장음표시 사용
371쪽
isc Lib. II De Angulo contingentia.
peripheria comprehenditur cuius alias species nominat Prop. 34. Lib. 3. dum ait Angulum maioris segmenti segmenti scilicet maioris semicirculo qualis est angulus II S, recta C B, peripheri a B V.S
contentus, maiorem esse Angulo recto Angulum vero segmenti minoris , ut Angulum eadem recta C B, d arcu a B comprehensum, Angulo recto minorem asserit. Ex his habes quid Geometriae tum Parens tum Cultores de Angulo plano definierint. Vnus ab his dcsciscere visus est Peletarius qui contactus Angulum quem scilicet linea recta et cum arcu Cim, quem tangit in B comprehendit non Angulum; sed nihilum esse somniauit, dc stabilite conatus est. Sed pro eo ac merebantur, huiusmodi somnia a clatato clauiana, hoc est, matura, solidaque censura a verae Geometriae statutis expuncta pridem fuere. Ex eo tamen quisl mirere, non- nemo Academiae Oxoniensis Matheseos Proselia nouimperitus Vallistus Peletarianarum hallucinationum patrocinium su-kepit sed hinc non abscedemus qum euidenter pateat, quaim praestet tutam tritamque a Maioribus veritatis viam incedere novamque
Esto interim certum constitutum, Euclidem hac Libri r definitione8. non tantum Angulum duabus rectis lineis in plano coeuntibus constantem voluisse complecti, sed etiam Angulum quemlibet
quem recta linea peripheriae circuli quovis modo occurrens, siue tangat, siue secet, comprehendit. Notum item esto, ac definitum omnes Geometras tum Antiquos tum I ecentiores veritatis, obseruantiae gratia Euclidissententiae subscripsisse. Quanquam Vallisius Squo ductus studio, me latet, Ipse viderit afferere non dubitarit ad calcem Capitis 1 Disquisitionis de Angulo contactus, Reeentiorum aliquor magnos υius, o ex veteribin fortasse nonnulus de languis contactu it .albeatos se, ae si haberet Anguli quantitatem adesque de Angulo semicirculi tanquam minori, qua is Angulin rectus rectilineus. Sed Argumensis hae in re , inquit, agendum est non Authoritatibus. Quis ex Antiquis, Vallisi quis ex Recentioribus praeter Peletarium illum Clientem tuum quorum copia tum horum, tum illorum anta est, tantaque Euclidem Interpretandi facultas de Angulo contactus, &circuli segmentorum aliter quam ipsemet Euclides locutus est Quis in dubium reuocauit quae de eo ab Euclide fuissent constituta in quo de eodem vel minima est inita disceptatio si dixeris, Reeentiorum aliquor, nonnull6sque Antiquorum tantum, non autem Lucsde dc sensue,vi locutos esse neque standum eorum,
372쪽
Lib. II. De Angulo contingentia. i 6
Authotitati, sed ipsis solis Argumentisvi Rationibus. Quaenam sine illa tanti ponderis Argumenta tua quibus, ut misso facto Euclide, eiusque cultoribus, Pelectario studeres, persuasus es Lex pendetur insequentibus. Ad quae pergo.
PROPOSITIO U. Principium. NVllus Angulus vera est Quantitatis 1pecies vera tamen quantitatis facultates Anguli omnes sibi vendicant.
