장음표시 사용
331쪽
Dipsum bisecante. Quare si ex sectoris A M NI centro O ducatur per B ceiurum grauitatis sectoris totius AH LI, linea OBV secans in V recham xx erit V centrum grauitatis sectoris A HAE Mper Prop. 8. Lib. i. Archim. de AEqui pond. denique ducatur ex puncto B per punctum X, in quo recta A O Quadrati icem secat, rectat irquae Axem secet in P. His ita postis, colligitur Theorematis demonstratio ad priorem partem spectans.
Cum B sit centrum totius sectoris Am LI I sectoris autem AMNI centrum sit Oii sectoris A HAE M centrum sit V ductaque sit linea OB V centra illa connectens per Prop. 6. aut . Lib. I. Archim aut per Prop. 8 super. ita erito madis i ut reciproce sector A HAE , cuius centrum est , ad sectorem AMNI, cuius centrum esto. Ergo per Prop. 4.LRM. Elem ita etiam erit B ad BV ut sector AKM, ω-
missis sectoris A re Mi ad sectorem Arab, siue ad ANI, aut AKL semissem sectoris A M NI Sed per Prop. 3 3. Lib. 6. Elem ut sector AX M ad sectorem x L i ita est angulus D M, siue L A N ad angulum Κ A L. Ergo ita est O madis , ut angulus L A N ad anguia i A L, siue ad angulum a Pangulo DA L aequalem. Sed ut angulus L A N ad angulum N AI ita est per Prop. 6 . recta B X ad
XP. Ergo ita est OB ad BV ut B X ad XP. Ergo per Prop. 6 a.duo Triangula a V, ω B P sunt similia Nam angulus V AD aequalis est angulo B AI, ex utroque angulo illo aequali egrediuntur lineae AT in continentes angulos B A V, X A P aequales; ac dentiaque in cadem sunt ratione OB, B Virac BX, X P. Cum ergo, ut di-
332쪽
ctum est, Triangula haec O A V, A BI sint similia , fit ut Triangulix V angulus O , aequalis sit angulo A BI Trianguli A SP. Quod
cum ita sit. Duo etiam triangula AGI A B X, cum habeant angulum B AG communem anguli autem Ami Mostensi sint aequales erunt de ipsa, quiangula, similia. Quare ita erit AG ad A B, ut A B est ad A X. Sed x aequalis est ex constructione rectae AD a tangente BD abscissae. Ergo ita etiam est Amad AS ut A B ad A X. Sed ita etiam est per Prop. 3o Coroll. A Dotangente abscissa ad radium Assi ut radius Assi ad Quadratricis sagit-xam AC. Ergo per Prop. 9. Lib. I. Elem aequales sunt radius X, sagitta AC. Quod est absurdum. Nam per Prop. 6s sagitta AC mnium radiorum Quadratricis breuissima est reliquorum vero remotiora sagitta, propiore semper maior est. Punctum igitur B non potest eis centrum sectoris Am O cuius semidiameter I maior sit semidiametro Assi sectoris FG Et quae est sesqui- altera lineae A Dinter centrum A, lineam BD, quae in B Quadratricem tangit. Quod
Dicatur secundo punctum Quadratricis B esse centrum grauitatis sectori Aret L sectore AUGE minoris. Ita siccetur in Reius semia diameter Aq, ut A I sit sesqui abera rectae Arici sit nimirum pars ARpartis R I dupla. Tum duabus lineis A R, A B tertia proportionalis Tinoeniatur. Haec maior necessario futura est quam Quadratricis a. gitta A C. Nam ch Al sit etiam per Prop. 3o Coroll. media proportionalis inter AD a tangente BD abscissam in sagittam A G erit Quadratum lineae A B aequale tam rectangulo lineis AD, AC , quam rectangu
333쪽
rectangulo AR, AZ comprehenso. Cum ergo duo haec rectangula snt aequaliaci Ita erit per Prop. is Lib. 6. Elem. AD ad xx utra ad C. Sedam maior est quam Α R. Ergo Zmaior etiam esse debet quam sagitta A C per Prop. i . Lib. 6. Elem. Quare si centro A in
radio Tarcus circuli describatur is secabit Quadratricem in aliquo puneto, ut in puncto X. Iam per X ducatur tum a pungiora recta secans in Pinxem, tum a centro A radium Am deinde arcui Naaequalis sumatur M, itemque L Κ: ductis etiam lineis A M. AK: denique sumpta Ara rectae AR aequali ex oper B traiiciatur linea reclaradium Ari sectura in V.
