장음표시 사용
351쪽
i Lib. III. Dest uadratris. PROPOSITIO LXIX. Problema. DAtis duobus cuiusuis circuli sectoribus sibi adiacentibus
datoque alterutrius centro centrum tum alterius, tum ex utroque compositi sectoris reperire, aut dato ex utroque conssati sectoris centro, centra utriusque dc terminare.
ducto OH Tu ad centrum A cuiuspiam uri ratricis, eiusque Axem Assi fiat an gulus Assi aequalis angulo YON; qui in angulos distrituatur singulos singulisaeq' les in quos distributus cst idem angulus ON, doctis radiis A L, A Gic. Quadratricem secantibus ergo poterit sector reperiri per Prop. 68. cuius centrum sit punctum B Quadratricis, in quo eam sec.D radius A G bifariam secans angulum H E. Sitiaque R auitatis centrum sectoris A FG Sex duobus sectoribus ARS E , ARLE, cui similes sunt duobus sectoribus datis QTN, O MY, compositi ducatur per l, in quo radius AS angulum I x bifariam diuidens, Quadratricem intersecat, linea BIP. Tum, per idcm punctum B ducatur linea Set ad duos radios Aa, A Sterminata, quaerata socatur in B per Prop. 67 ut BP secatur in I. Denique lineae OM,OT secentur in ΚαX similiter ut radii A L, ASsecantur in V&Z. Erit K centrum grauitatis sectoris OYMin Ecxcentrum grauisatis sectoris alterius Q TN.
Certum est per Axioma , Lib. I. de aequip. Archim puncta iX centra esse grauitatis sectorum O QMY, O TN sectorum similium
352쪽
similium AR L F, ARS E centra fuerint V, Z. Hoc autem sic ostenditur. Constat ptimo centra illa reperiri in radiis A L, A S bisecantibus sectores ARLF, ARSE: clim enim radi illi dictos sectores bifariam dividant, non nisi per centrum agi possunt. Constae item per Prop. 8. Lib. i. de Equi p. Achim lineam connectentem centra grauitatis duorum sectorum AR L F, ARS E duci per centrum grauitatis B sectoris AF Ga ex duobus illis conflati. Restat itaque probandum lineam Viet, quae ita in B secaturis BD secatur in L quae quidem unica esse potest per Prop. 61. 'me definire sectorum illorum centra. Quod ita ostenditur. Vt si nabet sector ARLF adsectorem ARSE, vel illius semissis, sector AL ad huius semissem, sectorem ASE sita se habet per Prop. 48. reciproce distantia centri sectoris ARS E a centro communia sectoris A FG Eex duobus sectoribus illis conflati ad distantiam ab eodem centro communi B, centri sectoris ARLF. Sed ita est Z ad B V v s
ctora L pqui semissis est sectoris ARLFo siue ei aequalis ΑGRS
ad sectorem A SE, semissem sectoris ARSE. Ergo V est centrum sectoris ARLF;&Z est centrum sectoris ARS E. Probatur Assu pium. Ex constructione ita est ZBad B V ut BIest ad I P. Sed per Prop. 6 . ut BPest ad I P Lita est angulus G AS ad angulum Sassi vivi angulus ille a S ad angulum S A L ita est secto AG RS ad se ctorem ASE. Ergo ita est Z Badis 4 ut sector AF DR ad secto
rem A ME. Quare V est illius sectoris grauitatis contruma centrum vero huius estet. Quod cum ita sit, etiam K centrum grauitatis erit sectoris o Met si X centrum sectoris O QT N. Ergo da tis duobus cuiusuis,c centra grauitatis reperta senti Quod erat faciendum. stholium.
Eadem sere methodo Problematis huius solutio ope Quadratricis
colligeretur si primo loco non centruma sectoris ex duobus datis sectoribus conflati inuestigaretur, sed alterutrius eorundem datorum se florum: ex eo siquidem statuto centrum tum totius ex duobus compositi sectoris in linea Ac, tum alterius in linea ipsum bisecante definiretur adhibita linea BP , quae in I secatur in ratione, quam sectores dati inter se obseruant. Porro aduerte sectorem,cuius centrum inquiritur, Axi AE adiacere debere, Axemque esse unum sectoris latus; neque enim aliter, ut constat ex Prop. antecedente,& aliis superioribus, potest determinari semidiameter sectoris, cum in solo Axe a linea Quadratricem tangente determinetur.