Expostis. Cum Angulus quilibet sit duarum linearum cocuntium Inclin ti, quae Inclinatio aliud non est, quam quidam alterius ad alteram situs,ac compositi, satis patet Angulum ad Quantitatem non pertinere, sed ad tum aut etiam, si magis lubeat, ad qualitatem t eis quod duae quaecunque lineae sese in puncto concurrentes initium quod 'dam sint figurae, ,er,interceptam superficiem ita, aut ita modificent, aut figurent figura autem quaelibet non ad quantitatem .sed ad Qualitatis genus pertinet. Est ergo Angulus non Quantitas, sed Quantitatis quidam tant immodus, ut etiam Lib. 2. Prop. T. Examinis Quadrag. exposui. . Attamen. Quamuis Angulus nullus ad Quantitatis genus pertinere nullo modo possit non ideo debet omni facultate quae quantitatis propria sit, eique primario conueniat, priuari Leodem iure, ne dicam potiori quo alia Entia non pauca illam sibi vindicant quasi sibi cum Quantitate communem, ut suscipiant magis& minus quod a quantitate abesse non potest. Sic enim motus , sic tempus, sic relationes quaedam, sic qualitates non paucae magis Miniis susciperenatae sunt.' Quod dixi ad Angulos potiori iure pertinere propter maius ipsorum
cum vera Quantitate commercium. Ipsorum enim quantitas i saltem Rectilineorum omnium ier veram quantitatem arcus scilicet circu lorum mensuratur. Eorundem materiale, lineae videlicet Angulum' constituentes, ver est quantitas. Non minor eorum Ratio in Geo
metria quam linearum haberi potest nec minus est eorum reniti. necessaria, quam eos continentium linearum. Quae cum per seia reant; etiam per se constat Angulos verae quantitatis facultates sibi vindicare, quarum contemplatio ad Geometriam spectet.
Obseruandum porrδ est. Et si dixerim Angulos omnes, cuiusuis scilicet generis, verae quantitatis facultates Ubi vindicare haud a menidiin intestiundum esse,ut quilibet Angulus proprietates omnes
373쪽
16 8 Lib. II. De Angulo contingentia.
quantitatis sortiri possit quibusdam enim omnes competent , non omnes competent aliis Illud quidem certum, Angulis omnibus, ut ostensum est, proprietatem conuenire,qua quantum quodlibet, quanto altero maius, vel minus, vel ei aequale dici potest. Quae quomodo contingant , contemplandum est.
PROPOSITI VI Neorema. OVilibet Angulus alium aliquem includere, vel ab eo includi potest, eoque nomine dici eodem maior, vel
Quod ad Angulos quidem Rectilineos pertinet nisi tanquam Principium per se notum admittatur Angulum rectilineum, dici posse alterum item rectilineum Angulum includere atque includentem incluso esse maiorem mon video quodnam Principium notum perti in Geometria reperiatur cum aliud nihil per illud asseratur, quam totum esse parte maius, quo quid per se euidentius inocerte nemo unus non passim usus est hactenus Geometra postme metriae Parentem, ut primori tertio Elementorum, malias ubique, quoties occurrit Angula per rectam lineam diuisus, obseruare est: toties enim Angulum diuisum maiorem elle trouis per diuisionem facto Angulo tanquam totum parte, absilue alia probatione se ponit. Nec mihi admodum probari potest Patris Aynscom sententia, cap. 1. Prop. . Quaest.4. de Nat. Rationum asserentis ita omnem quanistitatis rationem ab Angulo quouisicctilineo alienam esse, ut eo mrari A11ersesecundum excessum o defectum nutu modo possint nisi prουν
sunt inquit terminative terminalius per communem mensuram , quaestarem ireniaris rade,e n aclides, ea ιeraque Geometra Angul- -- ne ineum minorem maioremve dicunt alteramihil aliud volant quam Amgulam unum, maioremvel in rem1ntercipere arcum circuli quam attre, redem Hreolo interripiat. Mihi inquam, non probatur haec sente tia Neque enim Angulorum mensura communis esse potest, arcus Circularis locum mensuram omnem mensurato homogeneam esse ne eesse sit strangulus non nisi Angulo, marcus non nisi arcu, mi Dea recta recta item linea menturetur omni siquidem mensuratio
non nisi per mensurae applicationem institutilo est. At, qui haec Applicatio
374쪽
Lib. II De Angulo contingentia. 69
