장음표시 사용
61쪽
catam rationis progressiuae per quam extenditur progressio, qualis est ratio Ni ad Aci, vel C ad B, aut alia quaelibet,cum sint omnes aequales Atque hoc est munus illud Arithmeticae Progressionis erga Progressionem Geometricam, quod Propositione is secundo loco cxplicatum est Unde etiam constat ratione F 31 ad 4 esse eodem modo triplicatam rationis D ad C, e quod terminus N 1 tribus dissiferentiis quae hic sunt unitates excedat terminum ci responden-zem tetmino C Progressionis Geometricae. Idem de duplicata ratione , quadruplicata,vic dicendum est. Tertio declaratum est Prop. s. tertium, illudque singulare munus, quod Arithmetica progressio erga Geometricam ab unitate inchoatam exercet, in eo situm esse : ut multiplicatis duobus quibus ibet Geometricae Progressionis terminis ex qua multiplicatione terminus gignitur in eadem serie reponendus per Prop. i. Lib.9. Elem. locus designetur geniti termini in eadem Progressione Geomctricardum duo termini Arithmeticae Progressionis duobus termini Gemmetricae multiplicatis respondentes, simul adduntur. Vel contra Si terminus Geometricae Progressionis per alium diuidatur qua diuisone nascitur terminus quispiam eius scm progressionis locus innote Cate debitus, si terminus Progressionis Arithmeticae termino diuidenti Progressionis Geometricae respondens , subducatura termino,
qui multiplicato respondet. Ita ut verum semper sit, quod vulgo asseritur Additio Progressionis Arithmeticae respondet multiplicationi Progressionis Geometricae,i subtractio diuisioni ut si Cri multiplicet D fit F 3 1; cuius locus 1 habetur additis terminis ci T3. Similiter, diuiso termino F 3 1 per D 8 naseitun C icuius locus in eadem serie determinatur subducto L 34 termino Nj, ut fiat K r. At in hoc ipse mira est harum duarum progressionum continuae quantitatis, cum iisdem ad discretam pertinentibus consensio ,si modo recte comcipiatur methodus, qua haec multiplicatio&diuisio fieri debet. Quae
vi nat euidentror, praeter hactenus obseruata haec insuper attende. Cum terminus quispiam Geometricae Progressionis alterum multiplicat, ut cum Bri multiplicat C ,αproducitur DI censenda est ratiora ad A unitatem, multiplicare rationem C ad A, gignelaeque rationem D ad Αιvem Prop. 1 . Lib. I. Exam constat atque ita te minus 3 progressoria Arithmeticae, qui coalescit ex additione te minorum H E demonstrat non tantlim quem locum in serie occupet terminus D sed etiam quoties ratio D ad A multiplicet rationem
progressiuam B ad A, vel C ad B&e utinetin triplicare declarat. Pari
62쪽
Pari omnino modo, elim in Progressione Geometrica quam constituunt lilaeae CE, DF, NO, BG terminus, multiplicat alterum terminum, verbi gratia D F; censenda est ratio Noad BG, ultiplicare rationem DF ad BG. Quae multiplicatio, e statim a eriam, absoluitur , si fiat ut in rationis N ad G multiplicantis
consequens BG, ad Antecedetem Noue
Ita rationis DF, ad G tiltiplicatae Antecedens DF ad alium terminum, ut ata: qui statu
tu Antecedens rationis per multiplicationem productae , cuius consequens sit rationum multiplicataru consequens BG. Quod si ita se habet istse vere habetὶharum duarum rationum N ad BG,4 DF ad BG multiplicatio : nunquid manifestissimum est, addito spatio N quod terminimo, d BG rationis multiplicautis intercipiunt ad spatium D G terminis D F, BG rationis multiplicatae interceptum , constitui spatium C G ad rationem C E ad BG per multiplicationem productam pertinens s eoque spatio Coquod triplex est spatij N G, determinari locum, quem occupat in serie progressionis terminus Cta, nempe tertium a termino NO; simul definiri quoties ratio G multiplicata sit rationis promec suae X ad BG, esse nimirum triplicatam. Quδd si ratio DF ad BG supponeretur esse multiplicans, ratio verbNO ad BG multiplia cata: eadem ratio EC ad BG iuxta traditam multiplicationis meth dum produceretur, idemque, spatium C ex spatiis ad rationes sese multiplicantes pertinentibus simul additis conflaretur. Fieret enim veB consequens rationis DF ad BG multiplicantis ad ipsius Antece .