Hac absoluta constructione, constat, in praecedente casu, arcus
M. Id esse inter se aequales: atque adeo sectorem A HKra bifariam diuidia radio Am, dc in radio A centrum grauitatis reperiri sectoris A HAE M. Quo eodem iure sectoris AMNI grauitatis centrum in reclarabiectorem bifariam secante reperiri debet. Ad haec constat tam duo triangula, ABO A XB, quam duo ABV, A XPesse similia.Nam ex construmione Αο aequalis est rectae AR,&AX rectae Z inter quas est Assi media proportionalis Clim ergo ita sit via ad AB, ita B ad A X;quae sunt latera circa communem angulum Aci erunt duo Triangula A SO, AN B aequiangula per Prop. 6. Lib. 6. Elem. Est scilicet angulus ABO angulo A X aequalis. Ergo Nanguli is deinceps positi, nempe ABV AX P, ille pertinens ad Triangulum A B hic ad Triangulum A XPi sunt aequales,aequales autem sunt ex constructione anguli Bas , in X. Ergo, haec duo Triangula sunt aequiangula δε similia per Prop. 32. Lib. i.
Quae cum ita sint Latus BD Trianguli A B O , ita erit ad SA vilatus B X, Trianguli Am X, ad eiusdem latus A X. Quia vero duo Triangula A B V, A XP ostensa sunt esse smilia εἰ ita est A B ad BV; veAX ad X P. Ergo ex aequo ita erit m ad B V B X ad XI. Sed veB X ad X R, ita est angulus L A N ad angulum N AI per Prop. 64. Ergo ita est O B ad B V , t Angulus L AN ad angulum N AI velut angulus L M, ad angulum M A N sunt enim hi duo duobus illis aequales. Ergo etiam ita erit m ad RV, ut angulus Ham anguli DAN duplus, ad angulum Mad anguli Mab duplum per
Prop. I. Lib. I. Elem. Ergo etiam per Prop. 33. Lib. 6. ita erit B, ad , , ut sectora HKMadsectorem ANNI eadem enim est ratio sectorum, ipsorum angulorum.
Quare cum totius sectoris A HII ex duobus sectoribus ΑΗΚ M
334쪽
Lib. III. Dest uadratrice. διγ
& AMNI conflati centrum grauitatis agetatur esse mi fratricis punctum B centrum autem sectoris A HAEM reperiatur necessario in radio xcipum sectorem bisecante i si tri grauitatis centrum se tori in diu in radio Am ipsum bisecante reperiri debet ac domum ducatur recta os per grauitatis centium totius sectoriὸ AH Lia qua in B secatur in reciprocat ratione partialium sectorum: nec alia possit per Prop. 61.duci per B linea recis,quae in eadem ratione secetur necessarium vero se per Prop. 6. Lib. I. Equitan Archim eam in ea reciproca ratione secari, quae per centrum grauisa eiusac partium eius ducitur. Concludendum omnino est, E V conistrum esse sectoris AH ΚΜ.& sectoris AMNI centrum esse O. Verum, cum A O posita sit aequalis lineae Aa quae duas tertias partes ex hypothesi continet semidianstitia Icontinebit, ipsa AO duas certias partes semidiametri A N. Ergo seestoris AMNI centrum grauitatis odistat a circuli centro A duabus partibus tertiis. Quod est ablurdum tum per Prop. 3 cuiusuis sectoris centrum grauitatis, munusquam duabus tertiis partibus semidiametri ab ipsis circuli centro distate necesse sit. Clim ergo punctum B Quadratricis non possit esse centrum grauitatis sectoris vllius, cuius semidiameter vel maior sit quam sesqui- altera lineae abscissae a tangente Quadratricem,vel eadem minor dicendum est esse centrum illius seetoris , cuius semidiameterest abscissae illius a tangente, sesqui-altera. Quare Si linea