Applicatio absoluatur, si heterogenea assumatur mensura Deinde, cum Euclides passim citatis locis concludit Angulum quempiam recti. lineum alteri Angulo rectilineo aequalem esse, aut eodem maiorem, vel minorem An ostendit ostendere necessarium erat arcus ab his Angulis interceptos aequales esse, vel unum altero maiorem esse, vel minorem Cum ne arcuum quidem uspiam mentionem faciat, sed includentis tantum inclusi Anguli ex qua inclusione colligatur tanquam ex Principio per se noto unum altero esse maiorem. Denique, ut euidentissime constet ex Euclide, Angulos rectili. neos non arcubus, sed Angulis eiusdem rationis mensurari debere; eosque inter se , non ratione arcuum , quo intercipiunt, sed ratio suae propriae extensonis , compararici perpendatur Propositio 33. Lib. 6. Elem quae ita habet. In aqualibin circulis Anguli eandem habent Rationem eum peripheriis, quibus insistunt siue ad centra siue ad peripherias constituti insistant In luper vero sectores , quippe quIad centra consistunt.Cermis igitur ut Geometra tam Angulos,quam sectores eandem Rationem habere dicat, quam habent arcus, quibus insistunt, nec ullam statuat quoad Rationem, siue mutuam comparationem , inter Angulos dc Sectores discrepantiam. Quemadmodum ergo Arcus,quibus sectores constituuntur, non sunt sectorum mensura, sed indicant tantum quaenam sit Sectorum inter se Ratio trita etiam ex mente Euclidis iidem arcus mensura non sunt communis Angulorum , sed eandem cum Angulis Rationem habere dicuntur, siue eandem secundum quantitatem habitudincis ita ut, licet Anguli, non perinde ut sectores, sint verae quantitates iunt enim sicciores planae superficies ad secundum quantitatis genu pertinentes sed quantitatis facultates obtineant ut stupra declaratum est; non minus tamen Rationem habeant inter se, quam sectores ipsi in possit Angulus quilibet rectilineus, ad Angulum alterum item rectilineum comparari non tant imquoad excessum, desectum genericum, siue maiusin minus; sed etiam quoad talem vel talem specificum excessum, vel desectum in quo Rationis essentia inter duas quantitates eiusdem generis consistit.
Vi aliud super hac re Euclidis testimonium apertius consule Propositionem 3 o. Lib. 3. Elem. In qua Geometra modum tradit datam peripheriam bifariam secandi. Disces euidenter ex demo stratione, quam suae constructionis assert, quam ab ea sententia ali nus sit, ut velit Angulos inter se comparari non posse secundum se sed τ tenus amum ι mala periphenae, quibus insistunt, sunt inter se com.
375쪽
im, Lib. LI. De Angulo contingentia.
para les Demonstrat enim datam peripheriam esse duas in partes aequales recte diuisam, ebriu bd A nguli duo aequale nempe recti ad medium chordae datam peripheriam subtendentis punctum per constructionem constituti sint. Causa ergo aequalitatis duorum arcuum , in quos diuisis est data peripheri , est ipsa Angulorum aequalitas, ac proinde prior omni arcuum aequalitate. Vt cre per se nulla arcuum habita ratione anguli sint dicique debeant aequales ab eo, qui nolit Geometriae Parentem alicuiu, s quod absit, ut abfuit haen nus foscitantiae accusares idem enim per idem alioquin diceretur.
Stat tuum ergo fixumque sit non minuta angulos, quam arcus inter se comparari posses, esto per arcus corum quantitas mensurari queat;
adeoque Angulorum rectilineorum alios aliis esse maiores, aliosque in aliis, mitiores in maioribus includi posse. Quod cum de Angulis rectilineis probatum sit, constat quid de curvilineis, mixtisque Angulis cum non minus, quam rectilinei sint duarum linearum inclinatio dicendum sit. Nihilominus super hac re Geometram consulam ULVnde probat Euclides Prob. 6.
R. Lib. 3. Angulum semicirculi CimG ui Superior Diagrammate maiorem esse omni Angulo acuto, nisi ex eo , quλ Angulus semicirculi omnem Angulum acutum rectilineum amplectitur,4 includit 3 Vnde Angulum contingentiae Cima omni acuto rectilineo cis minorem,nisi quia omnis acuistus rectilineus Angulus illum continet Propositione autem 3 r.eiusdem Lib. 3. Vnde concludit Amgulum Cis S maioris segmenti maiorem esse Angulo recto CBD, nisi quia hic ab illo includitur
contra vero Angulum LN S minoris segmenti recto Angulo esse minorem, nisi quia rectus Angulus B Angulum illum minoris segmenti intra se complectitur Patet ergo quam verum sit Geometram, eiusque Interpretes omnes omnes enim ita sunt loca citata interpretati hasserere Angulos Angulis aliis esse maiores,di alios ab aliis contineri, includique posse ac proinde inter se secundum quantitate hoc est,secundia excessum,&
376쪽
Lib. II. De Angulo contingentia. i 1
sola continentia mentionem faciat, cum ex ea necessario consequatur Iuxta stylum Euclidianum, excessus corum, vel desectus ad inuicem. Nec audiendi videntur Peletarius, eiusque fautor Vallistus cap. 1. suae de Angulo contactus disquisitionis. Dum asserunt nihil mirum,si Euclides Propositione illa celebri 6 Lib. 3.dixerit Angulum contactus minorem esse omni Angulo acuto rectilineo:cum Angulus ille, nec Angulus sit, nec quantus. Nec aliter, inquit Vallisius, sensilie Euclidem ex
Euclide colligi potest. At verba ipsa Propositionis quaeso,Vallis iecit a.
