장음표시 사용
41쪽
B E, A C ad DF consequentes B Ei TF, ut distinctos, nullaque
quantitatis unione coniunctos considerari,aut cert coniunctos simul
concipi debere. Non primum sic enim, quod ipse reijcit, assererer, nemperationem A C ad BD, aequivalere duabus rationibus partialibus AC ad BE,&AC ad EF, rationem totalem Ac ad BF per additionem integrantibus, Qvero id falsum ostensum est. I ut cert Evult quod idem asserit,ac non semel inculcat, saepiusque riseiunt eius alias citati interpretes in duos illos consequentes B Eac EF Hs nitos sumi debere ' quantitatem EF tanquam absolutam apponi ad consequentem: Elationis AC ad SE , per quam appositione' fiat ratio Ac ad BF. At quaero , quid discriminis intor subiectum ,
praedicatum huius enunciationis obseruari potest 3 Ratio Ac ad totam BF est ratio AG ad BE auctam quantitate EF 3Nunquid tota BF cadem plane est cum quantitate BE, simul EFὶQuam con Prionem animo ingerit praedicatum hoc, ratio A C ad BE cum E F, a subiecti huius , ratio A C ad totam BF conceptione diuersamo Ergo idem per idem enunciatur indicta propositiones; quod afferui. Confirmatur denticus ille propositioisis eiusdem sensus euidentis-s me ex probatione ipsa Authoris, quae plane identica est sic enim
Ratia AC ad B aequalis est rationi Adad BE mulctata ratione E Fni Cpera. huius, hoc est, prout ipse Author intelligit, ut Prop. . ex ipsemet declaraui, mulctatae ratione EF ad AC relata ad rationem
DF ad A ta Neque enim ratio EF ad Ac subtrahitur a ratione AcadBE, ut ratio AC ad B F, aut ei aequalis AD ad BE relinquaturi sed subtrahitur ratio Det ad B L, ut citato loco ostendi, quae ita se habet ad rationem A C ad B E , ut ratio DF ad AC se habet ad rationem S ad A C. Haec est maior syllogismi Propositio, haec eius expostio Minor autem sic nabet.
Sed ratio AC ad BE. ACad EF, etiam aqualis est rationi aetas E diminuta per rationem EF ad A Ciuxta iam dicta in scholiopraceden-re. At scholium illud aliud nihil est quam ipsamet Prop. 6 quae in eo fusus ab ipsi Authore explicatur, ut ex eius mente retuli Prop.7 superiore Vult stilicet rationem x ad SE , cuius consionensi Eaugeatur per appositionem quantitatis EF, quae est materialiter consequens rationis A C ad EF neque enim formaliter habetur vlla ratio rationis illius A C ad EF , cum eius consecueris EF additui ad .consequentem B Ea vult, inquam, rationem A addi per additio-Dein quantitatis EF ad consequentem SE, Ut fiat noua ratio AG ad
42쪽
Et Promotum examen uadraturae s
B P aequalem esse rationi Ac ad B D mulctatae ratione EF ad A C, relata ad rationem B F ad Ac vel mulctatae iuxta rationem EF ad B P, quae est proportio, ut supra exposui, rationis S ad Ac ad rationem B F ad A C. Nihil ergo aliud haec Alsumptio continet, quam eiusdem syllogismi Propositio Maior eademque praetcrea est utrius que huius Propositionis probatio, ipsa scilicet Propositio 6 Lib. Io.