353쪽
I 6 Lib. III. De Quadratrice. PROPOSITIO a XX. Problema.
X qui primo sit semicirculo minor. In circulo cuius ci trum sit A idem cum Quadratricis centro, reperi tur per Prop. sic chor A FG silmilis secto ii X MY, .cuius grauitatis centrum sit, in quo puncto radius G Quadratriccm intersecat. Tum ex eodem puncto B ducatur BDquadratricem tangens, B L ad Axem AE perpendicularis. Dcindo recta A O pcrpendicularis ad chordam FAE , quae segmentum abscindit, ita secetur in R; ut A O si se Lqui. altera rectae A . Ac denique fiat ut DL ad L M, ita RB ad BS. Dico e sic segmcnti FG tacentrum grauitatis.
Cen rori deserit mur arcus B I in a puncto G ducatur tum Lad Axem perpendicularis, tum G rectae BD, quae Quadratricem zangit, paralicia. Constat primo per Prop. 4 sectorem At aequa. Icine si trian elato A BD. Hinc secundo constat sectorem AC Eiriangulo AG aequalcmesse. Nam tam sectora Ga sector Alcls lis est quam triangulum A G V triangulo A BD smiles eo quod V dusti sit lineae BD parallela. Ergo eandem habent inter se rationem Triangulum A BD & sectora B I quorum est idem latus A B;qυam habent per Prop. 22. Lib. 6. Elem triangulum A GV, sector G E quorum est idem laetus Ac homologum lateri A B, quorum
354쪽
utrumque duobus lateribus aequi ualet sunt enim & triangulorum, tasectorum similium latera Hinc deinceps tertio sequitur,ut tam trianis
gulum GAE V semisegmento Ota, quam triangulum B L semi- segm nto B L I sit aequale si nimirum ex aequalibus inter se sectoribus& triangulis aequalia siue communia demantur triangula AGD, AB L. Haec cum ita sint ut se habet triangulum BID ad triangulum BLA idi se habet semi segmentum GOE triangulo GKV ostensum aequale, ad triagulum GKA,siue ad huic aequale triangulum AOE. Ergo etiam per Prop.is Lil 1.Elem.ita totum scgmentum FGE ad totum triangulum AJE. Sed vestriangulum B L D ad triangulum B Aue ita est basis L D ad basim L A. Ergo ut L Dest ad Lin Litae Degmentum FGEad triangulum ARE. Sed ex constructione vi L est ad Lari ita statuta est R ad BS. Ergo ut segmentum FG ad triangulum ita est rcciproce R B distantia centri R trianguli FI Ea centro B totius sectori A FG ta, assae, distantiam puncti S ab eodem centrod. Ergo per Prop. , Lib. . . Equi p. Archim. vel Prop: 8. huius. Sest centrum grauitatis segmanti FG E. Quod cum ita sit, si cuiussi-bet segmenti segmentos a similis sagitta, sue linea subtensam bifariam, d ad angulos rectos secans qualis est PMὶ ita diuidatur in T, ut OG diuisa est in Sic ritu centrum grauitatis dati segmenti X MYper Axioma 6 Lib. i AEqui p. Archim. Itaque ope Quadratricis assignatum est grauitatis centrum legmenti semicirculo minoris .quae est prior huius Propositionis pars. Onstructioposterioris partis P postionis. Datum iam it segmentum et E semicirculo maius recta linea FEa circulo abscissum, cuius centrum grauitatis quaeritur. Supponatur inprimis repertunt esse centrum S segmentis a semicirculo minoris ad cuius inuestigationem ducta fuit recta BD Quadratricem tangens in B; unde demissa est ad Axem perpendicularis B L. Tum fiatv angulus G AE ad angulum G A ,sive ut arctis G E ad arcum G V, qui scini circulum complet i quod ope Quadratricis absolui facile potest, ut Prop. 1., 6 constat; vita AD ad aliam lineam, cui ponaturaequalis L H. Denique fiat via H ad Loci ita Aci quae est distantia centri me enti FGE a centro circuli Axad A Q. Erie taentrum g auitatis segmenti propositi Fet E semicirculo maioris.
