장음표시 사용
51쪽
spatij, G. Ergo ratio lineae C E ad lineam BG triplicata est rationis O ad BG Sed rationis eiusdem, O ad BG, ostensa iam est ratio D F ad BG, duplicata Ergo per Elem lineae GE, DI NO, BG,
sunt continue proportionales. Quod idem de pluribus rationibus ostendi facile potest, quotquot fuerint adiuncta deinceps, & continue spatia aequalia.
Quod si duo spatia, quorum unum duplum foret alterius, minim Eserent communicantia, nec eadem linea, quae consequens communis foret ambarum rationum, clauderentur cuiusmodi est in hoc Paradi 'gmate lineam; Tunc ratio quidem una foret asterius duplicata, sed lineae continue proportionales nequaquam esse possent nulla enim linea communi connecterentur, quae prioris rationis consequens esset, eademque postcrioris rationis antecedens, ut ad rationum continuitatem requiritur. Idem esto de pluribus spatiis non communicantibus, linearumque ea intercipientium rationibus iudicium.
PROPOSITIO IIII. Theorema. Si spatiorum aequalium continue sibi adli aereicentium aliquod in spatia duo per lineam parallelam reliquis ea con
ditione secetui, ut spatia facta sint dominentiurabilia noua poterit serius eontinuὰ proportio ilium linearur spatia hyperbol a intercipientium constitui , cuius nouae seriei partes quaedam sint priores lineae continue proportionales. Hoc est, noua series continue proportionalium gcnerabitur, in qua omnes linea priorem seriem constituentes locu nequendam
Expositis c Demonstrario. In eodem schemate, iusque hypothesi aequalium trium spatiorum CF. O. G secetur, vel sectum supponatur spatium Do per lineam , reliquis, siue Asymptoto A H parallelam, ita vi commensurabiles sint factae partes D R. O. Sit verbi gratia sectum in duas partes aequales. Quo posito, reliqua duo spatia F, G poterunt in duo aequalia spatia perinde secari, ita ut habeantur sex spatia aequalia. Ac proinde lineae ea spatia intercipientes, erunt continue proportionales , in earumque serie reperientur priores lineae CI, DI, NO,
52쪽
Ei Promotum Examen uadraturae V
BG constituis. Eadem sutura est ratio quomodocumque secetur spatium D in vel aliud ex illis aliquod, modo sint factae partes tum trirer se, tum toti spatio, quod diuiditur, commensurabiles Hoc enim casu posito spatia omniari singula in partes aequales secare licebit per
lineas Asymptoto parallelas ope mensurae communis , seriemque continue proportionalium linearum constituere, in qua omnes lineae illae, quibus spatia prima diuisa continebantur, locum sibi vindicabunt illarumque series pars erit seriei de nouo constituta , ut asserit haec Propositio.
.Hic duo obserua qtione maxime digna sunt, unum ad institutum apprimefacteri alterum iucundum magis Lectori, quam mihi
necessarium ex occasione attingam. Primum est.. DuaS hic cocurrere Progressiones quantitatum , genere quidem diuersas, officium tamen insigne sibi mutuo praestare solitas. Altera est Progres-
fici Geometrica Arithmetica altera Geometrica, ut declaratum est,
consticuitur et lineas illas Asymptoto alteri parallelas, quae spatia hyperbolica aeqtialia intercludunt, ut sunt lineae CE, DF, NO, BG continue proportionales Arithmetica vero progressio fit per spatia ipsa hyperbolica, dum se aequali semper excessu superant. Spatium enim DG; duplum est spatii Gi eiusdem vero triplum est spatium
CG atque ita deinceps alia spatia sequentia serent illius quadruplum, quintuplum, et provrdinem spatia cum linea BG claudentes, ad ipsam Narationem haberent quadruplicatam,quintuplicatam,&C. tationis linea, O ad BG, ut explicatum est. Secundum, cuius memini, caput est. Si aliquod spatium, ut D O, per lineam , reliquis parallelam diuidatur in partes commensurabi-
53쪽
rietur linea S R. Inuenta cnim duorum partialium spatiorum commensurabilium D R, SD, mensura communi maxima, vel etiam non maxima iuxta methodum a R. P. Alphonso de Sarasa traditam in Confirmationibus Quadrat. diuidi poterit per mensuram illam cbrnmunem tam spatium DR, quam spatium S in partes tum inter se, tum partibus alterius spatij aequales , atque ade,spatium totum D O ita sedium erit in partes aequales, ut rectari R, sit una aliqua linea earum per quas diuiditur. Sed facta huiusmodi diuisione spatijD O rectae omnes lineae diuidentes, quarum extremae sunt DF, NO, quaedam autem intermedia est ipsa linea S Ri sunt omnes continud proportionalesci atque adc Geometricam Progressionem constituunt per Prop.r x. huius. At vero, si recta S R, diuidat spatium Do in duo spatia DA, SD, incommensurabilia; nulla unquam diuisione diuidi poterit spatium D O in partes aequales, ita vi aliqua diuisio praecise cadat in rectam illam S R. Nec mirum; cum alioqui sequerc-tur contra suppostionem, spatiam R, O esse commensurabilia. Vnde praeterea sequitur eandem linea KR ves quamcunque aliam, qua spatium DO in partes incommensurabiles diuidatur , excludi ab omni prorsus Progremone Geometrica cuius termini primus illimus sint duae lineae DF. O spatium Do intercludentes.
