장음표시 사용
341쪽
drante circuli, aut ipsi aequalis quo in casu Appurata erit Ba sinus
totus, punctumque D cum centro A coale ceti Alsertionis huius demonstratio hac egee praeparatione Centro A per Quadrat cis verticem C circulus describatur lecans in GApplicatam primariam , quae scilicet est ad Axem incentro A perpendicularis. Tum duis
cantur rectae GI, G C BC. Quibus postis patet triangulum LGI esse per Prop. i Lib. s. TU Elem duas teritas partes trianguli AG C. Quod clim sit, semissis Quadrati semidiametii AC, erit triangulum GC, pars tertia Quadrati huius. His ita paratis Propositum colingo in hurc modum. Triangulum AGI ita est ad triangulum BC , ut illiu , altitudo xl ad huius altitu
dinem BO cum illicio sis AG sit huiui basi
AC aeq alis. Sed per Coroll. 2. Prop. so huius, triangulum A BC est
sectori cum angulus B Atas uir rectus est, incongruit puncto saeuuale. Ergo trian 'Acrita se habet ad sectorem AGH, Qt AI ad BD. Sed triangulum AGI est tertia pars Quadrati semidiametria C. Ergo ita, Π ad BD sv tertia pars Quadratile mali ametri AC adiecto P. Iam , cum Jta sit AG ad A L,
inest rursus A C ad A L Hlactora Cae sum primamin C ad se ctodiem similem Aj undam A L Lut est Quadratum se per
etiam AG ad Qua traxum super quartam Aa per Prop. 21. Lib. 6. Elem.&per
secto A CUM . Elem. ut tertia pars Quadrati tertiae AC adrati quartae i. Et permutando. Ita eritia tersam partem Quadrati semidiametri AC ut sectos Aia est ad tertiam partem Quadrati semidiametri A L. Et iu- uertendo. Ita erit tertia pars Quadrati semidiametri AG ad lectorem GP i vestertia pars Quadrati semidiametri A L ad sectorem ALB. Sed ut tertia pars Quadrati semidiametri AC ad sectorem Ac P, ita est ostensa recta A ad rectam BD. Ergo ita etiam est tertia pars Quadrati semidiametri A L ad sectorem A UR, ut est recta Aa ad rectam BD sue signum rectum arcus Ba aut anguli A L. Quod erat demonstrandum Eadem plane futura est demonstratio cum continget sectorem ADB esse circuli Quadrantem,mutatis tantum Characteribus Gin P,& in D, aut potius utrisque eidem puncto afixis. Scholiam
342쪽
Scholium I. Quae proximo Corollario exposui, meditanti mihi, in mentem venit non sine voluptate singulari Propositio Vices main vitima Lib. 3. Elementorum Tetragonismi corum insignis Geometrae Latouerae nostri, nec minore fortasse ipse aut quis alius Lector capietur , ubi aduertet quam alienis a se inuicem Principii , methodisque eandem veritatem Ambo collegerimus inde hisce nostris Geometricis exercitationibus non parum fidei, authoritatisque comparetur Ecce ut sonet citata Propositio ad schema meum apposite. V se habe recta a centrum circuli A. est centrum grauitatis semicirculi ABLO connectens, ad semidiametrum', i ita tertia pars Euadrati, quod potes diamete Bi eiusdem circuli es ad eiusdem circuli aream. Cum ergo eadem sit proportio rationis Quadrati, quod potest diameter BO, ad totum circulum im rationis quartae partis illius Quadrati ad quartam partem areae totius circuli hoc est Quadrati, quod potest semidiameterat , ad circuli Quadrantem, sicut enim Quadratum semidiametria est subquadruplum