Arithmetica

31쪽

ig ARITHMETICAEnimus dividi possit. Cap. 3, de numeris paribus & imparibus. Atque haec de primis & factis numeris, secuda absoluti & simplicis numeri distributio est in

numerum parem & imparem,

Par immems dividuus a bina

rio. c. d. T. Sic et ipse par,quia dividitur a seipso semel,sic est par,quia dividitur a a bis.

s. Impar est numerus in Ariduus a

Ut 3. itaque.

6 , Impar unitate disserta pari

Sic s, sic , de similes sunt impares numeri, quibus unitate subducta,pares erunt Ais. Par est pariter par tantum,pariter impar tantum,pariter par simul,& pariter impar.

T. Parite ars numerus tantum d viduus a pari perparem. 8 A. T.

It 8 pariter par est, quem et pax dividit per s

parem.

8. Si numeri fuerint ab unitate continue duphcati , quilibet erit pariterpar.

32쪽

s. Pariter impar 3 numerus tantu Auiduus a pari per imparem.'. d. .

IIt s,quem et par dividit per 3 imparem.

o. Si numeris habuerit dimidium im

parem,empariter impartantum.33 -'.

IIcc, Io, 18, quia horum dimidia pars est impar, nempe 3, S, '.

si . Pariter pars mul O pariter impar, est numerus neque ab unitate duplicatus, neque dimidium habes imparem. 3 g. .',

Uc sunt Ir, ro, 28: quia neque duplicati sunt ab unitate, ut et, A, 8, Ic, neque dimidium habent imparem , cum dimidii ipsorum c, io, I , sint etiam pares. Impar est impar simpliciter vel impariter.

s x. Impar simpliciter, est numerus d viduus tantum ab unitateperseipsum.

Ic 3,s, T, & quilibet primus.

ss. Impariter autem impar e sinum rus Aridus ab impari per impare. Io. d. T.

Utis impar dividitur in s imparem,secundum

s imparem. v

Itaque omnis impar impariter, est factus nu

merus

33쪽

Cap.f. de numero perfecto & imperfecto. Additur ad duas simplices numeri distribuationes tertia distributio in numerum perfecturi de imperfectum.

s . Perfectus numerus, est numerus partium toti aequalium. 22. d.Z.

Ut senarii partes sunt i et , 3, quae additae sunt aequales toti c. Et hic unitas numerus est. Nam si pars est etiam numerus numeri.3s. Si et numeris continue duplicatis ab unitate totus sit primus, , ab eo totidem continue duplicentur, quot ante fuerant, ultimus erit perfectus, reliqui partes per

Ut hic,

Addet & 1, totus 3 est primus,& secundus ab eo continue duplicatus est 6 perfectus,cujus omnes partes sunt, I, 2, 3, &solus est perfectus imira Io. Secundo,ut hic, I et sil T IA 28. Adde I, 2, A, sunt , & tertius ab eo conti nue duplicatus 18 est perfectus, eiusque partes omnes I, 2, , T, H, & solus hic est petfectust Io ad sto. Tertio, ut hic, i. a. A, 8, c. t i, i 2, 11 , 2 8, Me. I

34쪽

Adde I, 2, , 8, totus estis compositus,praetereatur igitur. At I, 2, , 8, IS additis,totus est 3r, primus,& quintus ab eo duplicatus Ay6 perfectus , eiusque partes omnes sunt I, 2, , 8, Ic, SI, 62, 12 ,2 8, 's, solus hic perfectus est a Ioo ad Io oo, dc sic deinceps. Itaque ut perfectus solus neglectis partibus habeatur, hinc factu est ab Euclide theorema in hanc sententiam:

Sc. Si e numeris continue duplicatis ab unitate totus sit primus ,factus ab eo per ultimum erit perfectus.

Sic deinceps a Io oo ad roo oo perfectus est: 8 Ia 8, rariqtie admodum sunt hi numeli, imo nonnullis gradibus nulli sunt, ut sexto, undecimo,decimo septimo,& plerisque aliis. Sic igitur perfectus essicitur e pariter paribus & ex imparibus primis,id esst,ex maxime dividuis & minime dividuis.

s . Imperfectus numerus est numerus partium toti inaesualium.

Estque redundans aut diminutus.

s8. Redundans, es numerus imperfectuspartium toto majotam.

It Ia,cujus partes I, 2, 3, A, 6 collectae, sunt

Is majores toto IE.

sy, Diminutus, est numerus impers

35쪽

Auspaetium toto minoram. It A, 8, & quilibet pariter par.

LIBER II. Cap.I. de primis differentiis

comparationis.

PRIMA pars Arithmeticae adhuc fuit, seci, da sequitur.

r. Arithmeticae pars secunda est, qua

interpretatur numerorum comparationes,

comparationumque genera et propriet

res.

et Comparatio numerorum est habitudo quaedam ipsorum inter se.

Comparatio est ratio vel proportio.

s. Ratio est comparatio quantitatis.

Rationis termini duo sunt, primus antecedens & dux,secundus consequens & comes appellatur . Quantitas autem aequalis est vel inaequalis, unde siunt axiomata sequentia.

Si duo numeri fuerint aequales e

dema

36쪽

it AER it. dem erunt aequales inter se.