Monitum M., i κγκHae sunt statiorum Sperbolicorum prae ea eris insignes facultates acor te omnino a Summo Geometra earum primo obseruatore exposita Libra . Prop. x Dor aliquot aliis Eis enim alia Medam adeaspar pertinentiatum ab ipso Author , citato loco, eum a P. A Donse in Confirmationibus Euadrat tum a P. Uc--deductione Euadraturanum assere videan tur: ea tamen omnia exisseti conuensentia sane mirabili deducanong ainter spatia verbosica, o reneas quibus ipsa abscinduntur intercedis: υtscilicet, multiplexsit spatiumstath alterii a quam multiplisata est
rati linearum spatium istud claudentium , rationis linearum quibus Leabscindιtur . Vnde praterea sequatur duarum sese comitantium Progres*-- g. . Geometrica est Arithmetica Eua cum numerorum terminis 3e soleant explicari non parum lucis ad obscuriora illa, perboia
exiissere accessurum sistafiat horum ad illa applicatio di di sequentibus Iraestare conabor.
54쪽
Et Promotum Examen suadratura iPROPOsITIO XIV. Problema.
Rogressionem Geometricam Vna cum Mithmetica Progressione illius exponente componere.
constructio. Instituatur series numerorum deinceps continue secundum quamcunque rationem,
villa duplam , proportionalium A, B, C, dcc. huic subscri
batur series numerorum communis I, 2, 3, c. ita tamen, ut
termino primo Arrogressionis Geometricae respondeat nihili notat, siue eterori secundo veris termino B respondeat unitas H, tertio bin, rius ,&c. Haec series G, H, Κ, ε est Arithmetica Progressio vulgaris sue communisci cuius termini eodem excessu, qui est unitas, sese superanti Quae prae caeteris Progressionibus Arithmeticis Latiae enim per alias differentia unitate maiotes, aut etiam minores, siue fractas institui possent Exponens Geometricae Progressionis dici meritδ consueuit ob multiplex , quod ga illam munus exercet, ut mox expono. Hic ambas illas Progressiones composuisse , earumque terminos sibi respondentes suo quemque loco assignasse funiciat. Quod facicndum proponebatur.
PROPOSITIO div. Froblema. MVltiplex Arithmeticae Progressionis vulgaris Progres
sioni Geonictricae, appositae munus exponendum tit. Constructis se Demonstratio.