Quadrati diametri BO, ita sector siue Quadrans Alicst subquadruplus areae totius circuli sit item per Prop. s.Lib. . Elem.eadem proportio rationis tertiae partis Quadrati,quod potest semidiameter Am,ad area Quadrantis ABL; Rationis tertiae partis Quadrati, quod potest tota diameter BO ad aream totius circuli: constat rectam A ad recham AB semidiametrum circuli siue sinum totum ita se habere, ut se habet tertia pars Quadrati semidiametri AB ad circuli Quadrantem ABL iuxta Authoris laudati mentem Constat ergo in hoc singulari cald, in quo sector Aia est Quadrans circulis, Applicata ad Axem perpendicularis est semidiameter, siue sinus totus ΑΒ , de quo solo disseruit clarissimus eo
metra; quam bene consentiant asscrtiones nostrae, licet ea quam Corollario proximo exposui, ad sectores omnes aeque ac ad circuli Quadrantem pertineat. Scholium
Non sine voluptate contemplaturum spero studiosum Geometram consonantiam miram, quae intaris intercedit uae hactenus tum
343쪽
hac Prop. 66. tum praece dciatibus ex ea deductis Corollariis de centro grauitatis arcuum lcctores constituentium exposui in inter ea, quae codem ccntro demonstrauit acutissimus Lalo uera , in primis Pro- potitione αν ii 3. de Cycloide; cum praesertim obseruabit mediis a te inuiccm tam alienis candem mctam virumque nostrum fuisse asse. t. tum: vi pio pterea consensioncm hanc paulo planius explicarci neq; enim est adeo obui, non abs re videatur. Accedit quod ex eo non parum certitudinis Sce uidi. ntiae Assertionibus utriusque conciliabitur de Oadratrici nostrae non palum commendationis, utpote quae non solii: a inti quae Hulicis Arelimrcus exprimari facultatibus, ut ex aperi moi: conlita , sit insignis sed nec iis carcat, quibus praestat re-
Primo itaque. si centro A Quadratricis per puncta &O, in quibus generans diametera Quadratrice vc.uur describatur semicirculus B LO acric C Quadratricis crat centrum grauitatis arcta semicircularis BLO ut Corollario 3. declaratum est; Quadratricis sagitta AC erit iuulam centri grauitatis C a istantia a centro ipso Asemicirculi. En ut hoc iis consentiat quae citata Prop. D. Lib. I. de C)cloid asserui, tura laudat Authorc. As erit enim centrum grauitatis semipe-tipheriae B L O distare a centro A, unde descripta est, duplo termini secundi Progressionis, quam vocat stibadjuncta. Mihi igitur incumbit declarar sagittanti AC ipsistime eis terminum ilium cc indum bis si num Progressionis subadiuncta. conscio fit ius caenam sit Progrestio illa tam adiuncta quam subadiuncta, expotuero iuxta eius sensum ad initium Libri . de Clycloide piopositum, Ait igitur, si
ineatur quaedam progressio, uius primus termini u sit circuli semidiameter, c cundas vero eiusdem cuiculi semiperiphcria, Wiuxta hanc rationem extendatur Progressio ea est quae Adiuncta dicitur. Quod si eodem seruato termino primo, radio scilicet circuli, altera Progrcssio instituatur, ita, si cundus terminus ad primum , nempe ad radium circuli, ira se habeat ut ipse radius se habet ad semiperiphcriam, dc sic extendatur ad quotcunque terminos Progressio: ea est,
