장음표시 사용
321쪽
AK ipsum bisecante. Quare si exsichori. M NI centro O ducatur per B centrum grauitatis sectoris totius A HII, linea Om V secans in V rechamari crit V centrum grauitatis sectoris A m M per Prop. 8. Lib. i. Archim. de AEqui pond. denique ducatur ex puncto per puncstum X, in quo recta A O Quadratricem secat, recta B X; quae Axem secet in P. His ita positis, colligitur Theorematis demonstratio ad priorem partem spectans.
Cum B sit centrum totius sectoris AH LI sectoris autem AMNI centrum sit O M sectoris A HAE M centrum sit , ductaque sit linea B V eentra illa connectens per Prop. 6. aut P. Lib. I. Archim aut per Prop. 8 super. ita erit O B ad RV Lut reciproce sector cuius centrum est , ad sectorem AMNI, cuius centrum est O. Ergo per Prop. is Lib. . Elem ita etiam erit B ad BV ut sector AKM
missis seetori Α Η Κ M ad se m Arab, siue ad ANI, aut AKL semissem sectoris Am N Sed per Prop. 3 3. Lib. 6. Elem ut sector AF M ad sectorem x L, ita est angulus ara, siue L A N ad anxiatum KAL. Ergo ita est O B ad B ut angulus Lam ad angula. Ai, sue ad angulum N A Pangulo DA L aequalem. Sed vi angulus L A N ad angulum N AI ita est per Prop. 6 . recta B X ad
XP. Ergo ita est OB ad BV ut B X ad XP. Ergo per Prop. 6 a.duo Triangula a V in Al P sunt similia Nam angulus V AG aequalis est angulo AP,i ex utroque angulo illo aequali eghediuntur Iinea in B A X continentes angulos B A V X A P aequales; ac deni- em sunt ratione OB B V dc B X X P. Cum ergo, ut di-
322쪽
ctum est, Triangula haec O AV, AB sint similia fit ut rianguli O V angulus O , aequalis sit angulo ASP Trianguliam P. Quod
clim ita sit. Duo etiam triangula AGI A B X, cum habeant angulum B AG communem anguli autem OB, AB Mostensi sint aequales erunt, ipsa , aequiangula, milia. Quare ita erit AG ad A B, ut A B est ad A X. Sed AD aequalis est ex constructione rectae AD a tangente BD abscissae. Ergo ita etiam est A ad AB, ut AB ad A X. Sed ita etiam est per Prop. o. Coroll. A Dotangente abscissa ad radium AB, ut radius AB ad Quadratricis sagittam AC. Ergo per Prop. 9. Lib. I Elem aequales sunt radius X, sagitta AC. Quod est absurdum. Nam per Prop. 6s sagitta AC mnium radiorum Quadratricis breuissima est reliquorum ver remo-Liora sagitta, propiore semper maior est. Punctum igitur B non potest sta centrum sectoris AH LI: cuius semidiameter A I maior sit semidiametro Assi sectoris FG Et quae est sesqui- altera lineae A D in ter centrum MN lineam BD, quae in B Quadratricem tangit in odpi imum erat demonstrandum.
Dicatur se eundo punctum Quadratricis messe centrum grauitatis sectoris AHIL, sectore ADGE minoris. Ita secetur in Reius semia diameter A I ut A I sit sesqui altera rectae A M se nimirum pars ARpartis RQ dupla. Tum duabus lineis A R, A B tertia proportionalis THUeniatur. Haec maior necessario futura est quam Quadratricis fa
gitta A C. Nam ch Al sit etiam per Prop. 3o Coroll. media proportionalis inter AD a tangente BD abscissam δε sagittam A G erit Quadratum lineae Assii se tam rectangulo lineis AD, AC quam rectangu
323쪽
rectangulo AR, et comprehenso. Cum ergo duo haec rectangula sint aequaliaci Ita erit per Prop.46 Lib.6 Elem. AD ad xx ut diad C. Seda D maior est quam AR Ergo Zmaior etiam esse debee quam sagitta A C per Prop. 4. Lib. 6. Elem. Quare si centro A , de
radio Tarcus circuli describatur is secabit Quadratricem in aliquo puncto, ut in puncto X. Iam per X ducatur tum a puncto B recta secans in Pinxem, tum a centro A radium Am deinde arcui NI aequalis sumatur Nm, itEmque L Κ: ductis etiam lineis Α M, Ari: denique sumpta ara rectae Aa aequali ex opera traiiciatur linea recta radium Αα sectura in V.