63쪽
dem D P ita No Antecedens rationis N O ad BG multiplicatae ad C E qui statuatur Antecedens rationis C E ad BG per multiplic tionem productae addito autem spatio D G ad spatium N G, confla itur spatium C a duo siquidem spatia D G, C O non possunt nos esse aequalia per P p.ra cum ita sit ex constructione CT D ut D F est ad BGὶ quo, ut prius, definitur tam locus termini CL A serie Progressionis, quam quoties ratio C E ad BG multiplicet Vationem N O ad BG progressium, aut DT ad No, aut aliam qua milibet
terminis immediatis constitutam. Quae omnia, ut perspicis, apprime . conueniunt cum omnibus , quae progressioni numerorum duplici, Geometricae videlicet,& Arithmeticae conuenire declarata sun Restat, ut demonstretur rationem QE ad BG eo, quo traditum est, modo determinatam, eam esse, quae per multiplicationem duarum rationum DF ad BG,&NO ad BG producituri ut paulo ante,
me demonstraturum spopondi. Itaque, cum ex constructione, ut est
consequens B rationis multiplicantis N ad BG, ad suum Antecedentem Nos ita sit rationis D F ad BG multiplicatae Antecedens D F ad terminum C ta erit ratio G ad D P aequalis ratioris Oad BG. Ergo ratio C E ad BG componitur ex duabus rationibus sese
multiplicantibus C E ad DI siue, O ad BG ac D F ad BG, quae
est vera rationum multiplicatio, ut constat ex iis quae Lib. i. Exam. Quadrat. Prop. 13. Lib. . Prop. I. Institui Arithm docui. Nec alia Aret demonstratio, si ratio D F ad BG, statueretur multiplicans, ratio vero G ad BG, multiplicata,& fieret, ut B G consequens rationis D ad BG multiplicantis ad suum Antecedentem DF ita NO Antecedens rationis N ad BG multiplicatae ad C E. Rursus enim foret ratio CE ad BG composita ex rationibus C Elad. Nos sue DF ad BGyει NO ad BG quae erant mutuo multiplicandae. Atque eadem haecdemonstratio rationum multiplicationi discretae quantitatis perbera conuenit ut videas nec hanc symbolietationem desiderari inser spatia hyperbolica , Progressiones numerorum Gemmericas cum suis Exponentibus Progressionibus Arithmeticis coniunctas Si enim in schemate superiori duae rationes B ad ΑΛ Cadin multiplicandae sint .si fiat, ut multiplicantis Bada, consequens ad Antecedentem B ita multiplicatae C ad A Antecedens C, ad terminum D fiet ratio D ad A, quae producitur per multiplicationem datarum rationum Ratio enim D ad A componitur ex rationibus baia siue B ad A C ad A quae compositio rationum duarum B ad A, C ad A, vera est multiplicatio, vi ex citaris paulo ante
64쪽
Et Promotum Examen uadratura i
Iocis constat. Idem vero terminus D obtineretur etiam, si fieret ut rationis a consequens A ad suum Antecedentem ita alterius rationis BA, Antecedens B ad terminum D. Rursus enim ratio D ad componeretur ex rationibus multiplicatis D ad B siue C ad A ad A. Quem autem locum in serie progressionis Geometricae Obtineat terminus D, demonstrat additio duorum terminorum 4 , respondentium terminis ΒΛ C Piogressionis Geometricae. Fit enim ex illa additione terminus L 3 quo significatur 'erminum in e tertium esse a primo A, rationem D ad A esse triplicatam rationis progressu ae B ad A.