quae ab ipso vocari seletsubadiuncta. Quibus declaratis, si in ara diginalg
344쪽
digmate nostro radius A L statuatur primus terminus , secundus au tem semiperipheri BL O ea erit secundus terminiis Progressonis Adiuncta. At vero si, ut est radius L ad semiperipheriam Bio cita fiat alius terminus ad ipsum radium Ai, erit alius ille terminus terminus subadiuncta Progressionis Ostendendum itaque mihi nunc est sagittam Quadratricis AC esse duplum terminum secundum subadiuncti Progressionis sic enim constabit eandem esse utriusque nostrum Assertionem. Id porro sic ostendo. Quadratricis sagitta AC, radius AB,i circuli Quadrans BL sunt per Prop. r. huius, continue proportionales. Ergo Rectangulum sagitta AC, quadrante B L in rectam conuerso contentum aequa-
est Quadrato radi j AB, siue A L. Sed Rectangulo sagitta Ac,
arcu B L in rectam conuerso aequale est Rectangulum sub dimidia sagitta Aa, duplo arcu B L, hoc est, semicirculo BLO contentum per Prop. i . Lib.6 Elem sic enim sunt horum duorum Rectangulorum reciproca latera. Ergo Rectangulum hoc dimidia Ac, 4e-
'micirculi arcu B L O in rectam conuerto contentum, est etiam Quadrato radi A aequale. Ergo ita est radius A ad semiperipheariam BLO hoc est, primus terminus ad secundum Adiuncta Pro gressumisi ut dimidia sagittae A C ad ipsum radium AI , hoe est, ut terminus secundus Progressionis subadiunctae ad primum. En igitur ut Quadratricis sagitta Ac dupla sit termini secundi subad iuncta Progressionis,atque vel nassignanda distant a centri grauitatis se miperiphetiae BLO ab ipso circuli centro A Ambo concurramus via licet longissime diuersa insistentes. Secundo Ostendi Prop. 3 i. circuli Quadrantem B L, radium AB. sagittam A C esse continue proportionales. Hoc ipsum Latouera Pr positionis eiusdem xr. Lib. 1 parte secunda demonstrate suis Princi piis e statica deductis. Ostendit enim secundum subadiuncta Progressionis telminum bis sumptum quem ita uamplum aequalem esse Qua- dratricis sagittae A C proximE demonstraui ac radium Assi vi arcum B esse continue proportionales. Quae maior possit in hoc consonantia desiderari
Terti, Si centro A per , ubi radius generans Quadratricem secat, Quadrans BII deseribatur tum recta ducatur B L haec bis,
riam secatur in Ra Quadratrice iuXta Prop. 8 huius,& per Prop. 3.
Lib. 3. Elem. iuncta A perpendicularis est ad ipsam chordam BL H-emque semissi R est aequalis propter angulos in L. LAsemis ectos aequales. Iam si centro A per punctum Quadratricis R
345쪽
arcus describatur RZS: constat per Coroll. 3. Quadrat C esse arcus illius centrum grauitatis quo habito licebit per Corcenti um grauitatis, cuiusuis arcus arcui 's similis , hoc est, cire
ii cuiuscunque Quadrantis est enim et S. circuli Quadrans remtrum grauitatis definires arcus, verbi gratia, P Ur si nimirum fiat ut radius A Z ad radium Ai, ita sagitta AC ad AI erit enim V ad arcum P LT similiter positum,ut positum est ad arcu RZ Qua
re iuxta Axioma 6 Lib. i. Equipond. Archim vim centrum estgcauit uis arcus Retri citas centrum est grauitatis arcus P L T. His plane consentiunt, quae a Latouera
Coroll. s. Propositionis 1 I. Lib. s. asseruiarur.
