장음표시 사용
311쪽
ad pondus unius librae sustinendum , aut etiam nonnihil, na libest maius , ut scilicet motum inire possit ad quem motum ineundum etiam sussiceret, si, vel pondus C nonnihil duabus libris minus statueretur, vel pondus Bunius Libra minimum longius a puncto R remouere. tur, qui si iniri supponatur, pondusque C ad locum G deterri eodem tempore pondus vel potentiam B ad Aconstitui necesse est quo peruenire non potest nisi petarcum BlHi qui duplus erin area CG a pondere C destripti per Prop. i. Litis Collectionum Pappi quad
constar circulorum circulaserentias,aut circulorum arcu I similes squa.
les sunt arcus oes , TH propter angulos C AG, Area commune centrum A aequales ita esse inter se is inter se sunt circulorum i semidiametri Cum ergo potentiai contra nitens ponderi C moueatur per arcum iure, dum eodem tempore pondus omouetur per ar- eum G, qui semissis in arcus B rei constat potentiam duabus potentiis aequi ualere, quarum utraque pondus unius librae mouendi capax foret,dum una post aliam moueret in arcu B H posita per spatium aequale spatio CG a pondere avnius Librae decurso. Perinde enim est siue duae potentiae; aequales potentiae B una post aliam sucessive motu petareum B H institutum promoueanta siue illa ipsa potentia B, quaermotom inchoauit,eundem continuet pereundem arcumicum eadem mouendi facultas eius integra perseueret, aptaque pia sola perinde sit istoti BHispatij CG duplum eode tempore emetiri quo graue evireωmo alteri C appositaMecurrit spatium CG atque ideδ motu duplo velociori,qua fit motus,quo graue Crertur ad G. Quod cum inquali diparticula motus ponderis,sue poteti qm, M. motus magnitudinis gratiistosemper observetur, manifestum euadit potenti B,.quae unius latum Librae pendus movendi abique vectu Eret capax; vecte adhibito eέq; alligatam duarum librarum punta mouendi capacem fieri laeum m
312쪽
actu primo, aptitudine ad motum exercendum, tum in actu secundo vi ipso motus exercitii, si tamen quod superius annotatum, hic meminisse oportet pondus avna libra nonnihil minus supponatur. Hi ergo ita suppositis & declaratis, patet quomodo per vectem iuuetur potentia. Poterit siquidem potentiam, quae sola sine vecte unius Librae pondus mouere posset, pondus duarum Librarum , aut quid
minus, ad positum mouere atque adeo eadem seruata proportio
ne potentia B dimidiae librae pondus mouendi capax ; ad unius librae, aut quid minus, pondus mouendum T ad C statuatur pondusa apta euadet. Ita ut potentiam ad distantiam a puncto firmo A duplam diastantiae A C ponderis posita, duplicetur,& ut dictum est duabus p tentiis c qualibus aequi ualeat it quarum singulae successu post aliam vectis extremum B ageret per semissem pati, hi hoc cst, per spatium aequale spatio C G.
Quacunque igitur adhibitat machina qua ratione potentia maius spatium, quam graue eodem tempore decurrere debet, maloiique proinde velocitate eadem maior euadit eius facultas graue mouendi eo quδd toties replicetur, siue tot potentiis sibi aequalibus aequiualeat i quoties spatium ab ipsa decurrendum continet spatium, quod a graui decurri debet i siue etiam quo velocis est potentiae motus, quam ponderis moti Quae ratio spatiorum, siue motuum, eadem semper est cum ratione distantiarum quibus potentia, ε graue recedula puncto firmoscui innititur machina: quae ratio ut demonstratum est j ipsssima est rati, quam graue,in potentia cum distantiis reciprorce
obseruant. Adeo ut augmentum virium potentiae mouentis petatur ex maiori spatio ac maiori consequenter velocitate potentiae quam pomderis. Quod non tantum in vecte, aut Libra prioris generis locum
habet .sed etiam posterioris,m in machinis excipio deductis. Nam dum in secundo vecte potentia B decurrit spatium M. graue D transteri ad G arcus DG dimidia tantum pars est arcus ΒΗ, dupl6que velocior est motus potentiae B spatium B H decurrentis, quam motus ponderis D arcum D H eodem tempore decurrentis. Haec ex mente si eam saris bene sum assecutus totius quam ex veris Bis laudat Authoris retuli, quibus nihil acutius. Quibus addo ex eo adem citata sect.ε. ad calcem. Si pondus C inhhemate sectisprioris duarum omnino fore Hibia. rum nihil 5que minus: aut certe unius quidem librae seret sedio. tentiae B facultas absoluta seret se sit unius librae tunc in utraque
313쪽
i 16 Lib. III. De guadratrice.