quaepiam BD c. Quod erat probandum. Alia Demosyratio. iuuat ad Propositionis tam exi- . miae firm us stabiliendam, M apertius exponendam veritatem, aliam
N eius demonstrationem instituere,
quae ex Propositione 3 2.Operis ini-
Hi sunt tio laudati de centro grauitatis paristium circulii Ellipsis ab eximio
Geometrario an ne dela Fa ille SocIesu lucubrati colligitur. Si enim habet ex eius sensu, & pene verbis. Si quolibet eirculi sectora A NOC fariam secta ino, latere eius A C velutias deseri u . erit triangulam ABC, dimidissectori AOC aquais ommunem eum sectore habens -- angulum, qui ad centrum A circuli est: demde a vertie B trianguli ad basimpredacta linea BD, qua priori triAnguis AB C simile triangulum ABD
335쪽
ABD eonstituat: centroque A sectoris, acius describatur sector 'si eiusdem aquis cum datosectore AHO cuius latus Aasit JUροι- alterum lineae Ai, qua inter centrum circuli A. concursum D ineae BD a veriti ducta ad productam basim in interuratam vianguti ABC vertex b, erit centrum grauitatis sectoris A FG E p rem descripti. Haec ei laudat Authoris Propositio, quam acute accurateque probat ex Principiis ab iis quae ego adhibui longe diuersis ex qua ita licet argumentari Ducto quocunque Quadratricis radio Assi, si ex puncto B duae ducantur lineae BC BD,illa ad Quadratricis verticem C; haec Quadratrice tangens in B: duo constituuntur triangula BAD, BAC similia per Pro to Ad haec. Si centro A per verticem Quadratricis C circulus describatum est secto AO criagulo ABC aequalis per Prop. 3 .Quod
cum ita sit: cernis, opinor, hic obseruatam omnem citati Aut noris
suppositionem. Ex qua eandem sequi conclusionem necesse est. Nimirum. Si Am bifariam diuidatur eiusque emissi aequalis ponatur oeta, positaque semidiametro Assi sector I a constituatur: erit eius sectoris centrum grauitatis punctum Quadratricis',quod cst vertex trianguli Amta Nihil ergo verius, quam punctum quodlibet B Ouadratricis csse grauitatis centrum sectoris A R E cum radius E est sesqui-alter lineae AD inter centrum A,& lineam B DQuadratricem tangentem interceptae, & haec mea Propositio asserit.
In trasunt, mi Lector, que sequuntur tum Coroliaria tum chialaeti Propo sitionepraecedente deducta Euanquam enim ea obseruatione ι- σω a censurum te non dubitem scito tamen non nisi tardius, aῬοlutosci trethse toto opusculo a me fuisse obseruata; vix t satis tempori πσ-phicis operis transmitt/jotuerint ut minime mirere. neque in Propositionum μνιem , provisisse estius, componantur neque adsequentia, prous,
tib iis/ιο--- otuisset , exponenda adhibeantur , quod,
.is, Dissoccurret, secueicebit aduertere ea porro cuiusmo sui accipe.