Ait enim. Si fiat ut latus Quadrati ad eius diametrum ita ccundus terminus bis sumptus subadiunctae Progressionis ad rectam aliam lineam : erit haec recta a centro ipso circuli distantia centri grauitatis arcus, quem abscindit recta circulo Applicata ea conditi ne, ut pars radij ad Applicatam perpendicu Liris inter centrum, ipsam Applicatam im te riccta, ita se habeat ad totum radium velatus Quadrati ad ius diametrum. Atqui casus hic aliua non est, quam qui est a me mximhexpositus. Ecce enim in meo sche malet Applica tam L ansculae 1 arcum B P L. ita abscindit in 'tadium DP ad ipsam perpenssicularem, ut eius pars A R ita se habeat ad totum radium AP, siue AL ut latus Quadrati ad eius diametrum: est enim Aa latus Quadrati, cuius A L est diameter, ut pater, cum
sint Ra vi aequales. Vt autem AR ad A P, sue ut radius et arcus R Z S, ad radium Alarcsis similis P LT, ita factus est AC se- indus obadiunctae Progressionis terminus bis sumptus ad A V di--antiam centri grauitatis V arcus P LTacentro ipso Acirculi. Patetaergo in hocsngillari casu qui, ut ex dictis colligitur, pertinet tantum ad circuli Quadrantem, idem obtineri centrum V grauitatis arcus Plutoni Latouerar, tum mea ex Quadratrice petita methodo Arcus vero cuiusuis dati centrum grauitatis inuestigandi rationem uniuersalem, quam Coroll. q. exposui, cum idem praestandi methodo, quam laudato Author Coroll. i. Propositionis xi. Lib. s. peti posse monet, cum id satis planum .expeditum mihi non videatur, conferre pluribus non immoror. Id ego quidem iuro videar pronuncia-
346쪽
te vix aliam posse huiusmodi centra grauitatis arcuum quorumcuniaque determinandi viam iniri posse vel breuiorem,vel tutiorem quam
proxime citato Coroll. a me explanatam.
Quarto. Non mirum si haec, pluraque alia, quae illo insigni suo
in opere laudatus Author de Cycloide commentatus est, Quadratrici quoquo modo conuenire comperiantur. Si cnim habeto, quod quemadmodum Quadratricis generatio Helicis Archimedatae ortui amnis superis est ostens, 5 ex ea assinitate nec paucas nec ignobiles Helicis facultates sibi vendicare Quadratrix demonstrata est ita etiam eande propter eande generationis cum Cycloide assinitate non pauciso audere huius ornamentis. En paucis in quo eluceat dicta illa affinitas. Si Quadratrix BD C; per cuius punctum D quodlibet, omnium instar, siue illud citra ubi diameter generans Quadratricem secat siue ultram sumatur tum radius Am , tum rectam EAxi perpendicularis ducantur. Deinde centro A per Quadratricis verticem circulus describatur radium A secans in L per quod agatur recta IO ad Axem C perpendicularis occurrens in F re elae DE. Dico punctum Rege ad Cycloidem minorem , cuius circulus genitor est CI. Atque ita si plura huiusmodi puncta F reperiantur , per ea deducetur Cydoides, transbitque per C d B eritque eius pars citra B ad A conuersii, ab eodem auersa ultra B. Quod ostendo. Per D ducatur
OG ad Axem recta Ea est per prop. 36. huius arcui I C aequalis. At FO , quae per Iducitur paralicia recta D G, ipsi DG est aequalis. Ergo FO est aequalis arcui In Ergo ex generatione Cycloidis minoris punctum Pest ad Cycloidem genitam ex circulo centro A per Quadratricis verticem C descripto. unde patet radium AD in rectam CD, ex quibus Quadratricis generatio absoluitur, perinde concurrere ad Cycloidis huius generationem unica tantum ducta de no 1io rem linea FG per punctum I, in quo radius Am genitorem circulum secat, rectae D G parallela. Ex his cernis quantum hasce duas inter cuiua, lineas intersit commercium unde colligas quam multae utrique communes facultates ex eo possint derivari quas si pluribus prosequar , nete ego longius quam par sit , a praellitutis finibus digrediar. Vnde igitur declinauit , eo cursum restituamus.
347쪽
PROPOSITIO XVII. Problima. I Ribus lineis Α Β, Α sese in secantibus, per
aliquod in earum aliqua datum punctum lineam transuersam, ad extremas AB, x terminatam ducere: quae a media secetur iuxta datam quamlibet rationem.