Constat primo arcum GT V aequalem esse arcui F et, siue an-Plum, aut se cistemma V esse angulo, aut sectoria AZ aequalem. Est enim angulus GAE Husis angulo AZ ad verticem:
355쪽
si addatur communis angulus in V Daequales fient anguli Ga V,
FAdi, siue sectores, quoium illi sunt anguli. Constat secundo ex prioris partis probatione ita esse triangulum A BI , ad triangulum L BD , ut est triangulum AO E ad semisegmentum OG E. Ergo
AB L triangulum ad triangulum A BD , ut triangulonPLO E ad sectorem AGI. Ergo etiam ita erit A ad Di sunt enim eriangula AB L, ABDeiusdem altitudinis ut triangulum AD E ad sectorem A aE siue, duplis assumptis, ve triangulum ADE ad sectorem A FG E sed ut sector AGE adsectorem VI a ita posita est AD ad L H. Ex
aequo igitur ita est A ad L H, ut triangulum AO ad sectorem A VI G, sue ad sectorem huic aequitem AF et inues, ut triangulum AFEtrianguli AOEduplum adsectorem AFZEsceloris AFVZduplum. Ergo componendo. Ita est AL ad AH;ut triangulum AFE ad segmentum Feta. Et invertendo. Ita est A H ad AI , ut segmen tum PD ad triangulum A TE. Est autem ut A L ad L Diita tria gulum AF ad segmentum FGE. Ergo ex aequo. Ita erit AH ad Lo v legmentum Fet E ad segmentum FG E. Quae cum ita sint. Cum ex constructione ita sit Sa ad Araci ut est Had LD, ita erit Sa ad Ara , ut reciproce est segmentum PT ad segmentum FGE. Cum ergo A centrum circuli sit centrum commune
duorum simul segmentorum Ut autem S centrum segmenti FG Ercuius distantia Sa a centro communia ita se habc ad Ara , ut vicisi sim segmentum Fet E se habet ad segmentum FG E erit per Prop. 6. Lib. i de quip. Archim.vel per Prop. 8.superiore punctum O grauitatis centrum segmenti FZE semicirculo maioris.Hoc autem centro Q mvno semel segmento definito omnium similium segmentorum utra definiuntur, sunt enim in iis omnibus centra similiter posita per
356쪽
ker Axioma 6 Lib. i. de Equi pond. Quare in altero circulo, cuius segment X M semicirculo minoris, Amiussique segmento FGE, centrum T determinatum est reperietur centrum segmenti X V deinceps positi si fiat, ut S A ad A sua TN ad N R erit squidem centrum grauitatis segmenti X V semicirculo maioris. Itaque siue segmentum suerit semicirculo minus, siue maius eius centrum grauitatis inuestigatum est. Quod faciendum erat.
PROPOSITIO LXXI. Problema. SI triangulo sescelim et inscriptus suerit circuli sector X ut sani triangula duo mixtam V X, M TY
amborum centrum grauitatis assignare.
Constructio. Iuxta obseruatam in praecedentibus methoiadum se Quadratricis
alicuius centrum :qtio statuatur e
trum sectoris FGEsectori NX MY dato similisci cuius centrum grauitatis sit B Ut nimica Eo im semidiameter AElusqui-altera lineae AD, quam abscindit B D tangens in B Quadratricem , ut supra Prop. 66. declaratur. Tum sumator aequalis rectae A in tangente B Dabscissae, ac tandem fiat i dom G O Quadratricem tangenti BD parallela' ut O ad O A Lita BR ad RS. Erit punctum S centrum grauitatis duorum mixtorum triangulorum G ET, GT P. Quo absoluto, si radius vi datum sectorem bifariam secans ita in P diuidatur, ut eius homologa AG diuisa est in S, praestitum fuerit,quod proponitur.Ostendendum itaque est quomodo S sit centrum grauitatis duorum illorum mixtorum triangulorum GII, G E T.
