장음표시 사용
361쪽
quae hoc toto tertio Libro prosecutus sum. Quibus, sic habetote, nec pauciora , nec vestris vigiliis, lucubrationibusque Geometrae doctissimi, minus digna, sed meis vitibus superiora; dum haec, quae vestri iuris seci,meditarer,obiter obseritare licuit ad euoluenda si tenue hoc opus meum mentes Vestras comparauerit, studiaque acueris; nae ego me de Geometria non male meritum esse, mihi ipsi gratulaturus sum, eoque impensius Diuinam Sapientiam Dil plinarum omnium fontem celebraturus; cuius nicam Gloriiana ut in caeteris, ita in his spectare, aequum,&constitutum est.
362쪽
Vo iure quis asseruerit quantitatem infinite extensam dari posse, eodem quantitatem infinite diminutam posse dari debet admittere.
Quantitatem infinite diminutam, siue infinite paruam hic voc. quantitatem illam, quae licet saepius in infinitum repetita, assignatam quamlibet eiusdem generis quatitatem adaequare, siue exhaurirenunquam potest. Hanc ergo admitti ab eo necessario debere assero, quo admittitur quantitatem dari posse tam extensam , ut assignata quaesibet quantitas saepius in infinitum repetita eam nunquam adis aequare queat . Huius prima quidem ratio ex eo deducitur, quod quantitatis incrementum permultiplicationem ex aequo semper opponatur eiusdem decremento per diuisionem. Ecce quantitas A si sibi addatur, siue per x multiplicetur factaque , rursus multiplicetur percise sic semper fiat, ut constituatur Geometrica progressio per rationem duplam extensas posset etiam per aliam quancumque rationem progressio constitui, per quam data quantitas A in infinitum augeretur maior semper fiet in infinitum quantitas Aper hanc continuam multiplicationem. At eadem quantitas A non minus apta est in infinίtum minui per diuisionem continuam per a Institutam, ut Geometrica rursus progressio duplae proportionis instituatur cuius termini priores, siue radici Aviciniores sint posteriorum semper duplici atque ita minores semper
363쪽
118 Lib II. Te Angulo contingentis.
minores in infinitum sim huius progressionis terminio sicut prilis permultiplicationem maiores semper fiebant in infinitum. Vnde patet eandem quantitatem A non minus aptam esse decrescere per diuisii nem contimiam , quam per continuam multiplicationem augeri. Qubd si concipi possit quantitatem illam Α, infinitam euasisse per infinitas duplicationes, nec ita auctam posse unquam adaequari percontinuam repetitionem eiusdem quantitatis x eodem modo concipi poterit eandem quantitatem Aper infinitas bisectiones infinite paruam euasisse ι nec posse particulam huiusmodi etiam infinities repetitam exhaurire quantitatem assignatam x unde infinite parua merito dici debeat. . .
At dices, successi ia illa quantitatis A tam duplicatio, quam bilectio ad eius infinitatem tam per augmentum, quam per decrementum aliquando peruentura concipi non potest. Respondeo non aegrius concipi posse infinitas duplicationes quantitatis A, quam ipsam esse in Nnite auctam, virobique enim infinitas quaedam concipienda reperitur. Deinde, cum infinitum admittatur, Wsupponatur post infinitum tempus, quale ab aeterno esset elapsum monoe duplicationes quantitatis A infinitas, quibus magnitudo genita seret infinita; totidemque eiusdem bisectiones, quibus in particulam infinite par- vim euanuisse , concipere liceret aeque utrasque absolutas Ergo etiam utrasque infinitas instanti unico cum iis essentialis non sire successio absolui, diuina saltem potentia, non sine fundamento supponere licet. Tunc autem, ut quantitas haberetur infinita ex infinitis
quantitatibus A simul additis conflata, ita etiam ex infinitis eiusdem quantitatis diuisionibus simultaneis haberetur particula infinite parua, quae repetita saepius & saepius nunquam posset totam quantitatem A adaequare. Quo ergo iure quis asseret dari posse quantitatem magnitudine infinitam eodem paruitate infinitam quantitatem dati admittere debet, ut vult haec propositio. Secundo. Hoc idem potest euidenter colligi ex Theoremate quodam sane mirabili quove nullum in tota Geometria reperiatur paradoxum omni opinione maius, quod proponit Hemonstrat subtilissime suo modo R. P.Gregorius Lib. 6. Oper. Geom. Prop. 130. Est autem eiusmodi. .