Data sit ratio EF ad FG datumque priamo punctum B in linea Α Β per quod duci debeat linea transuersa diu, quae a media Ac ita secetur in C; velut E G secta est in D: Secetur Am in I, ut in Esecta E a: Tum per punestum Iducatur IC parallela lineae AD, secans in C lineam mediam A C. Denique expuncto dato B per inuentum, ducatur rectam D. Dico BD ita secari in C i quemadmodum data linea Tase- Demostratio. Cum linea IC parallela sit rectae A D in Triangulo A BD Ita est per Prop.2.Lib.6.Elem. B C ad CD i ut est BI ad I A. Sed B I ad I A ita est, ut G Fad FE: siue inuertendo, A ad I B; v EF, ad FG. Ducta est igitur recta BD, ita secta in C , EG secta est in F, ut primo loco quaerebatur. Constructis posterior. Dathim deinde in media linea AC sit punctum a per quod duci debeat linea recta ad extremas A B. D terminata, quae in C ita secetur, ut E G secta est in F. Per punctum C ducatur recta a parallela lineae AD Tum fiat AI ad I B ut EF est ad FG ac demum ex B per C agatur recta BD. Erit DC ad CB, ut EF est ad FG.
Est DC ad CB, ut AI est ad IB. Sed AI ad I B ex constructione ita est;vt EF ad FG. Ergo ut est EF ad G ita est DC ad CB. Dato ergo puncto C in media trium linearum dum est tecta BD ita diuisa in C, ut in F diuisa est recta BG. Quare tribus lineis Ecc. Quod faciendum erati
348쪽
Lib. III. Desuadratrice. I IpROPOSITIO XVIII. nemma.
Irculi cuiuiuis dato quocunque sectore: eius centrum grauitatis reperire est ope Quadratricis.
Obsertias fortasse ii haec propositio , quae Problematis naturain sapit, in modum tanacn Theorematis enuncietur. Quia scilicet cum linea Quadiatricem tangens ad Problematis solutionem necessaria sit, cuius ducendae, etsi aliqua non tamen absoluta ars nobis innotescit: minus apte Problema propositum merito censeretur , cui deinceps
minus bene satisfieret. Dico itaque ope Quadratricis definiri posse grauitatis centrum in dato cuiusuis circuli sectore quocunque qualis est sector Hi K circuli HIAE T. Sit enim Quadratrix , cuius centrum ex A vi Axis A C; ad cuius extremum A siue Quadratricis centrum fiat angulus Fassi aequalis aesula H L sectoris dati viro. que autem hoc angulo bifariam diuiso duetis lineis LI, AG, haec Quadratricem secet in B: a quo puncto duci potesti quid enim obstat; linea Quadratricem tangens BD. Quod si bifariam Am secetur, partiumque altera a D usque ad E super Axe reponatura ac semidiametro A E circulus describatur ructae A F occurrens in F, ac sectorem A FG E sectori dato L HI similem constituens: er; constituti s ctoris centrum grauitatis punctum B Quadratricis per Prop.66. si igitur circului Huri aequalis fuerit circulo Fata radici Quadratricis x ex ccntroa circuli H L super semidiametro reposito , erit definitum grauitatis centrum dati sectoris. At si ci
culus PGI circulo HI tuerit inaequalis , chla; ita secetur ina semidia
349쪽
midiameter LI: ut semidiameter A G secta est in B erit g auitatis centrum dati sectoris L HΙΚ; similes enim figurae, cuiusmodi sunt hi duo sectores grauitatis centrum nanciscuntur similiter positum per Axioma 6. lib. i. Archim de aequi pond. constat autem similiter posita esse duo haec puncta M&m suis insectoribus. Cum igitur quocunque circulo dato liceat punctum Reodem modo definire, constat cuiuscunque sectoris centrum grauitatis posse definiri ac determinari. Eigo Circuli cuiusuis dato&c. Quod erat probandum.
