quo graue meditam statuitur inter duo u. cimenta plum substentantia i ex quo tamen machinatum aliquot artificium it ostendi, colligi nec sie est. Illur ergo Principium idem, cum subtilitate constet singulari nec omni tamen obscuritate careat paucis hic ex mente Authoris declarandum recurrit; ut quid conuenientiae,quid discriminis si quid lateat inter hoc & illud, quod a me statutum est, euidenter innotescat. Itaque in hunc fere modum secl. s. c6. exponit Author ingeniosissimus suum illud nouum statices fundamentum assumpto pii mi generis vocte,quod ad secundum, ut patebit,perinde pertinet , sicuti ad utriusque generis Libram, ut ex superioribus colligere demum licebit.
Sit vectis astita diuisus in A, ut pars A B dupla sit partis Ac de
punctum A firmum statuatur, siue puncto A applicetur hypomo-chlium iectis autem exti emo C appendatur pondus duarum Librarum Lalteri ver b eiusdcm vectis extremo B unius tantum Librae ponis
diis, siue potentia, quae ab hue omni vectis machina per se lassiceret