Oper. GCom ad Maioris probationem citata ac eiusdem Propositionis 6. scholium Assumptionem probans: quod aliud non est quam ipsa Propositio 6 clarius explicata. Cum igiturri Propositionis ipsius sub tectum idem esse cum praedicato ostensum sit,i eadem Propositio 6 Libri 1o.Oper. Geometrici tam ad maiorem syllogismi propositionem probandam asstimatur, quam ad Assumptionem ι quodnam propositionis illius septimae Libri M. Oper. Geom identitatis Argumentum apertius haberi potest Ccrtum itaque, ac fixum esto; propositionem illam veram quidem non esses; si, quibus exprimitur verbis,concipiatur verissimam autem, si sensus attendatur Authori sed itaverissimam dici debere; ut continuo identica, adeoque inutilis dici debeat. Quod hac propositione declarandum erat.
hac materia grauissimum reperire est. Colligitur enim ex hac mea propositione octaua, qua Propositionem . Lib. O. Oper. GCOm. Identitatis vitio laborare mihi video euidenter ostendia i ab ea labe immunem minime futuram Propositionem octauam eiusdem Libri Io. Oper. Geom.utpote quae ex illa probetur, aut etiam quod amplius est rad eandem reducatur, ut mox aperiam. Cum autem ea Propositio octaua, sit velut primum, cui tota harum Quadraturarum moles incumbit, sundamentum mae illae omnes in periculo iam inde versantur non leui. Quod ne temere asseri videatur, en illam Propositionem, eiusque probationem Authoris ipsius verbis meo schemati accommodatis expressam. Sint rationis A Cadas termini tam antecedens,quam eonsequens diuis. ille in D, Ne in E. Die rationem AC ad B F eandem esse cum ratione AEDM BAE, D Cadar ocii ad DF DC ad EF. Quod sic per Propositionem suam . demonstrat Rati AD ad BE addita rationi De ad BE aqualis est rationa AC ad BE per Prop. I . de Proport. Dem ratio
43쪽
EF. Itaque, cum ratι AC ad B una cum ratione AE ad Ea qualis strationi totius A C ad totam BF per Prop. . paι et atronem A C ad B Faquari quatuον rationibus i ad Era , D G ad Ei , est AG ad EF,
D ad E FAdmittcndum sane est duas ratione AD ad BD, DC ad BE aequales csse percitatam Prop. l . de Propori vel per Prop.T. Examinis ci Quadrat rationi Accidissici sicuti duas AD ad EI MD C ad El, quales rationi Ac ad DF. Fit enim utrobique duarum
rationum eundem consequentem habentium vera additio additi Anteccdentibus.At vero,cum iuxta T. Prop. Lib. I O. Oper.Geom. asseritur hasce duas rationes AC ad BE,&AC ad EF aequales esse rationi AC ad BF catenus id verum esse admitti debet, quatenus identica est illa Propositio, si ex sensu Authoris intelligatur, ut intelligi par est hiccnini merus est casus illius citatae Propositionis septimae Authoris, quam hac Propositione . exposui. Vnum tamen hic adhuc monendum duco piasse scilicet quempiam, nisi aduertat, hallu cinari: eo quod eodem modo, iisdemque verbis utatur Author, dum ait rationes partiales AD ad BE, CD ad B Eue aut AD ad EF, CD ad DF, eandem esse rationem cum ratione totali AC ad EB,aut totali A C ad PF, siue ex illis constitui,quod iuxta propriam, usurpari solitam vocum significationem est verissimum: ac, cum ait partiales rati nec C ad DE &A C ad PF eandem esse rationem cum totali ratione C ad B F;quod versi esse nequit iuxta verba sed tantum iuxta men tem sensumque ciusdem Authoris eiusque Interpretum iuxta quos,& quidem ver E, per accessum rationis A C ad DP, ad rationem A Cadita, additis consequentibus BE V EF , ut fiat ratio eiusdem Antecedentis AC ad conflatum consequentem BF minuitur ratio AG ad KE 4 quemadmodum exposui, euidcnter demonstraui, identica statuitur Propositio, dum asseritur totius Antecedentis AC ad totum consequentem BF cta rationes AC ad ΒΕ, & A ad EF. Cum ergo ea sit Propositionis octauar Libri Io.Oper. Geom. causa, ut eam identitatis vitio, non secus quam septimam condemnari necesserit: quid de Prop. 1.eiusdem Lib. G.cuius robur ex illa S totum hauritur, ccnsendum sit, facile potest quilibet aestimare. Quanta vero sit huius totius Quadraturarum methodi ab.hac Propositione iri dependentia neminem latere potest praeter eum,qui ne primo quidem intuitu hanc Geometrae doctissimi tractationem delibarit. Huius siquidem Propositionis mentio passim ita occurrit, vix ut ulla Propositio
44쪽
Et Promotum examen cuadraturae i
stio ea careat, aut carere possit ut illa hic omitti non debeat, tum ut labes, quam in eam ex Prop. .&a.deriuari asserur, agnoscatur: tum ut tacilius cum opus fuerit opus autem erit saepius consulatur. En itaque eam ex Authore assumptam manseriem Propositionum mearum adscitam.