Si sector proponatur, cuius angulus extrursum vergat, fuerit scilicet sector semicirculo maior, qualis est hic sectora H TR facilius habebitur eius centrum , i centrum reperiatur sectaris LMIΚ deinceps positi siue cum ipse circulum complentis. Inuento enim centro minoris huius sectoris si fiat ut sector L HT ad sectorem LHIΚ, ita L, ad LS: erit .per Prop. S. Lib. i. Archim. AEqui pond punctum S grauitatis centrum sectoris LM Tri. Est enim centrum L circuli, ipsius etiam circuli centrum grauitatis cum ergo duo simul sectores circulum totum compleanc erunt puncta singulorum S , R, a centro communi Lamborum dissita iuxta reciprocam rationem ipsorum sectorum, eorundem centra grauitatis. Quomodo autem habeaturi ta ratio sectoris LM S, ad sectorem LMIK vi fata L ad L, ut sector L H AE ad sectorem LMΙς constat ex Quadratrice i eius enim ope habentur rectae lineae quae ita se habent ad inuicem tot ars cus HTK&HΙΚ, siue anguli illis arcubus ad centrum L insistentes, aut etiam sectores. Verum, idem centrum S facilitis obtineri posse videtur si produ- eu semidiametro IL, bifariam secetur sector L HT tum unius e factis sectoribus, ta HM T. centrum O reperiatur: quod in rectam LN ad Preponatur, ac demum haec duo centra Om rem li- nea O P connectantur quae reclamia secet in S. Erit enim S centrum sectoris L HT semicirculo maioris Centrum enim totius sectoris in eadem recta linea reperitur, in qua duo centra in P reperiuntur per Prop. 8. Lib. I. AEqui p. Cum ergo idem totius sectoris centrum reperiatur etiam in recta ta eundem sectorem bisecanter erit necessario communis sectio S linearum O P.LT centrum totius sectoris LM TE. Quae industria in sequentibus poterit etiam saepius obseruari. Verum idem centrum grauitatis sectoris cuiuscunque siue minoris siue maioris semicirculo, aut ei aequalis assignare licebit methodo lon-
350쪽
ge ficiliore, quam exhibem deducta ex Propositione 66 Corolluia. Sit enim ricctor quicunque
Hl P minor , naaio: vesei circulo s utrumque
enim iisdem character bus designo qui bifariam diti idatur rectiori bi.
HK , quam angulum H T P. Constat in primis ccntrum graitatis
et oris huius in recta hac T necessario reperiri. Illud porro sic definietur. Descripta habeatur Quadratrix aliqua, cuiu centrum si x vertex C, sagitta autem AC ita secetur in I, ut tota Acsesqui altera si partis Aq, siue t quod idem est fiat a tertia pars totius A C. Tum fiat angulus a B aequalis angulo ΚT H mcmpe semissi anguli sectoris i recta autem Assi Quadratrici occu rat in B. Denique, LB est ad Ad cita fiatam ad T R. Dico punctii in Ressc ccntrum dati sectoris. Nam si centro A per B circulus describatur alterum Hadratricis cornu secans in O, ducaturque radius A O fcctor Bara simili est sectori dato H T P. Ergo per Axioma 6 Lib. I. Archim de quip. centrum grauitatis utriusque huius sectoris situm in utroque sertitur similem. Cum crgo punctum I citato loco ostensum si centrum esse sectoris ABLO; punctum etiam' centrum erit grauitatis sectoris ΤΗΚ P. Cum enim ita sit ex constructione radius T sectorem bifariam diuidens, ad T M ut AB, siue A bifariam etiam sectorem alterum diuidens, ad AI constat puncta Irim similiter in sectoribus suis esse constitutas atque adeo ex citato Axiomate centrum grauitatis sectoris Τ Η ΚΤ occupare definitum punctum R. Hoc eodem modo licebit centrum grauitatis arcus HK P definire
si nimirum vi est Aa, siue L ad A C Lita fiat K ad aliam super TZ a centro T reptinendam Ratio clara est ex citatis nuper Corollariis Propositionis 66.