pax praecis foret resistentiae ponderis C contranitendici rati6que tentiae B ad pondus C cadem praecis foret , quae reciproce stdistantiae Α ponderis C a puncto firmo A ad distantiam Alio
tentiae B ab eodem puncto tunc neutro praeponderante consistentia siue aequilibrium inter graue motricemque potentiam statueretur, nec ullus iniretur motus ad quem requiritur quaedam ponderis,ac potentiae inaequalitas, ut alterum alteri praeponderare queat, atque adeo motum ciere. Atque hactenus nouae de Machinis Philosophiae Principium mihi videor complexus, circa quod haec obseruanda ve
Primo quidem nihil verius certiusque esse constat,quam motricis potentiae machina utentis mouendi facultatem ea ratione esse maiorem facultate, qua omni machina destituta pollet quam obseruat eius a puncto machinae firmo distantia omne enim quod mouetur Authore Aristotele in Quaest Mechan quiescenti cuipiam ac firmoniti necesse est Dad ponderis, quod mouetur, distantiam ab eodem puncto firmo. Qua etiam ratione quae ex ea distantiarum ratione, ut ostensum est necessario sequitur inpatium a motrice potentia decursum excedit spatium, quod eodem tempore motum per machinam pondus emetitur aut etiam quod etiam inde sequi necesse est qua ratione motus potentiae velocior est motu ponderis. Adeo ut Lob
tilissimi nouae de Machinis Philosophiae Authoris ratiocinatio ni uersalis si, ad Machinas omnes possit applicari. In iis siquidem
omnibus ea ratione motrix potentia replicatur, eiusque ad mouendum graue vires augentur unde fit ut debilior potentia per hanc re plieationem grauiori ponderi mouendo par euadat qua spatium,
quod decurrit, maius est spatio quod pondus eodem tempore emetitur vel etiam, qua ratione potentiae mouentis velocitas, moti poti deris
314쪽
deris velocitatem superat. Sed ut haec ita sint , attamen. Secundo Ingenue fatendum mihi est me nunquam tam aper. id assecutum cis rationem illam, qua laudatus Author acu tussimis replicationcm potenti e fieri asserit, licet eam pluribus exponat, ut omni amota caligne mens ei potuerit acquiescere. Haesiuandi haec
Occurrunt argumenta. Si in eodem schemate vectis prioris ad extrem timetus C, pondus statuatur duarum librarum; ad alterum cio
extremum B, pondus unius librae posita distantia AB, distantiae AC dupla consistunt, ut ex Authore retuli, in aequilibrio duo illa pondera, siue pondus potentia paris cum ponderem facultatis, eius loco substituta un hoc ergo casu aequilibri,dici vix posse videtur iuxta Principium nouae de Machinae Philolbphiae, facultatem siue ponderis, siue potentiae B replicari non tantaen in actu secundo, exercito. sed nec in primo aptitudine ad motum duplo velociorem motu ponderis C ineundum , cum ad quietem in consistentiam tam pondusa, quam potentiam, sint hac seruata ponderis ad potentiam potentiae a puncto A firmo distantiae ad ponderis C distantiam cci
proca ratione, omnino comparata absque omni ad motum quemcunque insita habitudine unde nec spatium maius quod a potentia B s ab aliquo agente extrinseco ad motum cieatura aequilibrantepet carritur nec maior eiusdem potentiae motus velocitas quidquam maioris facultatis potentiae conseri, ut ponderis C obnitentisic sistentiam aequandi capax cu adat. Si enim potentia absque omni ad motum ordine aequilibrum cum pondere opposito constituendi tuendique capax euaserit multo minus spatium quod per accidens mota decurret, vel eius motus velocitas, quae motui adueniunt, nec ipsi