Sint duae lineae B A, BC Asymptot Hyperbolae FG H duae tern A, DE quarum haec parallela sit lineae B C' sint Asymptoti Hyperbolae asterius IKL , priori, similis, aequalis raucatur autem quaelibet C E pMallata ymptoto Ba,sicque fiat parallelogrammum
364쪽
Lib. II. De Angulo contingentia. Sy
narasserit summus ille Geometra huic parallelόgrammo D Caequari spatium inter duas Hyperbola FGH, IKL interceptum,elausum quidem ex una parte linea H Liat ex altera parte versus F&I infinite porrecthum, nec posse terminum ullum huic extensioni praefiniri quin praefinito spatio re utrimque ita auso ostendatur parallelogrammum DC maius. Aliquid simile in solidis demonstra Caualterius, & Torricellius non ignoti Geometrae: Sed his omissis, spatio illo Hesperbolico planniori ad rem meam utor. Itaque statuto spa-
3 vers is et Uinfinite ira extenso, quod aequale. si Parallelogrammo
finitam excursionem, '' .... emensamqi spatij hy-' perbolici infinita lon-
io terminatur , assignari concipiatur particula aliqua illius spatij, palmaris, exempli gratia, longitudinis ea esse non potest nisi pars infinite parua parallelogram mi DC cum esse non posse nisi pars infinite parua spatij hyperbolici eidem parallelogrammo aequalis. Si enim assignata particula illa palmaris rursus Hyperbolarum initium in semper repeteretur in infinitum, nunquam longitudinem earum ab ea particula inchoatam posset exhaurire,d adaequari cum ea longitudo infinita supponatur multo minus eiusdem particulae area, aream exaequaret spatij hyperbolici inter assumptam eandem particulam ac eius spatij initium Hiinterceptam. Nam ingula spatia palmaria versus initium Hi eo semper sunt maiora, quo magis ad initium accedunt, cum eorum i titudo semper maior sit duae siquidem hyperbola FGHI K quis procurrunt longius, eo magis ad se mutuo accedunt, ut idem citato loco ostendit Geometra Ergo multb minus particula parallelogramis mi DC, quae aequalis sere palmari illis spatio, exaequaret infinities
repetita ipsum parallelogrammum DC quod maius est spatio hyper- 1 bolico
365쪽
i Lib. I I De Antulo contingentia.
bolico inter assignatam in eo particulam palmarem, Initium Hiscum ex toto spatio, cui est aequale parallelogrammum Det, dematur pars eius illa, quae ultra particulam palmarem assignatam excurrit adhuc in infinitum. Constat ergo dari posse particulam paruitate infinitam parallelogrammi DC: si prout seri propositio , concedatur hyperbolas FG H, MI L in infinitam longitudinem abire posse , venecessari abire, probari maniseste videtur ex eo, qub spatio in longitudinem infinitam extenso aequale praebeatur parallelogram
Objicies, quod passim asseri apud authores non vltimae notae reperire est. Nimirum quantitatem quamlibet, si infinit es repetatur, in magnitudinem excrescere infinitam,nec posse inquavis quatitate assignari particula eius ullam, qua saepius repetita,adaequetur vel non excedatur: Item, Quantitatem nullam posse constare partibus aequalibusvni certae infinitis non communicantibus, quales admittendae forent
in superiori, verbi gratia , Parallelogrammo C in in quo continerentur partes infinitae, aequales palmari illi particulae hyperbolici spatij. Respondetur. Cum euidenter demonstratum si a citatis Authoribus, quibus annumerari etiam debet Vallisius illic praeter missus. in sua Infinitorum Arithmetica , varias dari quantitates tam planas squalis est illa a P. Gregorio obseruata quam solidas, ut a Geometris Aliis adducuntur, quae, cum sint longitudinis infinitae , certe tamen Massignatae, terminisque notis undique circumscriptae quantitati simiaequales. Illud utrumq;,quod obijcitur quod tam absurdu hactenus visum est,sine ullo absurdu incurrendi periculo admitti necessarium esse. Constare nimirum quantitate quamlibet partibus infinitis aliquotis,inon communicantibus: quod ex eo sequitur particulam dari,quae infinities repetitavi assumpta,magnitudinem infinitam non producat, sed assignatam quamlibet quantitate finitam.Si enim una aliqua quantitas determinata,quale est parallelogrammum DC superioris schematis, i ualis sit cuipiam alteri quantitati longitudinis infinitae:etiam huic aequalis futura est quaelibet alia quantitas , vel aequalis huic Parallelogrammo, vel aliam quamlibet cum illo Rationem obseruans ut pater. Caeterum , haec Parallelogrammi CD de caeteris idem esto iudicium' in infinite protensam superficiem illam duabus Hyperbolis interceptam commutatio haud adeo mira ei videbitur , qui attende. rit spatium illud hyperbolicum ea ratione fieri angustius, qua productius adeo ut tunc futura sit eius latitudo infinite parua, quando eiusdem lotagitudo euaserit infinite magna. Vnde confirma