R petat i Theorematis praecedentis non- nihil mutata constructio intrinac modum. Supponatur recta BD Quadratricem tangere mlh Axἱque occurrere in in tum fiat Assi sesqu itera rectae AD, uam ex Axe abscindit tangens BD: centro porro A per B circulus describatura qui alterum Quadratricis cornu secet in , per quod unctum ex centro A radius,emittatur eodem etiam centro A circu-
ei E describatur radiis AB,AO productis occurrens j dc F. Hispositis, ex praecedente Prop. sequitur punctum L centrum esse gra-
336쪽
uitatis sectoris GEF. Nam iuxta eam Propositionem punctum est centrum grauitatis sectoris, qui componeretur ex sectore AG E. dc altero sectore huic aequali ex altera parte radi A G constituto cui toti sectori aequale esse patet sectorem A GEF. Ergo sicut B centrum est grauitati prioris illius sectoris ex citata Prop. Ita L, quod lue ac punitum B disti a centro x, est centrum grauitatis sectoris
A GEF Atque hoc quidem planum c apertum est. Hoc porro
Si statuat ut AP sesqui-altera ectae qui e est distantia centa grauitatis sectoris ipsius G EF Deentro Ra dico punctum Pelli centrum grauitati arcus ipsi s EF ς ctorem ΑGEF constituentis. Huius
Astertionis veritas tum CXTheoremate piae cdenti, tum ex quadam ut lini nostri Propositione deducitur 3 iram refert, merit mirum in o. dum commenda insignis ipse Geometra Antonius Lalo uera nostret item SCcietatis Lib. F. Prop. 2 .Coroll. a. Opcris in au
dii de Cycloide. Hic ergo rc fert ab illo de monitratum , si cui uini arcus GEF centrum P auitatis notum habeatur,no . tum fieri sectoris ipsius A GE Fcentrum grauitatis L si ut ternarius ad binarium, ita fiat centri grauitatis arcus G EF distantia A Pa centro A ad rem Atrei it enim L centrum grauitatis sectoria ipsusAGE F. Ergo conuertendo. Si notum habeatur prius centium L grauitatis sectoris A GII, si fiat ut binarius ad ternarium ita AL distantia centri grauitati lectoris A G EF a centro A ad AP hoc est, si Al fiat sesqui- altera rectae A L erit incentrum grauitatis arcu G DF , cui angulus sectoris insistit. Constat ergo quomodo ex praecedenti Theoremate ac Guid in Aisertione notum euadere queat centrum grauitatis arcus cuiuscunque sectorem constituentis. CONI
337쪽
Si centro Quadrati icis circulus quicunque deseribatur, cans in B superius Quadratricis cornu, inferius autem in , Oe Axem in L:ac demum Quadratricis sagitta et ita diuidatur in P, ut ipsa sit suae partis Ad sesqui- altera, siue , quod idem est, sit C lagitta AC ars tertia. Dico punistum d esse centrum grauitatis sectoris ABLO. Quod
sic ostendo repetito siseriori
Cum Assi e rectae Amri, a rectae Arsu ex hypothe hs sesq*altera : Rectangulum primam Evi quarta I com- prehensum aequale est Rectan gulo secunda A D&tertia A Ccontento.Sed Reetangulum sub D, AC aequale est Quadraeo AI, interim sunt enim tres rite proportionales γ Prop. 3o huius L AL aequale est Rectangulum rectis AE, ita est Aa d AL ,st A I. Sed AL est distan. tia centrii grauitatis sectori A GCF acerutro A. Ergo AI distantia est ab eodem centro A isi, ri grauitatis sectoris A BL limilis, simiditerque postiti se araxi AGER ipsumque punctuma, cum in sicciore B Loesimi iter se habeat, ut se habet centrum Larauitatis sectoris A GEF eiu grauitatis centrum ius dein sectoris ABLO per Axi. 6. Lilia tibi, quipond. Archim. Quod demonstrandum in erat.