Centro A per B circulus describatur Axem Quadratricis secans in L Constat ergo primo per Prop. so triangulam A BD sectori A BIesse aequalesvade sequitur sectoria GEquale tiara esie triang lum
357쪽
tum AGO; tam enim sector Ac Esectori ΑΒΙsimilis , quam triangulum G est simile
sic sit a tem per Prop. in Lil . s. Elem ut te.ctor ad triangulum Aram; ita sector G E ad triangulum A GOci sunt enim hae quatuor figurae supc latcra AB, AG proportionalia in ratione aeqrialitatis Bad AB, MAGad AG constructae. Quod clim ita si er i triangulum G aequale triangulo mixto G E T. Si enim ab codcm triangulo AG T demantur duae quantitates aequales, secto Lata et, triangulum Graci quae reliquae fiunt triangulum GOT, Wtriangulum GET mixtum Jhon nisi aequales esse possitnt. Ad haec constat punctum' centrum esse grauitatis trianguli AI posita siquidem est AR aequalis rectat AD cuius L, siue AG est ex constructione sesqui altera. Cum ergo AG bifariam diuida basim P .eric centrum 'ianguli A PT per Prop. 4. Lib. 4. AEqui p. Archim. His ita constitutis. Cum ex constructione ita sit RQ distantia centri B sectoris A FG E, ad RS; ut T O ad O Aa vi autem est O ad OA , ita per Prop. i. Lib. 6. Elem. est triangulum T G sue triangulum mixtum G trian
gulo T GD aequale ad sectorem LGE duplis assi impiis, ita triangula duo mixta I P. G E T ad sectorem A FG ta ita erit AE ad RS; viduo illa mixta triangula ad sectorem ARGI. Cum ergo Rsit centrum totius trianguli A PT in B sit centrum sectoris A FG Eierit Scentrum duorum sinu mixtorum triangulorum per Prop. 6. Lib. I.AEqui p. Archim aut Prop. 8 recta enim linea per duo centra B&a, sectoris A FcI, trianguli A PT transiens, transit etiam per centrum reliquae quantitatis, duorum scilicet triangulorum mixtorum per Prop. 8. Lib. i. qui p. Archim illiusque distantia a communi centro Mita debet esse ad distantiam centri cistoris B; ut reciproce sector ipse AFG Eest ad duo simul illa mixta triangula, hoc est, ut Aoad O , quemadmodum declaratum est. At ex constructione ita est RS ad RB, ut A ad OT: tribus squidem lineis O, A, MBR quarta proportionadis RS statuta est. Inuento autem centro S
358쪽
Lib. III. De Ruadratrice. I LI
mixtorum triangulorum GF P, GOT recte inuentum est centrum P triangulorum M X V, M TZ. Quod erat faciendum.
ALterutrius e duobus mixtis triangulis GF , ET,
quorum centrum proxima Prop. inuentum est, centrum inuestigare. Constructis, ct Demonstratio. Sit itaque centrum mixti ei tanguli G Exin
uestigandum. Reperiatur in semidiametro AG, amborum centrum Saracper S ducatur ad AG perpendicularis. Certum est in ea perpendiculari reperiri utriusque huius trianguli centra. Cum enim aequalia insimἰva sint haec duo t imgula, debent eorum centra , si triangula inter se coaptari concipiantur, sibi etiam inuicem coaptari per Axio. F. Lib. i. AEquip. Archim. Vtergo linea illa recta, quae per commune centrum S amborum ducitur Clinea enim reeta per centrum commune transiens, transit etiam per utriusque ceti. erum per Prop. 8. Lib. i. AEqui p. Archim. ypossit coaptari, dum triangulum A GP circa AG conuerti intelligitur,donec triangulo AGrs perponatur, necessario perpendicularis cise debet ad Aa alia cen trum centro minime congrueret. Hoc itaque supposito, reperiai ut
centrum trianguli AG T diuisa scilicet basim bifariam in B, duraque Assi ita diuisa in G, ut tota AB sit sesqui-altera partis Acci erit
C centrum grauitatis trianguli AGT per Lcm. Commandini ad Prop. I .Libr.2Equi p. Archim. Sit etiam repertum per Prop. 68. centrum L sectoris A GE. Tum haec duo centra L, C recta linea connectantur: quae producta occurrat in D lineae ducis per S perpendiculari ad A G: erit centrum grauitatis propositi trianguli mixti GET. Patet huius enim trianguli centrum reperitur, ut ostcnsiim est, in linea per commune duorum triangulorum mixtorum centrum S ducta
ad A G perpendiculariter per Sci idemque reperitur in linea DC con-
359쪽
nectente centra LN C sectoris AGE, α&trianguli ΑGT per Prop. 8. Lib. I. Equip. Ergo aliud esse non potest, quam D, in quo duae lineae SO, L CD sese intersecant. Dati ergo huius generis trianguli mixti centrum definitum est. Quod erat taciendum.