Primum, quo numerorum vulgaris Ptogressio erga Geometricam Progressionem fungitur, munus est. e quilibet illius terminus cuili- t huius termino respondens desola quo rationes aprimo ad hunc usque termitium constitutae sint. Vt terminus Κ 3 demonstrat a primo termino xvsque ad terminum in , respondentem terminori, reperiri tres rationes aequales nempe Rad B, B ad C, dcc ad D. Velinuertendo, tres, D ad C, C ad B,4 B ad A. Eodem modo terminus H, termino
55쪽
H, termino B, appositus ostendie unicam esse rationem, scilicet B ad A, intc primum terminum A, d terminum ipsum AB. Primus vero terminus a 'iii estorrespondens terminoa, indicat nullam constitutam adhuc esse rationem. Secundum munus ecpra
cedente nascitur , est autem huiusmodi Terminus quilibet Arithmeticae Progressionis declarat quoties ratio termini respondentis ad primum temminum , multiplicata sit rationis illius, quam obseruat Progressio Geometrica . Vt termini DLadhaerens termino D, demonstrat rationem eiusdem termini D, ad primum terminum A, I ad ira triplicatam esse rationis B ad A , vel C ad B, c. perquam extenditur Progressio Geometrica, quae in hoc Paradigmate est ratio dupla. Eodem modo terminus interminora affixus indicat rationem B ad A simplicem esse, nulloque modo multiplicatam; eo quod nullus intercipiatur terminus inter B, WA in Progressione Geometricati Nec vero termini Progressionis Alithmeticae in eo tantum casu, cum termini Progressionis Geometrica ad primum eius terminuma referuntur, ostendunt quoties ratio termis ni cuiuscunque assumpti ad primum terminum A , multiphcata est rationis progressiuae per quam scilicet Progressio propagaturo sed etiam , cum terminus assumptus ad alium quemlibet a primo diuem. sum comparatur. Ecce enim, ratio terminii ad terminum C, triplicata est rationis D ad C pro Muin, perquam Progressio continuatur quod ex eo mn escii eruod terminus J Progressionis Arithmeticae termino F is inidens, excedit terminum ma termino C respondensem tribus unitatibus, siue tribus differentiis, per quas Progressio extenditur inuibus disserentiis tribus cclaratur tres raniras intercedere inter te inos rationis F ad C. Atque rem ad C, componi ex tribus rationibus interpositis:quae in t aequales inter se ratio ex illis composita Fad C erit unius alicuius illarum triplicata,vt in Examine Quadratura Lib. I.Prop. 24.& in Institutionibus Arithmeticis Lib. Prop. I9 ubi rationum com postio explicatur, ostendi. Nee huius est obscura ratio quot enim differentiae coaceruantur ad Progressionem Arithmeticam construemdam Ptot termini statuuntur in Progressione Geometrica illis respon-dcntes quorum singuli ad proxime positos referuntur ι totidemque rationes
56쪽
rationes aequales constituunt. Vnde obiter obserues quamcunque Arithmeticam Progressionem per aliam differentiam , quam unita
tem,propagatam,eodem munere erga terminos Goometricae Progres.sionis fungi posses quot enim differentiae coaceruabuntur ad termi . nos Arissimeticae Progressionis constituendo. tot etiam coacerua buntur rationes aequales in Progressione Geometrica usque ad terminum respondentem termino Progressionis Arithmeticae ex differentiarum collectione genito. Quod etsi verum sit, nec ad dicenda inutile futurum ue nulla tamen ad hoc munus aptior est Arithmetica Progressio, quam vulgaris quae per unitatem cxtenditur. Ipsae enim unitates, quibus constant eius termini, produnt statim per se quotus si in tali Progressione quilibet terminus atque adeo in Geometrica , quoties ratio termini respondentis ad primum terminum, multiplicata sit rationis progressiuae. Idemque compendium habetur, quando non primus terminus, sed alius , obseruatum est statuitur rationis multiplicatae consequens in Progressione Geometricὶ Vt in allato superius exemplo, ratio termini Fua, ad terminum C , ostensa est triplicata rationis progressiuae quae triplicatio statim innotescit openumeria, qui habetur subducto termino ΚΛ, a termino, s Progressionis Arithmeticae. Ostendit enim tres rationes aequales inter terminos in F intercedere, sicut tres differentiae quae sunt tres nitates intercedunt in vulgari Arithmetica Progressione inter ΚΛ niqui respondent terminis Cac F, eorumque sunt exp0nentes.