Iisdem positis, Vertex C Quadiatricis centrum grauitatis arcus B LO cui insistit eiusdem sei toris A BLO angulus. Id aperte constat ex probationc Corollari pi imi est enim AIdistantia centri gra viatis tectoris A BI O a centro A ad C, ut binarius ad ternarium rErgo C est centrum grauitatis arcus B L . Quicunque ergo circulus centro A Quadratriai, oles ibatur utrum- lineae A D. Lergo eidem Q l contentum
338쪽
que ei in cornu secans secabit eni in cum sagitta AC st omnium c d iorun Quadratricis breuissimus, reliquorum autem sagittae propinquior renaOtiore breuior scmper sit per Prop. 61. huius ut in O, centrum grauitatis sectoris; qui ex centro A ad sectiones aem eductis radiis constituitur temper erit punctiim I punctum vero C ver rex Quadratricis, semper erit centro grauitatis arcus B LO, siue bascos eiusdem sectoris. Qua Quadratricis facultate haud scio an alia aliqua vel ipsius , vel alius cuiuscunque eius generis curuarum linearum admiratione dignior obseruari queat. Hinc facili negotio soluetur Problema, quod paulo grauiore solutum est inserius sed ibi moniti superioris memineris est autem huiusmodi. Dati talusvis sectoris A GEF schemate utar eodem e=trumgrauitatis, una cum centro a s earinistit, definire.
Angulus G ΑΨ dati sectoris bifariam diuidatur eiusque semissi ad punctum Α Axis A C, fiat aequalis angulus G C ducto radio A G,
qui Quadratricem secet in B. Tum centro per B, circulus describatur secans in O alterum Quadratricis cornu, eiusque Axem in L. Iam constat ex praecedenti Coroll. punctum centrum esse grauitatis sectoris A BI O similis ex constructione sectori dato AG SP pumctum autem acentrum esse grauitatis arcus B LO , qui sectoris eius isdem basis est. Fiat ergo ut radius x ad AI ita radius Aa ad AL sex schematis huius constructione Alcasu est radius ipse prioris metoris, alias aliter contii get erit tacearrum grauitatis dati sectoris A aE F. Similiter, si fiat ut idem radius A L ad A C, ita radius Assiada Peserit incentrum graukatis arcus G EF. Vrumque constat ex allato superius Axiomate, Lib. r. Equipond. Archimedis Tam enim duo puncta Im L, quam duo Cin iniri similibus figuris, sectoribus scilicet ABLO, AGE F, similiter sunt posita. Ergo Lissunt ea quae inuestiganda erant centra grauitatis in dato quovis sectore AGE F.
Τn eodem schemate tangat BD Quadratricem in B, Axi occurrens in D: si centro A per Darcus D Κ deseribatur sectorem, AMDAE constituens similem sectori ABLO erit L centrum grauitatis arcus H DK, idem quod Prop. antecedente demonstratum est esse centrum grauitatis sectoris AGEF,cuius radius AE positus est sesqui- alter radix D. Quod ostendo. Ttes lineae AO, A B siue A L.& Ac continue sunt proportio. at nales
339쪽
i 3 1. Lib. III. Desuad atrice.
nales per Prop. 3 o. huius. Cum ergo sit AC ad AL, via ad Am punctum C similiter constituitur in sectore Alio eiusve arcu BLO, ut constitutum est punctum L in sectore AM DAE, eiusque arcu
HOR. Sed C est centrum grauitatis arcus B L per Coroll. 3.Ergo Lest etiam centrum grauitatis arcu, H DS per Axio. 6. Lib. i. AEqui pond Archimedis. Corylurium c. Ex eo et,quod quilibet arcus centro A daadratricis descriptus eamque secans,qualis est arcus BIO , suae centrum grauitatis in ipso Quadratricis vertice C nanciscatur ecce nouam e Quadratricis thesauro dc promptam preti non exigui gemmam' conficitur planam ipsam superficiem sua Lunulam BLOC arcu circulari LO, MQuadratricis arcu BC circumscripta mallud ipsum centrum anan clici grauitatis suae. Hanc Propositionem haud aegre admissuri sunt, qui quantitatem ex indivisibilibus conflari sibi persuadent. Constaret scilicet Lunula illa arcubus innumeris centro A descriptis: quorum omnium unicum est grauitatis centrum C,& unicum perpendiculum ad Axem in puncto C rectum. Neque vero multo aegi ius eandem sunt admissuri, qui ex saniore Philosophia Quantitatis ex Indiuisibilibus compositionem illam reiiciunt. Norunt quippe hanc per indivisibilia argumentandi methodum etsi per se sola ad assentiendum minus euidenter cogat intellectum creduci tamen posse ad vera, & a Geometris usurpari solita Principia operat ieet paul6 longiore cui maximo cum compendio parcitur, ubi per indivisibilia agi posse constiterit: ea siquidem methodus, si miniis Propositum colligit, est tamen signum certissimum,& character mani sestus veritatis demonstrandae quod ad assensum sussicit, ut hic sufficere mihi concedi velim , ubi obiter tantum haec Corollaria obseruanda suscepi. Vnum tamen addo maioris expositionis gratia.