Hac absoluta construetione, constat, in praecedente casu, arcus
ΚM, ΚΗ esse inter se aequales: atque adebsei torem AHKMbis, iam diuidi a radio Α Κ, & in radio Ari centrum grauitatis reperiri sectoris A HAE M. Quo eodem iure sectoris AMNI grauitatis centrum in recta MN sectorem bifariam secante reperiri debet. Ad haec constat tam duo triangula, ABO, A XB, quam duo ABV, A X P esse similia.Nam ex construmione Αο aequalis est rectae A R. MAX rectaea inter quas est Al media proportionalis.Cum ergo ita sitvlao ad AB, ita Α B ad A Xiquae sun latera circa communem angulum Acerunt duo Triangula A BD, A B aequiangula per Prop. 6 Lib. 6. Elem. Est scilicet angulus A BO angulo AX aequalis. Ergo M anguli is deinceps positi, nempe Am V, Aris ille pertinens ad Triangulum Ais hies Triangulum A XP; sunt aequales,aequales autem sunt ex constructio ranguli Bas , in X. Ergo haec duo Triangula sunt aequiangula δε similia per Prop. 32. Lib. r.
Quae cum ita sint Latus BO Trianguli A BD, ita erit ad B A ut latus B X, Trianguli A B X, ad eiusdem latus A X. Quia veryduo Triangula A B V, XP ostensa sunt esse similia ita est AB ad BV, veAX ad XI. Ergo ex aequo ita erito madis , uti X ad X P. Sed vestX ad X R, ita est angulus L A N ad angulum N AI per Prop. 64. Ergo i inesto Bad B V ut Angulus Lamia angulum NAI velut angulus L M, ad angulum Mam i sunt enim hi duo duobus illis aequales. Ergo etiam ita erit m ad RV se angulus Hara amguli DAM duplus, ad angulum M A I anguli MAEN duplum per
Prop. V. Lib. F. Elem. Ergo etiam per Prop. 33. Lib. 6. ita erit B, ad BG , ut sector AHKMadsectorem AMNI: eadem enim est ratio sectorum, &ipsorum angulorum.
324쪽
& AMNI conssati centrum grauitatis asseratur esse Quadratricis punctum B centrum autem sectoris A HAEN reperiatur necessario in radio AK illum sectorem bisecantes; sicuta grauitatis centrum sectoris Ara I in radio Am ipsum bisecante reperiri debet ac d mum ducatur recta 5 per grauitatis centrum B totius sciatorii AH Ll qua in Baecatur in reciproca ratione partialium sectorum: nec alia possit per Prop. 61.duci per B linea recta,quae in eadem ratione secetur necessarium vero sit per Prop. 6. Lib. i. qui pon. Αrchim eam in ea reciproca ratione secari, quae per centrum graui totius dc partium eius ducitur. Concludendum omnino cst,in V centrum esse tectoris A H M,§oris AMNI centrum esse O. Verum, cum A O posita sit aequalis lineae Aa quae duas tertias partes ex hypothesi continet semidiametii Aa continebit 6 ipsa AO duas tertias partes semidiametri A N. Ergo sectoris AMNI centrum gra- Oitatis Odistat a circuli centro A duabus partibus tertiis. Quod est absurdum : cum per Prop. 3 cuiusuis sectoris centrum grauitatis,mum usquam duabus tertiis partibus semidiametri ab ipsis circuli centro di ita te necessu sit. Cum ergo punctum B Quadratricis non possit et se centrum grauitatis sectoris vllius , cuius semidiameter vel maior sit quam sesqui- altera lineae abscissae Dan gente Quadratricem, vel eadem minor dicendom est esse centrum illius sectoris , cuius semidiameterest abscissae illius a tangente, sesqui- altera. Quare Si linea quaepi .imi Dinc Quod erat probandum.