assercre multiplicatacile rationis DF ad BG;quod multiplicationi proprie
dicte Dinime coUC. nit: hec enim requirit,ut ratio, quae alterius dicitur multiplicata, altera aliquoties prcci, per multiplicationcm contineat, ut dici
ratio C E ad BGrationis DF ad BG non potest esse duplicata multoque minus triplicata seret enim spatium C G duplex spatij quod est cotra suppositionem;clim sit eius tantum sesqui-alierum Vult ergo citatus Autnor rationcm C E ad BG, rationis D F ad BG tantum esse compositam. Eodem modo, cum ait spatium C G multiplex esse spatij DG haudquaquam de multiplicitat proprie dicta, quae spatium in altero aliquoties praeci e contineri desiderat, intelligi potest sed de alia multiplicate impropria, quae impropriae rationum multiplicationi re L pondet. F Decla
65쪽
Declaratum est hactenus, quomodo in spatiis hyperbolicis additio spatiorum hypcrbolicorum respondeat multiplicationi rationum,quas obseruant lineae parallelae spatia illa abscindentes quemadmodum inquantitatis discretae Progressione Geomctrica multiplicationi eius terminorum, vel rationum respondet Additio terminorum Progres- sonis Arithmeticae Geometricam exponentis. Nunc ut omnimoda
illa symbolietatio spatiorum hyperbolicorum cum dictis Progressionibus ostendatur declarandum restat quomodo in spatiis hyperbolicis, rationum diuisioni rei pondeat subtractio spatiorum , non seclis quam in Progressionibus contingit. Quod paucis absolui potest ex dictis de multiplicatione eia additione, cum diuiso, subtractio, operationes tantum sint earum inuersae. In eodem itaque schemate diuidenda stratio lineae C E ad BG per rationem lineae No ad eandem BG fiat ut antecedens orationis diuidentis ad ciusdem rationis consequentem BG ita antecedens Ci rationis diuidendae C E ad BG ad lineam D F. Erit ratio F ad BG ea quae ex diuisione nascitur . illi uoque tam multiplicata erit ratio diuidenda C E ad B a quam est multiplex spatium C G spatij DG Datque adeo dempto spatio C Rex toto spatio C a, reliquum fit spatium D G lineis D D, BG quarum
ratio per diuisionem genita est, interceptum eoque determinatur locus lineae DF in lari linearum continue proportionalium C E,
DF. O , BG. Similiter , si eadem ratio E ad BG diuideretur. pet rationem DT ad BG i fieret ut DT ad BG ita C E ad μοι ratioquem O ad Gic diuisionem produceretur spatio DG dempto ex spatio toto Ca, remaneret spatium N a sunt enim spatiam G. C O , sicut etiam G. C. aequalia ex supposita constructione . Quod autem ratio D F ad BG nascatur ex diuisoner, tionis C E ad BG pei rationem, O ad BG i vel ratio G ad BG,
ex diuisione eiusdem rationis C ad BG per rationem Diad BG vel ex eo patet, quod oppositavi in uersa operatio multiplicationis adhibeatur soluit enim diuisio quod multiplicatio componit idemque probari potest ex prop. I . lib. i. Exam . quadrat vel Prop. 29.lib. . Inst. Arithm. Quam vero haec consona sint diuisoniis subtractioni terminorum progressionis geometricae, ciusque Exponentis Arithmeticae, constat si enim in iis pius repetito paradigmate diuidatur terminus D per terminum , vel potitis ratio Da per rationem GA Igignetur ratio B M Quod si a termino L progressionis Arithmeticae, qui respondet termino Diiogressionis geometricae diuiso, dematur terminus crespondens termino C diuidentici relinquetur terminus
66쪽
Et Promotum Examen 2 uadratura
re, qui respondet termino B per diuisionem genito. An non igitur apparet euidentissime quoad hoc etiam caput omnimoda symbolietatio inter progressionem numerorum geometricam , eiusque exponentem progressionem Arithmeticam et rationes linearum Asymptoto parallelarum, spatiaque hyperbolica ab eisdem lineis intercepta 3 Sed de hac symbolizatione assa quae eo nomine facienda est plurimi, quod eius ope ad numeros perti apertos euidentes transferri possint quaecunque de hyperbolicis spatiis abstrusissimis, in quibus latet. Quadraturae huius fundamentum , traduntur tum ab ipso cyclometriae Authore, tum ab eius interpretibus, fautoribus.