pROPOsITIO IX. Theorema. SIn quatuor ordines quinque continue proportionalium quantitatum ABCDE, FGHI Κ, MNOP, Q RSTV quarumvli imae Em, PI, sint aequales.
Dico rationem dirarum primarum quantitatum Α', F, duorum priorum ordinum, ad duas duorum posteriorum ordinum quantitates L, Q, toties continere rationem duarum tertiarum C, H, ad duas tertias N. ; quoties haec ipsa ratio duarum tertiarum C, H, ad duas tertias N, S, continetrationem duarum quartarum D, I ad duas quartas , T.
----- . - ter rursus,ratio D cum
Ι, ad O cum T aequatur rationi D ad O, D ad T, d ad O, I ad oErgo, quoties rationes A L. in F L, Fra continent rationes C N, QS AEN, HS : quoties hae continent rationes D O, D LIO, I rToties continet etiam ratio totalis AF ad LQ rationem C H ad N S in haec ipsa rationem DI,'ad O T. Sed per Prop.27. Progress ratio A continet per multiplicationem bis rationem C , hoc est, illa est huius duplicata re ratio CN continet bis per multiplicationem rationem CD: ratio quoque A incontinet bis per multiplica tionem rationem CS:vi haec bis rationem Da, atque ita de reliquis
45쪽
Ergo quoties ratio quantitatum A F ad Lincontinet rationem quantitatum GH ad N S toties haec ipsa ratio quantitatum C H ad N S,
continet rationem quantitarum D ad O T. Quod tuit demonstrandum. Cum Propositio haec eiusque demonstratio ea sit, ut nuper monui, ex qua prae caeteris harum omnium Quadraturarum constructio aestimari debet i quaedam circa eam obseruare necesse est, quae non parum lucis toti huic tractationi sunt allatura. Primb quidem occurrit attendendum. Cum totum eius robur ac momentum ex Prop. 8 hauriatur, ut ex eius demonstratione patet, in qua octaua illa Propositio adducitur, eaque non dubio, ut ostensum est, identitatis vitio laboret patet quanti faciendum illud sit. Identitas certe Propositionis alicuius, ut nemo non nouit, inutilitatis argumentum est manifestissimum.