PROPOSITIO XXIII. Problema. SEmi segmenti semicirculo minoris GD E centrum graui
Reperiatur in primis totius segmenti FGEcentrum S in recta xa; ad quam ducatur perri linea perpendicularis in ea enim perpendiculari centrum dicti emisegmenti reperiri necesse est, ut Prop. proxima declaratum est. Inuestigetur item per Prop.68.centrum L sectoris A G Si ac demum centrum C trianguli AOE, ducta nimirum Am bifariam secante eius basim OE: quae ita diuidatur in Cut tota AB sesqui-altera sit partis A C. Si enim per haec duo centra LN C recta linea agatur, sectura est iam dum perci ad AG perpendicularem,in D centro dati semisegmenti O G E. Cum enim L centrum sit sectoris A Ga, quantitatis scilicet ex semisegmento GD E. ex triangulo AD E conflatae , trianguli autem centrum sit C per Prop.8. Lib. i. quip. linea connectens haec duo centra L&C transit per re,iquae partis quae est semilegmentum grauitatis centrum. Ergo concursus D linearum SD, GL Dest centrum semisegmenti quaesitum. Epilogina Habetis Geometriae Cultores non tam industriae . quam inesse mihi pertenuem me non latet, quam mei specimen conatus adta tam initio praestandam fidem: quam virum ex voto vestro meoque praestiterim, ex tabulis hactenus a me prolatis Vos ipsi iudicatote. Mihi quidem certe primori altero huius opusculi Libro, quod propositum erat, videor assecutus: nimirum sententiam aduersus celebrem illum circuli Tetragonismum ab insigni Geometra R. P. Gregorio a S. Vincentio excogitatum, non tantum ex aequo iure, legibusque tum Geometricis eum Arithmeticis alias in Examine Quadraturae a me fuisse latam, sed etiam eandem in non leui te esse confirmatami
360쪽
dum,quae aduersus eam a strenuo Quadraturarum fautore R. P.Ayn- secim in sua earum deductione Argumenta sunt allata certum est autem allata fuisse, omnium quae excogitari potuere, grauissima, cum de causa ultimo decernendum seret ostensa sunt, veterum ipsius etiam Geometriae Parentis Euclidis placitis non minus, imo magis aduersarii quam quae ab ipso Authore primum addueta silerant, a me in citato Examine non sine communi Geometrarum approbatione
discussa,reiectaq, In quibus illud non in postremis perpendendum sese obtulit quod ab utroque hoc Author pronunciaturi nimirum, si ruae de Angulis posteritati tradidit Euclides admittantur,neque ipsumbi constare posse neque alia quaedam Geometrica Principia, qualia sunt definitiones tertia, & quinta Libri 1. Elementorum , inter se conuenire. Quod clim ab aliis quibusdam Geometi ae scriptoribus
asseratur ne nota haec Euclidi, totIque Geometriae inusta superesset salvaque Arethactenus illibata utriusque fama pluribus mens eometriae Parentis exponenda fuit: iuxta quam nihil aptius cohaerere, nihil firmius stare, quam haec, aliaque omnia nobilissimae huius disciplinae fundamenta,euidenter ostensem est.
Quidquid ergo labis ex nouis illis Principiis, Geometriae impendebat, longius depulsum est. Verum, non satis instituto fecisse videar, nisi etiam eidem disciplinae noui ornamenti quidpiam ad eandem Tetragonismi materiam pertinens, collatum hac fuerit. Ad id vix poterat aptius, quam Quadratrix Argumentum assumi. Ea enim a prima ipsa luce, in quam antiquissimus eius Author Dinostratus ipsam edidit tanta obliuione sepulta latuit, ut vix eius meminerine aliqui ι nullusque, quod acceperim, eam, licet insignium facultatum fons sit uberrimus, penitius scrutandam susceperit. Quam selicior recentius excogitatae Cycloidis sors extitit quam vix natam excep te, suisque vigiliis excoluere clarissima temporis huius Geometrarum Lumina. Quae ut spero, his paucis, quae pro modulo, libro huius opusculi tertio complexus sum, mentem inducent ad plura, reconditio. ra huius inflexae Lineae inuestigandam,steria adeoque eius ope ipsam circuli tam expetitam Quadraturam, ad quam vix planior, apertiόμque aditus patere posse videatur ἱ praesertim ex quo ipsum Quadratricis verticem designari posse demonstrauiope linea rectae, quae qum vis in puncto ipsam tangari cuiusmodi duci posse aperte declaratum est quω caput vel unicum probet euidenter minime inanem, fidoque maiorem ad frontem totius operis appositum esse titulum: ut alia non pauca taceam nihil magis nota, quaeque Paradoxum sapiant