Semicirculi quidem Anguim quouis Angulo acuto rectilineo maror est Pelia ge, reliqum autem, qui reliquus Z Equus Troianus reliquus autem, Angulus contactus, minor. Ergo ex Euclide Angulus contactus, Angulus est in quia ex eodem minor cst quouis acuto Angulo rectilineo; ex eodem quoque quantus cst, non autem nihil absurdissima enim foret, a summo viro alienissima comparatio qua duorum Angulorum unum, quem quantum supponeret altero qui nihil reale foret, maiorem assereret ac nihilo maiorem pronunciaret. Non erat, mihi crede, dialectices Praeccptorum tam nescius magnus Euclides,ut ignoraret Totius diuitionem iniri non posse nisi in partes praeexistentes, totumque rursus aptas constituere. At Totum, ut in diagrammate
superior angulum rectum A BG , si diuidas in Totum, nempe Angulum sermicirculi GL BG hic enim ex vallisio aequalis est Angulo ipsi recto A BG & in nihilum, nempe Angulum contactus C LBaci quid absurdius committi potest 3 nisi forte hoc ipsum dicas,ut dicit Vallistus. ab Euclide comisi i m. Verum hic de his satis,que pluribus a Clauio cOtra Peletarium methodo solidissima, loci ii simaque pertractat rc peries. Nec etiam omnino placet, quod asserit P. Aynscom. cap. 1. Prop. . de Natura Rationum. Nimirum Euclidem, dum ait semicirculi Angultimae L B Gmaiorem esse quotiis acuto rectiline Anguli, ut BG retiquum vero Angulum contactus CL s A quouis acuto minorem nihil aliud vesie quam quodpriore Propositionis eiusdem 6 Lib. 3 parte asseruerat: nempe, quod inter contingentem A B est peripheriam, LB nusta recta cadere possit, quin circulum secet. Hoc autem ideo asserit laudatus Auctor , ut occurrat obiectioni, quam fieri posse, nec sine fundamento, arbitrabatur. Nimirum, cum Euclides comparet secundum quantitatem Angulum semicirculi & angulum contingentiae cum Angulo rectilineo acuto inunc enim Angulo semicirculi minorem, angulo autem Contingentiae maiorem pronunciat quae comparatio est secundum maius& minus quod est proprium quantitatis. Ergo contra quam Usecum P. Gregorio sentiat, Anguli tam re itinei, quam mixti se, mi circuli,
377쪽
i , Lib. II De Angulo contingentia.
micirculi,& contactus sunt quanti ex mente Euclidis. Huic, quam obiectioni ut occurrat asseruit secundam partem Propositionis, qua ait Geometia Angulum contactus ima in schemate, esse minorem omni angulo rectiline, a prima parte eiusdem Propositio nis non esse diuersam eumque tantum velle inter tangentem A BL
peripheriam C LB , rectam lineam ad punctum B duci non posse.