Secundo. Non mediocriter iuuerit hic obiter obseruasset, qua ratio. ne dotaussimus Geometra quadruplicem illam Tetragonismi methodum, de qua Libroto disserit, huius ope Propositionis suae is hac Prop. a me recitatae instituerit, promouerit, perfecissetque se semerit. Hac ergo via institit. Propositionem hanc, uniuersalem velut thesim ad hypothesim rationum, quas solida quaedam partialia unum quoddam solidum simul unita conflant, reuocauit. Obseruauit scilicet, quidem acutissime, partialia solida quinque continuo proportionalia omni multitudine numerosiora, quae exhaustionibus inseruirent eorumque primam quantitatem in omnibus ordinibus esse aequalem: tum ex ipsis simul additis solida totalia conflari quae ad alia item tot
lia selida ex aliis partialibus selidis genita referri possent Assumamus
quatuor illos ordines quinque quantitatum proportionalium schem,
tis superioris, quatuor elia ordines solidorum partialium; quorum duo priores simul, simul item duo posteriores addantur additis selidis Q, , sibIque eorrespondentibus iuxta Propositionis hypothe-aec inuestigauit ac determinauit Author selertissimus, quan- item duorum priorum solidorum totalium utriusque ordinis nempe solidi totalis A F, 8c totalis L suorum illud ex partialibus Atraci istud ex partialibus L,is inunitis conflatur: quantitatem item duorum totalium solidorum GH, S. Hac autem solidorum
quantitate cognita nota continuo euasit eorumdem solidorum ra
His eousque ab eximio Cyclometra accuratissime promotis, supererat
46쪽
Et Promotum examen Iuadratura ue
pererat tertia ratio solidi DI ad O T investiganda quae si obtinere tui, ipse primus Quadraturae absolutae modus ad reliquas enim qui l-piamlpraeterea naud admodum difficile desideratur constaret euidenter. Hanc porro rationem tertiam D ad O assecutus sibi vi sus est Author i atque utinam , ut praele terebat argumenta , ita comprobasset rei veritas)vbi demonstrauit primas omnes rationes
partiales A ad L, A ad L F ad L, F ad inloties per multiplicatione nicontinere secundas partiales C ad , C ad S, WH ad , H ad S, quoties hae ipsae secundae continentacitia D ad O, D ad T de Pado, I ad T siue, ut in specie loquar, ubi demonst rauit primas secundarum, secundas autem tertiarum esse duplicatas; acdcinde notas esse totales quantitates, quae tum e primarum , tum ex secundarum partialium terminis additis generantur , atque adeo rationes tum primarum ad primas , tum ccundarum ad secundas totalium ad totaleo ac demum harum duarum rationum habitudinem , siue proportionem. Haec , inquam, omnia postquam demonstrauic circa prima si secundas rationes, tum partiale S, tum totales nilis vero similius videbatur , quam secundas totale ad totales tertias
ita se haberes, ut primae se habent ad ecundas cum partiales secundas ad tertias partiales eodem modo se habcrescertum sit, ut primae se habent ad secunda. sint nimirum secundae te itiarum duplicatae, ut duplicatae sunt primae secundarum. Atque hac usum ratiocinatione Cyclometram subtilissimum ad cliniendam tertiam illam rationem totalem DI ad O quae deside abatur adi imam suam Quadraturam absolvcndam , constat cx demonstratione Propositioni ψ .Librici C.Oper.Geom. quam concludit in taec verba Cum notae sint prima G fecunda ratio , totales scilicet schemati mei AT adi ad N S. Notum quoque est quoties prima secundam
contineat , ac propterea notam quoque es quoties secunda contineat tertiam. Itaque, cum secunda ratio CH ad NS, nota sit etiam nota erit ratio tersia
D Iado T. Euod erat, inquis, demonstrandtim Demoniliandum siquidem erat, quod citata Prop. illa 4 assercbatues nimirum, tam esse rationem tertiam D ad DT. Qilodeuidenter probatum esse sensit ex eo, quὼd notum foret rationem primam toties continere secundam, quoties secunda contineret tertiam motaequo praeterea forent prima secunda ratio. His enim positis tertiam rationem morari non posse ratus est; utpote quae seret tertia duabus primaei secundae notis proportionalis, cuius determinandae modo nihil notius esse sciret
sue voluerit suam enim mentem super hac re non aperuit, quod optandum