Tertium munus Arithmeticae Progressionis erga eam solam Progressionem Geometricam exercetur, quae ab unitate
initium ducit. Qualis est superius allata,&hic repetita. Est autem huiusmodi Si duo termini Progressionis dictae Geometricae in se ducantur, producent termin; minuendam eiu ac Progressionis, ut colligitur ex Prop. I. Lib.9. Euci cuius quotus si in ea Progressione locus, innotescet, si duo termini Progressionis Arithmeticae terminis illis in se ductis re L pondentes, simul addantur factus enim numerus indicabit locum genit ex multiplicatione termini, adeoque ipsius erit exponcns in Arithmeties Progressione. Ecce Ducis terminum C 4, in res, generas F si qui per citatam Prop. Elcm est quispiam terminus eiusdem P rQgressionis Geometricae. Quotus tandem 3 Adde simul terminos
57쪽
1 a Progressionis Arithmeticae, qui respondem terminis C dc
D multiplicetiis fiet numerus N ii qui ostendit laetum ex multiplicatione terminum Fur, quintum locum a primo A sibi vendicare in Geometrica Progressione quod obseruatione dignum est hiantum distabit ab alterutro sese multiplicantium terminorumὶ quantum alter distat a primo termino A Progressionis. Distat crim terminus F 3 1 a termino DI multiplicato, uno gradi intermedi, sicut uno intermedio gradum terminus multiplicans distata primo termino A. Vel F 31 distat duobus gradibus a termino C, sicut alter terminus distat duobus gradibus a primo termino A. Nec aliud continget si terminus quispiam in se ducatur. Ducatur enim terminus acinse: fiet terminus Eris in eadem series; cuius locum demonstrabit terminus progressionis Arithmeticae, qui generatur per additionem termini ΚΛ, termino a in seducto respondentis, ad seipsum. Huius porio conuenientiae inter terminos Geometricae Progressionis multiplicatos, & additos Progressionis Arithmeticae terminos, aperta est causa. Cum in allat exemplo terminus Comultis icaui DI,&produxit F 31 Multiplicans C eandem habet rationem ad unitatem quae ex suppositione est ipse primus terminus Aprogressionis quam terminus productusa habet ad terminum D 8 multiplicatum per Prop. 18. Lib. r. Institui Arithm. Sed ratio ad A componitur ex duabus rationibus aequalibus Cad B,&B ad A. Ergo etiam ratio Fad
componetur ex iisdem rationibus: atque ade5, cum terminus Fper citatam Prop. I. Lib. 9. Elem reperiatur in serie Progressionis, duae erunt rationes aequale&,m inter se, & duabus rationibus CB, Banter terminos Fin D. Quod cum ita sit, cum terminus x Progrcssionis Alithmeticae numeret rationes, quae inter C, A intercedunt, ut ex dictis paulo ante constati idem etiam terminus Κ numerabit ra-ationes inter Fin D intercedentes. Ergo sim 1 addatur ad terminum 3, qui numerat rationes inter D cui apponitur,i primum terminum A, fiet 4, qui numerabit rationes, quae intercedunt inter terminum Ἀχ,m primum terminum Aciatque ita terminus N I, ex additione crinia conflatus, ostendet quotus sit terminus Uxa in serie terminorum Progressionem Geometricam ab unitate inchoatam
Caeterum, ut proxime ostensum est additionem terminorum Progressionis Arithmeticae comitari multiplicationem terminorum Geometricae Progressionis eodem modo ostendi potest subtractionem
illorum comitari hortundiuisionem. Divide terminum Tya per D 8. seti
58쪽
fiet a , qui in serio Progressionis reperitur eiusque locus designabitur, si a termino dematur L 3, vi reliquus fiatrici, qui debetur
termino C ex diuisione genito. Quod patet per definitionem diuisionis, quam Lib. I. Piop. o. Institui Arithm exposui. Ita enim est terminus diuisus Fad diuidentem D, sicut terminus C per diuisionem gellitus ad unitatem A quae ex suppositione caeprinuis Progi cssionis terminus. Ratio ergo C ad A tot rationibus componitur ι quot coni- ponitur ratio F ad D Cum ergo terminus numeret rationes intcr iri A intcrceptas iumeret autem L interceptas inter D.& eandem unitatem Amri L 3 dematura termino N3 necessario relinqueturnum crus rationum inter Frio interceptarum , qui idem est, ut pro-Xime dictum est, cum numero rationum, quae inter C ex diuisione genitum, Meandem unitatem A reperiuntur. Recte igitur terminus Κ, qui subducto a termino, reliquus fit, determinat locum quem in Progressione Geometrica occupare debet terminus C, qui ex diui sone termini F per terminum D producitur.