366쪽
Lib. II. De Angulo contingentis si
tur non leuiter adducta propositio Posita squidem spati longitudine infinita , infinite paruam eius latitudinem poni nccesse est , qui illam admiserit, lanc eum admittere oporteat. Simile quidpiami Rectangulis obseruare est. Nam Rectangulum quodlibet in aliud
aequale commutari ex Elementis notissimum est: si qua ratione longitudo maiore assignatur eadem minor eidem tribuatur latitudo. Adeo vi si longitudo assumeretur infinita, latitudo assumenda foret infinite parua. Tam verum est, ut quo quis iure quantitatem infini te extensam dari asseruerit; eodem quantitatem infinite paruam dari posse asserere debeat.
PROPOSITIO II. Theor. INfiniti ad finitum, ves contra, finiti ad Infinitum nulla
Propositionem hanc tam claram per se non pauci censent , t eam Principisloco habeant. Verum, cum medio quo probetur, non careat, quidni Theorematibus annumeretur. Illud porro medium ede finitione 1. lib. s. Elem petitur: qua constat necessarium esse ad hoc, viduae quantitates Rationem aliquam inter se habere dicantur , ut non tantum eiusdem sint generis quod definitione . iam statuerat Geometra sed etiam, ut multiplicatae sese mutuo superare possint. Cum ergo finita quantitas, quacunque continuavi successiva multiplicatione inita , quantitalcm eiusdem generis infinitam adaequar nunquam posti ex eo concludere licet inter huiusmodi quantitates finitam de infinitam,isi sint generis eiusdem, Rationem intercedere nullam posse. Probatur secundo eadem Propositio. Si quantitas finita ad alteram infinitam haberet Rationem aliquam Deam Rationem esse, aut irrationalem oporteret. At neutra esse potest. Cum enim omnis rationalis Ratio reperiri tantum possit inter quantitates commensurabiles, quae se habent ut numerus ad numerum per Prop. s. lib. o. Elem. quantitatis autem infinitae pertium nullus possit statui numerus nullus
enim creatur numerus nisi percontinuam nitatum Additionem,quae,
si unitates fuerint multitudine infinitae percurrendae,absolui nunquam potest ypate Rationem illam non posse esse Rationalem. Sed nequo Irrationalis esse potest. Ea enim reperitur inter duas quantitates incommensurabiles. At potest quidpiam ex carum altera detrahi, vel
367쪽
is Lib. I De Angia contingentia.
alteri quidpiam addi, ita ut vel reliqua vel conflata, fiat alteri quantitati commensurabi sis,& ita se habeat ad alteram , ut numerus adnumerum. Quod cum ita sit; ex quantitate finis quidpiam detrahatur,ut fiat infinita commensurabilis tunc Ratio finiti ad infinitum daretur, quae Rationalis foret, Quod iam reiectum est. Cum ergo finitas quantitas ad infinitam Rationem habere non possit, vel Ratio. nalem, vel Irrationalem ; nullaque Ratio dari possit, quae vel rationalit non sit, vel Irratiocissis: sequitur Rationem nullam esse posse inter finitum, infinitum. Quod erat probandum.
Obijcies. Cum Propontione antecedente dictum sit spatium hyperbolicum dari posse sine fine protensum quod aequale sit Parallel grammo D a quod ad aliud rectilineum Rationem habere potest: An infinitum ad illud etiam bu habiturum est Rationem aespondetur spatium quidem illud hyperbolicum infinite protensum Rationem habere ad aliud quodcumque finitis terminis circumscriptum planum, non secus quam Parallelogrammum a superioris schematis spatio illi hyperbolico aequale longitudinem tamen illius quae infinita est, ad longitudinem vel Parallelogrammi aD , vel alterius cuiuscunque plani terminati, Rationem non habere. Debet enim longi tudo cum longitudine δε planum cum plano comparari, cum quantitates, ut Rationem inter se habere dicantur, debeant esse eiusdem generis per definit. 3. lib. I. Elem.