Iuuat ad Propositionis tam eximiae fit iis stabiliendam,i apertius exponendam veritatem, aliam eius demonstrationem instituere; quae ex Propositione 3 1.operis initio laudati de centro grauitatis partium circulia Ellipsis ab eximio Geometra Ioanne de lalaille SocIesu lucubrati colligitur. Si enim
habet ex eius sensu ri pene verbis. Si quolibet circuli secrore AHOC bifariam secto in O , A latere eius A C elut basi deser in uerit triangulum a C, dimidio sectori A in aquale communem eum sectore habens eum angulum, qui ad centrum A circuli est e deinde a reticea trianguli ad basim producta linea Bi qua priori triangulo AB simile triangulum ABD
325쪽
ttici praestant machiricae, videri peti debere non ex eo, qudd replicetur eius robur,ipsaque ope machinae sortior euadat, sed ex eo,quod in talia puncto firmo, cui nititur machini, distantia existens graue una cum pondoecomponat; cuius centrum grauitatis sit vel ipsum punctum firmum, vel eidem puncto firmo directe immineat, aut directe ab ipse suspendatur;ex qua centri grauitatis constitutione sequatur anquilibrium , parque ponderis maioris uneto firmo viciatoris ponde, risque , siue potentiae minoris ab eodem puncto remotio is ad grauitandum aut ad sustinendum facultas. Illud demum, cuius aliquoties iam memini, etiam constare videtur. Nimirum, constituto aequilibrio , vemis . V. G. CB prioris generis potentiam B, nulla alia maiori facultate egere ad motum ineundum,&continuandum, quam quae ei lassicit ad aequilibrium. Cum enim ea par se resistentiae ponderis . . ad omnem stum qui motum sequitur, indifferens non tacultas maior ad motum , sed tantum apis plicatio,, usus potentiae accedere debet ad quem agens siue ratione. siue sensu tantum ductum sese per se determinare potest. Atque haec de statice ex occasione eorum quae consequuntur, satis. Nunc ad in
PROPOSITIO XII. Theorema. SI triangula duo Α BC, DEF aequales habeant duos A gulos Ain D: quorum uterque diuidatur in duos angulos utrumque trique aequales, nempe AB. H DE;&GAC, H DF dividanturis bases CB, F proportionaliter, illati; haec in H. Dico aequiangula esse duo illa triangula, similia similiterque posita. Dico praeterea nullam lineam in alterutro duci posse ad la ter triangulorum terminatam riuae similiter secetur a linea angulos diuidente4 ut basis BC diuisa est in G, aut basis EF in H, nisi tuerit hisce basibus parallela.
Sisimilia non sunt duo triangula AB DEF, angulus ΑΒ C vel maior est, vel minor angula EF, si enim duo illi anguli Α BC,
326쪽
.Ld. III. De Ruadratrice. II '
E iam tum sequeretur triangulo D EI; Iecabitur basis B in similiter, ut EF secta est in Id, siue ex hypothesi, ut BC in . Ergo GL parallela est per Prop. i. Lib. 6. lineae CI. Quod est absurdum : Conueniunt enim Gim I in A. Quare dicendum est angulos Am C, D EI, esse aequales atque adeb duo triangula A SC, D EI esse similia per Prop. . Lib. 6.vi Elem similiter posita. Quod
erati primo loco probandum. Demon aliosecunda partis. Si quaepiam linea Rrvspiam in alterutro triangulorum duci Ueat, quae ita secetur is a linea AG , ut BC secta est in , nec tamen sit
lineae B C parallela ducatur ei per B parallela BIi quam in L secet rectari G. Itaque B I secabitur in L , t R ei parallela secatur in S. Sed B ex hypothesi ita secatur in G. v RT secatur in S. Ergo BΙ, in L.& BC inc secantur similiter. Ergo per Prop. h. Lib. c. Elem lineae a , C I, sene parallela quod est absiardum, cum in Aconueniant. Quare nulla linea, quae non sit parallela basi BC, aue DF duci potest in his triangulls quae similiter secari possit a linea AG, aut DP ut BG secatur in G, aut L secatur in H. Ergo si trianguisla duo ABC, DE Faequales&c. quod erat probandum.