Ex his mox proxime decla . et rata sunt ad mutuum illud ossicium tertium Progressionum Geometricae, Arithmeticae pertinentia, sequitur euidenter terminum quemlibc Progres.sionis Arithmeticae, alterius teris
mini elusitem Progressionis tam esse multiplicem si maior ad minorem comparetur' quam est multiplicata ratio inter terminos Progres- sohis Geometricae, terminis Arithmeticae progressionis respondentes intercepta, ad rationem progressiuam , per quam progressio extenditur, ut terminus duplex est termini Κ. Ratio ergo termini E ad C, duplicata est rationis progressiuae , ita de caeteris. Quod ipsum planius fortasse proponetur, si dicatur differentia, qua duo quilibet termitii Progressionis Arithmeticae inter se discrepant, esse tam multiplex numeri progressivi quam rationis progressiuae multiplicata est ratio terminorum Progressionis Geometricae terminis Arithmeticae respondentium. Sic vides rationem termini F 31 ad terminum triplicatam esse rationis progressium sicut differentia 3, quae inter terminos N a respondentes terminis F&C intercedit, triplex eae numeri per quem Arithmetica progressio extenditur, qui hic est Unitas. Sic etiam tam multiplicata est ratio termini Fad immediatum
terminuma rationis progressiuae 3 quam multiplex est disterentia inter
59쪽
inter respondentes terminos Nim numeri progressini illa enim differentia est unitas, sicut Munitas est numerus progressivus quo fit vi ratio F ad Erit simplex, & non nisi improprie multiplicata dicatur rationis progressiuae clim ratio ad Dei sit aequalis. Estin aliud quoddam ossicium, quod Arithmetica Progressio prae . stat Geometricie, cum huius tormini singuli denominatione quadamassiciuntur, a loco, quem mirogressione occupant, petita vicum eius qui piam terminus dicitur radii alius, Quadratus. Cubus , alius,
Quadrato-quadratus, Super solidus,&c. quos exponunt termini Progressionis Arithmeticae communium numerorum. Verum hac nostra
in re locum non habet munus huiusmodi ut de eo nulla amplior facienda sit mentio. Declarandum ver,nunc demum est quam apte spatiis hyperbolicis conueniant tria illa Progressionis Arithmeticae muneres quibus erga rationes Progressionis Geometricae funguntur illius termini, ut tandem duplicis huius ope progressionis planior fiat, ac familiarior recondita illa hyperbolicorum tractatio ad Cyclometriae huius discussionem necessaria. Sit itaque.
PROPOSITIO IV I. Theor-a. OMnimoda est spatiorum hyperbolicorum cum Progres
sione Geometrica is eius Exponente Arithmetica symbolietatio.
Expositio est emonaratio. Non alia melius probatione constare potest propositionis huius Veritas, quam eqrum, quae spatiis hyperbolicis, utrique dictae progressioni conuenire superius declaratum est, collatione. Ob oculos igitur repone Schema Propositione ii delineatum ad spatia hyperbolica pertinens. Sed praeter ea, quae dicaa Prop. sequentibus declarata sunt qualia sunt in primis, lineas C E, DT, NO, BG esse continue proportionales, dum spatia CI, D O. G supponuntur aequaliaci moneo etiam lineas AB, AN, AM, AC esse Droportionales continue, quod eximius Geometra noster citatis supra propositioni- laus demonstrat. Nec tantum hasce lineas continue esse proportionales ostendituriverum etiam in eadem ratione proportionales csse cum
lineis QE, D F. O, BG parallelis alteri Asymptoto AM Asympi tum autem Al secantibus. Est enim rectangulum A BG, ut acutissimc ab eodem demonstratur, aequale rectangulo A NU, aut etiam singulis
60쪽
singulis ADF, ACE, caeterisque quibuscumque huiusmodi. Ergo
per Prop. 36. Lib. 6.Elem. ita est A B prima ad A secundam vi Notertia ad BG quartam. His hic annotatis, quae superius, cum locus non exigeret, omissa fuerant; Congruentia illari affinitas Spatiorum hyperbolicorum cum duplici progressione facile declarabitur. Nam
esse proportionales continuό sicut etiaproxime ostensun est continue proportionales esse lineas AB, AN,ADA C, in eadem ratione. Similiter in Progressione Arithmetica ex eo quod differetia termino
rhi ,M,L, K,H,G, quae st unitas aequalis semper est; sequitur rationes Fad Ε, E ad D, &c. inter terminos Geometricae Progressionis, esse aequales atque adeo terminos illos, F, E, Dacc. esse continue proportionales. Secundo.Quam multiplex est spatium C G, spatii Gue tam multiplicata est ratio lineae G ad BG, rationis O ad eandem BG, ve Prop. I. declaratum est sicut enim triplex ponitur spatium C Gspatii, Gue ita etiam ratio lineae E ad lineam BG, triplicata est rati nis lineae N O ad eandem BG. Vel ex paulo ante annotatis, ratio lioneat A B ad Ac triplicata est rationis lineae A N ad eandem Cisunt enim ambae illae linearum Progressione Geometricae, aequalis, ut dixi , rationis progressiuae. At militer in Progressione Arithmetica; quia verbi gratia, terminus L 3 tres continet disserentias terminorum, sue tres numeros progressivos qui in hoc Paria, mate sunt tres unitatest demonstrat rationem Dyad A esse tripli