PROPOSITIO III. Theorema. Non tantum inter finitam, in finiram quantitatem nulla potest,ut proxime ostensum est,Ratio intercedere sed neque inter finitas quasdam,aliasque item finitas quantitates.
Illas quidem solas quantitates quae sint eiusdem generis decernit
Euclides definit. 3. lib. s. Rationis inter se capaces esse: non tamen eas omnes huiusmodi, Rationem admittere declarat definit. 3. dum vult,
ut una saepius multiplicata alteram superare possit: qua quidem adhibita cautione Rationis iure carere certum est duas quantitates, quarum una finita sit, altera Infinita Sed praeterea alias designat quantaetates, quae finitae cum sint nullam tamen Rationem inter se habere Possunt cuiusmodi tunc erunt,cum una saepius repetita, alteram adae
quare non poterit. Quas reperiri posse satis declarat Geotnetra,dum illam
368쪽
Lib. IVDe Angulo contingentis 16
illlam multiplicationem,ut certissimumRationis inter quantitates intercedentis signum, asserit esse cuius haudquaquam mentionem ullam fecisset si peream solas quantitates designasset , quarum una finita foret, altera infinita clarius enim eas in terminis, ut promptum erat, expressisset. Voluit ergo praeter finitae quantitatis ad infinitam, etiam finitae ad finitam, habitudinem ea definitione citata complecti. Quaenam autem sint quantitates eius generis finitae, ut una ad alteram La tionem habere nequeat, non alias ab Interpretibus adduci comperies: quam contingentia Angulos ad Angulos Rectilineos, vel alios quocdam mixtos, comparatos. De quibus prolixior deinceps habenda est disputatio. Nunc interim certum ac statutum sit dari finitam quantitatem aut si minus placet Angulos, quantitates appellari quantitatis iure potientem quae ad aliam clusem generis quantitatem finitam ex mente Geometrae , eiusque Interpretibus Rationem habere non possit, ut hac Propositione assertum est. Quae tunc euidentius constabit, cum ipsas eius generis quantitates interius exhibebuntur. Obijcit P. Ayn scom Prop. 4. Capitis 1. de natura rationum in eis sponsone ad Amicum, quem vocat, Geometram cuius nomen ininferius in Prima quam exponit circuli Quadratura pag. 9O non sine meritissima commendatione prodit Illum enim amicum Geometram, non alium esse mihi constitit ex Ipsiusmet Literis quam quem vocat R. P. Ioannem Baptistam lattinum , virum in Philosophicisse Theologiei, solide doctum Latini, Graeca Habraica Arabica literatura bene peri-ιum; in sustilitatibi Mathematicis culati um. Cui en comio co libentius subscribo, qub plura&euidentiora ab eodem edita sunt lia. rum omnium insignium facultatum specimina. In Responsione igitur ad obiectionem quandam a tanto viro quoad Angulos contingentiae propositam laec habet P. Aynscom , quae cum hac Propositione
mea non satis conuenire videntur. Inquit enim Suppono, inter duas
magnitudines aliquam esse Rationem, idem esse H duo magnitudines secundum quantitatem posse comparari: Rursum istas magnitudines secundum quant ιι a tempus comparari, de quibus dieipotest hae maior, aut minor ostilla, de consequens es, magnitudines illas iuxta deD. D lib. . et eiusmodi esse,itvna aliquotiessumpta possis alteram aquare, velsuperare. At inquam Ego bona cum tanti Geometrae venia, si inter duas magnitudines aliquam esse Ratione idem est,ac duas magnitudines secundum quantitatem posse comparari; Id est,ut Ipsemet exponit,de quibus dici potest Haec maior aut minor est illaiunde necessario sequatur ve Idem colligit ut una aliquoilies sumpta possit alteram aequare vel f
369쪽
is Lib. II De Anguilo contingentia.