47쪽
optandum erat primat rationem toties continere secundam permultiplicitatem , quoties sec da per multiplicitatem continet tertiam, quo in sensu duabus primae dc secundae noris tertia ratio proportionalis esset adiungenda siue intenderit primam continere secundam toties per multiplicationem , quoties secunda continet tertiam hoc enim in sensu non deestitiam ars ex duabus notis rationibus tertiam ignotam inueniendi, O me in Examine Quadrat im est. Vt mirari satis non possim'.Aynseo asseruisse,non modo non laedi Quadraturam primam Authoris Lled ne peti quidem um quaesita definitaque est ratio te tia, cuius secunda so-ret siue aeque multiplex, siue aeque multiplicata, ac prima se
stitum est Lib. 1. Exam. Quadrat Asseruisse item tertiam illam rationem ignotam, notam euadere non posse nisi per spatia hyperbolica, hoc est, per totius Geometriae occultissima mysteria adeoque asseruisse, quod macis mirere, Authorem suum, quem interpretatur, sua illa Prop. 4 Libri ira pronunciasse quidpiam, suaque argumentatione demonstratum affirmasse, quod minime demonstratum esse Constaret , cum nusquam spatiorum hyperbolicorum mentio ulla in ea demonstratione ab eo facta sit, sine quibus id praestari non posset: quod vitio non leui summo Geometrae non immerito verteretur. Sed haec obiter c data occasione hic velitandi tantum gratia dicta sint, quibus plura in hanc u na suo loco accessura sunt. Ex his tamen non leuiter quod hic agitur, confirmatur; Propositionem scilicci ix. Libri Io. Oper. Geona hac mea Prop.9 repetitam haud quaquam utilem esse ad Quadraturas tum omnes, tum maxime ad primam ue cum peream sine spatiorum hyperbolicorum ope innotescere non possit iuxta doctissimi interpretis sententiam , tertia ratio ad eam omnino necessaria. Sed prae caeteris grauem Propositionis illius desectum arguit,qubd in uestigata tertia illa ratio, cuius secunda sit aut aequemultiplex, aut aequemultiplicata ut secundae multiplex est, aut multiplicata ratio prima Quadraturam exhibeat a vera longissime alienam ut Libro a. Exam. Quadr.ostensum est,rursusque deinceps confirmandum veniet.
48쪽
Meminipavio ante necdum sertasse tibi exciderit Horum quorumdam sperbolicorum tuorum ope asserit doctis us interpres, ac propugna
gnator harum uadraturarum P. Franc. TUcom reperiri tertiam rationem ad y adraturam prim , est necessariam . o suscientem. Auod. An, o quomodo verum Aisumve sit, eam hoc opusculo expendendum, deelarandum susceperim nonpossum nec debeo, non aliquiἀde spatiis hu-tissmodi prius delibare ut absolutior tibique mi Lector benevole ciui impense adeo edi utilior est gratior, faciliorque tota haec tractatio exhibeatur. Iuanquam enim omnia, quae ades perbolam pertinent, e que in primis spatia accurate prosecutus sit posionis alteris P. Gregorius as rimentior uia tamen breuior ob tantam materia fluam obseuriorque nou raro eoactus est esse aut quia eius operis tibi Mnsuppetet oeultas, aut istud onsulendi voluntas ea huc adducam omnia, ex ipso tamen hausta, qu.e ad totam hanc dissertationem non leuis apud Geometras momenti plane or persticae exponendam intestigendam conferre videbuntur Age itaque.
SPatia hyperbolica dicuntur mixta quaedam supersistes plana quadrilaterae qua Hyperbola eiusque altem Asymptoto &duabus lineis altari Alymptoto parallellis com
prehenduntur. Expositio. Sit Hyperbola DFG, cuius Asymptoti sint duae recta lineae A B, A H. Vni verba symptoto, ut Asymptoto A H, parallelae ducantur rectae duae qua uis linea DC, FD. Figura mixta quadrilatera E CDF, duabus hisce lineis parallelis lineaque hyperbolica EF, crecta CD qua pars est alterius Asymptot in interceptari dicitur spatium Hyperbolictim Etsi enim aliae innumera superficies dari possint, quae eodem iure spatia dici queant hyperbolica, quae byperbola, aliisque rectis lineis circumscribuntur iciis tamen solis superliciebus quas designaui, hoc nomen ab eorum primo inuentore sag. cissimo attributum est, & ab eius interpretibus duobus P. Alphon de Saraeta,ri P. ynscom obseruatum, obseruarique a nobis par est.