sunt essentialia ad aequilibrandum potentiae facultatem exhibere possunt Sed at unde ei obuenire dicendum videtur. Vnde porro ex eo scilicet qu5d Prop. 19. demonstratum sit inter duo pondera C &B, siue inter pondus C,& potentiam B ponderi aequalem aequilibri uinconstitui, siue potentiae facultatem ponderis resistentiae sere parem id istantiae ponderum C,Ba puncto firmo A fuerint reciproce proportionales,ut ibidem explicatum est Hac enim posita reciproca proportione, fit ud centru grauitatis vel ex utroq, pondere, vel ex ponderum Altero,& potentia aliqua alterius p5deris,uices supplente copost suspendatur,vel sustentetur: Centro autem grauis cuiusuis quouis modo
a lapsu cohibito ue ipsum graue in aequilibrio constitui necesse est per
Prop. 38 atque adeo ad omnem situm , sine disci imine occupandum fieri paratum. Vnde patet rationem adiumenti, quod potentiae motrici
315쪽
trici praestant machinae, videri peti debere non ex eo, quod replicetur eius robur,ipsaque ope machinae fortior euadat; sed ex eo quod in tali puncto firmo, cui nititur machina, distantia existens graue una cum pondere componat; cuius centrum grauitatis sit vel ipsum punctum firmom, vel eidem puncto firmo directe immineat, aut directe ab ipse suspendatur; ex qua centri graureatis constitutione sequatur a viis librium , parque ponderis maioris puncto firmo vicinioris ponde.risque , siue potentiae minoris ab eodem puncto remotioris ad grauitandum aut ad sustinendum facultas. Illud demum, cuius aliquoties iam memini, etiam constare videtur. Nimirum, constituto aequilibrio , vectis. V. G. Ci prioris generis potentiam B, nulla alia maiori tacultatet egere admotum ineundum in continuandum, quam quae et tussicit ad aequilibrium. Cum enim ea parie resistentiae ponderis, &ad omnem situm, qui motum sequitur, indisseren, non tacultas maior ad motum , sed tantum applicatio, & usus potentiae accedere debet ad quem agens siue ratione. siue sensu tantum duetum sese per se determinare potest. Atque lixe de statice ex occasione eorum quae consequuntur, satis. Nunc ad in
PROPOSITIO XII. Theorema. S triangula duo A B C, D EI aequales habeant duos A
gulos Ain D: quorum uterque diuidatur in duos angulos utrumque utrique aequales, nempe Gam MD E ;&GA C, H DI dividantur & bases C B, P proportionaliter, illa in G, haec in H. Die aequi angula esse duo illa triangula in similia simi literque posta. Dico praeterea nullam lineam in alterutro duci posse ad latera triangulorum terminatam quae similiter iacetiit a linea
angulos diuidente ut basis BC diuisa est in G, aut basi DF in H, nisi fuerit hisce basibus parallela.
Si similia non sunt duo triangula AB DEF angulus Α BG vel maior est, vel minor angula EF, si enim duo illi anguli ABC,
316쪽
D EF serent aequales tu aer iam tum sequeretur per Prop.4 Lib. 6.Elem. similia esse duo illa triangula fiat ergo angulus ABI aequalis angulo D TV erit triam gulum id simile triangulo D EF ;&secabitur basis B in similiter, vi EFfecta est in H, siue ex hypothesi, ut BC in . Ergo G L parallela est per Prop. i. Lib. 6. lineae Ci Quod est absutiadum Conueniunt enim Giri I in A. Quare dicendum est angulo ABC, DEF, esse aequalec atque adeis duo triangula A BC, D EI esse similia per Prop. . Lib. 6.vi Elam similiter posita. Quod eratiprimo loco probandum.
Si quaepiam linea Rrvspiam in alterutro triangulorum duc ueat, quae ita secetur in Sa linea AG, ve BC secta est ina, nec tamen sit lineae BC parallela: ducatur ei peris parallela BD quam in L secet recta A G. Itaque BI secabitur in L , t R ei parallela secatur in S. Sed BC ex hypothesi ita secatur in G, ut RT secatur in S. Ergo BI, ina, ac in G secantur similiter. Ergo per Prop. h. Lib. 6. Elem lineae G L, I, sunt parallela quod est absurdum, cum in Aconueniant. Quare nulla linea, quae non sit parallela basim C, aue EF duci potest in his triangulls quae similiter secari posse a linea AG, aut D H vim C secatur in G, aut DF secatur in re Ergo si triangula duo ABC, D E Faequales&c. quod erat probandum.