perare. Si inquam haec ita se habeant. Quaero Quorsum Euclides postquam definit. 3. Rationem definiuisset esse habitudinem duarum
magnitudinum eiusdem generis secundum quantitatem, hoc est, seiscundum quod una maior est, aut minor altera, aut ei aequalis , unde consequens esset, ut una aliquoties sumpta aequare vel superare alteram posset,ut vult P. Aynscom: quinta illam definitionem adiunxisset, qua declararet, quaenam duae quantitates eiusdem generis Rationem inter se habere possent easque solum pronunciaret Rationis alicuius mutuae esse capaces in quibus ea conditio conueniret, ut una aliquoties sumpta alteram posset aequare, vel superare Nunquid duarum quarumlibet quantitatum propositarum una aut minor altera, aut ei aequalis esse potest atque adebiuxta sententiam, expositionem Patris Aynscom nunquid earum una aliquoties sumpta alteram potest vel aequare, vel superares Ne igitur Geometricae Parentem definitionem illam quintam definitioni tertiae perperam qui ne syllabam quidem Ierperam tradidisse est unquam obseruatus apposuisse cenaeam usticendum est aliud esse, duas magnitudines generis eiusdem posse
comparari secundum quantitatem, siue secundum excessum, desectum , aliud , unam aliquoties sumptam alteram posse aequare, vel superare, atque adeo habere inter se Rationem Possunt scilicet duae quantitates eiusdem generis secundum quantitatem, hoc est , secundum maius & minus comparari, neque tamen Rationem habere in . ter se necessarium quidem est, ut duae magnitudines Rationem inter se habeant aliquam, ut sint eiusdem generis,M secundum quantitatem, hoc est, secundum maius & minus, aut aequale comparentur,ut exponit definitio .non statim tamen ut constiterit duas magnitudines ita comparari posse, namque altera aut maiorem, aut minorem dici, constabit eas Rationem aliquam habere, nisi etiam constet iuxta definitionem quintam unam aliquoties sumptam aequare, vel superare posse alteram. Et vero Quis siue P. Aynsco , siue Alius negare potest quantitatem finitam minorem esse quantitate infinita, vel hancilla maiorem; nullam tamen intereas quantitates Rationem interesse fatentur omnes. Quare ne supponat laudatus Author duas magnitudines aliqxam habere Rationem, idem esse ac duas magnitudines
secundum quantitatem posse comparari , siue secundum excessum
efectum ι quo una dicatur maior aut minor altera I unde consequa-νη ma itumes istas taxia dom. s. lib. s. tales esse, una utiquotic se πω uerampUR aquari, etsperare. Id enim & ab Euclidis men aviusquc Interpretum omnium, a vero alienissimum est, ut ex
370쪽
Lib. II De Aquis contingentia. 363
dictis patet, dicendisque patebit. Certum itaque fixumque sit, Inter duas quasvis quantitates finitas non semper intercedere Rationem. Quod hac Prop. assertum est.
PROPOSITIO IV. Desinitio. PLanus Angulus est duarum linearum in plano se mutuo
tangentium, non in directum iacentium alterius ad alteram inclinatio.
Haec est ipsemet ab Euclide Anguli plani allata definitio lib. I. defin. 8 huc assumpta , utpote continens tuturae tractationis funda. mentum Duarum ergo cuiuscunque generis linearum in plano ad unum aliquod punctum concurrentium Inclinatio, Angulus a Geometra, eiusque Interpretibus appellatur. Itaque siue duae lineae rectae non in directiim positae ad unum punctum conueniant i siue duae curuae, siue curuara recta, sibi mutuo in puncto quomodocunque committantur se aut tangendo aut secando Angulum verum ir prie dictum ex mente Euclidis, caeterorumque nominis alicuius Geometrarum constituunt vi ex locis eius aliquot facile licet obseruare.
Nam Idem definit.y. lib. 1 quasi duo genera Angulorum distinguens, post statutam Anguli definitionem, pronuntiat Angulum Rectilineum, illum esse qui rectis lineis continetur. . R Quem ergo curvilineum si eodeinceps perinde eguisset, ut Rectilineordicturus erat, nisi eum, qui curuis lineis constitueretus me inde nonne celebri illa Propositione is Libri 3 lineae rectae cum circulari concursum, Angulum vocat;qualis est in apposito schemate concursus peripheriae CL B, ωα-ctae lineae Aa ipsam peripheriam in B tangentis sualis item est concursus eiusdem peripheriae CL B cum circuli diametro B Giquem vocat semicirculi Angulum qui species est Anguli segmenti, quem deficis Lib. a. lafinierat eum esse, qui sub rectassineff& eirculi