49쪽
SIn Hyperbolae cuiusuis Asymptoti duae AB, AH qua
rum alteri si A H, ponantur parallela: O MF: MMO, BG quae spatia hyperbolica intercipiant C EFD, NOGB. Dic a quam multi lex eli spatium C EFD, spatijNOGB; tam esse multiplicatam rationem linea C E ad lineam DF,
rationis lineae Noad lineam BG
Expositio. Haec est propositio omnium sertasse, quae hactenus vel ab antiquis, vel a recentioribus Geometris de hyperbola demonstratae sunt, celeberrimat quam Author operis Geometrici mira sagacitate, ut pleraque alia, obseruauit, demonstrauitque Lib. . Prop. 13 eiudque varia accidentia sequentibus aliquot Propositionibus prosecutus est, iisdemque exponcndis egregia nauata est opera tum a R. P. Alphonso de Sarasa in Confirmationibus Quadrat tum a R. P. Aynscom in sua Quadraturarum Geometrica deductiones quos maioris fusiorisque doctrina gratia consulere iuueris. Hic ego ea non mittam quae ad institutum necessaria videbuntur. Itaque iuxta allatam Propositionem Si spatium CF ita spatium C EI D designo, ita reliqua designetiturus sumi duplex fuerit spatij alterius Gri pro ccrto habeto rationem lineae C E ad lineam alteram parallelam DI , cum qua spatium CF intercludit, esse duplicatam rationis , quam habet linea N ad loeam ,pposit imi G parallelam quibus lineis alterum patium N G clauditur. Quod adeo uniuersaliter aseritur, irobatur loco citato ab eximio cometra, ut nulla se rationis N ad BG quoad speciem quod mirum est in determinatio Potcrii scilicet haec ratio NO ad BG esse dupla, tripla quadrupla &c Ratio autem CE ad DF cuiuscunque rationis N O ad BG erit duplicata, ut duplae. triplae quadruplae, &c. Quod tamen ita verum esse intellige, ut alia alia duo spatia, quorum unum sit alterius duplum, alioque, alio laco, si sive sumi dcbeant dum rationis duplae, triplae, quadruplae,&α duplicata ratio statuitu in lineis parallelis spatia abscindentibus Quod auecm de duplicat ratione, quam spatium spatij duplum ex-nibet, declaratum cstri idem de triplicata, quadruplicata , quintupliscata, c. asseri debet. quam spatium spatij alterius triplum quadruplum, quintuplum,&c determinare natum est QPorro
50쪽
Et Promotum Examen 2 uadraturae a.
Porro obseruatione hic maxime dignum est spatia illa duo,quorum unum alterius est duplum, triplum,ic rationemque alterius duplicatam, triplicatam , &c continent' ita assiimi posse, id non communicantia sint i cuiusmodi assumpta sunt spatia duo GO,' NG .communicantia qualia forent spatia duo D G, Noe quorum illud si huius duplum supponatur , ratio DF ad BG, duplicata erit rationis N O ad eandem BG si triplum irit triplicata, dcc. Vniuersalis enim est apud Authorem citato loco dc monstratio quam , quia ex variis conclusionibus colligitur , qua praeter institutum rore explicare , praetermitto. Satis enim est ad ea quae in serius disputaturus sum, si ipsa tantum Propositio allata concipiatur, cisisque veritas ipponatur.
S spatia aliquot Hyperbolica suerint deinceps aequalia:
lineae parallelae ea intercipientes, deinceps etiam Iuturae sunt continue proportionales. Expositi o Demonstratio.
DO,NG, deinceps aequalia asseritur lineas paralicias ea spatia intercludentes , esse continue proportionales , lineas nimirum C E, DF, NO, BG. Quod ex prςcedentis Propositionis,critate supposita sequitur euidenter.
Nam si spatia duo DO, G sunt aequalia erit spatium D duplum spatij NG. Ergo ratio rcffae DF ad rectam BG, duplicata est rationis N ad eandem BG. Quo fit, ut tres lineae DT, NO, BG, pnt continue proportionales Ratio scilicet DF ad BG, duas rationes aequales D F ad N O, ωN O ad BG continet. Eodem modo quia spatium CF supponitur
aequale duobus fgillatim spatiis D O. G erit spatium C G triplum in 1 spatii