CViusuis sectoris circuli centrum grauitatis a centro circuli minus distat, quam duabus semidiametri tertiis partibus.
postis. Sit circuli quicunque sectora EF qui bitariam diuidatur a semidiametro Αα erit lactoris centrum grauitatis in hac hi secante linea AD , ut per se patet. Dico autem centrum illud grauitatis, quicu qu
327쪽
que tandem fuerit sector, minus distare a circuli centro A quam sint duae terr ae partes radi A D. Hoc est , diuilo radio Assi in tres partes aeqt ales, quarum duas complectaturis a punctum illud G nullius sectoris eis posse centrum grauitatis; sed onisium sectorum id c-ncri centra grauitatis cadere inter apra.
Per planetiim D, in quo radius A Dcirctilum lecat ducatur linea circulum
tangens , sue ad V perpendi aris: quam duo sectoris latera AE AI producta secent in Bet Q Erit triangulum ABC Iso sceles , sunt enim uo
ADC aequales ex hypothesi. Ergo - , de duo reliquii, de C ad basim sunt aequales unde per P p. 6 Lib. i. Elem tit angulum Aic Iloscclesclla necesse est quo posito. Cum centrum cuiusuis trianguli crPi ἰP.M. Lib. i. Equi p. Archim sit in linea assim bisecantes sit autem erit in linea bas parallela , quae latera ita secat, ut pars angulo ad hae en sit reliquae p.mis dupla pertem Commandini ad Prop. s. Lib. . Equi p. demonstrati in trianguli A BC centrum necessario
est punctum G. Nam lmea AD bifariam s.cat basim B C in D;4,
si per G ageretur basi parallela secare latera , ut secta est A in G. Cum vero etiam n rc , sicut nec linea AO unquam mutetur lic Et duo latera A B, AC mutentur, vel ad Am propiu accedendo, d angulun B A C semper minorem continendo, donec cum ipsa Am amaba coalescant , vel ab eadem A D recedendo maioremque angulum B A C constituendo donec ipsae A B, Ac sibi in directum componantur omni earum evanescente inclinatione et angulo, scctot ipse euadat semicirculus; si vero sectoris cui ulcunque centrum grauitatis, ut mox aperiam centro A vicinius, quam grauitatis centrum
cuiuscunque uolce lis trianguli Assi a mani restum est secto iis cuiuscunque centium grauitati minus distare ab angulo A siue centro 'rculi, quam duabus tertiis partibus AG totius lineae AD , sue semidiametri circuli, ut fert propositio. Sed ostendi debet centrumar, uitatis sectoris sim per esse centrori vicinius, quam centrum G trianguli. Hoc autem manifestum est per Axioma . Lib. i. aequip. Archimedis quo constat, s a graui magnitudine, ut triangulo ABC, quidpiam dematur, velut ab eo triangula demuntur duo mixta trian - Pi jgod
328쪽
gula D NE, D GD ut reliquus fiat sector centrum Grauitatis in oppositam partem recedere recedit ergo a centro G trianguli cuiusuis ABC , centrum cuiusuis sectoris AEF versus A taque fit propius rminusque ab eo distat quam duabus tertiis AG semidiametri circuli partibus. Quare cuiustas sectoris &c. quod erat demonstrandum.
Hinc sequitur omnium circuli sectorum quosl ne At bifariam secet, semicirculo tum maiorum, tum minorum centra grauitatis reperiri in linea Ga duas tertias partes totius semidiametri A D contianente Leoque fore centro circuli A viciniora, qub maiores extiterint sectores; donec tandem ad centrum Α totius circuli centrum drauitatis, magnitudinis deueniatur.