Ut 1 & i sunt aequales eidem et . itaque sunt aequales inter se.

s. Si numeri aequales addantur aequalibus,toti erunt aequales. 2.axio.

Ut et & 1 sunt aequales numeri, adde utrique 3,toti erunt f dc set item aequales inter se.

g Si aequales subducantur ab aequalia

bus,reliqui erunt aquales. s.aAio.

Ut f dc s sunt aequales numeri: ab utroque tolle 3, manebunt et 8c ar item aequales inter se.

. Totus numerus major est suapa

te. O .ax. I.

g. Si aequatis addantur inaequalibus, toti erunt inaequales.

ut dc 3 sunt inaequales numeri, adde utrimque et,toli 3 &viunt item inaequales.

s. Si aequalessubducantura, inaequa libus,reliqui erunt inaequales. Icax.

Ut 6 dc s fiunt inaequales numeri, tolle ab utroq; et de et aequales numeros, reliqui quatuor &3 erunt item inaequales. Ratio est arithmetica vel geometrica.

ro . Ratio arithmetic est domparatio

37쪽

s ARITHMETICI in quantitate, qua numeris dissere a nu

mero Ut ratio arithmetica a cum et est aequalitatis, a cum 3 est disterentia. I, et cum s est differentia 3. Ideoque haec ratio differentia dicitur. Cap. a. de numeratione rationum.

It Ratio ometrica e si comparatio inquantitate, qua numerus est dirises innu

merum. Hic principue ratio dicitur: dum vero rationis termini scribsitur, dux superne, comes infer

ne. notatur sic, . 2 3 I . . 2 2

1r Datis rationis terminis , genus d VFone, datoque nere rationis, termini multiplicatione inveniuntur.

Sic datis terminis et ad I, E ad a, ratio erit aequalitatis, quia aequalis aequalem semel dividit. Datis A ad a, s ad A, ratio erit in aequalitatis, illic dupla, hic sexquialtera, quia comes illic ducem bis, hic semel dividit, Si dimidium stiperest. Dederis contra genus rationis, nempe ex illis quo iis (r (1 si . Si numerus sit integer, habebis ducem

38쪽

LIBER II. 3s

ducem, cui I pro comite subjicies, sin fractus sit, multiplicabis integrum per nomen, factoque nam erum partium simul addes , cons hillies ducem: comes autem ipse in numero permanes, ut in pras remo exemplo: multiplica I per a ,& facto 1 adde I, constitues 3 pro duce, rationisque termini

erunt

is. Rationum communis numeratio est tanquam terminorum, ideoque eadem est

quae pastium , atque ideo si comites sint iidem , fili ducesse tantur, excepta mu

tiplicatione, quae tum duces, tum combies multiplicat.

Sic o ratione dupla ad 1 addita ad rationutriplam S ad 1, tota ratio est quintupla io ad a. Sic ratione dupla ad et subducta a ratione quintupla Io ad 1,reliqua est ratio tripla ad 1, exempla ita sunt,

IO item

Sic ratio dupla ad et multiplicans rationem triplam S ad 1, faciet ratione sextuplam 2 ad g. Sic ratio tripla ' ad 3 multiplicata per rationem quadruplam 8 ad 1, faciet rationem duodecuplam et ad Exempla ita sunt.

39쪽

item 22 3 et Divide rationem duodecuplam IE ad I, in rationem triplam 3 ad I, quotus erit , qui signi cat dividentem rationem quater in dividenda contineri, aut rationem quadruplam ad i pro quota ratione inveniri: sic ratio sedecupla 31 ad a divisa in rationem quadruplam S ad et, relinquit quotam rationem quadruplam. Denique quotus hic est nomen quotae rationis. Exempla ita sunt,3 Ia

i Si comites sint digersi, opus erit re- AHIione, de qua suo loco.

Ergo haec numeratio communis est in additione,subductione,multiplicatione, livisione.

1s Ratio inaequalitase reducitur ad rationem aequalitatis multiplicatione siue

consserse. It ratio : multiplicetur per rationem :, fiet

ratios quae est aequalitatis. Cap. 3. degeneribus rationis. Ratio prima est aut conjuncta, prima multiplex

40쪽

LIBER II. plex aut superpari icularis aut superpartiens.

1c Multiplex esi, quando terminus major diri litur a minore. s. i. T.

Sic omnis numerus multiplex est ad unitate, ut et duplus,3 triplus, s quadruplus, & sic in infinitum . Sunt enim generis hujus reliquorumque species infinitar. Atque hic antecedens est multiplex, ut duplus, triplus,quadruplus, quintuplus, sextuplus. Cosequens autem siubmultiplex, ut subduplus, subtriplus, si1bquadrupue, subquintuplus, subsextuplus. Hic etiam unitas numerus est, sicuti tape in tota comparationum doctrina . Species veto sic notatur,

dupla, tripla, quadrupla, quintupla, sextupla. Si submultiplex multiplici contra comparet Ur, minoris inaequalitatis erit ratio, dc submultiplex dicetur,& antecedens minor erit, c5ssequens ma-sor, ut in coeteris deinceps.Nomen siquidem rationis in minore qualibet inaequalitate,semper amajore termino capitur, addito, siub: sic igitur submultiplicis sipecies notantur,

III I

t 3 A SSubdupla, subtripla, subquadrupla, subquintupla