CViusuis sectoris circuli centrum grauitatis a centro imculi minus distat, quam duabus semidiametri tertiis
partibus. Expositio. Sit circuli quicunque sectora EF qui bifariam diuidatur a semidiametro κα erit lectoris centrum grauitatis in hac bisecante linea AO, ut per se patet. Dico autem centrum illud grauitatis, quicu SUC
317쪽
que tandem fiterit sector, minus distare a circuli centro A quam sint duae terr ae partes radi A D. Hoc est , diuiso radis B in tres partes aequales, quarum duas complectaturis a punctum illud G nullius sectoris esse posse centrum gratii tatis, sed omnium tectorum id genero centra grauitatis cadere inter ast A. Demonstrauio.
Perptinctum D, in quo cadius A Dcirculum secat ducatur linea circulum
tangens sue ad Am perpendi atris: quam duo sectoris latera AE , AT pio-ducia secent in Bin C. Erit iii angulum At Cas sceles , sunt enim duo anguli DAB, DAC; de duo AD BADC aequales ex hypothesi. Ergo de duo reliquii, de , ad basim sunt
A quales unde Per P p. 6 Lib. i. Eleir. iii angulum A BC Poscclescite necesse est, quo posito. Cum centrum uiu uis trianguli per Pi Maa. Lib. i. .Fquip. Archim sit in linea basim bile cantes sit a u. tum Mam in linea basi parallela, quae latera ita secat, ut pars angulo adhaerens sit reliquae partis dupla pertem Commandini ad Prop. s. Lib. . Equi p. demonstrari in trianguli A BC centrum necessario est punctum G. Nam lmea ADbitariam s.cat basim BC in D;δε, fieri agerctur basi parallela secaret latera, viscet est At in G.
Cum vero etiam nec G, sicut nec linea AD unquam mutetur licet duo latera A B, AC mutentur, vel ad x propius accedendo,, angulum B A C semper minorem continendo, donec cum ipsa Am ambae coalescant , vel ab eadem Aurecedendo Maioremque angulum B AG constituendo donec ipsae A B, Ac sibi in directum componantur omni earum evanescente inclinatione et angulo in secto e ipse euadat semicirculus sit vero sectoris cui ulcunque centrum grauitatis, ut mox aperiam centro A vicinius, quam grauitatis centrum
cuiuscunque soscetis trianguli Ala manitcstum est sectoris cuiuscunque centrum grauitati minus distare ab angulo A siue centro circuli, quam duabus tertiis partibus AG totius lineae Am , sue semidiametii circuli, ut fert propositio. Sed ostendi debet centrumar, uitatis sectoris semper c si centrori vicinius, quam centrum G trianguli. Hoc autem manifestum est per Axioma Lib. i. aequip. Archimedis quo constat s a graui magnitudine, ut triangulo A BG, quidpiam dematur, velut ab eo triangulo demuntur duo mixta triangula
318쪽
gula D NE, D CF reliquus sat sector centrum Glauitatis in opia positam partem recedere recedit ergo a centro G trianguli cuiusuis ABC , centrum cuiusuis sectoris A EF versus A eique fit propius rmin que ab eo distat quam duabus tertiis AG semidia metiri circuli partibus. Quare cuiusuis sectoris dcc quod erat demonstrandum.
Hinc sequitur omnium circuli sectorum, quos linea At bifariam secet, semicircino tum maiorum tum minorum centra grauitatis reperiri in linea a duas tertias partes totius semidiametri A D conti nente Ceoque fore centro circuli A viciniora, quo maiores extiterine sectores; donec tandem ad centrum totius circuli centrum & grauitatis,4 magnitudinis deueniatur.
SI ex quouis quadratricis puncto I recta ducatur ipsius cornu vel superius, vel inserius secans in B; Axem vero Acin D: ac per B ducatur radius Ai , secturus in F cireulum centro A per I descriptum. Dico rectam Ii ita secari in a Quadratrices ut ita se habeat PD ad BD ut se habet an
siue , ut arcus I G ad arcum H G.