At tantorum Geometrarum bona cum venia dicam Responsi
nem hanc admitti vix posse. Non posse, inquam admitti secundam partem Propositionis illius 6 Lib. 3. esse ex mente Euclidis candem cum priore. Cum enim Euclides in secunda parte inserat Angulum contactus minorem esse quouis Angulo acuto rectilineo ex eo, quia in prior parte ostensum esset inter contingentem A B4 peripheriam C L B duci nullam posse rectam lineam ad punctum B quin circulum secet hoc enim Argumento probat primam illam parte)ex quo deinde per se consequatur quemvis Angulum acutum ut Lma,includere, siue cxcedere Angulum contactus CLBA, siue,quod idcm est,hunc semper esse illo minorem: si hunc semper esse illo Giciora quae est secunda pars Propositionis quae insertur idem seret, ac nullam posse rectam lineam duci ad contactum B inter tangentem Aa, peripheriam Issi, sue quamcunque ductam lineam infra lineam tangentem AB, circulum secares, nonne nugatoria videretur Illatio illa 3 Inserretur enim nullam duci posse rectam lineam tangente A inferiorem ad contactum B, quin circulum secet Lex eo quod nulla duci potest recta linea tangenteam inferior ad contactum B quin circulum siccet. Recte autern infertur Angulum contactus a B A quouis acuto Angulo rcctilineo Lia e Te minorem , ex eo quod nulla recta linea L B inter tangen te mam δε peripheriam Cissi ad contactum B duci possit, quin circulum secet, siue Angulum constituat rechilineum, Angulum contactu, C UNA includentem , siue Angulo contactus maiorem. At instat citato loco P Aynseom. Cum in secunda parte Proposi ni asserit Euclides Angulum contactus quouis Angulo acuto rectilineo esse minorem cita intelligi non potest, ut duos illos Angulos Rc-ctit meum, contactus , secundum quantitatem comparet. Haec enim comparatio exigit communem aliquam utriusque mensuram secundum quam pota iniri comparatio: Sed nulla est in Geometria communis mensura inter Angulos Rectilineos, mixti lineos; ergo nec ullum fundamentum eos inter se comparandi. Quod cum itast cum in secunda parte Propositionis suae Euclides asserit Angulum contactus quouis acuto Angulo rectilineo esse minorem , cum omni
378쪽
Lib. I. De Angulo contingentia. 373
Angulos illos secundum quamitatem, siue secundum maius mininus comparandi fundamento careat, alio aliquo sensu debet intelligi, iuxta quem nullam comparationem inter eos Angulos secundum maius, minus fieri necessse sit. At nullus aptior sensus occurrit, quam ut dicatur Euclides, cum asseruit in secunda parte Propositionis semicirculi Angulum quouis Angulo acuto rectilineo esse maiorem,reliquum autem Angulum contactus minorem nihil aliud voluisse quam in locum inter rectam lineam AB tangentem&peripheriam CL comprehensum alteram rectam lineam non cadere, ut habet pars prima Propositionis. Haec est totius a citat Authore initae satiocinationis
tota vis quam ex dictis superius instingere promptissimum est. Nam etsi Anguli rectilinei, de
mixtilinei omni prorsus communi
possint inter se comparari secundum ullam Rationem siue rationalem, siue irrationalem;ad quam comparationem necessaria est quaedam eiusdem generis mens inra quae utrique applicari possitivi per eam applicationem quae in Rationalibus praecisa est, in Irrationabus inadaequata habitudo eorum Angulorum innotescat; quae ipsemet est eorum Ratio. Tamen alia potest eorum Angulorum attendi comparatio secundum quantitatem, siue secundum maius & minus inique omni prorsus mensur communi, quae utrique quamitati, velut verique homog nea, applicetur. Iuxta quam comparationem secundum maius is inus in genere, dicetur angulus rectilineus maior vel minor Angulo mixtilineo. Ea tamen maioritas & minoritas generica ad Rationem aliquam constituendam non sussicit ut pluribus Prop. 3. Superiori iuxta mentem Euclidis declaratum est riussicit tamen, ut quantum aliquod altero quanto maius dicatur, ut quantum infinitum finito maius recte dicitur; cum tamen inter infinitum, finitum nulla Ratio possit intercedere, sicut nec ulla mensura, inque communis.
379쪽
i Lib. IV De Angulo contingentia.
PROPOSITIO VII. Theorema. DVorum semicirculorum sese interius tangentium Anguli sunt inaequales maiorque est Angulus semicirculi maioris, mitioris semicirculi Angulo At Angulus contactus maioris semicirculi minor cst Angulo contactus minoris.
Est haec Propositio praecedentis tantum corollarium cuius veritas ex ipsa constructione sola evadit manitesta Sint ergo duo semicirculi G I maior, &I Da minor sese in B tangentes ad quod punctum dirigitur per utriusque centrum acta diameter communis l.