ΡROPOSITIO XIV. Theorema. SI ex quouis quadratricis puncto I recta ducatur ipsius cor
nu vel superius, vel inferius secans in B inxem vero Acin D: ac per B ducatur radius secturus in F cireulum centro A per I descriptum. Dico rectam Ii ita secari in a Quadratrice , ita se habeata ad B in vi se habet an
siue , ut arcus P ad arcum H G.
Ducatur a puncto B ad applicatam I perpendicularis E , siue Axi AC parallela. Secatur ID in B, ve I secatur in E sunt enim in trian gulo IR duae lineae TD, P parallela inter se. Sed per constructionem Quadratricis, ut se habet IT ad UAC, ad angorum B AC, siue arcus I ad
sit Io, est ad BD ita tam angulus I AC;
329쪽
ad angulum A BC quam arcus I Gest ad arcum H G. Quare si ex
quouis Quadratricis dcc. quoderat demonstrandum.
PROPOSITI LXV. neorema. SInt duo Quadratricis radix I, AB; quorum ille se ab
Axe AC remotior, quam iste. Dico AI maiorem esse, quam Α
Sia I maior non est quam A B Lerit illi aequalis, aut eo minor. Dicatur aequalis. Centro igitur A per I descriptus circulus transibit per B Ducatur per I, B recta secans in D Axem cireulus per I i descriptus secabit Axem inter Druin, ut in L. Itaque cum per Prop. praeced. ii sieIB ad BD ut angulus I B ad Ba re veautem angulus IxB ad B AD , ita sit sector AI G ad sectorem ABHL Item per Prop. I. Lib. 6. Elem ita triangulum L B ad triangulum B AM Erit se tor AlGBadsectorem ABHL,ut triangulum I B ad triangulum BAD. Sed seMr AI G est maior triangulo AIB. Ergo§o A BIAE maloe est triangulo ABD. Quod est absurdum: ergo Aa non est aequalis A I multo minus erit maior. Ergo
PROPOSITIO XVI. Theoremape insigne.
SI linea quaepiam BD Quadratricem in Baetigerit, Axemque secuerit in D: sumatur autem Det aequalis semissi lineae AD a tangente BD abscissis centioque perra circulas describatur,quem in G secet radius ex A per B eiectus ac demum sum pro arcum Faequali E, ducatur radius AF, ut fiat sectos integer A FGP; quem bifariam recta AG petBacta diuidit. Dico punctum B Quadratricis, esse centrum grauitati s ctotis A FG ta
330쪽
grauitatis sectoris alicuius similis huic sectori A FGE, eodem se re A FG E vel maioris, vel minoris, Sector enim quilibet similis sectori A FG E centrum grauitatis in recta AG bifariam illum in n- te sertitur. Sit ergo primim punctum B centrum grauitatis sectoris AHII maioris sectore A FGE. Quo supposito erit eius semidi metera I maior, quam sesqui altera rectae A D clim eius sesquialtetera ex constructione sit AE est enim posita Eaequalis semissi rectae AD , atque ade, E sesqui- altera rectae Amyquod clim ita sit, dari potest aliquis sector circuli H La,cuius centrum a centro A spatio distet aequali rect A Dic Prop. 61 eiusque Coroll. ubi ostensum
est centrum grauitatis cuiuscunque lectTiris cadere infra punctum radii sectorem bifariam diuidentis, in quo puncto radius ille ita secatur ergo sector ille AMNI quo bifariam diuiso ducta semidiametro AN, inae sumatur AO aequalis rectae Am4 ut sit punctum O centrum gravitatis sectorta AN NI. um sumpto arcum xaequali arcui I dicatur xx erit, ut patet arcus DK aequalis arcu NI, vel N erit etiam arcus K M aequalis arcui H; Nam si ab aequalibus arcubus L I, L FI demantur aequaksam, L. aequales cliqui fient arcus H, L N. Sed arcus L N aequalis est arcui M: eo quod si ad arcus aequese L. MN addatur communis arcus Miaequales fiant arcus Κ N. Ergo aequales etiam sunt arcus MiE M. Vnde fit ut centrum grauitatis sectoris A HAE M, sit in linea in partes inaequales, ut pars centro A adh