Memini in mentem veniat dubitare, quin cuiusuis circularis superficiei centrum grauitatis sit ipsum circuli centrum cuius euidentiae Argumentum ex indivisibilium methodo facile potest expicari, si nimirum e u omnes diametri attendantur centrum idem cum circulari ipsa superficie possidere, omnes siquidem in eo bifariam secantur. Sed aptius idem iuxta eadem indivisibilium Principia concipies si attendas citculos numero infinito, ex eodem propositicii culicem ro intra ipsum describi quorum omnium peripheria idem est centrum grauitatis atque adeo totius areae ipsius citcularis quae ex huiusmodi Di9jlla d by Ooste
340쪽
di peripherii numero infinitis constare iuxta indivisibilium metho dum supponitur. Quod si attendatur orbica aris plana superficie sue corona inter duos concentricos circulo intercepta non aliud quam circulus ipse totus centrum obtinebit glauitatis propter eandem rationem. At huius Lunulae B L O C cum integro cilculo B L O par est omnino ratioci omnes enim arcus centro A intraehanc lanulam deseripti, Quadratricem siccantes utrimque , centrum grauitatis in Quadratricis vertice C obtinent. Ergo ipsi superficies lunari BLOCiuxta indivisibilia idem sibi vendicat grauitatis centrum a Nec aliud ab illo foret grauitatis centrum superficiei qu. duo arcus centro A descripti, & ad Quadratriccm terminati intCrespcrent, quem admodum in tota circulari corona contingere p. es ante deciara tum cst. Caeterum hic nec mirari, nec moueri adeo quisquam bet quod ex falsa quantitatis ex indivisibilibus compositione suppolita , verit: colligatur Geometricae Propositionis; tum quia, ut iuperitis monui, non per se, sed veluti ex charactere, signoque certii Timo Propositionis huiusmodi veritas elicitur ope indivisibilium , reducique potet ad methodum vere Geometricam per illam inita argumentatio tum quia ut hic, ita non rarb alias cx falsa suppositione veram conclusioncm colligere nouit Geometria. Quis in dubium vocavit aliquando Archimedis ratiocinationes,quibiis per Libram Parabolam in Quadratum conuertit duis non miratur,ac amplec itur inaudita Theoremata,queialouera noster tum in Elementis Tetragonismicis tum prς- sertim in Promota veterum Geometria Archimedem secutus adhibitis Librae Principiis demonstrauit an non tam ambo Libra utuntur omninis falsa, dum ei appensa grauia ad grauium centrum herri supponunt per lineas ad Librae iugum perpendiculares, atque ade interie parallelas, quas tamen in centro concurrere necesse est 3 Sed haec obiter de hac indivisibillum methodo ex Euius Corollari occallocedicta sunto. Corollarimn T. Si centro Quadratricis circulus describatur Quadratricem secans in B eiusque Axem in L ex demonstratis patet centrum
grauitatis sectoris Alio haberi in puncto I Axis si sagitta AC ita diuidatur in I, ut Ac sesqui- altera sit recta AI. Hoc vero statuto Assero tertiam partem Quadrati quod potest semidiameter Assi, ita
se habere ad se em mi, ut se has et AI ad Applicatam B D.
siue ad sinum rectum arcu B L, siue is fuerit maior, aut minor Quadra