Quia igitur Angulus G BL C maioris semicirculi, Angulum FBOD
semicirculi minoris includit hoc non potest non es maior per Prop. proxime antecedentem. Qua etiam constat Angulum contactus CLBA maioris semicirculi minorem esse Angulo contactus o B A1emicirculi minoris, hic enim illum includit. Duorum ergo semicirculorum interilis sese tangentium dcc. Quod erat ostendendum.
Huic meae Propositioni toto conatu obsistunt duo clarissimi Gemmetrae P. Gregorius , eiusque Interpres P. Aynseom. Quorum Ille LiK8 ope iis Geom. qui est de Proporti in explicatione Principi primi contendit nullum Angulum cuiuscunque generis ullo modo quantum dici polle iis simul admittatur quod absurdissimum est totum parti elle aequale, unde, inquit, Priincipia Geomctrica sese destruerent quaecum sint per se notissima, omnis Angulis quibuscunque deneganda est Quantitatis Ratio. Quomodo autem admissa aliqua Angulorum Quantitate futurum sit, ut eomatrica Principia, quibus nihil firmius, sese destruant, cxponit probatione sane acuta, tanto .
quc Geometia digna. Verum Lib. 1. Prop. 17 Exam. Quadrat non adeo stabilitii mdcclaraui, ut admittenda viderctur cuius obiectionis
meae, eiusque probationis ne mentionem quidem ullam secit in sua Quadraturum deductione P. yn scom radebis hoc eius silentium consensus testimonium non immerito visum fuisset nisi denuo eandem Ipse adduxisset probationem quasi integram, inconcussam, qua P. Gregorius usus fuerat ad Absurdum illud, cuius memini, ex admissa Angulorum quantitate concludendum. Quare ego quam citato loco Examinis attuli, huius dissicultatis solutionem denuo repo
380쪽
Lib. II De Angulo contingentis i s
nam non sine nouae alicuius confirmationis accessione ut, si fas fuerit, haec de Angulorum Quantitate momenti non leuis controuersia dirimatur. Sic ergo Prop. 3. cap. a. de Nat Rationum ratiocinatur iuxta mentem P. Gregorij.
Duo semicirculi se tangant in B, in quo eosdem tangat recta linea B. Si igitur Anguli censsentur quantitate aliqlia prediti erit Angulus semicirculi GL Gmaior Angulo minoris semicirculi D OBF, hic enim in eo includitur quo eodem iure Angulus contactus DoBA maior erit Angulo contactus CL B A. Sed& Anguli illi duo contactus Ic duo semicirculorum Anguli aequales ostenduntur hoc modo. Diuisa bifariam in C semicirculi maioris peripheria ducatur recta BD. Rursus, diuiso arcu C B bifariam ina, ducatur rectam L, di sic tertio, deinceps diuisis bifariam arcubus, rectae lineae per diuisionum puncta a puncto B emittantur hae lineae, ut arcus bifariam diuisituere, ita Ahgulos rectilineos, quos tangens AB cum illis lineis continet, bifariam diuident , ut Angulum A BG bifariam diuidit recta BC, at recta BL bifariam rursus diuidit Angulum ABC, ita
deinceps. His positis. Constat tam ex Angulo semicirculi CL BG, quam ex Angulo semicirculi D OBF, demi Angulum C B a qui cum sit aequalis Angulo Cla , qui maior est tam Angulo segmenti GL B C, quam Angulo segmentita BD , utpote includens incluso Dempto Angulo C BG ex Angulis semicirculorum , demitur ex iis plus quam dimidium. Et ruisus eodem modo, si dematur
Angulus BC qui aequalis est Angulo LB A ex Angulo se eu-ti CL BC,&ex Angulo segmenti DO BD plus quam dimidiuinex utroque demi ur: cum dematur Angulus a qualis Angulo BA, qni maior est Angulis segmentorum DB, Ol reliquorum. Quae sub tractio angulorum rectilineorum ex Angulis segmentorum per arcuum perpetuam bisectionem cum possit in infinitum continuarii
constat ex duobus semicirculorum propositis Angulis C UB G D OB F demi posse partes aequales in infinitum , non minores dimidiora 1 Angulis