pROPOSITIO XVII. Theorema. SI duarum, vel plurium progressionum Arithmeticarum
homologi termini addantur, dico ex ea Additione nasci Arithmeticam progressionem. Expositio se Demon ratis. ABC DP
Sint progressiones duae Arithmeticae A,B, C, D E,F,G,res siue idem sit excessius quo virtusque termini disserui, siue diuersus Homologique termini simul addatur; ut fiat series numerorum Κ, L,M,N;ostendedum est nem .id demonstrauit R.P. Greg. lib.de Progress.Prop. ij. in Quantitate continua,quod eodem sere modo in distret declarabitur. Sit 'i, disserentia terminorum primae progressionis at Rci, differentia terminorum progressionis secundae E, F,&c. Quae ambae differentiae simul additae producant 3 ostendo hanc esse disserentiam, nicam qua numcri Κ, L, dcc inter se discrepant , adeoque hosce numeros constituere Arithmeticam progressionem. Quod pateti. Nam partes B, F, simul sumptae eodem excessu differunt a partibus Α, Ε, simul sumptis, hoc est Da ς quo sigillatim sumptae partes enim omnes simul sumptae toti sunt aequales. Ergo superat Dexccssulo, ecexcessitia 1,hoc est excessu S 3.Similiter,ostedetur Mi 1 excedere terminum Dei eodem excessuri .ec sic de caeteris terminis.Quare series numeroruΚ,U cc.est progressio Arithmetica. Quod crat ostendendii.
67쪽
PROPOSITIO XVIII. Problema. Figuram designemus omnia primae Quadratura ab eius
Authore expositae fundamenta continentem. Expositio.
Quemadmodum censeres alienum , mi Lector , si omnia quae ad huius Quadratura declarationem , vel ab eius Authore pererudito, vel etiam a me in eiusdem Quadraturae Examine allata sunt, hic repeterem esita,opinor, moleste ferres . ea omitterem, quae ad percipienda, quae agitantur, necessaria sunt. Quid enim utilitatis, quid voluptatis ex illius disputationis contemplatione hauriatur: cuius sundamenta, capitaque praecipua minimespraesto sint alitique ex operibus vel careas, vel quae aegre consulas, sint repctenda Muod ne incurratur incommodum mesque haec exercitatio ab omnibus sit parata, quibus ipsa sibi constet sequentibus aliquot propositionibu vel ex libro M. Oper. Geona vel ex Examine meo Quadraturae desumptis, viam parabo ad totius controuersiae tum statum tum compositionem percipiendum ircuitatis tamen memor a prolixioribus demonstrationibus, quae locis proxime citatis habentur, abstinebo. Hic igitur primum schema designo, unicum sele deinceps usurpandum.Quod ita habet.
Duobus descriptis Quadratis aequalibus AT, At latere communi Ara commissi, quatuor emi parabolae intra ipsa describantur:
68쪽
Et Promotum examen uadratura ue
quarum binae sibi obuersae verticem habeant ad A; seseque in inter- secent binae item sibi obuersae verticem ad B constituant, rursusque ad punctum puncto BQ diametro oppositum concurrant. Duae priores sunt AtD, Ad D i duae posteriores sunt BL C, BHC. Parabolae ATD axis est ipsum Quadratorum commune latus Arai demque axis est alterius Parabolae B L prior APD subcontrarie positae. Axis vero Parabolae Ad est at axis Parabolae B HG, quae Parabolae ΑΙ subcontrarie ponitur, est B F. Ex eo demum quod binae Parabolae in Ain D, binae item in Bic concorrant; dc duarum subcontrarie possitarum axis sit A B; aliarum autem axes sint duo Quadratorum latera AE, F sequitur eas omnes Parabolas aequales esse, carumque latera recta elle aequalia inter se, aequalia vero Quadratorum laterii B, vel ali cuilibet laterum. Quod
Ductis Quadratorum diametris, O D. . , cum Angulus B AD ad Axemini, verticemque Α, Parabolae AI D constitutus, sit semi rectus recta AD Parabolam At D secans in D, unde ducitur ad Axem ordinatim applicata D B;latus rectum designat aequale tam applicatae B D, quam abscisIae axis patri Bra, ut Lib. 3.