Ducatur a puncto B ad applicatam I perpendicularis E , siue Axi AC parallela. Secatura in B, ut IF secatur in E sunt enim in triangulo IF D duae lineae F D, Exparallela inter se. Sed per constructionem Quadratricis, ut se habet IT ad AC, ad angulum B AC, siue arcus I G ad Io, est ad BD ita tam angulus I A
319쪽
ad angulum A BC quam arcus I Gest ad arcum H G. Quare si ex quouis Quadratricis dcc qu*lerat demonstrandum.
PROPOSITIO XV. bestrema. SInt duo Quadratricis radi MI, AB; quorum ille se ab
Axe AC remotior, quam iste. Dico AI maiorem esse, quam A B.
Si A maiornon est quam AR Lerit illi aequalis, aut eo minor. Dicatur aequalis. Centro igitur Α per I descriptus circulos transibit per B: Ducatur per l, B recta secans in D Axeis circulus per ΙΛ B descriptus secabit Axem inter D& A, ut in L. Itaque, cum per Prop. praeced. ii sieIB ad BD , ut angulus I B ad B AD ,eautem angulus I AB ad BAD ,hasit sector IS ad seetorem ABHL Item per Prop. I. Lib. 6. Elem ita triangulum L B ad triangulum B AmrErit se tor AIGBadsectorem ABHi,ut triangulum I B ad triangulum in D. Sed tector AI G est maior triangulo AIB. Ergo sector Ai H maior est trlangulo A BD. Quod est absurdum: ergo non est aequalis AI, multo minus erit maior. Ergo est minor, ut assertum est.
PROPOSITIO LXVI. Theoremape insigne. SI linea quaepiam BD Quadratricem in B tetigerit, Axemque secuerit in D: sumatur autem D E aequalis semissi lineae AD a tangente BD abscissae centroque perra circulas describatur,quem in secet radius exin per B eiectus ac demum sum pro arcu GF aequali E, ducatur radius ARVt fiat sector integer A FG E quem bifariam recta AG petBacta diuidit . . ' . Dico punctum B Quadratricis, cile centrum grauitatis .ctoris A FGE.
320쪽
Lib. III. De si uadratrice is 3
Silio est centrum grauitatis sectoris AFGE: erit saltem centrum grauitatis sectoris alicuius similis huic sectori A FGE, eodem sest rea FG E vel maioris , vel minoris, Sector enim quilibet similis sectori A FG E centrum grauitatis in recta AG bifariam illum in n- te sortitur. Sit ergo primim punctum centrum grauitatis sectoris AH LI maioris sectore A FGE. Quo supposito erit eius semidi metera I maior, quam sesqui altera rectae A D: cum eius sesquialtetera ex constructione sit Assi est enim posita Eaequalis semissi rectae AD , atque ade, E sesqui- altera rectae A Dὶ quod cum ita sit, dari potest aliquis sector circuli AEL I,cuius centrum centro A spatio distet aequali rectae A D per Prop. 3. eiusque Coroll. ubi ostensum
est centrum grauitatis cuiuscunque sectoris cadere infra punctum ra- dij sectorem bifariam diuidentis, in quo puncto radius ille ita secatur in partes inaequales, ut pars centro A adhaerens dupla sit reliquae. Sit ergo sector ille AMNI quo bifariam diuiso ducta semidiametro AN, in ea sumatura aequalis rectae Am i ut sit puni tum O centrum gra. uitatis sectoris AMNI. um sumpto arcumri aequali arcui I dicatur xx crit, ut patet arcus LM aequalis arcu NI, vel μή erit etiam arcus K M aequalis arcui H; Nam si ab aequalibus arcubus L I, L H demantur aequak IN AE aequales cliqui fient a diis H, L N. Sed arcus L N aequalis est arcui ΚM: eo quod si ad arcus aequaIes L. MN addatur communis arcus Miaequales fiant arcus KM, L N. Ergo aequales etiam sunt arcus ΚΗ,
E M. Vnde fit ut centrum grauitatis sectoris A HAE M, sit in linea