Prop. 3. Exam. Quadrat,docui. Einlem modo ostendam Latus rectum Parabolae BL C esse aequale Axim At eodem etiam Lattas rectum
Parabola: ALD eius Axi Assi abicisso ab A pplicata D Elin Parabolae H C abscisso Axii ab Applicata C i esse aequale Est enim
Angulusta D, sicut& Angulus Fic, semi- rectus adverticem de ad Axem AI, KF constitutus & ad Axem a punctis ΓλωC, inquibus secantur Parabolae a lineis MD, B C, ductae applicata D E. M'. Posito demum recto Latere Parabolarum A B; earumque Axibus constituti. Parabolae ipsae eo situ qui assignatus est in tralati .idrata illa duo facile describit nerunt aliquo colum modo qui plurimi ha bentur Libro de Parabola in Operc Geona vel quos tradidi in Isago-ge ad Conica Prop. i. Atque haec est partium Schematis saepius deinceps memorandii aecipuarum designatio res quae, quae in eo cernuntur, lineae, suo quaeque locori tempore adhibcbuntur.
69쪽
PROPOSITIO XIX. Neorema. IN Schemate proxime constituto ducatur recta quaelibet M G N ad Axem Assi perpendicularis in Gri quae Parabolas quarum vertex est B, siccet in L Parabolas vero, quarum vertex est A, secet in I I Latera demum Quadratorum in vi , eorumque diametros in a G. Dico tam tres lineas G M, GAE, G H;quam tres G M, GI, G ces e continue proportionales. Item in altero Quadrato tam tres G , G . Gl; quam tres G , GI, GO continuectiam proportionales esse.
Quod tres G M, GAE G tres G N, GO, G I quando socantur Parabola ΑΙ D, B H. quarum Axes sunt AE, BFj sint continue proportionales, asserit Cyclometra Prop. 16. Lib. Io. Oper. Geom. Propositione vero sequenti 17. idem asserit de lineis M, Ga, GK in G N, G P, G O, dum secantur Parabola A P D, B Lo quarum Axis est A B. Vtriusque porro Assertionis probationem ex Libro de Parabola repetendam ait, illius quidem Prop. 67. huius autem Pro 42.quam tu consule ibidem, ne hinc, si eam adduxero, longius abire cogar Ad Institutum satis est hanc inter ternas uernas illas lineas continuam Analogiam recte concepisse
70쪽
Et Promotum Examen uadraturae. 47
In eodem Schemate. Si inter G Κ, G H media proportionalis statuatur j dc inter GD, I media Gla. Dico tam quinque lineas GM, L, GAE, GT, GH; quam qui que Gm, GI, O, Δ, G Iesse continue proportionales.
Linea GK per Propositionem Antecedentem est media proportionalis inter G M . M : Est autem per eanderi Prop. a media proportionalis inter id Gm. Ergo ratio G ad GR in duas rationes aequales diuiditur per lineam a Sed ratio G ad G H. quae aequalis est rationi G M ad G Κ, diuiditur etiam in duas aequales rationes per lineam 4 mediam proportionalem inter GK GH constitutam. Ergo aequales sunt rationes Κ ad&Gr&Grad H, rationibus G M ad GI, ad GA. Ergo continue proportionales sunt dictae lineae G M, G L, GAE, Gi, G H. Eodem modo probabuntur quinque linea Gm, GP, Go, Gla, a in con tinua esse Analogia. Si igitur inter Gri, G Hric. Quod crat demon
pROPOSITIO XX neorema. SInt duae series quotcunque linearum continue proportionalium licet utriusque seriei ratio sit specie diuersa. Dico rectangula homologis duabus lineis comprehensa, esse ctiam continues oportionalia.
Sint duae feries quinque linearum, verbi gratia, Continue
proportionalium A, B C, D, E;&F, G, H, Ι Κ, licet lia rationem observent ab illarum ratione diuersam. Probanda sunt rectangula lineis homologis Ara F, ΒΛ ,ic comprehent i, esse etiam continue proportionalia. Hanc proponit& demostrat Geometra Libro de Progress Prop. 18 de duplici serie trium linearum proportionalium ieescius demonstratio ad quotcunque lineas exten
d potest. Est autem eiusmodi Ratio rectanguli A, F ad rectan ovium B. G